CC BY
39
УДК 517.518.45
Б.П. Осиленкер, А.Д. Нахман*
ФГБОУ ВПО «МГСУ», *ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
ПОВЕДЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ И СОПРЯЖЕННЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТОЧКАХ ЛЕБЕГА
Изучено и представлено поведение семейства операторов f ^ ил^), определяемых экспоненциальными методами суммирования рядов Фурье Лк(Л) = ехр(-Лиа(|к|)), к = 0, ±1, ..., а > 0. При некоторых условиях на функцию и е С2(0, +м) установлена сходимость ил(^ ^ ^ ^ +0) в каждой точке Лебега. Аналогичные результаты (сходимость средних к сопряженной функции) установлены и в случае суммирования сопряженных рядов Фурье.
Ключевые слова: выпуклые, кусочно-выпуклые последовательности, линейные средние рядов Фурье, сходимость в точках Лебега.
1. Основной результат. Пусть
— класс 2п-периодических суммируемых на [-п, п] функций, С2п — класс 2п-периодических непрерывных функций, С2(0, +да) — класс функций, обладающих непрерывными на (0, +да) вторыми производными. В настоящей работе рассматриваются экспоненциальные средние
B.P. Osilenker, A.D. Nakhman*
MGSU, *TSTU
BEHAVIOUR OF EXPONENTIAL MEANS OF FOURIER SERIES AND CONJUGATED FOURIER SERIES IN LEBESGUE POINTS
In the present paper the researches consider the behavior of the class of operators defined by exponential summing methods of Fourier series. The authors examine exponential means of certain Fourier Series. The convergence in Lebesgue points is investigated. The operators determined by the convergence are known as the means of Poisson — Abel and they play the substantial role in different questions of the analysis. Though even the most simple and natural extension is not fully investigated.
Conclusions of the considered theorem follow from the results for general infinite convex or piecewise convex summing sequences; the given results are also of individual interest. The analogue of the theorem is specified for exponential means of conjugate Fourier series. The examples of exponential means are given, which satisfy the hypotheses of the considered theorems and are also of individual interest.
The obtained results are valid, in particular, for the generalized Poisson means. The authors also give an example of a polynomial-exponential method of summation.
Key words: convex, piecewise convex sequences, linear means of Fourier series, convergence in Lebesgue points.
1. The main result. Let — be a class of 2n-periodic summed up to [-n, n] functions, C2n — a class of 2n-periodic continuous functions, C2(0, +w) — a class of functions possessing continuous on (0, +w) second derivatives. In the given work the authors examine exponential means
CO
Uh(f) = U(f,x; u, a; h) = £ exp(-hua(\k\))ck(f)exp(ikx) (1)
k=—<x>
54
© Осиленкер Б.П., Нахман А.Д., 2014
рядов Фурье sf] функций f е L2n. В определении (1)
1
of Fourier Series s[f of the functions f е L2n. In determination (1)
2п
— коэффициенты Фурье функции / а > 0 — произвольный фиксированный параметр, функция иеС2(0, +да) принимает положительные значения, и(0) = 0. Одна из основных задач, рассматриваемых в настоящей работе, — изучение поведения семейства операторов / ^ ии (/) при И ^ +0. А именно, сходимость (1) в точках Лебега, т.е. в точках х, обладающих свойством
Ck (f) = — J f (t )exP(-ikt)dt
(2)
— the Fourier coefficients of the function f a > 0 — is an arbitrary settled parameter, the function ueC2(0, +o>) takes up positive values, u(0) = 0. One of the main tasks considered in the present paper is examination of the behavior of the class of operators f ^ Uh (f) at h ^ +0. That means we will investigate the convergence (1) in Lebesgue points, i.e. in the points x, which possess the feature
f| f (* + 0 - f (x)\dt = n0.
Точки Лебега, как известно [1, с. 111], расположены почти всюду для каждой f е L2n.
Операторы, определяемые соотношением (1), при a = 1 и u(k) = k, известны как средние Пуассона — Абеля [1, с. 160—165] и играют значительную роль в различных вопросах анализа. Однако не до конца изучено [2] даже наиболее простое и естественное обобщение
Lebesgue points, as is known [1, p. 111], are situated almost everywhere for each f e L2n.
