Потенциальная эффективность обнаружения импульсных сигналов при неравномерной дискретизации во времени Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 519.2

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ВО ВРЕМЕНИ

С. Н. Воробьев,

канд. техн. наук, доцент

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Рассматривается неравномерная дискретизация сигнала оптимальной формы смещением одного из отсчетов в окрестность точки, в которой минимальное собственное значение корреляционной матрицы шума равно нулю. Показано, что при проверке простых гипотез на выходе дискретного согласованного фильтра этим смещением достигается сколь угодно большое отношение сигнал/шум при конечных энергии сигнала и мощности шума. Обсуждаются некоторые аспекты плохой обусловленности задачи и априорной неопределенности.

Ключевые слова — обнаружение, собственное значение, отношение сигнал/шум.

Введение

Задача повышения эффективности обнаружения импульсных сигналов актуальна для множества приложений статистической радиотехники. Обнаружение детерминированного сигнала Я с известным временем прихода в аддитивном стационарном гауссовом шуме X с корреляционной матрицей В описывается уравнением дискретной согласованной фильтрации

ВС = Я.

Статистика ^ = X + АЯ — сигнал на входе при гипотезе Ы-у, А — амплитуда)

а = ътг

обеспечивает отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе дискретного согласованного фильтра [1]

¿2 = СтВС = ЯтВ-18. (1)

Его зависимость от формы сигнала позволяет оптимизировать эффективность обнаружения назначением оптимального сигнала

Яор1 = АUmin,

где и^п — собственный вектор матрицы В, соответствующий минимальному собственному значению Хт^ > 0. При этом достигается ОСШ (1)

а2 = А2итщВ-1ит1п =

= А2итщил-1игит1п = Е / X тп

(2)

где и, Л — матрицы собственных векторов и собственных значений; Е = А2 — энергия сигнала [1, 2].

Обратная пропорциональность ОСШ (2) минимальному собственному значению показывает, что при Хт^ ^ 0 эффективность обнаружения может быть сколь угодно велика. Формально это достигается уже в случае двух отсчетов сигнала, взятых с интервалом Д: собственные векторы и собственные значения корреляционной матри-

2 [1 Р

цы стационарного шума В = о равны

Р 1

и=

-1 1 2 о II <! 1-р 0

1 1 0 1 + р

уменьшение Д ^ 0 влечет р ^ 1 и Хт^ ^ 0.

Необходимость расширения полосы частот Д^ ^ ж, следующая из Д ^ 0, делает этот пример малоинтересным. Иная ситуация складывается при большем числе отсчетов. Можно показать, что при сдвиге одного отсчета, реализующем неравномерную дискретизацию сигнала во времени, достижимо существенное уменьшение значения Хт^ по сравнению со случаем равномерной дискретизации в конечной полосе частот.

Простые гипотезы

Пусть вектор Xт = [х1, ..., xn] — отсчеты стационарного гауссова процесса х^). Сингулярное разложение [3] корреляционной матрицы

BX = илит

геометрически задает собственными векторами и направления осей эллипсоида рассеивания, собственными значениями Л — длины его полуосей. Алгебраически собственные значения — корни Хк > 0 характеристического уравнения

ае1;(Вх - Х1) = Хп - а1Хп-1 +

+ а^Х 2 —... + (-1) ап = 0,

в котором свободный член

П

ап = йе* В X = П Х.

£=1

Пусть существует некоторое преобразование вектора X, в результате которого одно из собственных значений Хк ^ 0. Тогда ап ^ 0, эллипсоид рассеивания вырождается за счет приближения одного из диаметров к нулю. В то же время формально условию Хк ^ 0 при задании сигнала Я0р^ = ий в соответствии с (2) равносильно ОСШ й2 = 1/Хк ^ ж.

Такое преобразование может реализоваться неравномерной дискретизацией во времени. Например, пусть взяты шесть отсчетов Xт = [х0, ..., х5] процесса с функцией корреляции

' а

R(t)= exp(—а|т|) cosвт + sinр|т|

а = —, В = п, 2

(3)

интервал дискретизации Д = 1, характеристическое уравнение

Xе —6X5 + 12,4266X4 — 11,6602X3 +

+ 5,3878X2 —1,1930X + 0,1009 = 0

имеет минимальный корень ^ = 0,2600, при соответствующем сигнале

Sept = Uf = [0,1747; 0,4120; 0,5475; 0,5475; 0,4120; 0,1747]

обеспечивающий ОСШ d2 = 3,85. Это значение определяет потенциальную эффективность обнаружения с равномерной дискретизацией. Если же время t3 = 3 отсчета х3 сместить в точку t3 = 3,745, характеристическое уравнение за счет уменьшения минимального собственного значе-

ния до X1 = 0,0013 запишется с меньшим значени-

ем aR :

X6 — 6X5 +12,5520X4 —11,0818X3 +

+ 3,8685X2 — 0,3407X + 4,3634 x 10—4 = 0;

2

ОСШ увеличивается до d = 777,4 для сигнала

Sfpt = [0,3132; 0,5646; 0,2884; —0,2884; — 0,5646; — 0,3132].

