CC BY
16
ОБРАТНЫЙ ПОТОК ЭНЕРГИИ ДЛЯ ОПТИЧЕСКОГО ВИХРЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ТОПОЛОГИЧЕСКИМ ЗАРЯДОМ
В.В. Котляр1'2, А.А. Ковалёв1'2, А.Г. Налимов1'2 1 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, Самара, Россия, 2 Институт систем обработки изображений РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия
Аннотация
Для произвольного оптического вихря с целым топологическим зарядом m и круговой поляризацией получены явные выражения для всех проекций векторов напряженности электрического и магнитного поля вблизи фокуса, а также выражения для интенсивности (плотности энергии) и потока энергии (проекции вектора Пойнтинга) в плоскости фокуса в апланатической оптической системе. Из полученных выражений следует, что вблизи оптической оси в плоскости фокуса оптического вихря c m > 2 и левой круговой поляризацией обратный поток энергии на самой оптической оси равен нулю и растет по модулю как степень 2(m - 2) радиальной координаты. Также из полученных формул следует, что вблизи плоскости фокуса обратный поток энергии вращается вокруг оптической оси.
Ключевые слова: обратный поток, оптический вихрь, вращающиеся пучки, вектор Умо-ва - Пойнтинга.
Цитирование: Котляр, В.В. Обратный поток энергии для оптического вихря с произвольным целым топологическим зарядом / В.В. Котляр, А.А. Ковалёв, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 3. - С. 408-413. - DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-3408-413.
Введение
Начиная с работы [1], стало известно об обратном потоке энергии при распространении светового поля в свободном пространстве. В местах обратного потока продольная компонента вектора Пойнтинга принимает отрицательные значения. Этому явлению в оптике посвящено относительно немного работ [1 -10]. В [1] показано, что при фокусировке плоской волны с линейной поляризацией с помощью апланатической системы в плоскости фокуса в области первого тёмного кольца интенсивности имеется область, в которой поток световой энергии направлен в обратную сторону по отношению к направлению распространения падающей плоской волны. В [2] теоретически было показано наличие отрицательного значения продольной составляющей вектора Пойнтинга на оптической оси у линейной комбинации двух пучков Бесселя т-го порядка с ТЕ- и ТМ-поляризациями. В [3] рассмотрена практически реализуемая ситуация (фокусировка с помощью апланатической системы) и теоретически и численно показано, что при фокусировке моды Лагерра-Гаусса порядка (0, т) = (0, 2) и левой круговой поляризации (ст = -1) на оптической оси в фокусе у продольной проекции вектора Пойнтинга имеются отрицательные значения. В [4] рассмотрена суперпозиция двух произвольных световых полей, у которых разные проекции волнового вектора на продольную ось. Показано, что у таких световых полей имеют место локальные области, в которых продольная компонента силы, действующей на микрочастицу, направлена против волнового вектора светового пучка. В [5] численно показано наличие обратного потока на оптической оси в фокусе вихревой металинзы. В [6] численно показано наличие обратного распространения энергии в векторном пучке Бесселя с дробным топологическим зарядом. Такой световой пучок фактически является линейной комби-
нацией счётного числа обычных мод Бесселя. В [7] теоретически получены выражения для плотности вектора Пойнтинга для векторных Х-пучков и необходимые условия для появления обратного потока энергии. В [8] численно показано наличие обратного течения энергии в непараксиальном ускоряющемся 2Б-пучке Эйри. В [9] теоретически с помощью локального волнового вектора рассматриваются условия, которые нужно наложить на световое поле, чтобы оно локально имело обратное распространение (или имел место обратный поток энергии). В [10] численно показано, что в вихревом поле с круговой поляризацией, сформированном спиральной зонной пластинкой, вблизи оптической оси имеет место обратный поток световой энергии. Кроме того, известны теоретические работы по изучению свойств вектора Пойнтинга и вектора орбитального углового момента в произвольных и вихревых скалярных и векторных световых полях [11 -14]. В [11] исследуются параксиальные вихревые пучки с несколькими фазовыми сингулярностями в поперечном сечении пучка. В [12] найдены спиральные траектории потока энергии для пучков Бесселя и Лагерра- Гаусса, а в [13] исследуется «оптический ток» (optical current) в вихревых пучках.