The operators determined by the convergence (1) at a = 1 and u(k) = k, are known as the means of Poisson — Abel [1, p. 160—165] and they play the substantial role in different questions of the analysis. Though even the most simple and natural extension is not fully investigated [2]
да
U(f, x; a; h) = £ exp (-h | k |a) ck (f )exp(ikx)
(3)
средних Пуассона — Абеля на случай of the Poisson — Abel means in case of
любого a > 0. any a > 0.
Теорема 1.1. Пусть f = L2n и при Theorem 1.1. Let f = L2n and at each
каждом h > 0 h > 0
exp (-hua (x))ln x = 0(1), x ^+<x>. (4)
1) Если u"(x) < 0 при всех 1) If u''(x) < 0 at all x е (0, +да) and x е (0, +да) и 0 < a < 1, то соотношение 0 < a < 1, then the formula
lim U(f, x; u, a; h) = f (x) (5)
имеет место в каждой точке Лебега occurs at each Lebesgue point of the функции f и равномерно по х для вся- function f and uniformly over х for each
кой f е C2n. f е C2n.
k=-да
2) Результат (5) сохраняется для а > 1, если (в дополнение к (4)) существует постоянная С = С , такая, что
и, а'
при всех к > 0, х е (1, +<х>)
2) The result (5) remains for a > 1, if (in addition to (4)) there exists permanent C = C , so that at all
A u, a7
h > 0, x e (1, +<x>)
и функция
xhexp(-hua(x))ua-1(x)| u'(x) |< Cu a, and the function V = V (x) = a hu а (u ')2 - (a- 1)(u ')2 - uu"
(6)
(7)
имеет на (0, +<х>) конечное число нулей.
Утверждение теоремы будет вытекать (п. 3) из результатов для общих бесконечных выпуклых или кусочно-выпуклых суммирующих последовательностей (п. 2), которые имеют и самостоятельный интерес. В п. 4 установлен аналог теоремы 1.1 для экспоненциальных средних сопряженных рядов Фурье. В п. 5 приведены примеры экспоненциальных средних, удовлетворяющие условиям теорем пп. 1 и 4 и представляющие также самостоятельный интерес.
2. Вспомогательные утверждения. Рассмотрим бесконечную произвольную последовательность
has for (0, +<x>) finite number of zeros.
Conclusions of the theorem will follow (pt. 3) from the results for general infinite convex or piecewise convex summing sequences (pt. 2); the given results are also of individual interest. In point 4 the analogue of the theorem 1.1 is specified for exponential means of conjugate Fourier series. In point 5 the examples of exponential means are given, which satisfy the hypotheses of the theorems pts. 1 and 4 and are also of individual interest.
2. Supporting statements. Let's consider infinite arbitrary sequence
Л = [Хt(h), к = 0,1, ...},
(8)
определяемую значениями параметра к > 0, и соответствующее семейство линейных средних ряда Фурье произвольной f е 12п
defined by the parameter value h > 0, and the corresponding classes of linear means of the Fourier Series of the arbitrary f e L2n
Uh(f) = U(f, x; X, h) = £ X^(h)ck(f )exp(ikx).
Последовательность (8) называется выпуклой (вогнутой), если вторые конечные разности Л2к = Л2^(к) > 0 (л2 < 0), к = 0, 1, ... Последовательность (8) кусочно-выпукла, если Л2к меняет свой знак конечное число раз.
Поведение линейных средних рядов Фурье, определяемых выпуклыми конечными последовательностями, изучалось в [3]. Исследование [3] положило начало целой серии результатов. В [4, 5] для конечных последовательностей (8)
The sequence (8) is called convex (concave) if second finite differences A2; = A\(h) > 0 (Aj[ < 0), k = 0, 1, ... The sequence (8) is piece-wise convex if A2 changes its sign finite number of times.