U =

(4)

Действительно, неравномерной дискретизации в узлах {г0, ..., t5} = {0; 1; 2; 3,745; 5} соответствует матрица собственных векторов

0,3132 0,3670 -0,3969 -0,5617 0,4558 -0,2939

0,5646 0,0300 -0,5206 0,0980 -0,4775 0,4143

0,2884 -0,6036 -0,2672 0,4182 0,2534 -0,4919

-0,2884 -0,6036 -0,2672 -0,4182 0,2534 0,4919,

-0,5646 0,0300 -0,5206 -0,0980 -0,4775 -0,4143

-0,3132 0,3670 -0,3969 0,5617 0,4558 0,2939

так что для сигнала (4) ОСШ (1) равно й2.

К подобным результатам приводит смещение и других отсчетов. Ма^аЬ-моделированием была исследована зависимость минимального собственного значения Х1 от положения отдельных узлов дискретизации для некоторых типовых функций корреляции стационарного гауссова шума [4]. На рис. 1 показана зависимость Х1 = ф(^), полученная на интервале 0 < t1 < 2 для функции корреляции (3). Собственное значение в точке t0 меняет знак, следовательно, Х^ц) = 0, а функция й2 = 1/Х^) в точке t0 претерпевает разрыв второго рода.

Точность определения значения t0 зависит от интервала дискретизации: при Дt = 0,001 минимальное значение, соответствующее Х1 > 0, равно t11 = 0,3640, при этом ОСШ й2 = 385,4. Если же задать tll = 0,3631155, то достигается й2 = 8,5 х 106. На рис. 1 показан интервал т1 неотрицательных значений Х1, а также узлы неравномерной диск-

Рис. 1. Минимальное собственное значение, узлы дискретизации

ретизации при сдвиге первого узла t1 в окрестность значения t0.

Отношение сигнал/шум й2 в окрестности точки t0 изменяется скачкообразно (рис. 2), значение функции й2^0) не определено. Резкое нарастание ОСШ при t0 ^ t1 определяет потенциальную эффективность обнаружения сигнала оптимальной формы при неравномерной дискретизации: она может быть сколь угодно высокой при единичных значениях энергии сигнала и дисперсии шума.

Потенциальное свойство й2 ^ ж при конечной энергии сигнала позволяет назвать метод неравномерной дискретизации «сверхобнаружением».

Большая крутизна функции й2(Ь) задает требование высокой точности назначения узла дискретизации t1 < т1 > t0, так как при t1 < t0 «корреляционная матрица» отсчетов становится отрицательно определенной. Существование интервалов, запрещенных для размещения в них узлов дискретизации (например, t1 < t0, см. рис. 1), приводит к невозможности генерирования соответствующих последовательностей. Так, методом преобразования векторов с корреляционной матрицей Вх линейной системой с оператором А = В1/2ВХ1/2 [1] вследствие отрицательной определенности заданной матрицы В генерируются последовательности комплексных чисел. При генерировании «полубесконечной» последовательности с заданным корреляционным вектором И окрашиванием дискретного белого шума линейной системой с весовым вектором Н, являющимся дискретным аналогом решения интегрального уравнения [1, 5]

^ Н(#)Н(# + т^# = Я (т),

(5)

в случае отрицательной определенности функции корреляции формируется последовательность с другими корреляционными свойствами.

&

400

300

200

100

0

-100

-200

-300

-400

600

400

200

0

-200

-400

-600

1 ,

Л

0 0’5 1 !’5 2 ^ ^ ^ О’ О’ О’ О’ О’ Рис. 2. Отношение сигнал/шум

Рис. 3. Функции корреляции: а — отсчеты функции (3); б — отсчеты сдвинутой функции (3)

На рис. 3, а показаны отсчеты 1 заданной положительно определенной функции (3) и ее воспроизведение 2 подстановкой приближенных значений й(#) в уравнение (5) при равномерной дискретизации с интервалом Д = 1. На рис. 3, б — отсчеты 1 функции (3) при сдвиге первого узла дискретизации в точку t1 = 0,3. Заданная функция становится отрицательно определенной, и генерируется последовательность 2 с корреляционными свойствами, резко отличающимися от заданных.