В данной работе получены общие формулы для проекций электрического и магнитного полей произвольного оптического вихря с целым топологическим зарядом и круговой поляризацией вблизи фокуса апланатической системы, а также выражения для интенсивности и проекций вектора Пойнтинга в плоскости фокуса. Теоретически показано, что при любом m > 2 вблизи оптической оси в плоскости фокуса оптического вихря с левой круговой поляризацией имеет место обратный поток энергии, который возрастает по модулю как степень радиальной переменной и вращается вокруг оптической оси по спирали при распространении.
Распределение интенсивности в плоскости фокуса оптического вихря
Рассмотрим с помощью формул Ричардса-Вольфа [1] интенсивность и поток энергии (проекции вектора Пойнтинга) в плоскости острого фокуса произвольного оптического вихря с круговой поляризацией, сфокусированного апланатической системой. Выражения для трёх проекций вектора напряжённости электрического поля оптического вихря в области фокуса были получены в [14]. Ниже мы приведём также три проекции вектора напряжённости магнитного поля, выражение для интенсивности и для трёх проекций вектора Пойнтинга. Для напряжённости электрического поля с круговой поляризацией E = Exex+ioEjiy, где ex, ey - единичные вектора вдоль декартовых координат, будем считать, что при ст = 1 - правая поляризация, а при ст=-1 - левая поляризация, следуя [14]. Для оптического вихря с топологическим зарядом m и произвольной функцией апо-дизации зрачка (действительная функция Am(8))
Am (8, Ф) = Am (8) exp (imcp), (1)
где (8, p) - углы, задающие точку на сходящемся сферическом волновом фронте, запишем проекции электрического вектора E вблизи фокуса в апланатиче-ской системе в цилиндрических координатах (r, p, z), следуя [14]:
Ex (r, p, z ) =
= -im+VmCP (10,m + Y+12,m+ 2e2ip + Y-12,m - 2^) ,
Ey (r, p, z)= (2)
= imeimp Km - Y+12,m+ 2^2iP + Y-^m-),
Ez (r,p,z) = -2iVmpp (y+I^ -Y-W^),
где
a
I0m = bJsin 8 cos12 8Am (8) eikz cos 8 x 0
x (1 + cos 8) Jm (x)d 8,
I1,m±1 = Bj sin2 8 cos1/2 8Am (8) eik cos 8 Jm±1(x)d8, (3)
I
= B J sin 8 cos12 8Am (8) eik
x (1 - cos 6) Jm±2( x)d 0,
где B = kf/2, a = arcsin (NA), x = kr sin 0, y± = (1 ± ст) / 2, Jv(x) - функция Бесселя, k - волновое число света, f -фокусное расстояние апланатической системы с числовой апертурой NA.
На основе (2) можно записать выражение для интенсивности в плоскости фокуса (z = 0) произвольного оптического вихря (1):
Im (, ф, Z = 0) =
= 2 [10,m + Y+ ((m+ 2 + 212m+1 ) + Y- ((m-2 + ^ )] . ^
Из (4) видно, что распределение интенсивности в плоскости фокуса имеет осевую симметрию, так как
не зависит от азимутального угла ф. И так как у интегралов Ipq, входящих в (3) и (4), второй индекс показывает порядок функции Бесселя, то из (4) можно заключить, что на оптической оси (r = 0) интенсивность будет равна нулю при любом m > 2. При m = 1,2 на оптической оси интенсивность оптического вихря с левой круговой поляризацией (ст = -1) будет отлична от нуля. Но в обоих случаях (m = 1,2) световой поток не будет распространяться вдоль положительного направления оптической оси: при m = 1 поток энергии на оси будет нулевой, а при m = 2 - обратный.