The behavior of the linear means of the Fourier Series defined by convex finites of the sequences have been investigated in [3]. The investigation [3] gave rise to a series of results. In [4, 5] for finite sequences (8) sufficient con-
к=—x
установлены достаточные условия, обеспечивающие ^-суммируемость ряда Фурье s[f функции f е Z2n к значению функции в каждой точке Лебега. В близком направлении получены результаты [6, 7]. Так, в работе [7] условия А.В. Ефимова [5] распространены на случай бесконечных суммирующих последовательностей. Глубокая связь вопросов абсолютной сходимости ряда Фурье «суммирующей функции» и порожденных ею линейных методов суммирования s[f установлена Р.М. Тригубом [8]. Значительная часть указанных результатов может быть перенесена на случай суммируемости рядов Фурье функций из весовых Лебеговых пространств [9].
В следующем утверждении некоторые результаты [3] распространяются на «полунепрерывный» случай (8). Отметим, что предлагаемые условия на суммирующую последовательность (8) обеспечивают регулярность соответствующих методов суммирования [10, с. 79].
Лемма 2.1. Пусть последовательность (8) выпукла (вогнута) и ее члены удовлетворяют условиям
ditions have been estimated, which provide A,-summability of Fourier series s[f of the function f e L2n to function value in each Lebesgue point. In the close direction the results [6, 7] are obtained. So, in [7] the conditions of A.V. Efimov [5] are applied to the case of infinite summarizing sequences. The deep connection of the questions of absolute convergence of the Fourier series of "summarizing function" and linear summability methods s[f generated by it is established by R.M. Trigub [8]. The substantial part of the specified results can be transferred to the case of Fourier series ad-ditivity of the functions from weight Lebesgue spaces [9].
In the next statement come results [3] are applied to "semi-continuous" case (8). Lets note that the proposed conditions for summing sequence (8) provide the regularity of the corresponding summing methods [10, p. 79].
Lemma 2.1. Let the sequence (8) be convex (concave) and its members satisfy the conditions
и
X0(h) -1, lim Xk(h) = 1, k = 1,2, and
(9)
Xk(h)= о
1
ln k
• да.
Тогда соотношение
Then the relation
lim U(f, x; X, h) = f (x)
(10)
(11)
имеет место в каждой точке Лебега функции/и равномерно по х для всякой
/ ^ С2П '
Утверждение сохраняется, если последовательность (8) кусочно-выпукла, выполнено условие (10) и существует постоянная С (зависящая лишь от X), такая, что при всех Н > 0, к = 1, 2, ...
occurs in each Lebesgue point of the function f and is uniformly over along x for each f e C2n.
The statement preserves if the sequence (8) is piecewise convex, the requirement (10) is fulfilled and the constable C exists (which depend only on X) so that at all h > 0, k = 1, 2, ...
|Xt(h) + k\Д Xк(h)\ < C.
(12)
Доказательство. Пусть фх(0 = =fx+t) - fx). Будем считать для определенности, что последовательность (8) выпукла. Воспользовавшись интегральной формой (1) коэффициентов Фурье и преобразованием Абеля [1, с. 15], запишем
Proof. Let 9x(0 = fx+t) - fx). Assume for definiteness the sequence (8) is convex. Applying the integral formula (1) of Fourier coefficients and Abelian transformation [1, p. 15], let us write down
U( f, x; A, h) - f (x) = - ^
П NI
П N(h ) J
Ф x (t ) Dn (t )dt +
(13)
N-2 *
+NA V:(h) J Фx (t) Fn-i (t)dt + X (k + !)A2 Ak (h) J Фx (t)Fk (t)dt '
k=0
где Dk(t) и Fk(t) — соответственно, where Dk(t) and Fk(t) — respective-
ядро Дирихле и ядро Фейера [1, с. 86, ly Dirichlet kernel and Fejer kernel
148]. Согласно классическим резуль- [1, p. 86, 148]. According to classical re-
татам [1, с. 113, 151] для любого e > 0 suits [1, p. 113, 151] for any e > 0 in each
в каждой точке Лебега имеют место Lebesgue point occur relations соотношения
{ф x (t ) Dk (t) dt
< С eln k и
|фx (t ) Fk (t ) dt
< С e
при всех значениях к, больших некоторого V = у(в, х), постоянная С не зависит от е и к. Учитывая (10), оценки \Бк (г)| < к +1 и ^ (г) < к + 1 [1, с. 86, 148] и считая, что N - 1 > V в (12), получим теперь, что модуль выражения, записанного под знаком предела в (13), не превосходит суммы
'")е+
at all the values of k, which are greater than some v=v(s, x), constant С doesn't depend on s and k. Taking into account (10), estimations \Dk (t)| < k +1 h Fk (t) < k + 1 [1, p. 86, 148] and assuming that N - 1 > v in (12), we will now obtain that expression modulus written under limit sign in (13), doesn't exceed the sum
С (1 + N\A X n h)\)
v n œ
(к +1)2 |A2Xk (h)| ||Фх (t)\dt + С s £ (k + 1)| A2 Xk (h )|.
