Потенциальное обтекание эллиптического параболоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII

19 87

№ 3

УДК 533.6.011.32

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

И. В. Петухов

Рассмотрена замкнутая параболоидальная система координат, в которую включены предельные координатные поверхности: параболические пластины и пластины с параболическим вырезом. Контуры этих поверхностей являются геометрическим местом точек закругления координатных параболоидов. Описано течение, индуцированное параболическим источником.

Параболоидальная система использована при построении точного решения задачи потенциального обтекания несжимаемой жидкостью эллиптического параболоида и параболической пластины, произвольно ориентированных к набегающему потоку. Рассмотрена общая картина течения. На каждом из координатных параболоидов линии уровня, ортогональные линиям тока, образуются сечениями параболоида плоскостями, одна из которых в общем случае касается параболоида в критической точке поля касательной составляющей скорости, а при поперечном обтекании проходит через его ось.

Точные аналитические решения пространственных задач гидродинамики используются при апробировании численных методов, а также при разработке программ численного расчета пространственного пограничного слоя. Большую роль в таком применении играет известное решение задачи потенциального обтекания трехосного эллипсоида произвольной ориентации. Соответствующее решение для эллиптического параболоида представляет интерес как предельный случай решения для сильно вытянутого эллипсоида.

Известно решение осесимметричной задачи обтекания параболоида вращения, полученное методом конформных отображений [1]. Для построения решения задачи потенциального обтекания параболоида произвольной формы и ориентации естественно использовать парабо-лоидальную систему координат. Ниже решение задачи получено на основе уравнения Лапласа в параболоидальных координатах. При определении потенциала продольного обтекания использован параболический источник. Решение выражается в элементарных функциях.

1. Параболоидальная система координат. Параболоидальные координаты Я, V определяются как корни уравнения

^ х ^

(1.1)

-oo<X<£je<li<fy<v< + oo; Ex<Ey;.c> О, (1.2)

где х, у, z — прямоугольные координаты; Ех, Еу, с — константы.

Рассматриваемая система является замкнутой, поскольку в (1.2) включены знаки равенства. Знакам равенства отвечают предельные поверхности параболоидальной системы. Система имеет два фокуса

2=Л» /у на оси

fx—~ i fy= 2с ' fx~ fy~ ~2c ' d = ~V Ey Ex (1.3)

и характеризуется параметром d/c. При заданных d н с величина Ех выбирается произвольно, Ey=Ex+d2. При х = Я, v уравнение (1.1) описывает семейства эллиптических параболоидов противоположной ориентации, а при х = ц,— семейство гиперболических параболоидов. Сечения семейств к = Х, ц, v плоскостями х=0 и у = О (главные сечения) образуют семейства софокусных парабол с фокусами z=fy и

z=fx.

Основные соотношения для параболоидальной системы имеют вид

X + р + v = Ех + Еу - 2cz , Хц + ¡.V + 1\ = ЕХЕ,- 2с{Ех + Еу) z — сЦх* + у2) , = — 2сЕяЕу z-c*(Eyx* + ExV*) ;

(1.4)

л1' =

(Ех-Х) (Ех-ц) (Ех — -Q tfl (Ех-Еу)

У2 =

(Еу-Х) (Еу — (д.) (Еу — у) с*(Еу-Ех)

(1.5)

(Ex-l) (Еу — X)

а2 С2

(£* — Iх) (£у — Н-)

С2 (,i-*)(„_*) С2 (V —(X —Ц)

¿v ^ (Ех-ч)(Еу-ч)

С2 (X _ v) v) '

(1.6)

где Лх = (2Ях)_1, #х — параметры Ламэ(Ах>0),

*

лГ

Еу — ъ

г"

с

X, (А, V .

(1.7)

Здесь и ниже ц-0 — орт координатной линии g, направленный в сторону возрастания g. Параметры А* удовлетворяют соотношениям

, А» А?. , А2 л2

Еу — X Еу

Лх+ Л2 + fît = C*

Для векторов кривизны k* = (д%°1д*)/Н% координатных линий % имеем

Ла сг° hz t°

k% =----- ; x, о, x = {X, ja, v} .

X — CJ X — т

Здесь и ниже {X, ¡a, vj — циклические перестановки из X, ja, v. Координатные линии х являются линиями кривизны для поверхностей (1.1) (теорема Дюпена для триортогональных поверхностей [2]), т. е. орты образуют главные направления, а составляющие векторов kA совпадают с главными кривизнами для этих поверхностей. Следовательно, имеем

h h kXi„ = —— , 1 =—— ; *, о, x= {x, {i, v},

с — x т — x

где и ft*, x — кривизны нормальных сечений поверхности х =

= const, касательных к а° и в проекции на нормаль х°. В точках закругления'(омбилических точках), х = А,, ц и Ал,^ = v, получим

X = ¡х = Ех , ¡j. = v = £;'y. (1.8)

Кривые (1.8) описывают геометрическое место точек закругления эллиптических параболоидов x = v и х = Я. Из (1.3) — (1.5) следует, что к этим кривым принадлежат и фокусы параболоидальной системы

X = = ч = Еу ; у. = v = Er X = Ех . (1.9)

2. Предельные поверхности и особые кривые параболоидальной системы. Предельные поверхности описываются уравнениями

1=ЕХ\ \>. = Ех,Еу\ -* = ЕУ.

