CC BY
23
ПОВЕДЕНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА ПОЙНТИНГА ПРИ ОСТРОЙ ФОКУСИРОВКЕ ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ С КРУГОВОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ
С.С. Стафеев 12, А.Г. Налимов 1,2 1 Институт систем обработки изображений РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия
Аннотация
В данной статье моделировалась фокусировка оптических вихрей с длиной волны 532 нм и правой круговой поляризацией плоской дифракционной линзой с числовой апертурой 0,95. Моделирование осуществлялось с помощью формул Ричардса - Вольфа и методом ББТБ. Рассматривалась фокусировка оптических вихрей с топологическими зарядами, равными ±1 и ±2. Было показано, что при фокусировке оптических вихрей с круговой поляризацией широкоапертурной дифракционной линзой в фокусе можно наблюдать отрицательные значения продольной компоненты вектора Пойнтинга. При фокусировке оптических вихрей с правой круговой поляризацией и топологическими зарядами ±1 и +2 распределение отрицательных значений продольной компоненты вектора Пойнтинга имеет вид колец. Если же топологический заряд оптического вихря равен -2, то это распределение приобретает пиковый характер.
Ключевые слова: формулы Ричардса - Вольфа, ББТБ-метод, оптический вихрь, «тракторный пучок».
Цитирование: Стафеев, С.С. Поведение продольной компоненты вектора Пойнтинга при острой фокусировке оптических вихрей с круговой поляризацей / С.С. Стафеев, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 2. - С. 190-196. - БОГ: 10.18287/2412-6179-2018-42-2-190-196.
Введение
В последние годы отмечается рост интереса исследователей к фокусировке оптических вихрей с азимутальной и радиальной поляризацией [1 - 9]. Так, например, в [1] было показано, что азимутально-поляризованный оптический вихрь образует фокусное пятно с площадью (0,147Х2) на 13,5 % меньше, чем радиально-поляризованный свет (0,17Х2). Аналогичный пучок использовался в работе [2] для формирования иглоподобного фокуса с большой глубиной (12Х) и субволновой шириной (изменялась от 0,42Х до 0,49Х). А в работе [3] иглоподобный фокус имел диаметр по полуспаду 0,38Х, а глубину 7,48Х.
В статье [4] азимутально-поляризованный пучок проходил через спиральную фазовую пластинку, состоящую из нескольких колец, и фокусировался линзой с числовой апертурой КА = 0,95. Полученное фокусное пятно обладало глубиной БОБ = 4,84Х и субволновой шириной FWHM = 0,53Х. В [5] похожая спиральная фазовая пластинка, совмещенная с акси-коном, использовалась для получения пятна с глубиной БОБ = 11Х и шириной FWHM = 0,38Х.
Интересно, что при исследовании таких пучков внимание исследователей сосредоточено на достижении минимального размера фокусного пятна. Так как при вычислении интенсивности необходимо вычисление только электрической напряжённости в фокусе, то изучению поведения магнитной компоненты обычно уделяется мало внимания. Знание последней необходимо для изучения поведения вектора Пойн-тинга. В соответствии с [10] сила, действующая на частицу, может быть вычислена как
Р = (к/2) Гш а Яе(Е х Н*), (1)
где к - волновое число, а - поляризуемость частицы, Е и Н - напряжённости электрического и магнитного полей соответственно. Из формулы (1) следует, что продольная составляющая силы будет пропорциональна продольной составляющей вектора Пойнтинга Sz. Если некоторый пучок в своём поперечном распределении будет содержать отрицательную составляющую, то частица, подсвеченная таким пучком, должна двигаться в сторону источника света.
В работе [11] моделировалось прохождение света через металинзу, осуществляющую поворот направления поляризации и фокусировку. Численно с помощью ББТБ-метода было показано, что такая линза, освещаемая светом с круговой поляризацией, может формировать фокусное пятно, в котором поток энергии вдоль оси распространения пучка Sz имеет отрицательное значение. Отрицательные значения продольной компоненты Sz также наблюдались в статье [12], где рассматривались пучки Лагерра - Гаусса с круговой поляризацией.