(14)
Далее, согласно (9), Л2Ак(к) ^ 0 при к ^ +0 и к = 0, 1, ..., V. Кроме того, для выпуклой последовательности при каждом к > 0 имеют место соотношения [1, с. 155—156]
Further, according to (9), A2Ak(h) ^ 0 at h ^ +0 h k = 0, 1, ..., v. Moreover for convex sequence at each h > 0 the relations occur [1, p. 155—156]
Xn (h) = o(1), N A XN (h) = o(1), N ^
(15)
и (в силу преобразования Абеля)
and (by reason of Abelian transformation)
£ (k +1)|(h)| = Xv+2(h) + (v + 2)ДXv+1(h). (16)
k=v+1
Теперь из (13), (14) вытекает, что Now from (13), (14) follows
lim \U(f, x; X, h) - f (x)| < Сe,
откуда, ввиду произвольности e, и сле- as a reason of e randomness follows the
дует выполнимость соотношения (11) в satisfiability of the correlation (11) in
каждой точке Лебега. each Lebesgue point.
Далее, согласно преобразованиям Further according to transforma-
типа (13) и соотношениям (10), (15), tions of the type (13) and transforma-
(16) для нормы ||Uh|| каждого из опера- tions (10), (15), (16) for the norm ||Uh||
торов Ux: f ^ Uhf), действующего из of each operator Ux: f ^ Uh(f), acting
C2n в C2n справедлива оценка from C2n in C2n the estimate is true
рк\\ = sup \Uh(f)||< sup i-L Г\Dk(t)|dt + J\Fk(t)|dt|x
f: ll/ll<1 k=2,3,... [ 1Пk Jn Jn
[l + £(k +1)1 Д2Xk(h)|}< С,
где постоянная С зависит лишь от X. where the constant С depends only
Следовательно, равномерная по х схо- from X. Consequently the uniform con-
димость (11) имеет место в силу теоре- vergence over х (11) occurs as a result
мы Банаха — Штейнгауза. of Banach — Steinhaus theorem.
Если же последовательность L And if the sequence L is piecewise
кусочно-выпукла так, что A2Xk(h) со- convex so that A2Xk(h) preserves its
храняет свой знак при m < k < n для не- sign at m < k < n for some true m and n,
которых натуральных m и n, то сумма ® , 2 ,
ю the sum ^(k +1) | Д Xk (h) | is equal to
^(k +1) | ДД Xk (h) | равна конечному k=0
k= о finite number (the number of se-
числу (числу перемен знаков последова- quence sign changes |Д2Xk{h)} of
тельности {Д2Хk(h)} блоков-слагаемых blocks-addents of the type (16). We
типа (16). Остается применить к получен- need only to apply the estimation (12)
ным слагаемым оценку (12) и повторить to the obtained addends and repeat the
рассуждения, использованные в случае proofs used in case of convex (con-
выпуклой (вогнутой) последовательно- cave) sequence (8). Lemma is fully
сти (8). Лемма полностью доказана. proved.
3. Доказательство теоремы 1.1. 3. Theorem proof 1.1. Assume
Пусть теперь now
X(x,h) = exp(-hua(x)),X0(h) = 1, X,(h) = X(х, h)\x=k, k =1, 2, ... (17)
В этом случае, согласно (17), In this case according to (17),
11 (х, h) = ah exp (-hu a (x) )u a-2( x)V (x), (18)
где V(x) определена соотношением (7). where V(x) is defined by the relation (7).