Обозначим

= ; s = x, у, (2.1)

Es — X

где в соответствии с (1.2)

&,, = + 1 при Es — х>0 ; &*f = — 1 при £,-х<0. (2.2) Тогда уравнение (1.1) при * = ES можно записать в виде

= ttS = {Xty)t (2.3)

Et — Es с*

где s* — параметр уравнения предельной поверхности. Из (1.5) следует

—; а, х= {X, v} , (2.4)

сз (Es — Et)

т. е. s* — известная функция координат а, х поверхности % — Es. Каждая из предельных поверхностей расположена в одной из главных плоскос-

тей х, у = О и является двусторонней, т. е. состоит из верхней и нижней стороны поверхности. Обе стороны имеют общую границу (контур предельной поверхности). Выражение

в —О [«*] ; 5 = х, у

ниже означает, что

в = -Ь О при в*>0 (верхняя сторона поверхности), 5 = -—0 при 5*<0 (нижняя сторона поверхности), 5 = 0 при 5* = 0 (контур предельной поверхности). Перейдем к более детальному описанию предельных поверхностей. Семейство эллиптических параболоидов % = % меняется от поверхностей, приближающихся к плоскостям 2сг = —X при Я,-»—°о, до параболической пластины в плоскости х = 0

Х = Ех, х = О [х*],

2сг + Ех

с2

= — А:*2, 0<Х*2<оо. (2.5)

Семейство гиперболических параболоидов х = ^ меняется от пластины с параболическим вырезом в плоскости х = 0

* = ЕЯ, х^О[х% Е *Ех + 2С*0Ех- = х*\ 0<**2 < оо (2.6)

до пластины с параболическим вырезом в плоскости у = 0

х* 2 сг + £у

Р = у = 0[у%.

Ех Еу

+

с2

— — у*2, 0<у*

(2.7)

Семейство эллиптических гиперболоидов меняется от параболической пластины в плоскости у = 0

V = Еу, у = 0[у*\,

X*

2 сг -I- Е

+ —= (2-8)

до поверхностей, приближающихся к плоскостям 2сг =—V при + Общими границами областей (2.5), (2.6) и (2.7), (2.8) являются особые кривые (1.8) параболоидальной системы

X = ¡А = Ех, х — 0,

ч = Еу, у = 0,

Еу Ех

2 сг + Ех Ч--=0

+ ■

с«

2 сг + Еу "с2

= 0.

(2.9)

Эти кривые представляют собой геометрическое место точек закругления на эллиптических параболоидах к = у, X. Вершина любой из парабол (2.9) совпадает с фокусом другой.

Выражения (1.4) — (1.7) на предельных поверхностях (2.1) —(2.3) за вычетом их контуров имеют вид

х = Е^ а-|-х = £(- 2сг, ох = — 2с Е(г — с2 Р,

5 = ±0, ¿V = о) (Е,-т),

Лх = 0,

С2 х — а ' с3 а — х

(2.10)

где 5= {л:, у}; о, т, х = {X, ¡х, V}, причем х = X, ¡а при э-х-, х = ц, V при 5 = г/. Верхний или нижний знак « + », «—» отвечает верхней или нижней стороне поверхности х=Ев. На особых кривых (2.9)

О,

¿2

Ег

+ 2(2.12)

получается однопараметрическая зависимость для Аа, Ат и а°, т°. Выражения (1.4) — (1.7) на этих кривых можно представить в виде

— 2сг,

, = ЕГ

з = 0, с2Р— —{Е(— Е$(Е( — х),

с2 Е 5 - 7.

_ Е( — Ех

с-

X

X

гг г'

— с И

(2.13)

Лс^рсоэ/, Ат = р81п^, 0<х<>/2, =+ вШ X — Р° с08 х, = + соэ х — Р° эШ х,

(I)"

+ у0 вт 2х + р° сое 2х,

(2.14)

(2.15)

где я ={.*•, .у}; о, т, * == {X, ¡а, V), причем х —Vпри 5 = х\ х = Х при я —У; р° — орт нормали к контуру (2.12) в плоскости контура; орт, ортогональный к контуру.