Продольная проекция вектора Пойнтинга в фокусе оптического вихря
Чтобы доказать наличие обратного потока в фокусе оптического вихря с произвольным целым топологическим зарядом m Ф 0, приведём выражения для трёх проекций вектора напряжённости магнитного поля:
Hx (r, ф, z) = -m CTl0,me'^ + 2/m+1y+ sin фГ^в'(m+1) ф +
+2im+У sin ф^е'(m-1)ф +
+imy e(m+2)p i
I+e M 2,m+2
-im y-ei(m-2)p
2(m +1)
kr 2(m -1)
I \,r
2,m-2
kr
Hy (r, p, z) = -im+%,meimp - 2im+1Y+ cos pl^e'
I1,m-1
-2im+'y- cos pl,^ e
,/(m+l)p _
i (m-1)p
(5)
■ m+1 i(m+ 2)p [ ^ 2(m +1)
-/ y+e I I
2,m+2 j I1,m+1
kr
-im+1Y-e'(m-2)p[,- 2m-1I
2,m-2 i 1,m-1
kr
Hz (r, p, z) = im+1 Y+e"(m+1)p|I2,m+1 + ^Io,m
2m
kr
-im+1 I3 m-1eim p (ст cos p + i sin p) + im+1Y-I2m-/
(m-1)p
где
(6)
I0 m = B J sin 8 cos3/2 8Am (8) eikzcos 8 x (1 + cos 8) Jm (x) d8,
o
a
J3m-1 = вJsin2 8 cos1/2 8Am (8)eikzcos8 x o
x (1 + cos 8) Jm-1( x)d 8,
a
I1,m = BJ sin3 8 cos1/2 8Am (8) x eikzcos8 Jm (x) d8, 0
a
72 m±2 = bJsin 8 cos3/2 8Am (8) eikzcos8 x o
x (1 - cos 8) Jm±2(x)d8,
Iw = B J sin2 8 cos1/2 8Am (8) eikz cos 8x o
x (1 - cos 8) Jm±1(x)d8.
С помощью (2), (3), (5) и (6) найдём продольную проекцию вектора Пойнтинга [1] S = c Re [E*H] / (8п)
Sz = — Re (ExH * - EH* ).
z v x y y *}■
(7)
с точностью до константы с/8п, где с - скорость света в вакууме, Яе(...) - действительная часть числа, в плоскости фокуса (2 = 0):
= 2I0,m (( + km ) +
+2Y+I2,m + 2 I I2,m+2 + I1,m
2(m +1)
kr
km+1 1 +
(8)
+2Y-12
2,m-2 I 2,m-2
In
7 2(m -1)
+ I1,m -
kr
11,m-1 I -
Из (8) видно, что продольный поток энергии имеет круговую симметрию. Наличие в (8) слагаемых с отрицательными знаками показывает, что в плоскости фокуса можно найти локальные области, в которых продольная проекция вектора Пойнтинга будет отрицательной. Интересно выяснить, может ли эта локальная область располагаться вблизи оптической оси.
Обратный поток энергии вблизи оптической оси в плоскости фокуса Из (8) следует, что при т = 1 продольный поток энергии оптического вихря с левой круговой поляризацией
S1z -= 2 [ Io,1 (lo,1 + I1,1 )+ I2,1 (I2,1 - I1,1 )]
(9)
на оптической оси (г = 0) равен нулю, а при т = 2 продольный поток для левой круговой поляризации
S 2z-= 2
I0,2 (I0,2 + I1,2 ) + 12,0 ^12,0 + I1,2 ^ I1,1 ^
(10)
на оптической оси обратный:
S2z- (r = 0, z = 0) =
= -2B2 И sin 0 cos12 0A2 (0)(1 - cos 0)d0
V (11) < 0.
То есть вблизи оптической оси поток энергии (10) распространяется в обратном направлении по отношению к падающему потоку энергии. При т = 3 вместо (10) получим:
S3 z -= 2
I0,3 (( + I1,3 )+ 12,1 ^12,1 + I1,3 - krI1,2 ]
-(12)
Из (12) следует, что вблизи оптической оси (кг << 1) в плоскости фокуса имеет место обратный поток энергии, который на самой оси равен нулю и возрастает по модулю квадратично с ростом радиальной переменной г:
S3,-(r -0).-«Ж,
J sin2 0 cos12 04 (0) (1 - cos 0)d0
(13)
< 0.
Из сравнения (11) и (13) видно, что обратный поток при т = 3 примерно в 3-4 меньше, чем для т = 2.
Далее приведём выражение, аналогичное (11) и (13), для оптического вихря с левой круговой поляризацией и произвольным целым топологическим зарядом. Вблизи оптической оси (кг << 1) в плоскости фокуса для продольной проекции вектора Пойнтинга имеет место приближённое выражение: 2 В2 (кг )2(т-2)
Smz -( - 0)«-
2(m-2)
[(m - 2)!]2
(14)
sin
'0 cos12 0Am (0)(1 - cos 0)d0
< 0.