Если и"(х) < 0 и 0 < а < 1, то в силу (18), последовательность (17), оказывается выпуклой, а значит, к ней применима лемма 2.1, при этом условие (10) выполнено в виде (4). Первая часть теоремы 1.1 доказана.
Для доказательства второй части с помощью теоремы Лагранжа (примененной дважды при вычислении вторых конечных разностей) сформулированное условие на функцию У(х) в (7) обеспечивают кусочную выпуклость последовательности (17). Условие же (6) является достаточным для выполнимости соотношения (12). Этим и заканчивается доказательство теоремы 1.1.
4. Средние сопряженных рядов Фурье. В условиях п. 1, наряду с (1), рассмотрим экспоненциальные средние
If u"(x) < 0 h 0 < a < 1 then as a reason of (18), the sequence (17), turns to be convex, which means, the lemma 2.1 is applied to it, at that the condition (10) is satisfied in the form (4). The first part of the theorem 1.1 is proved.
In order to prove the second part as it is easy to check with the help of Lagrange theorem (applied twice in the process of second finite differences calculation) the formulated condition for the function V(x) in (7) provide piece-wise convexity of the sequence (17). And the condition (6) is enough for satisfiability of the relation (12). The proof of the theorem 1.1 ends with it.
4. Means of conjugate Fourier series. In the conditions of point 1 together with (1) let us consider the exponential means
~ ~ да
Uh (f ) = U (f, x; u, a; h) = -i £ exp (-hu a (| к |) ) (sgn k) ck (f)exp(ikx) (19)
сопряженного ряда Фурье и сопряженную функцию
of the conjugate Fourier series and conjugate function
~( x) = -1 lim 2
r t
J f (x + t)ctg—dt.
E<|Î|<n
(20)
Как известно, эта функция существует почти всюду для каждой/ е Ь2п [1, т. 1, с. 402]. Следовательно, множество О тех точек Лебега, в которых существует (20), расположено почти всюду. Имеет место следующий аналог теоремы 1.1.
Теорема 4.1. Пусть / е Ь2% и при каждом к > 0 выполнено условие (4).
1) Если и"(х) < 0 при всех хе(0, +<х>) и 0 < а < 1, то соотношение
As it is known this function exists almost everywhere for each f e L2n [1, vol. 1, p. 402]. Consequently, the set Q of such Lebesgue point where (20) exists is situated almost everywhere. The following analogue of the theorem 1.1 occurs.
Theorem 4.1. Let f e L1% and at each h > 0 the condition (4) is satisfied.
1) If u''(x) < 0 at all xe(0, ■+») and 0 < a < 1, the relation
lim U( f, x; u, a; h ) = f (x)
(21)
имеет место в каждой точке Лебега х е О функции /.
2) В условиях п. 2 теоремы 1.1 результат (21) сохраняется для а > 1.
occurs at each Lebesgue point x e Q of the function A.
2) In the conditions point 2 of the theorem 1.1 the result (21) preserves for a > 1.
к=-да
Заметим, что утверждение теоремы 1.1 о равномерной по х сходимости экспоненциальных средних (для f е С2р) не может иметь аналога в случае сопряженных средних (19) [11, с. 554].
Доказательство. Как и выше, доказательство проведем в более общем случае выпуклых (кусочно-выпуклых) последовательностей (8). Положим
1
Note that conclusion of the theorem 1.1 on convergence of exponential means uniformly on x (for f e C2p) can't have analogue in case of conjugate means (19) [11, p. 554].
Proof. Same as above let us carry out the proof in more general case of convex (piecewise convex) sequences (8). Assume
i г t
fh ( x) = -- J f (x + t)ctg-dt.