В данной статье с помощью формул Ричардса -Вольфа моделировалась фокусировка оптических вихрей с длиной волны X = 532 нм и правой [13] круговой поляризацией плоской дифракционной линзой с числовой апертурой КА = 0,95. Результаты, полученные с помощью формул Ричардса - Вольфа, качественно совпадали с результатами, полученными методом ББТБ, реализованным в программном обеспечении Би1^ауе. Рассматривалась острая фокусировка оптических вихрей с топологическими зарядами, равными ±1 и ±2. Было показано, что при фокусировке оптических вихрей с круговой поляризацией широко-апертурной дифракционной линзой в фокусе можно наблюдать отрицательные значения продольной компоненты вектора Пойнтинга. При фокусировке опти-
ческих вихреи с правой круговой поляризациеи и топологическими зарядами ±1 и +2 распределение отрицательных значений продольной компоненты вектора Пойнтинга имеет вид колец. Если же топологический заряд оптического вихря равен -2, то это распределение приобретает пиковый характер.
1. Методы, используемые для численного моделирования
В рамках данной работы было проведено несколько серий численных моделирований двумя способами: в первом случае использовалось численное нахождение интегралов Ричардса - Вольфа в среде МаЙаЬ, а во втором - метод РБТБ, реализованный в программном обеспечении Ри1^ауе. Метод РБТБ использовался для качественной проверки результатов, полученных первым способом.
Интегралы Ричардса - Вольфа имеют вид [14]:
• г а 2п
и (р, у, г ) = -1Ц В (0, ф) Т (0) Р (0, ф)>
)х
0 0
(2)
хехр {гк [р вш 0 сов (ф - у) + г сов 0]} вт 0 ё0 ёф,
где и(р, у, г) - напряжённость электрического или магнитного полей, В (0, ф) - электрическое или магнитное поле на входе широкоапертурной системы в координатах выходного зрачка (0 - полярный угол, ф - азимутальный), Т (0) - функция аподизации линзы, / - фокусное расстояние, к = 2п/Х - волновое число (длина волны при моделировании считалась равной X = 532 нм), Р (0, ф) - матрица поляризации, для напряжённости электрического и магнитного полей имеющая вид:
Р (0, ф) =
[1 + сое2 ф( сов 0-1)] а (0, ф) + вш ф сов ф( сов 0-1) Ь (0, ф) вт ф сов ф( сов 0-1) а (0, ф) + [1 + вт2 ф( сов 0-1)] Ь (0, ф) -вт 0сов фа (0, ф)- вт 0втфЬ (0, ф)
(3)
где а (0, ф) и Ь (0, ф) - функции поляризации для х- и у-компонент напряженностей фокусируемого пучка.
Для простоты вычислений в моделировании считалось, что зонная пластинка (Т(0) = сов-3/20 [15], МЛ = 0,95) фокусирует плоскую волну В (0, ф) = 1. После прохождения такой волны спиральной фазовой пластинки она преобразуется в оптический вихрь с В(0, ф) = ехр{гт ф}, где т - топологический заряд оптического вихря. С помощью формул Ричардса -Вольфа рассматривалась фокусировка оптических вихрей с топологическими зарядами т, равными ±1 и ±2. В случае отрицательных значений т топология вихря и поляризации совпадали.
Продольная составляющая вектора Пойнтинга вычислялась как
^ = ^[(ЕхН*)г] = (ЕхН'у -ЕуНУ),
(4)
2 ^ 'г ] 2
а интенсивность - как I = (ЕЕ*).
Для проверки решения, полученного с помощью интегралов Ричардса - Вольфа, производилось моделирование методом РБТБ, реализованным в программном обеспечении Ри1^ауе, фокусировки плоской волны, умноженной на функцию пропускания зонной пластинки Френеля и функцию оптического вихря ехр{тф}. Методом ГОТО моделировались вихри с топологическими зарядами т, равными +1 и -1. Функция пропускания зонной пластинки рассчитывалась из соображений, что её фокусное расстояние равно 532 нм, а фокусируемый свет имеет длину волны 532 нм. Так как ставилось целью только качественное сравнение результатов, полученных разными методами, то числовая апертура такой линзы не подбиралась равной числовой апертуре линзы, моделируемой по формулам Ричардса - Вольфа. На рис. 1 показана фаза моделируемой зонной пластинки: белым цветом показана нулевая фаза, а чёрным - фаза, равная п. Шаг сет-
ки вдоль всех координат считался равным Х/30. Размеры рассчитываемой области 8,6x8,6x1,532 мкм. На краях вычисляемой области помещались идеально согласованные слои (РМЬ) толщиной 0,5 мкм.