Из (14) видно, что при любом целом m > 2 на оптической обратный оси поток равен нулю, а вблизи оси с ростом радиальной переменной обратный поток растёт по модулю как степень 2(m - 2) радиальной переменной.
Поперечные составляющие вектора Пойнтинга в плоскости фокуса Можно показать, что поперечный поток энергии (как прямой, так и обратный) у оптического вихря с левой круговой поляризацией вблизи плоскости фокуса вращается. Для этого найдём поперечные составляющие вектора Пойнтинга:
Sx- = -Öm (r) sin ф, = ßm (r) cos ф , (15)
где
Qm (Г ) = (10,m + 12,m-2 )(I2,m-1 + I3,m-1 ) +
+2I fI -7 + 2m-!)I 1
-1 M 0,m 2,m-2 ^ ^ !.m-1 I'
(16)
Из (15) видно, что в плоскости фокуса поток энергии вращается вокруг оптической оси по часовой или против часовой стрелки, в зависимости от знака функции Qm(г). Вблизи плоскости фокуса поток энергии будет вращаться по спирали. Можно показать, что для т = 2 и т = 3 и левой круговой поляризации обратный поток энергии будет распространяться вдоль оптической оси по спирали, вращаясь против часовой стрелки. Например, при т = 2 вместо (16) получим:
Q2(r ) = (10,2 + I2,0 )(12,1 + I3,1 ) +
+2I1,1 | I0,2 - 12,0 + krI1,1 I.
(17)
Заменяя в (17) функции Бесселя, входящие в интегралы (3) и (6), первыми членами ряда Тейлора, вблизи оптической оси (kr << 1) вместо (17) получим приближённое выражение:
Q2(r ^ 0) *
a
* (kkr)B2 J sin 0 cos1/2 0A2 (0)(1 - cos 0)d0 x (18)
0
a
xJ sin3 0 cos12 0A2 (0) d0 > 0.
0
При a < n/2 и A2(0) > 0 выражение (18) положительное, и, значит, поперечный поток энергии для оп-
тического вихря с т = 2 вблизи оптической оси вращается против часовой стрелки.
Моделирование ¥ВТВ-методом дифракции оптического вихря на зонной пластинке Френеля
Мы провели моделирование острой фокусировки оптического вихря зонной пластинкой БОТО-методом. На рис. 1 показаны распределения фазы составляющих Ех и Еу падающего вихревого светового поля при т = 2 и т = 3 с левой круговой поляризацией, а также фаза зонной пластинки Френеля (черные кольца - фаза 0, белые кольца - фаза п). Зонная пластинка размером 10 х 10 мкм в материале с показателем преломления 1,5 и с глубиной бинарного рельефа 532 нм фокусиру-
ет падающее поле с длиной волны X = 532 нм на расстоянии X. На рис. 2 показаны распределения продольной составляющей вектора Пойнтинга в фокальной плоскости (г=X) при т = 2 (рис. 2а) и т = 3 (рис. 26), а также сечения продольной составляющей вектора Пойнтинга вдоль оси х (рис. 2в) и распределения интенсивности при т = 2 (рис. 2г) и т = 3 (рис. 2д). Рис. 2а - д подтверждают наличие обратного потока световой энергии вблизи фокуса и оптической оси (или на самой оптической оси при т = 2). Стрелки на рис. 2г, д показывают прямой и обратный поток энергии вблизи оптической оси, вращающийся вокруг оптической оси по спирали против часовой стрелки.