h<\t\<n
Используя (1) и преобразование Using (1) and Abelian transforma-Абеля, получим представление для tion we will get representation for
U(f, x ; X, h) = lim 1 f f (x +1) У Xk (h)sin kt
f N
в виде, аналогичном (13), но с сопряженными ядрами Дирихле и Фейера
Вк (0 и Fk (0 [1, с. 88, 153]. Дальнейшее доказательство аналогично п. 3 и основано на соотношениях
V k=1
In the form analogous to (13), but with conjugate Dirichlet and Fejer kernels
Dk(t) and Fk(t) [1, p. 88, 153]. The fUrther proof is analogous to point 3 and is based on relations
j f (x +t)Dn (t) dt = o(lnN), 5n (f, х) + f(x) ^ f (x),
-n
выполненных [1, c. 113, 154] в каждой complied [1, p. 113, 154] in each Leb-точке Лебега x e Q при N ^ да. Здесь esgue point x e Q at N ^ да. Here
51 (f, х) =1 f f (x +t) Fk (t)dt - f (x);
or J
при оценках сумм, содержащихся в равенстве типа (13), используем соотношения (9), (10) и ^(/,х)| <е; последняя оценка справедлива в каждой точке Лебега х е О для любого е > 0 при всех значениях к, больших некоторого V = у(в, х).
5. Примеры. Обобщенные средние Пуассона (3) соответствуют случаю и(х) = х. Условия теорем 1.1, 4.1 могут быть проверены непосредственно; следовательно, в случае (3) их утверждения справедливы при всех а > 0.
Близким к рассмотренному является пример полиномиально-экспо-
at sums estimation, which are contained in the equation of the type (13), let us use relations (9), (10) and |Sk(f,x)| <e; the latest estimation is correct in each Lebe-sgue point x e Q for any e > 0 at all values of k greater than some v = v(e, x).
5. Examples. The generalized Poisson means (3) correspond to the case u(x) = x. The conditions of the theorems 1.1, 4.1 can be checked straight; that means in the case (3) their conclusions are correct at all a > 0.
The example of polynomial-exponential summing method defined (17) by the function X(x, h) = exp(-hP (x)),
ненциального метода суммирования, определяемого (17) функцией A(x, h) = exp(-hPn(x)), x > 0, где P (x) — произвольный многочлен п-й степени, n = 1, 2, ... с положительным старшим коэффициентом. Легко проверить [12], что 1 "xx (h, x) меняет знак не более 2n - 2 раз, так что выполнено условие кусочной выпуклости последовательности (17); непосредственно проверяется и условие (6). Таким образом, утверждения теорем 1.1 и 4.1 справедливы и в этом случае.
Другой пример метода, удовлетворяющего условиям теорем 1.1 и 4.1, порожден случаем u(x) = lnx; a > 0.
Библиографический список
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. T. 1. М. : Мир, 1965. 615 с.
2. Nakhman A.D. Weighted norm inequalities for the convolution operators // Transactions TSTU. 2009. Vol. 15. No. 3. Pp. 653—660.
3. Никольский С.М. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Известия АН СССР. Серия математическая. 1948. № 12. С. 259—278.
4. Nagy V.Sz. Methodes de sommation des series de Fourier // I. Acta Sci. Math. Szeged. 1950. No. 12. Pp. 204—210.
5. Ефимов А.В. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Известия АН СССР. Серия математическая. 1960. № 24. С. 743—756.
6. Теляковский С.А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и приложение к изучению линейных методов суммирования рядов Фурье // Известия АН СССР. Серия математическая. 1964. № 6. С. 1209—1236.
7. Баусов Л.И. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Мат. сб. 1965. Т. 68 (110). № 3. С. 313—327.
x > 0, где Pn(x) — is arbitrary polynomial of «-power, n = 1, 2, ... with positive higher coefficient. It is easy to check [12], that 1XX (h, x) changes its sign not more than 2n - 2 times, so the condition of sectional convexity of the sequence (17) is satisfied; the condition (6) is also checked at once. So the conclusions of the theorems 1.1 and 4.1 are correct also in this case.
Another example of the method satisfying the conditions of the theorems 1. 1 and 4.1, is generated by the case u(x) = lnx; a > 0.
References
1. Zigmund A. Trigonometricheskie ryady [Trigonometric Series]. Vol. 1, Moscow, Mir Publ., 1965, 615 p. (in Russian)
2. Nakhman A.D. Weighted Norm Inequalities for the Convolution Operators. Transactions TSTU. 2009, vol. 15, no. 3, pp. 653—660.
