Построение в физике уравнения для метрического тензора с привлечением первого тензора кривизны Картана расслоенного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.12.01

В.П. Севрюк

канд. физ.-мат. наук, доцент, г. Уссурийск

ПОСТРОЕНИЕ В ФИЗИКЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МЕТРИЧЕСКОГО ТЕНЗОРА С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ПЕРВОГО ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ КАРТАНА РАССЛОЕННОГО ПРОСТРАНСТВА

Аннотация. В статье строится первый тензор кривизны Картана [4] с привлечением метрической функции, в основе которой функционирует специальная теория относительности. После двойного свертывания индексов первого тензора кривизны Картана получаем дважды ковариантный (дважды контравариантный) тензор типа тензора Риччи [3] в римановой геометрии. Физико-геометрическими действиями дважды ковариантный тензор приводится к уравнению типа уравнения общей теории относительности [1].

Ключевые слова: тензор, кривизна, пространство, гравитация, метрика.

V.P. Sevryuk, Ussuriysk

CONSTRUCTION IN PHYSICS OF THE EQUATION FOR METRIC TENZOR WITH THE FIRST TENZOR'S

INVOLVEMENT OF CURVATURE OF THE CARDBOARD OF THE STRATIFIED SPACE

Abstract. In article the is devoted to first tenzor of curvature of Kartan [4] with attraction of metric function at the heart of which the special theory of a relativity functions. After double folding of indexes of the first tenzor of curvature of Kartan we receive twice covariant (twice kontravariantny) a tenzor such as a tenzor of Richchi [3] in rimanovy geometry. Twice the covariant tenzor is given by Fiziko-geometrichesky actions to the equation such as the equation of the general theory of a relativity [1 ].

Keywords: tenzor, curvature, space, gravitation, metrics.

Введение. Имеется проблема, связанная с распространением теории обобщенных координат, основы которой были заложены Лагранжем, Гамильтоном, Эйлером и др., на дифференциальную геометрию расслоенных пространств внутренних степеней свободы XnN («пространств с опорным элементом» в терминологии Лаптева Б.Л или «составных пространств» в терминологии Вагнера В.В.) [5; 6].

Актуальность проблемы. Математик Р. Герман (Robert Hermann, Department of Applied Sciences, Harvard University, Cambridge, Massachusetts): «...я твердо верю в дальнейший прогресс этих исследований. Методы дифференциальной геометрии настолько интересны и глубоки, что они должны привести к лучшему пониманию разнообразных нелинейных явлений.» [7, с. 47]; «Я думаю, однако, что предмет открывает невиданные возможности для приложения методов современной математики к важнейшим областям естественных наук и техники.» [7, с. 66]; «... тема достаточно богата для того, чтобы обеспечить бурный рост, если создать достаточно плодотворную почву. Мы видим здесь классический пример новой математики и физики.» [7, с. 68].

Геометрические основы. Рассматривается расслоенное пространство XnN, образованное топологическим произведением пространства Xn (база) и пространства значений дифференциально-геометрического объекта S. Базовое пространство Xn гомеоморфно n-мерной области пространства Эвклида. Каждой точке Pе Xn относятся n чисел (координаты) X , где i = 1.2.3, ..., n из некоторой области арифметического пространства. X' являются в физике обобщенными криволинейными координатами (x,y,z,t, температура, энтропия, термодинамический потенциал...).

Xn - пространство класса m, так как постулируются преобразования, образующие

псевдогруппу класса т , то есть имеются дифференцируемые до порядка т (т > 0) и взаимнооднозначные преобразования координат

X = Т (X), /, 1 = 1, 2, 3, ..„ п. (1)

В физике эти преобразования являются естественными, то есть имеют силу преобразования координат, допускаемые законами физики. Примером таких естественных преобразований в физике являются преобразования Лоренца в специальную теорию относительности (СТО).

Пространство значений дифференциально-геометрического объекта X есть касательное пространство, которое является однородным пространством Клейна, фундаментальной группой которого служит общая дифференциальная группа Ли с параметрами, значения которых ^, 7]. ,,..., 12..., индуцируются преобразованиями (1), образуя систему значений частных производных функции (1) в точке Р е Хп.