Обозначим

е2=т — а, Е1. — а = в2 С032х> х — ¿Ту = П2Х-

Соотношения (2.14) получаются путем предельного перехода в (1.6), (1.7) при х=сопз1, Этот переход соответствует движению к кон-

fypy по лучу с ортом о>°. Верхний или нижний знак « + », «—» в (2.14) отвечает расположению в° в полуплоскости в>0 или 5<0 в соответствии со знаком в (2.15). При х=0> я/2 выражения (2.13), (2.14) сводятся к соответствующим выражениям из (2.10), (2.11). Однопараметрическая зависимость (2.14) отражает тот факт, что в точках закругления поверхности любые два взаимно ортогональные касательные направления могут считаться главными.

В фокусах (1.9) предельных поверхностей (2.5), (2.8) имеем из (2.13)

= 0, < = + 0, 2сг — -Еу. Л* = 0,

1534

17

где « = {х, г/}; х = Х при ( = к = v при ¿ = верхний или нижний знак « + », » отвечает верхней или нижней стороне предельной поверхности и = Выражения (2.14), (2.15), где можно положить р = с, р° = г°, сохраняют прежний вид.

3. Параболический источник. Уравнение Лапласа в параболоидаль-ной системе координат имеет вид

/(*) = {Ех — *) (Щ - *); ■ * = К I»,

Его решением Ф = Фг(Х) является

= K Ь = const, Фг = — 2k In + /Еу - X).

Потенциальное течение со скоростью я4 = и(Х°, где

1 d<S>i _ Ike

(3.1)

(3-2)

и,=

Щ dl V (ц— X) (v - X) '

индуцируется параболическим источником (стоком), распределенным на параболической пластине (2.5). Учитывая, что Х0 = 4--*;0 при % = ЕХ, х=±0^[см. (2.11)], а также (2.4), получим на поверхности источника: = + Ч[Х°, где

" у* 1сг 4- Ех

У(Еу-Ех)х*^ Еу-Ех с»

Потенциал Фе

Фе = Ф1 при а:> + 0, Фе = —Фг при х< —0

описывает обтекание пластины (2.6) с параболическим вырезом, в частности, течение жидкости в слое, ограниченном двумя любыми гиперболическими параболоидами семейства [г = сопз1:. Скорость протекания через параболический вырез % = ЕХ равна: = — и/л;°.

Аналогичное решение для эллиптического источника рассмотрено

в [1].

4. Потенциальное обтекание эллиптического параболоида и параболической пластины. Ниже, принимая £ж>0, обозначим

а0 = \ГЕГ, К =

Пусть э — решение уравнения Лапласа (3.1) —такое, что

= {4Л)

и пусть некоторая функция Е=Е(%) удовлетворяет уравнению

= + = (4.2)

Тогда, как можно убедиться, функция

Ф, = «£(Х)

также удовлетворяет уравнению Лапласа. При этом условию непротекания дф8/дХ = 0 на параболоиде (1.1) при Я = 0, а0>0 удовлетворяет любое решение уравнения Лапласа следующего вида:

= * + Но =--%~~Ео- (4.3)

По ШоУ/о

Здесь и ниже й0 = й(0) для любой функции йСк).

Элементарными решениями уравнения Лапласа являются х, у, г. Из (1.5) следует, что условию (4.1) удовлетворяют з = х, у. Пусть а0>0. Используя (4.1) — (4.3) при эфх, у и полагая Е=А, В, получим для потенциалов Фж, Фу поперечных обтеканий параболоида

£>0 Ло

2 а0Ь0

А (к)

Уа1-\{Уа1-\Л-Уь1-г)

(4.4)

от _ __Ь0_

В эллипсоидальной системе координат решения вида (4.3) при 5 = х, у, г определяют суммарный потенциал обтекания эллипсоида произвольной ориентации [1]. В соответствии с этим выражения (4.4) могут быть получены предельным переходом в решении для эллипсоида. Однако такую процедуру не удается провести для потенциала Ф2 продольного обтекания.

При определении Ф2 используем решение (3.2) для параболического источника

л «0*0 . Уа2-1 + \/ь1-1

Ф, = г-—г., г, =- п-2-—и—--. (4.5)

2 " ' С а0 +• ¿о 4 '

Нетрудно проверить, что дфг/д^ = 0 при А, = 0. Можно убедиться, что частные производные по х, у, г от вторых слагаемых в выражениях для Фж, Фу, Фг стремятся к нулю при Х-т»—оо вдоль любой координатной линии у = сопз1:).

