Потеря устойчивости и закритическое поведение пологих оболочек, различным образом закрепленных на прямоугольном контуре Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 539.3

А.А. Абросимов, Г.А. Айрапетьянц, В.Н. Филатов

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, РАЗЛИЧНЫМ ОБРАЗОМ ЗАКРЕПЛЕННЫХ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ КОНТУРЕ

В высоких приближениях метода Бубнова - Галеркина, с использованием систем аппроксимирующих функций, базирующихся на системах синусов, исследуется напряженно-деформированное состояние гибких пологих оболочек прямоугольного плана, различным образом закрепленных по сторонам несмещаемого контура.

A.A. Abrosimov, G.A. Ayrapetyants, V.N. Filatov

LOSS SUSTAINABILITY AND SUPERCRITICAL BEHAVIOR SHALLOW SHELL

IN VARIOUS WAYS OUT OF A RECTANGULAR OUTLINE

In high approximation of Bubnov Galerkin method using systems based on the basic functions of sinuses, studied hard deformed condition flexible membrane shallow rectangular plan differently on the part of irremovable circuit.

Пластины и оболочки находят широкое использование в строительстве, авиации, ракетостроении, являются элементами приборов точного машиностроения. Совершенствование расчетов таких конструкций является актуальным.

Уравнения теории гибких пологих оболочек постоянной толщины в перемещениях при отсутствии температурного поля имеют вид [1]:

[(8 + дв2)]Х + ^i[si2]У = 0 ; [(ц0 +s2)]У + ^i[si2 ]Х = о ;

- A0 [(k1 + Wxx ) (s1 + Ц82 ) + 2MqWxy812 + (k2 + Wyy ) (ц81 + 82 )] + (1)

+ A ( + W) + 4hW,y + (ц Wx + Wy); J=(1 -ц)

Здесь ц - коэффициент Пуассона, ц1=0,5-(1-ц); s1 = Ux - k1W + 0,5 -Wx2,

82 = Vy -kW + 0,5• Wy2, 812 = Uy + Vx + WxWy; U = U(x,y), V = V(x,y) и W = W(x,y) -

искомые компоненты перемещения соответственно в направлении взаимно ортогональных координатных осей OX и OY, направленных по линиям главных кривизн координатной поверхности оболочки прямоугольного плана (размеров axb) и оси OZ, направленной по нормали к координатной поверхности в сторону вогнутости (вниз); k1,

к2 - кривизны оболочки соответственно в направлении осей OX и OY; A0 = Eh,

A2 = Eh 7l2, где h - толщина оболочки; E -модуль упругости материала оболочки; q=q(xy) - распределенная нагрузка, перпендикулярная плану оболочки. Индексы x и y при искомых составляющих перемещения означают дифференцирование по соответствующей координате.

Напряжения в конструкции определятся по формулам

77

ап = — [ + [-(ki +цк2 )W + 0,5 ( + W )-г ( + W)] ,

7~i

^22 = [ + V-(Mki + k)W + 0,5( + W,!)-г ( + Wyy)] , (2)

C‘! = [ + V + WW - 2 rWxy ] .

Будем решать систему (1) методом Бубнова - Галеркина в высоких приближениях, аппроксимируя компоненты перемещения в виде

N N N

U = IA, • Xi,(x).Ilj(y), V = £ B„-X22,(x). Y2j(y), W = £ CjX„(x) Y„(y). (3)

г ,]=1 г, j =1 г, j=1

При этом для функций, аппроксимирующих компоненты перемещения, берем производящей систему синусов [2, 3]. Тогда функции, аппроксимирующие

тангенциальные перемещения, когда точки контура оболочки не смещаются, будут

X1m (x) = X2m (x) = sin(mWa) , Y1n (y) = Y2„ (y) = sin(nny/b).

Функции, аппроксимирующие прогиб оболочки, имеют вид

X3m (x) = sin (mnx/a) + C3 (m) • x3 + C2 (m) • x2 + C1(m)- x + C0 (m). (4)

Значения констант C,=C,(m), (,=0, 1, 2, 3) зависят от способа закрепления оболочки на кромках контура x=0 и x=a.

Кромки x=0 и x=a закреплены шарнирно, тогда

Xs„ (0) = X3m (a) = X 3m (*)[„ = X'm (*)|^ = 0 .

Реализуя эти граничные условия для (4), получим

C3 (m) = C2 (m) = C1 (m) = C0 (m) = 0 и

X3m(x) = sin(mnx/a), (m = 1,2,3,...) . (5)

Последняя система - хорошо изученная и широко применяемая в расчетах полная система функций.

Кромки x=0 и x=a жестко защемлены, тогда

X3„ (0) = X^m (a) = X3m (*)[„ = X(*)|„„ = 0 .

Реализуя эти граничные условия для (4), имеем

C3(m) = -—r[l+(- 1)m]; C2(m) = ^[2+(- 1)m]; C1(m) = -—; C0(m) = °.

a a a

И система функций, аппроксимирующих прогиб в направлении оси Ox

X3m(x) = siní-mnx'l-mn.[1 + (-1)m].fx'l + mn.[2 + (-1)m]-fx>) -mnx. (6)

V a ) V a) V a) a

Если же X3m (0) = X3m (a) = X"m (x)|x=0 = X3m (x)|^ = 0,

то

С ( л т • п • (-1)т С ( л 0 С ( ) т • п • (-1)“ С ( л 0

Сз(т) =-------—3—; С2(т) = 0; Сі(т) = — у 7 ; С0(т) = о.