Разрыв функции й2^) означает плохую обусловленность метода неравномерной дискретизации. Например, сигналам

ЯТ = [0,3234; - 0,5596;

0,2867; 0,2867; -0,5596; 0,3234],

ЯТ = [0,3224; - 0,5600;

0,2873; 0,2873; - 0,5600; 0,3224]

соответствует ОСШ 6^ =-265,4 и = 265,4.

«Сверхобнаружение» может быть достигнуто в окрестностях точек t21, t22; t31, t32; ti1 при t2l ^ t2 или t2 ^ t22; tз1 ^ tз или tз ^ tз2 и т. д.

На рис. 4, а—в показаны минимальные собственные значения и примеры оптимальной неравномерной дискретизации для отсчетов, полученные с интервалом дискретизации Дt = 0,001. Узлы t2eT2, t3eT3, t46T4.

Подобное моделирование Д = 0,001, п = 6) проведено также для шума с функциями корреляции

Я (т)= ехр(-а т

СОВвт -^ВШР|т|

(6)

Я (т) = ехр(-а|т| )совРт, а = 0,5, р = п. (7)

Получены аналогичные результаты (таблица).

Рис. 4. Минимальное собственное значение, второй (а), третий (б) и четвертый (в) узел

№ функции ¿11 ¿21 ¿22 ¿31 ¿32 ¿41

(3) 0,364 1,681 2,360 2,452 3,748 3,049

(6) 0,272 1,574 2,269 2,356 3,635 3,011

(7) 0,316 1,629 2,313 2,403 3,695 3,020

Моделирование шума с функцией корреляции Я(т) = ехр(—а|т|), а = 0,5 (8)

приводит к иным результатам. Минимальное собственное значение изменяет знак только при сме-

Рис. 5. Минимальное собственное значение, узлы дискретизации при экспоненциальной функции корреляции

щении первого узла дискретизации в окрестности точки t11 = 0,5720 (рис. 5).

Смещение других узлов оставляет Х1 > 0, при этом й2 < 21. Увеличение коэффициента а приближает значение t11 к нулю, а модель (8) — к модели белого шума с единичной дисперсией, в которой все собственные значения равны единице, собственные векторы — нули с единственным единичным значением, ОСШ й2 = 1.

Следует отметить, что метод неравномерной дискретизации требует расширенной, но конечной полосы частот обнаружителя. Так, в последнем примере t11 = 0,5720 (см. рис. 5), что возможно при увеличении полосы частот в 2 раза, в примере с узлом ti (см. рис. 4, в) требуется увеличение полосы более чем на порядок.

Сложные гипотезы

Практическая реализация «сверхобнаружения» требует специальной проработки, связанной с плохой обусловленностью задачи. В радиотехнике, как правило, шум стационарен на ограниченных интервалах времени, поэтому применяются адаптивные системы с каналом измерения характеристик шума. Погрешности измерения функции корреляции или корреляционной матрицы приведут к погрешностям задания формы сигнала (собственного вектора корреляционной матрицы). Необходимо исследовать эффективность обнаружения сигнала с искажениями формы в целях определения требований к измерительному каналу. Известные результаты статистического анализа собственных векторов и собственных значений связаны с методом главных компонент [6], в котором выделяются максимальные значения. Статистические исследования минимального собственного значения и соответствующего собственного вектора в задаче об-

наружения представляют самостоятельный интерес. Следующий пример отчасти характеризует круг вопросов, которые при подобных исследованиях следует разрешить.

Пусть функция корреляции имеет вид (3), оценки коэффициентов

а е N(0,5; 0,01), р е N(п; 0,06)

(9)

время прихода сигнала и положение узлов дискретизации известны. Пусть интервал дискретизации Д = 1, второй отсчет смещается в окрестность точки t21 (см. рис. 4, а) и назначается равным t2 = 1,71. Если бы коэффициенты были известны, было бы получено ОСШ й2 = 22,3. Результаты моделирования сигналов Я и значения Х1 при случайных параметрах (9) показаны на рис. 6. Сигналы мало различаются по форме, часть из них соответствует значениям Х1 < 0. Полярность сигналов не имеет значения, например, сигнал Ят = [-0,2412; -0,4316; -0,5056; -0,5056; -0,4316; -0,2412] обеспечивает ОСШ й2 = 19,5, сигналу Ят = [0,2482; 0,4301; 0,5034; 0,5034; 0,5034; 0,4301; -0,2482] соответствует значение й2 = -366,1. Гистограмма минимальных собственных значений показывает, что при параметрах (9) невозможно обнаружить «14 % сигналов (с Х1 < 0). Среднее значение положительных значений ОСШ, равное й2 « 50, здесь не является признаком повышения эффективности обнаружения, так как среди полученных 860 значений й2 > 4,5 встречаются отдельные, доходящие до й2 > 5000.