а)
1
г)
Рис. 1. Распределения фазы составляющих Ех (а, в) и Еу (б, д) падающего поля при т = 2 (а, б) и при т = 3 (в, г) соответственно, а также фаза зонной пластинки Френеля,
осуществляющей острую фокусировку оптического вихря (д) 11,21 X \хт
а)
Б2, ам. 12 101
т=2 / \.Л / V /у'
- \ \ у \1 / „ .\т=3 X, \ш
7,78
А —
Чад & Л щ
■у 1 V
/^Л ^ / к
} // / М^ч
/ / л \ \ Г7г п{ у^ \
// //Г / /Ку \ Т ТУ \ \
-2,61 0,5 1,0
\ М / Л\ \ А / А / ^ I А / а Я\
А
1 V
\ 1/ ^ IX- * А Г ) %Л I V { Л^ л__,
и
к I
в) -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 г) \'/) 7» / /К у \ Т Ту \ \1 д)
Рис. 2. Распределения продольной составляющей вектора Пойнтинга при т = 2 (а) и т = 3 (б) в фокальной плоскости (г = X), сечения продольной составляющей вектора Пойнтинга вдоль оси х при т = 2 (сплошная кривая) и т = 3 (пунктирная кривая)(в), и распределения интенсивности при т = 2 (г) и т = 3 (д), стрелками показаны поперечные направления вектора Пойнтинга. Размер областей на рисунках г, д равен 2*2 мкм
круговой поляризацией, сфокусированного идеальной
Заключение
В работе получены общие формулы для интенсивности и потока энергии вблизи фокуса для произвольного оптического вихря с топологическим зарядом т и
сферической линзой (апланатической системой). На основе этих формул было показано, что при т > 2 и левой круговой поляризации (а = -1) вблизи оптической оси световая энергии распространяется по спирали в обрат-
ном направлении. Причём на самой оси при m > 2 обратный поток равен нулю, а вблизи оси растёт по модулю с ростом радиальной переменной как её 2(m - 2)-я степень. Поведение обратного потока световой энергии вдоль спирали вокруг оптической оси вблизи фокуса был подтверждено FDTD-моделированием острой фокусировки оптического вихря с круговой поляризацией с помощью фазовой зонной пластинки Френеля с числовой апертурой, близкой к 1. Понятно, что для оптических вихрей с отрицательным топологическим зарядом m < 0 обратный поток энергии вблизи оптической оси и вблизи фокуса будет иметь место для правой круговой поляризации (ст = 1). Полученные соотношения позволяют быстро и качественно анализировать поведение интенсивности и потока энергии произвольного оптического вихря вблизи острого фокуса. Микрочастица, захваченная близи оптической оси такого острого фокуса, будет двигаться в обратном направлении, демонстрируя эффект «оптического трактора» [15, 16].
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант 18-19-00595) в частях «Продольная проекция вектора Пойнтинга в фокусе оптического вихря» и «Обратный поток энергии вблизи оптической оси в плоскости фокуса», Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26) в части «Распределение интенсивности в плоскости фокуса оптического вихря», Российского фонда фундаментальных исследований (грант 16-47-630483) в части «Моделирование FDTD-методом дифракции оптического вихря на зонной пластинке Френеля».
Литература
1. Richrds, B. Electromagnetic diffraction in optical systems II. Structure of the image field in an aplanatic system / B. Richrds, E. Wolf // Proceedings of the Royal Society A. -1959. - Vol. 253, Issue 1274 - P. 358-379. - DOI: 10.1098/rspa.1959.0200.
2. Novitsky, A.V. Negative propagation of vector Bessel beams / A.V. Novitsky, D.V. Novitsky // Journal of the Optical Society of America A. - 2007. - Vol. 24, Issue 9. -P. 2844-2849. - DOI: 10.1364/J0SAA.24.002844.
3. Monteiro, P.B. Angular momentum of focused beams: Beyond the paraxial approximation / P.B. Monteiro, P.A.M. Neto, H.M. Nussenzveig // Physical Review A. - 2009. - Vol. 79. -033830. - DOI: 10.1103/PhysRevA.79.033830.
4. Sukhov, S. On the concept of "tractor beams" / S. Sukhov, A. Dogariu // Optics Letters. - 2010. - Vol. 35, Issue 22. -P. 3847-3849. - DOI: 10.1364/OL.35.003847.
5. Котляр, В. В. Формирование и фокусировка векторного оптического вихря с помощью металинзы / В.В. Котляр, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 5. - P. 645-653. - DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-5645-654.
6. Mitri, F.G. Reverse propagation and negative angular momentum density flux of an optical nondiffracting nonparax-ial fractional Bessel vortex beam of progressive waves / F.G. Mitri // Journal of the Optical Society of America A. -2016. - Vol. 33, Issue 9. - P. 1661-1667. - DOI: 10.1364/JOSAA.33.001661.
7. Salem, M.A. Energy flow characteristics of vector X-wave / M.A. Salem, H. Bagci // Optics Express. - 2011. - Vol. 19, Issue 9. - P. 8526-8532. - DOI: 10.1364/OE.19.008526.