2 • а 2 • а

При *зт (0) = Х,т (а) = Х3т (*)| ^ = Х'“ (х)^ = 0,

Сз(т)=-“-г. С2(т)=т• “т; Сі(т)=-т-п; Со(т) = 0.

2 • а

2 а2

а

Аппроксимирующие функции перпендикулярного направления подбираются аналогично. Полученные системы функций являются полными исходя из способа их построения.

Полученные в результате применения метода Бубнова - Галеркина нелинейные алгебраические уравнения относительно коэффициентов разложений (3) Лу, Бу, Су, линеаризировались методом последовательных нагружений (МПН) [4].

_ а2 — Ь2

Решены задачи для оболочек с кривизнами к1 =— к1 = к2 =— к2 = 16, различным

И И

образом закрепленных по сторонам квадратного (а=Ь) в плане контура на действие равномерно распределенной перпендикулярной плану оболочки нагрузкой ц. Схемы закрепления, не смещаемого в тангенциальных направлениях сторон контура оболочки, приводятся на рис. 1. На схеме 1 - оболочка, шарнирно закрепленная по контуру, на схеме 6 - защемленная по контуру оболочка, на схемах 2-5 - оболочки со смешанным закреплением. Результаты проведенных расчетов приводятся ниже на рис. 2-6.

Рис. 1

а

На рис. 2 приводятся графики «безразмерная нагрузка ц =—-ц - безразмерный

ЕИ4

1

прогиб в центре оболочки Ж (ц) = Ж(0,5; 0,5) = — Ж(0,5а; 0,5а)» для всех шести вариантов

И

закрепления сторон контура оболочки. Здесь видны моменты потери устойчивости оболочек - верхние критические точки (ВКТ) и закритическое поведение центральной точки оболочек. Цифры 1-6 соответствуют номерам схем оболочек.

На рис. 3-4 приводятся эпюры безразмерных прогибов в ВКТ. На рис. 3 по сечению (£ = Ха; ц = у/Ь = 0,5), здесь горизонтальная ось - ось О£.

На рис. 4 по сечению (£=0,5; ц), здесь горизонтальная ось - ось Оц. По

вертикальной оси на этих рисунках откладывается безразмерный прогиб.

На рис. 5-6 приводятся эпюры безразмерных напряжений в ВКТ, которые строятся

на верхнем волокне оболочек. На рис. 5 по сечению (£=0,5; ц) приводятся значения

б й _ (1 -|Д2) а2

безразмерных напряжений _11 = --------2------------------------—„ .

ЕИ

Здесь горизонтальная ось - ось Оо, по вертикальной оси откладываются безразмерные напряжения _11. На рис. 6 по сечению (£ = 0,5; ц) приводятся значения

б - - (1 -^2) Ь2 О

безразмерных напряжений —22 = --2-—22, здесь горизонтальная ось - ось Оц, по

ЕИ

вертикальной оси откладываются безразмерные напряжения —22.

Ч

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

На рис. 3-6 хорошо просматривается характер прогибов и напряжений, возникающих в оболочках по взаимно перпендикулярным сечениям оболочек, проходящих через центр оболочек. Ярко видна зависимость характера изменения прогибов и напряжений от способов закрепления сторон контуров оболочек. Все вышеприведенные результаты получены при удержании в двойных рядах разложений искомых компонентов перемещения по 16 членов (в шестнадцатом приближении).

5

0

-5

-10

-15

-20 -25

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Рис. 5 Рис. 6

В реальных конструкциях закрепление стороны контура может отличаться от идеального закрепления расчетной схемы. Поэтому следует вести расчет на всевозможные закрепления сторон контура и выбирать наиболее невыгодное с точки зрения момента потери устойчивости закрепление сторон. В нашем случае, таким наиболее невыгодным вариантом закрепления сторон контура является вариант схемы номер 3 на рис. 1. Здесь потеря устойчивости оболочкой происходит при Ц = 189,2,

Ж (ц)=0,8. Этот невыгодный вариант отличается от наиболее выгодного случая, когда оболочка закреплена шарнирно по всем сторонам, в этом случае в ВКТ Ц = 213,1,

Ж = 0,9, на 12,6% для величины верхней критической нагрузки. Такая подстраховка даст оправданный коэффициент запаса при расчете оболочечных конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Игнатьев О.В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины / О.В. Игнатьев, В.В. Карпов, В.Н. Филатов. Волгоград: ВолГАСА, 2001. 210 с.

2. Филатов В.Н. Построение систем аппроксимирующих функций с помощью модификации статического метода В.З.Власова, служащих для решения задач теории гибких пластин / В.Н. Филатов / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, 1985. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.85. № 7427-В85.

3. Филатов В. Н. Исследование НДС пологих оболочек переменной толщины с использованием разных систем аппроксимирующих функций / В. Н. Филатов, А. А. Абросимов, К.В. Молодчиков // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. темат. сб. тр. Вып. 11 / СПбГАСУ. СПб., 2005. С. 89-103.

4. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек / В.В. Петров. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 120 с.

Абросимов Алексей Анатольевич -

аспирант кафедры «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета

Айрапетьянц Георгий Артурович -

студент Саратовского государственного технического университета

Филатов Валерий Николаевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 10.04.07, принята к опубликованию 03.07.07