Рис. 1. Фаза бинарной зонной пластинки Френеля (0; п).
Размер изображения — 8x8 мкм
2. Фокусировка оптического вихря с круговой поляризацией
Для правой круговой поляризации функции поляризации напряженности электрического поля в уравнении (3) будут иметь вид а(0, ф) = 1 и Ь(0, ф) = г, а для напряжённости магнитного поля - а (0, ф) = -г и Ь (0, ф) = 1.
Результаты фокусировки оптического вихря с топологическим зарядом т = 1 приведены на рис. 2 - 3: распределение интенсивности - на рис. 2, а продольной компоненты вектора Пойнтинга Бг - на рис. 3.
Из рисунков видно, что при фокусировке оптического вихря круговой поляризации с топологическим зарядом т = 1 распределение в фокусе и интенсивности, и продольной компоненты вектора Пойнтинга Бг имеет вид кольца. При этом проекция вектора Бг в кольцах минимумов приобретает отрицательные значения (на рис. 3б, в отмечены штриховкой).
у, мкм
0,5
-0,5
40 35
\зо
25 20 15 10 5
X, мкм
-0,5 0 0,5
Рис. 2. Интенсивность в фокусе при фокусировке оптического вихря с круговой поляризацией и топологическим зарядом m = 1
-2
1 1 а. и. 1
| | , , х, мкм
в) -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 Рис. 3. Распределение в фокусе продольной составляющей вектора Пойнтинга при фокусировке оптического вихря с топологическим зарядом т = 1 (а), сечение вдоль оси х (б), увеличенный фрагмент вблизи области с отрицательными значениями (в)
Этот факт подтверждается и моделированием методом ББТБ, результаты которого приведены на рис. 4.
-1
а) -1 20
15 10
: г \ !| \Е\2
V X, мкм
-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 Рис. 4. Распределение продольной составляющей вектора Пойнтинга (а), его сечение (пунктирная кривая) и сечение интенсивности (сплошная кривая) (б) при фокусировке оптического вихря с топологическим зарядом т = 1, рассчитанные ЕОТБ-методом, увеличенный фрагмент вблизи области отрицательных значений (в)
Отметим, что непосредственно на оси (при х = 0) отрицательных значений не наблюдается ни при моделировании методом ББТБ (рис. 4), ни при нахождении значений интеграла Ричардса - Вольфа (рис. 3).
При смене знака у топологического заряда оптического вихря т = -1, отрицательные значения в проекции значительно уменьшаются, хотя и не исчезают совсем. На рис. 5 показано распределение продольной компоненты вектора Пойнтинга и его сечение, рассчитанные с помощью формул Ричардса -Вольфа, а на рис. 6 - рассчитанные методом ББТБ.
Рассмотрим теперь фокусировку оптического вихря с топологическим зарядом т = 2. Характер распределения продольной составляющей вектора Пойнтин-га в этом случае также не меняется - имеет кольцевой вид (рис. 7).
а)
Рис. 5. Распределение в фокусе продольной составляющей вектора Пойнтинга 52 при фокусировке оптического вихря
с топологическим зарядом т = -1 (а), сечение вдоль оси х (б)
□
16,45
20
15
10
□ -16,45
О
а. и.
-
а) -1 0 1 б) -2 -1 0 1
Рис. 6. Распределение продольной составляющей вектора Пойнтинга Бг (а) и его сечение (б) при фокусировке оптического вихря с топологическим зарядом т = -1, рассчитанные ЕОТБ-методом
а)
Рис. 7. Распределение продольной составляющей вектора Пойнтинга Бг при фокусировке оптического вихря с топологическим зарядом т = 2 (а), сечение вдоль оси х (б). Расчёт с помощью формул Ричардса - Вольфа
Интересно, что смена знака топологического заряда оптического вихря на т = -2 приводит в данном случае к качественно другому распределению вектора Пойнтинга - пиковому. Распределение интенсивности, рассчитанное по формулам Ричардса -Вольфа, в этом случае приведено на рис. 8, а распределение - на рис. 9.
Из рис. 9б видно, что в этот раз распределение отрицательных значений продольной компоненты вектора Пойнтинга приобретает пиковый характер - ярко выраженный минимум на оптической оси.