8. Vaveliuk, P. Negative propagation effect in nonparaxial Airy beams / P. Vaveliuk, O. Martinez-Matos // Optics Express. - 2012. - Vol. 20, Issue 24. - P. 26913-26921. -DOI: 10.1364/OE.20.026913.
9. Berry, M.V. Quantum backflow, negative kinetic energy, and optical retro-propagation / M.V. Berry // Journal of Physics A: Mathematical & Theoretical. - 2010. - Vol. 43, Issue 41. -415302. - DOI: 10.1088/1751-8113/43/41/415302.
10. Стафеев, С. С. Поведение продольной компоненты вектора Пойнтинга при острой фокусировке оптических вихрей с круговой поляризацией / С.С. Стафеев, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 2. - С. 190-196. -DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-2-190-196.
11. Bekshaev, A.Yu. Transverse energy flow in vectorial fields of paraxial beams with singularities / A.Yu. Bekshaev, M.S. Sos-kin // Optics Communications. - 2007. - Vol. 271, Issue 2. -P. 332-348. - DOI: 10.1016/j.optcom.2006.10.057.
12. Berry, M.V. Exact and geometrical optics energy trajectories in twisted beams / M.V. Berry, K.T. McDonald // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2008. -Vol. 10, Issue 3. - 035005. - DOI: 10.1088/14644258/10/3/035005.
13. Berry, M.V. Optical currents / M.V. Berry // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2009. - Vol. 11, Issue 9. - 094001. - DOI: 10.1088/1464-4258/11/9/094001.
14. Chen, B. Tight focusing of elliptically polarized vortex beams / B. Chen, J. Po // Applied Optics. - 2009. - Vol. 48, Issue 7. - P. 1288-1294. - DOI: 10.1364/AO.48.001288.
15. Dogariu, A. Optically induced 'negative forces' / A. Dogariu, S. Sukhov, J.J. Saenz // Nature Photonics. - 2012. - Vol. 7, Issue 1. - P. 24-27. - DOI: 10.1038/nphoton.2012.315.
16. Shvedov, V. A long-range polarization-controlled optical tractor beam / V. Shvedov, A.R. Davoyan, C. Hnatovsky, N. En-gheta, W. Krolikowski // Nature Photonics. - 2014. - Vol. 8, Issue 11. - P. 846-850. - DOI: 10.1038/nphoton.2014.242.
Сведения об авторах
Сведения об авторах Котляр Виктор Викторович и Налимов Антон Геннадьевич см. стр. 398 этого выпуска.
Ковалёв Алексей Андреевич 1979 года рождения, в 2002 году окончил Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (ныне Самарский университет) по специальности «Прикладная математика». Доктор физико-математических наук (2012 год), работает старшим научным сотрудником лаборатории лазерных измерений ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. В списке научных работ более 150 статей. Область научных интересов: математическая теория дифракции, фотонно-кристаллические устройства. E-mail: [email protected] .
ГРНТИ: 29.31.15
Поступила в редакцию 29 марта 2018 г. Окончательный вариант - 10 мая 2018 г.
BACKWARD FLOW OF ENERGY FOR AN OPTICAL VORTEX WITH ARBITRARY INTEGER
TOPOLOGICAL CHARGE
V.V. Kotlyar 12, A.A. Kovalev h2, A.G. Nalimov 12 1 Samara National Research University, Samara, Russia, 2 Image Processing Systems Institute оf RAS, - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS, Samara, Russia
Abstract
We analyze the sharp focusing of an arbitrary optical vortex with the integer topological charge m and circular polarization in an aplanatic optical system. Explicit formulas to describe all projections of the electric and magnetic fields near the focal spot are derived. Expressions for the near-focus intensity (energy density) and energy flow (projections of the Pointing vector) are also derived. The expressions derived suggest that for a left-hand circularly polarized optical vortex with m > 2, the on-axis backward flow is equal to zero, growing in the absolute value as a power 2(m - 2) of the radial coordinate. These relations also show that upon the negative propagation, the energy flow rotates around the optical axis.
Keywords: backward energy flow, optical vortex, rotating beams, Umov-Poynting vector.
Citation: Kotlyar VV, Kovalev AA, Nalimov AG. Backward flow of energy for an optical vortex with arbitrary integer topological charge. Computer Optics 2018; 42 (3): 408-413. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-3 -408-413.