Таким образом, этот упрощенный пример показывает, что попытка приблизиться к «сверхобнаружению», например в синхронной системе связи, может сопровождаться комплексом теоретических и инженерных задач от оценивания корреляционных свойств шума до организации системы.

В асинхронных системах может существовать другое ограничение, накладываемое разрывом функции й2 = 1/Х^), — необходимость синхрони-

0,05 О 0,05 0,10,15 0,2

Рис. 6. Сигналы, гистограмма минимального собственного значения

зации обнаружителя для максимизации ОСШ приближением узла дискретизации к точке разрыва. Погрешности синхрогенераторов приводят к необходимости некоторого сдвига узла. За счет большой крутизны й2 в окрестности t0 реальное ОСШ окажется значительно меньше потенциального.

Например, пусть оптимизируется третий узел дискретизации функции корреляции (3) смещением в окрестность точки t0 « ^2 = 3,748 (см. рис. 4, б). Пусть назначается t3 = 3,7 (рис. 7, 1 — функция й2). Сигнал

ЯТр* = А[0,3137; 0,5645; 0,2880;

-0,2880;-0,5645; - 0,3137],

соответствующий заданному значению t3, обеспечивает ОСШ й2 = 54,04. Если синхронизатор имеет погрешность 5е^(0, ст), ст = 0,012 (нормальная плотность 2 на рис. 7 увеличена в 50 раз), будет достигнуто среднее значение ОСШ й 2 = 58,8. При равномерной дискретизации = 3,85, так

что в этом случае неравномерная дискретизация оказывается на 11,8 дБ эффективнее. Моделирование обнаружителя в этом примере проведено для N = 3000 случайных значений t3: вычислялись значения статистики при гипотезах Н0 и Н1; ОСШ и рабочие характеристики Б = ф(Р) усреднены (рис. 8, 1). Значение й2 = 6 соответствует ам-

В • 102,/

3,66 3,67 3,68 3,69 3,7 3,71 3,72 3,73 3,74 * Рис. 7. Усреднение ОСШ

0,90

0,81

0 0,01 0,1 Рис. 8. Рабочие характеристики

плитуде сигнала А = 1/3 (ОСШ на входе й = 1/3) и близко к расчетным значениям. Рабочие характеристики построены в нелинейном масштабе:

= 2^, Ю1 = 2—1о8°,9 В. На рис. 8 линия 2 — рабочая характеристика, полученная для сигнала с ¿3 = 3,7: приемлемая нестабильность синхрогенератора не оказывает существенного влияния на эффективность обнаружения.

Таким образом, при априорной неопределенности эффективность метода неравномерной дискретизации может значительно уменьшиться по сравнению с потенциально достижимой, тем не менее, следует ожидать ее превосходства по сравнению с эффективностью метода равномерной дискретизации.

Заключение

В условиях аддитивного стационарного гауссова шума оптимальный сигнал имеет форму соб-

1. Воробьев С. Н. Эффективное обнаружение детерминированных сигналов / ГУАП. — СПб., 2002. — 139 с.

2. Нестерук В. Ф. О влиянии формы сигнала на его обнаружение при нормальных коррелированных помехах // Радиотехника и электроника. 1963. № 8. С. 1319 — 1325.

3. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.:

Мир, 1989. — 656 с.

ственного вектора, соответствующего минимальному собственному значению. При проверке простых гипотез и исходной равномерной дискретизации сигнала один из отсчетов может быть смещен к точке t0, в которой минимальное собственное значение корреляционной матрицы шума равно нулю. При этом достигается потенциальная эффективность обнаружения — на выходе дискретного согласованного фильтра может быть получено сколь угодно высокое ОСШ для сигнала с единичной энергией и шума с единичной дисперсией.

В точке t0 ОСШ претерпевает разрыв второго рода, что определяет плохую обусловленность задачи обнаружения с неравномерной дискретизацией. Плохая обусловленность усложняет проверку сложных гипотез.

Автор выражает глубокую признательность профессору Г. И. Худякову за конструктивное обсуждение работы.

4. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966. — 678 с.

5. Воробьев С. Н. Интегральное уравнение генератора стационарного нормального процесса с заданной функцией корреляции EQGEN. — М.: ФАП ВШ. Рег. № 50200000065, 2000.

6. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1976. — 736 с.