-0,5 0 0,5
Рис. 8. Распределение интенсивности при фокусировке оптического вихря с топологическим зарядом т = -2
20 25
20
15
15
10
10
5
5
0 0
-5 -5
-10
а) -0,5 0 0,5 б) -0,5 0 0,5
Рис. 9. Бг при фокусировке оптического вихря с топологическим зарядом т = -2 (а) и его сечение вдоль оси х (б)
Заключение
В данной статье нами с помощью формул Ричард-са - Вольфа моделировалась фокусировка оптических вихрей с длиной волны X = 532 нм и правой круговой поляризацией плоской дифракционной линзой с числовой апертурой NA = 0,95. Результаты, полученные с помощью формул Ричардса - Вольфа, качественно совпадали с результатами, полученными методом FDTD, реализованным в программном обеспечении FullWave. Рассматривалась острая фокусировка оптических вихрей с топологическими зарядами, равными ±1 и ±2. Было показано, что при фокусировке оптических вихрей с круговой поляризацией широкоапер-турной дифракционной линзой в фокусе можно наблюдать отрицательные значения продольной компоненты вектора Пойнтинга. При фокусировке оптических вихрей с правой круговой поляризацией и топологическими зарядами ±1 и +2 распределение отрицательных значений продольной компоненты вектора Пойнтинга имеет вид колец. Если же топологический заряд оптического вихря равен -2, то это распределение приобретает пиковый характер.
Благодарности Работа выполнена при поддержке Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26) и грантов РФФИ № 16-47-630483, 17-47630417, 17-47-630420, 17-42-630008, 18-07-01122, 18-0701124, 18-07-01380 в части моделирования методом FDTD и при поддержке гранта РНФ 18-19-00595 в части моделирования с помощью формул Ричардса-Вольфа.
Литература
1. Hao, X. Phase encoding for sharper focus of the azimuthal-ly polarized beam / X. Hao, C. Kuang, T. Wang, X. Liu // Optics Letters. - 2010. - Vol. 35, Issue 23. - P. 39283930. - DOI: 10.1364/0L.35.003928.
2. Qin, F. Shaping a subwavelength needle with ultra-long focal length by focusing azimuthally polarized light // F. Qin, K. Huang, J. Wu, J. Jiao, X. Luo, C. Qiu, M. Hong // Scientific Reports. - 2015. - Vol. 5. - 09977. - DOI: 10.1038/srep09977.
3. Wang, S. Ultralong pure longitudinal magnetization needle induced by annular vortex binary optics / S. Wang, X. Li,
J. Zhou, M. Gu // Optics Letters. - 2014. - Vol. 39, Issue 17. - P. 5022-5025. - DOI: 10.1364/OL.39.005022.
4. Yuan, G.H. Nondiffracting transversally polarized beam /
G.H. Yuan, S.B. Wei, X.-C. Yuan // Optics Letters. -
2011. - Vol. 36, Issue 17. - P. 3479-3481. - DOI: 10.1364/OL.36.003479.
5. Suresh, P. Generation of a strong uniform transversely polarized nondiffracting beam using a high-numerical-aperture lens axicon with a binary phase mask / P. Suresh, C. Mariyal, K.B. Rajesh, T.V.S. Pillai, Z. Jaroszewicz // Applied Optics. - 2013. - Vol. 52, Issue 4. - P. 849-853. -DOI: 10.1364/AO.52.000849.
6. Anita, G.Th. Effect of coma on tightly focused cylindrical-ly polarized vortex beams / G.Th. Anita, N. Umamageswari, K. Prabakaran, T.V.S. Pillai, K.B. Rajesh // Optics & Laser Technology. - 2016. - Vol. 76. - P. 1-5. - DOI: 10.1016/j.optlastec.2015.07.002.
7. Yuan, G.H. Generation of nondiffracting quasi-circular polarization beams using an amplitude modulated phase hologram / G.H. Yuan, S.B. Wei, X.-C. Yuan // Journal of the Optical Society of America A. - 2011. - Vol. 28, Issue 8. -P. 1716-1720. - DOI: 10.1364/JOSAA.28.001716.
8. Chen, Z. 4Pi focusing of spatially modulated radially polarized vortex beams / Z. Chen, D. Zhao // Optics Letters. -
2012. - Vol. 37, Issue 8. - P. 1286-1288. - DOI: 10.1364/OL.37.001286.
9. Ndagano, B. Beam quality measure for vector beams / B. Ndagano, H. Sroor, M. McLaren, C. Rosales-Guzman, A. Forbes // Optics Letters. - 2016. - Vol. 41, Issue 15. -P. 3407-3410. - DOI: 10.1364/OL.41.003407.