Рассматривая внешнюю задачу обтекания эллиптического параболоида

х2 у2 Чг

—+7Г + —==0, Ь0>а0> 0, с > 0 (4.6)

ао % с

или параболической пластины (2.5)

* = ()[**], -4+—=-0<х*2<оо, ¿?0>а0 = 0, с>0 (4.7)

К с

со скоростью набегающего потока

— ах!их = чхх° +.1уУ°+ "ос=|Ис»|, . (4.8)

выделим семейство параболоидов (1.1) при х = Я<0 х2 у2 2 сг + X

а = Vа1-1 , Ь = Уь1-\ . Решение (4.4), (4.5) задачи (4.6), (4.8) представим в виде

— «/«ос = gradФ,

. I х ■ у \ а0Ь0 а + Ь

а0 + Ь0

Н = а + Ь0 + =Ь + а0

а + Ь

а0 + Ь0 а + Ь

(4.9)

(4.10)

где и — вектор скорости.

На параболоиде (4.6) имеем: гг0=0, Л0 = а0 + 60. Перепишем (4.9) в других обозначениях:

д;*2 +_у*2

Ус*,

X

а

У

У =~Г

г* =-

(4-11)

и в соответствующей форме представим решение (4.10)

Ф = НЬхх* + уу*) + съ(г*- г1), г'^гц'с. (4.12)

Из (1.5) следует, что х*, у* не меняются вдоль координатной линии Я:..

К-^) К ~

. Решение в форме (4.12) включает решение задачи (4.7), (4.8) для параболической пластины. В этом случае имеем: £¿ = 0, !г = Ь. На поверхности пластины при заданных у, г (или у*, г*) и знаке стороны поверхности параметр х* определяется из (4.7)

х* = ± V —У2 — 22* ПРИ -к = + 0-

Если Ф рассматривается как функция от х, у, г, то Я определяется как наименьший корень уравнения (4.9). Очевидно, что все выражения (4.8) — (4.12) справедливы и для параболоида вращения (4.6) при Ь0=а0.

5. Общая картина течения. Ниже потенциал Ф будем рассматривать в функциональной зависимости Ф(х, у, г, Я), где Я — параметр, т. е. Ф будем рассматривать на параболоидах семейства (4.9). Выделим параболоид (4.9) при фиксированном Я<0 и рассмотрим векторное поле касательной составляющей скорости Ю/?/'»со =—gradFФ, где — градиент на поверхности У7 параболоида. Отбрасывая постоянное сла-

гаемое будем иметь из (4.10), (4.12)

— Ир/Поо = ёгас^ Ф/г, ФР = Ф + 1г гь = (Я*, г) = (д, г*), йФР = (д*, ¿г) = ¿г*),

(5.1)

где г* = х*х° +у*у° = г* г°, дифференциалы взяты вдоль Р.

Пусть ух¥=0- Тогда имеется критическая точка Р поля ир, в которой с1Фр = 0 в любо-м направлении на /\ Из (5.1) видно, что эта точка определяется вектором q*, ортогональным к Б в Р. Сравнивая д* с вектором нормали от* к параболоиду

XX" у V г°

т* = +• -4- + — ,

а2 о* с

запишем Ф^ в виде

Фр = с Тг (от*, г) = с ь (х*р х* +у*Ру* + г*), (5.2)

где индексом р обозначены значения величин в точке Р,

* А 1Х * к

X = — —, у=—Жш (5.3)

Значение гр определяется получим

из (4.11). Из условия

2,2,2 ! Т* + ь + Тг = 1

2 Тг

*2

, *2\

= 1

(5.4)

Выражения (5.3) определяют положение критической точки в зависимости от направления набегающего потока (4.8). При заданном положении Р направление в°м определится из (5.3), (5.4). Точки Р полей ир составляют геометрическое место точек (кривую ЬР), в которых линии тока поля и ортогональны параболоидам (4.9). В общем случае кривая ЬР не совпадает с присоединенной линией тока поля и. Выраже-. ния (5.1) —(5.4) [в (5.1, (5.2)—вторые выражения для Ф^] справедливы и на поверхности параболической пластины.

На любом параболоиде семейства (4.9) картина касательного течения определяется положением критической точки Р (направлением вектора при уг = 0). При поперечном обтекании у* —0 критические точки Р полей ир отсутствуют. Из (5.1), (5.2) непосредственно следует, что на указанном параболоиде:

а) с точностью до постоянных множителя и слагаемого потенциал Ф равен проекции радиуса-вектора на направление нормали в точке Р (на направление вектора д* при 72 = 0);

б) линии уровня Ф = const, ортогональные линиям тока, образуются сечениями параболоида плоскостями, параллельными касательной плоскости в точке Р (плоскостями, ортогональными вектору q* при

Yz = 0);

в) картина касательного течения на параболоиде Я<0 совпадает с картиной течения на непроницаемом параболоиде той же формы и с тем же положением точки Р (с тем же направлением вектора q* при Yz = 0).

В а), б) исключается случай пластины а = % = 0.

Полученные результаты могут найти применение при апробировании численных методов решения пространственных задач гидродинамики и пограничного слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Милн-Томсон JI. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.

2. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: Гостехиздат, 1956.

Рукопись поступила 28/XII 1985 г.