Потеря устойчивости термокапиллярного течения при больших числах Прандтля Текст научной статьи по специальности «Физика»

762

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 762-764

УДК 532.6

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ПРАНДТЛЯ

© 2011 г. М.К. Ермаков

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва

ermakov@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Методом анализа линейной устойчивости для прямого жидкого моста с отношением высоты к радиусу И/Я = 1 исследуется зависимость критического числа Марангони и критической частоты в диапазоне чисел Прандтля от 4 до 200. Получено, что смена критического азимутального волнового числа от 2 к 1 происходит при числе Прандтля, равном 28. Аппроксимация нейтральной кривой для больших чисел Прандтля сравнивается с полученной в экспериментах. Нейтральная кривая термокапиллярного течения для космического эксперимента «МЕІ8-2» (Япония, 2009) для силиконового масла вязкостью 5 сСт (число Прандтля 68) сопоставляется с результатами анализа линейной устойчивости. Обсуждаются возможные причины расхождения в области малых удлинений.

Ключевые слова: термокапиллярная конвекция, устойчивость, жидкий мост, космический эксперимент, «МЕІБ».

Первая цель работы - расширение анализа линейной устойчивости термокапиллярного течения в жидких мостах для малых и умеренных чисел Прандтя [1] в сторону высоких чисел Прандтля. Вторая цель — сравнение экспериментальных данных по наступлению колебаний в космическом эксперименте «МЕ18-2» (Япония, 2009) с использованием силиконового масла вязкостью 5 сСт (число Прандтля 68) в диапазоне удлинений И/Я = 1-*4 [2] с результатами анализа линейной устойчивости.

Рассмотрим прямой жидкий мост, который представляет собой цилиндический объем жидкости высотой И, подвешенный между двумя твердыми соосными дисками равного радиуса Я. Боковая поверхность объема является свободной. Причиной термокапиллярного течения является разность температур между дисками, сила тяжести предполагается отсутствующей. Для описания термокапиллярной конвекции используются уравнения несжимаемой вязкой жидкости с уравнением притока тепла. Граничные условия включают в себя фиксированные температуры на твердых дисках и теплоизоляцию на свободной поверхности; кинетическое граничное условие задает нулевую нормальную компоненту скорости на свободной поверхности, а динамические граничные условия определяют баланс касательных напряжений на свободной поверхности в предположении, что поверхностное натяжение является линейной функцией температуры [1]. Безразмерными параметрами

задачи являются удлинение И/Я, термокапиллярное число Марангони (Ма) и число Прандтля (Рг).

Для изучения условий гидротепловой неустойчивости используется метод анализа линейной устойчивости. Проблема сводится к получению осесимметричного базисного решения и решению обобщенной задачи на собственные значения для трехмерных возмущений, имеющих форму нормальных мод в азимутальном направлении [3]. Стационарное базисное решение находится матричным методом Ньютона—Рафсона, и обобщенная задача на собственные значения решается методом обратных итераций. Так как задача об устойчивости термокапиллярных течений в жидких мостах даже для малых чисел Прандтля является весьма сложной проблемой [4], используемый код был тщательно верифицирован [3].

На рис. 1 представлены критическое число Марангони (а) и критическая частота Ю (б) от числа Прандтля в диапазоне от 4 до 200 для цилиндрического жидкого моста с удлинением И/Я = 1. Наиболее опасной азимутальной модой является т = 2 для чисел Прандтля менее 28 и т = 1 для больших чисел Прандтля. Удивительно, что критические частоты для обеих мод в точке пересечения совпадают. Критические число Марангони и частота могут быть аппроксимированы зависимостями Ма = 6700-Рг053 и йэд = 200-Рг—07 для числа Прандтля более 20 (черные кривые на рис. 1). Следует отметить, однако, что для большинства эксперименталь-

ных данных критическое число Марангони соответствует Ma = 2000-Pr06 для 10-2 < Pr < 102 [5], что в несколько раз меньше.

а)

б)

Рис. 1

На рис. 2 представлены критические число Марангони (а) и частота (б) в зависимости от удлинения НЖ космического эксперимента «МЕІ8-2» (число Прандтля 68) и полученных методом анализа линейной устойчивости.

а)

Ю А

30 . ■

20 ' " . ■

10 ■ ■ ■ ' "

° 1 2 3 Н/К

б)

Рис. 2

В обоих случаях азимутальное волновое число т = 1. Экспериментальные и расчетные данные удовлетворительно соответствуют друг другу для удлинений, больших 1.7. Расчетные данные описывают смену типа критического возмущения, критической частоты и немонотонное поведение нейтральной кривой в районе удлинения 2.5, присутствующие в эксперимен-

тальных данных. Однако в области меньших уд -линений наблюдается существенное расхождение экспериментальных и расчетных данных. Заметим, что критическое число Марангони, полученное в эксперименте, соответствует аппроксимации, приведенной в предыдущем параграфе. Причинами расхождения экспериментальных и расчетных данных могут служить: 1) влияние теплообмена на свободной поверхности, 2) отклонение формы жидкого моста от прямого цилиндра, 3) отклонение объема жидкого моста от объема соответствующего прямого цилиндра; 4) нелинейный характер потери устойчивости; 5) упрощенная математическая модель. Строго говоря, следует решать сопряженную задачу, включающую в себя конвекцию в окружающем воздухе и возможность деформации свободной поверхности. Однако, в силу тонких тепловых и динамических пограничных слоев, трехмерные расчеты при таких высоких числах Прандтля даже для используемой модели в литературе отсутствуют. На рис. 3 приведены базисные решения и собственная функция для температуры при удлинениях И/Я = 1 и 2 для числа Прандтля 68.

Рис. 3

Список литературы

1. Wanschura M., Shevtsova V.M., Kuhlmann H.C. et al. // Phys. Fluids. 1995. V. 7. P. 915-925.

2. Kawamura H., Nishino K., Matsumoto S., Ueno I. Space experiment of Marangoni convection on International space station // Proc. Int. Heat Transfer Conf. IHTC14. 2010. Washington, USA. IHTC14-23346.

3. Ermakov M.K., Ermakova M.S. // J. Crystal Growth. 2004. V. 266. P 160-166.

4. Shevtsova V. // J. Crystal Growth. 2005. V 280. P. 632-651.

5. Yang Y.K., Kou S.J. // J. Crystal Growth. 2001. V. 222. P 135-143.

764

М.К. Ермаков

THERMOCAPILLARY FLOW STABILITY FOR HIGH PRANDTL NUMBER FLUIDS

M.K. Ermakov

A linear stability analysis is used for a straight liquid bridge ofH/R = 1 aspect ratio to determine critical Marangoni number and the frequency for Prandtl numbers from 4 to 200. It has been determined that the change of critical azimuthal wave number occurred for Prandtl number equal to 28. An approximation of a neutral curve for a high Prandtl number is compared to the experimental one. The neutral curve of a thrermocapillary flow for the spatial experiment «MEIS-2» (Japan, 2009) for 5 cSt silicone oil (the Prandtl number equals 68) is compared to the results of linear stability analysis. The causes of divergence for small aspect ratios are discussed.

Keywords: thermocapillary convection, stability, liquid bridge, spatial experiment, «MEIS».