10. Sukhov, S. On the concept of "tractor beams" / S. Sukhov, A. Dogariu // Optics Letters. - 2010. - Vol. 35, Issue 22. -P. 3847-3849. - DOI: 10.1364/OL.35.003847.
11. Котляр, В.В. Формирование и фокусировка векторного оптического вихря с помощью металинзы / В.В. Котляр,
A.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 5. - С. 645-654. - DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-5645-654.
12. Monteiro, P.B. Angular momentum of focused beams: Beyond the paraxial approximation / P.B. Monteiro, P.A.M. Neto,
H.M. Nussenzveig // Physical Review A. - 2009. - Vol. 79, Issue 3. - 033830. - DOI: 10.1103/PhysRevA.79.033830.
13. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - 2-е изд. - М.: Наука, 1973.
14. Richards, B. Electromagnetic diffraction in optical systems. II. Structure of the image field in an aplanatic system /
B. Richards, E. Wolf // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1959. -
Vol. 253, Issue 1274. - P. 358-379. - DOI: 10.1098/rspa. 1959.0200. 15. Davidson, N. High-numerical-aperture focusing of radially polarized doughnut beams with a parabolic mirror and a flat
diffractive lens / N. Davidson, N. Bokor // Optics Letters. -2004. - Vol. 29, Issue 12. - P. 1318-1320. - DOI: 10.1364/OL.29.001318.
Сведения об авторах
Стафеев Сергей Сергеевич, 1985 года рождения. В 2009 году окончил Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва - СГАУ по специальности «Прикладные математика и физика». Кандидат физико-математических наук с 2012 года. Научный сотрудник лаборатории лазерных измерений Института систем обработки изображений РАН - филиала ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, разностное решение уравнений Максвелла, оптика ближнего поля. E-mail: ser8ey.stafeev@8mail.com. ORCID: 0000-0002-7008-8007
Налимов Антон Геннадьевич, 1980 года рождения, окончил Самарский государственный аэрокосмический университет в феврале 2003 года по специальности «Физика». Поступил в очную аспирантуру СГАУ по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» в 2003 году, окончил её по специальности 01.04.05 «Оптика» в 2006 году. Работает на кафедре технической кибернетики Самарского университета в должности доцента, в Институте систем обработки изображений РАН - филиале ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН в должности научного сотрудника. Кандидат физико-математических наук, соавтор 78 работ и 3 патентов. E-mail: anton@smr.ru .
ГРНТИ: 29.31.01.
Поступила в редакцию 26 февраля 2018 г. Окончательный вариант - 20 апреля 2018 г.
LONGITUDINAL COMPONENT OF THE POYNTING VECTOR OF A TIGHTLY FOCUSED OPTICAL VORTEX WITH CIRCULAR POLARIZATION
S.S. Stafeev12, A.G. Nalimov12 1 Image Processing Systems Institute оf RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS, Samara, Russia,
2 Samara National Research University, Samara, Russia
Abstract
We numerically investigated the focusing of optical vortices with the wavelength X = 532 nm and right-hand circular polarization by using a diffractive lens with the numerical aperture NA = 0.95. The simulation was carried out using the Richards-Wolf formulae and the FDTD-method. The focusing of optical vortices with topological charges equal to ±1 and ±2 was investigated. It was shown that the focusing of optical vortices with circular polarization by a wide-aperture dif-fractive lens can produce an intensity distribution with the negative value of the longitudinal component of the Poynting vector.
Keywords: Richards-Wolf formulae, FDTD-method, optical vortex, tractor beam.
Citation: Stafeev SS, Nalimov AG. Longitudinal component of the Poynting vector of a tightly focused optical vortex with circular polarization. Computer Optics 2018; 42(2): 190-196. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-2-190-196.
Acknowledgements: This work was supported by the Federal Agency of Scientific Organizations (Agreement No 007-ГЗ/Ч3363/26) and by the Russian Foundation of Basic Research (RFBR), grant No. 16-47-630483, 17-47-630417, 17-47-630420, 17-42-630008, 18-07-01122, 1807-01124, 18-07-01380 in part of FDTD-simulation and by the Russian Science Foundation (grant 18-19-00595) in part of simulation using Richards-Wolf formulae.