Acknowledgements: The work was partially funded by the Russian Science Foundation under grant No. 18-19-00595 ("Longitudinal projection of the Pointing vector in the focus") and ("Backward near-axis energy flow in the focal plane"), Federal Agency for Scientific Organizations under contract No. 007-GZ/Ch3363/26 ("Intensity distribution in the vortex beam focal plane"), and the Russian Foundation for Basic Research under grant No. 16-47-630483 ("FDTD-aided simulation of diffraction of an optical vortex by a Fresnel zone plate").
References
[1] Richards B, Wolf E. Electromagnetic diffraction in optical systems II. Structure of the image field in an aplanatic system. Proc Roy Soc A 1959; 253(1274): 358-379. DOI: 10.1098/rspa.1959.0200.
[2] Novitsky AV, Novitsky DV. Negative propagation of vector Bessel beams. JOSA A 2007; 24(9): 2844-2849. DOI: 10.1364/JOSAA.24.002844.
[3] Monteiro PB, Neto PAM, Nussenzveig HM. Angular momentum of focused beams: Beyond the paraxial approximation. Phys Rev A 2009; 79: 033830. DOI: 10.1103/PhysRevA.79.033830.
[4] Sukhov S, Dogariu A. On the concept of "tractor beams." Opt Lett 2010; 35(22): 3847-3849. DOI: 10.1364/OL.35.003847.
[5] Kotlyar VV, Nalimov AG. A vector optical vortex generated and focused using a metalens. Computer Optics 2017; 41(5): 645-654. DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-5-645-654.
[6] Mitri FG. Reverse propagation and negative angular momentum density flux of an optical nondiffracting nonparax-ial fractional Bessel vortex beam of progressive waves. JOSA A 2016; 33(9): 1661-1667.
[7] Salem MA, Bagci H. Energy flow characteristics of vector X-wave. Opt Express 2011; 19(9): 8526-8532. DOI: 10.1364/OE.19.008526.
[8] Vaveliuk P, Martinez-Matos O. Negative propagation effect in nonparaxial Airy beams. Opt Express 2012; 20(24): 26913-26921. DOI: 10.1364/OE.20.026913.
[9]
[10]
[11]
[12]
Berry MV. Quantum backflow, negative kinetic energy, and optical retro-propagation. J Phys A: Math Theor 2010; 43(41): 415302. DOI: 10.1088/1751-8113/43/41/415302. Stafeev SS, Nalimov AG. Longitudional component of the Poynting vector of a tightly focused optical vortex with circular polarizartion. Computer Optics, 2018; 42(2): 190196. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-2-190-196. Bekshaev AYu, Soskin MS. Transverse energy flow in vectorial fields of paraxial beams with singularities. Opt Commun 2007; 271(2): 332-348. DOI: 10.1016/j.optcom.2006.10.057. Berry MV, McDonald KT. Exact and geometrical optics energy trajectories in twisted beams. J Opt A: Pure Appl Opt 2008; 10(3): 035005. DOI: 10.1088/1464-4258/10/3/035005.
[13] Berry MV. Optical currents. J Opt A: Pure Appl Opt 2009; 11(9): 094001. DOI: 10.1088/1464-4258/11/9/094001.
[14] Chen B, Po J. Tight focusing of elliptically polarized vortex beams. Appl Opt 2009; 48(7): 1288-1294. DOI: 10.1364/AO.48.001288.
[15] Dogariu A, Sukhov S, Saenz JJ. Optically induced 'negative forces'. Nat Photon 2012; 7(1): 24-27. DOI: 10.1038/nphoton.2012.315.
[16] Shvedov V, Davoyan AR, Hnatovsky C, Engheta N, Krolikowski W. A long-range polarization-controlled optical tractor beam. Nat Photon 2014; 8(11): 846-850. DOI: 10.1038/nphoton.2014.242.
Author's information
The information about authors Victor Victorovich Kotlyar and Anton Gennadyevich Nalimov you can find on page 400 of this issue.
Alexey Andreevich Kovalev (b. 1979), graduated (2002) from Samara National Research University, majoring in Applied Mathematics. He received his Doctor in Physics & Maths degree in 2012. He is a senior researcher of Laser Measurements laboratory at IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. He is a co-author of more than 150 scientific papers. His current research interests are mathematical diffraction theory and photonic crystal devices.
Received March 29, 2018. The final version - May 10, 2018.