3. Nikol'skiy S.M. O lineynykh metodakh summirovaniya ryadov Fur'e [On Linear Methods of Summation of Fourier Series]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [News of the Academy of Sciences of the USSR. Mathematical Series]. 1948, no. 12, pp. 259—278. (in Russian)
4. Nagy V.Sz. Methodes de sommation des series de Fourier. I. Acta Sci. Math. Szeged. 1950, no. 12, pp. 204—210.
5. Efimov A.V. O lineynykh metodakh summirovaniya ryadov Fur'e [On Linear Methods of summation of Fourier Series]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [News of the Academy of Sciences of the USSR. Mathematical Series]. 1960, no. 24, pp. 743—756. (in Russian)
6. Telyakovskiy S.A. Usloviya integrirue-mosti trigonometricheskikh ryadov i prilozhenie k izucheniyu lineynykh metodov summirovaniya ryadov Fur'e [Conditions for the Integrability of Trigonometric Series and their Application to the Study of Linear Summation Methods of Fourier Series]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [News of the Academy of Sciences of the USSR. Mathematical Series]. 1964, no. 6, pp. 1209—1236. (in Russian)
7. Bausov L.I. O lineynykh metodakh summirovaniya ryadov Fur'e [On Linear Meth-
VESTNIK
JVIGSU
8. Тригуб Р.М. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов Фурье // Известия АН ССР. Серия математическая. 1968. Т. 32. № 1. С. 24—29.
9. Дынькин Е.М., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // Итоги науки и техники. Серия математический анализ. М. : ВИНИТИ, 1983. Т. 21. С. 42—129.
10. Кук P. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М. : ГИФМЛ, 1960. 471 с.
11. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М. : Физматлит, 1961. 936 с.
12. Nakhman A.D., Osilenker B.P. Exponential methods of summation of the Fourier series // Transactions TSTU. 2014. Vol. 20. No. 1. Pp. 101—109.
Поступила в редакцию в июне 2014 г.
Об авторах: Осиленкер Борис Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337,
г. Москва, Ярославское шоссе,
д. 26, 8 (499) 183-28-74, [email protected];
Нахман Александр Давидович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математика и механики, Тамбовский государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, 8 (4752) 72-66-72, [email protected].
Для цитирования: Осиленкер Б.П., Нахман А.Д. Поведение экспоненциальных средних рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье в точках Лебега // Вестник МГСУ 2014. № 10. С. 54—63.
ods of Summation of Fourier Series]. Matematiches-kiy sbornik [Mathematical Collection]. 1965, no. 3, pp. 313—327. (in Russian)
8. Trigub R.M. Lineynye metody sum-mirovaniya i absolyutnaya skhodimost' ryadov Fur'e [Linear Summation Methods and Absolute Convergence of Fourier Series]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [News of the Academy of Sciences of the USSR. Mathematical Series]. 1968, vol. 32, no. 1, pp. 24—29. (in Russian)
9. Dyn'kin E.M., Osilenker B.P. Vesovye ot-senki singulyarnykh integralov i ikh prilozheniya [Weighted Estimates for Singular Integrals and their Applications]. Itogi nauki i tekhniki : Seriya Matematicheskiy Analiz [Totals of Science and Technology. Series: Mathematical Analisys]. Moscow, VINITI Publ., 1983, vol. 21, pp. 42—129. (in Russian)
10. Kuk P. Beskonechnye matritsy i prostrans-tva posledovatel'nostey [Infinite Matrices and Sequence Spaces]. Moscow, GIFML Publ., 1960, 471 p. (in Russian)
11. Bari N.K. Trigonometricheskie ryady [Trigonometric Series]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1961, 936 p.
12. Nakhman A.D., Osilenker B.P. Exponential Methods of Summation of the Fourier Series. Transactions TSTU. 2014, vol. 20, no. 1, pp. 101—109.
Received in June 2014.
About the authors: Osilenker Boris Petrovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-28-74; [email protected];
Nakhman Aleksandr Davidovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Mechanics, Tambov State Technical University (TSTU), 106 Sovetskaya, Tambov, 392000, Russian Federation; +7 (4752) 72-66-72; [email protected].
For citation: Osilenker B.P., Nakhman A.D. Behavior of Exponential Averages of the Fourier Series and Conjugated Fourier Series in Lebesgue Points. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 10, pp. 54—63.