References
[1] Hao X, Kuang C, Wang T, Liu X. Phase encoding for sharper focus of the azimuthally polarized beam. Opt Lett 2010; 35(23): 3928-3930. DOI: 10.1364/0L.35.003928.
[2] Qin F, Huang K, Wu J, Jiao J, Luo X, Qiu C, Hong M. Shaping a subwavelength needle with ultra-long focal length by focusing azimuthally polarized light. Sci Rep 2015; 5: 09977. DOI: 10.1038/srep09977.
[3] Wang S, Li X, Zhou J, Gu M. Ultralong pure longitudinal magnetization needle induced by annular vortex binary optics. Opt Lett 2014; 39(17): 5022-5025. DOI: 10.1364/OL.39.005022.
[4] Yuan GH, Wei SB, Yuan X-C. Nondiffracting transversal-ly polarized beam. Opt Lett 2011; 36(17): 3479-3481. DOI: 10.1364/OL.36.003479.
[5] Suresh P, Mariyal C, Rajesh KB, Pillai TVS, Jaroszewicz Z. Generation of a strong uniform transversely polarized nondiffracting beam using a high-numerical-aperture lens axicon with a binary phase mask. Appl Opt 2013; 52(4): 849-853. DOI: 10.1364/AO.52.000849.
[6] Anita GT, Umamageswari N, Prabakaran K, Pillai TVS, Rajesh KB. Effect of coma on tightly focused cylindrically polarized vortex beams. Opt Laser Technol 2016; 76: 1-5. DOI: 10.1016/j .optlastec.2015.07.002.
[7] Yuan GH, Wei SB, Yuan X-C. Generation of nondiffract-ing quasi-circular polarization beams using an amplitude
modulated phase hologram. JOSA A 2011; 28(8): 17161720. DOI: 10.1364/JOSAA.28.001716.
[8] Chen Z, Zhao D. 4Pi focusing of spatially modulated radially polarized vortex beams. Opt Lett 2012; 37(8): 12861288. DOI: 10.1364/OL.37.001286.
[9] Ndagano B, Sroor H, McLaren M, Rosales-Guzman C, Forbes A. Beam quality measure for vector beams. Opt Lett 2016; 41(15): 3407-3410. DOI: 10.1364/OL.41.003407.
[10] Sukhov S, Dogariu A. On the concept of "tractor beams". Opt Lett 2010; 35(22): 3847-3849. DOI: 10.1364/OL.35.003847.
[11] Kotlyar VV, Nalimov AG. A vector optical vortex generated and focused using a metalens. Computer Optics 2017; 41(5): 645-654. DOI: 10.18287/2412-6179-201741-5-645-654.
[12] Monteiro PB, Neto PAM, Nussenzveig HM. Angular momentum of focused beams: Beyond the paraxial approximation Phys Rev A 2009; 79(3): 033830. DOI: 10.1103/PhysRevA.79.033830.
[13] Born M, Wolf E, Principles of Optics. 6-th ed. -Pergamon, 1986.
[14] Richards B, Wolf E. Electromagnetic diffraction in optical systems. II. Structure of the image field in an aplanatic system. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 1959; 253(1274): 358379. DOI: 10.1098/rspa. 1959.0200.
[15] Davidson N, Bokor N. High-numerical-aperture focusing of radially polarized doughnut beams with a parabolic mirror and a flat diffractive lens. Opt Lett 2004; 29(12): 13181320. DOI: 10.1364/OL.29.001318.
Author's information
Sergey S. Stafeev (b. 1985) received Master's degree in Applied Mathematics and Physics in Samara State Aerospace University (2009). He received his PhD in 2012. He is researcher of Laser Measurements laboratory at the Image Processing Systems Institute of RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Scientific interests: diffractive optics, FDTD method, near-field optics. E-mail: ser8ey.stafeev@8mail.com . ORCID: 0000-0002-7008-8007.
Anton Gennadyevich Nalimov (b. 1980), graduated from Samara State Aerospace University in February, 2003. Entered in postgraduate study in 2003 on speciality 05.13.18 "Mathematical Modeling and Program Complexes", finished it in 2006 with speciality 01.04.05 "Optics". A.G. Nalimov works on Technical Cybernetics department in Samara National Reseach University as an associate professor, works as a scientist in the Image Processing Systems Institute -Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Candidate in Physics and Mathematics, coauthor of 78 papers and 3 inventions. E-mail: anton@smr.ru .
Received February 26, 2018. The final version - April 20, 2018.