Дифференциально-геометрическим объектом X класса т в точке Ре Хп называют конкретное представление группы Ли в виде группы преобразования

—а —а ( о Г _ ' \

X = Р (X', Г., Г 1,2,..., Г,,..., ) . (2)

'1т /

Пространство значений X гомеоморфно некоторой области пространства Эвклида N измерений.

Преобразования (2) определяют тип объекта (скаляр, спинор, вектор, тензор более высокого ранга).

Геометрические структуры расслоенного пространства в СТО. В СТО реализуются расслоенные пространства внутренних степеней свободы XnN [2], образованные топологическим произведением пространства (база) и пространства значений дифференциально-геометрического объекта X.

Не теряя общности изложения, ограничимся двумерным базовым пространством с координатами X , где ' = 0,1, и слоевыми координатами г1 = , г2 = —X-, где t - параметр, г1

дt дt

и г)2 - проекции вектора. Слоевое пространство имеет также N = 2 измерений.

Если Г = Г(Х), тогда имеем дело с векторным полем.

Величинам придадим физический смысл. t - время, г1 и г2 - проекции вектора скоро-

Н

сти. Размерность [г1 ] = [т2] = — .

Кл

Метрическую функцию Р(X, Г) построим на основе специальной теории относительности. Геометрические требование: она должна в каждой точке Ре X являться однородной функцией степени один в слоевых координатах и однородной функцией степени нуль в базовых координатах (чтобы сохранялась физическая размерность). Вводим постоянную составляющую вектора г. Такой составляющей вектора служит величина г0, являющаяся скоростью света с. Составляющая г1 является проекцией вектора скорости на ось х (возможно и на ось у, и на ось г), Метрическая функция Р (X, г') определяет длину вектора г. Возведем метрическую функцию в квадрат, получим функцию Р2 (X, г'), которая является однородной функций степени два в слоевых координатах.

Представим ее в виде:

Р2 = аг°Л-12, где а - постоянная, Л = г°2 -г1. В ОТО данная функция имеет размер-

ность Дж/м3). Не теряя общности изложения, ограничиваемся стационарным полем. Если аяв-ляется массой (релятивистской массой), то получаем известную формулу СТО Е = mc .

Заметим, что в СТО можно построить многообразие различных метрических функций. Многообразие метрических функций можно построить и в других разделах физике (электродинамике, термодинамике и др.).

Здесь же построена простейшая метрическая функция.

Дальнейшие действия будут проходить в соответствии с работой [4].

Имеется дуальное пространство с координатами С, которые определяются следующим образом,

С - 1 —. (3)

^ 2 Эт' ( )

Тогда получаем конкретные составляющие ковариантного вектора:

С0 - 32а/ Л-12 - 12аТ Л-32 , С = У2ал°ъ Т1 Л-32.

/2^ч /2 ' ' ^ 1 — /2

Они приводят к соотношению

С Т = Р2. (4)

Здесь эта формула играет роль проверочной. При подстановке составляющих вектора получаем тождество. Вывод: составляющие ковариантного вектора найдены правильно. Составляющие метрического тензора находим по формуле:

О = 1-Э^ . (5)

' 2 Эт' ЭТ

Это есть однородные функции степени нуль в слоевых координатах. Размерность кг.

- Vал0 л->2 - 7/а„°3 Л-32 + 3.

0д -/2

С00 - %ат] Л /2 - у0ат] Л /2 + 3/2ат Л

2

С» - Ою - 3/ат02Т1Л-32 - 32 ат04 Т Л-52 , (6)

С11 - 12 ат03 Л-32 + 32 аТ Т Л-52.

Имеем

Р2 - О тТ Т. (7)

Последняя формула является проверочной. Подставим в нее составляющие метрического тензора, получаем тождество. Вывод: составляющие метрического тензора найдены правильно. Коэффициенты связностей находятся по формуле

С. -1 Э2 Р2

4 ЭТ ЭТэТ '

Получаем

С000 - 32а Л-12 - 27/ат02 Л-32 + 3^4ат°4 Л-52 - 15/аТ Л-72 , С001 - С010 - С100 - 32ат0Т1Л-32 - 21/4аТ3 ТЛ-52 + 15/аТТ Л-72 , (9)

С111 - 34ат03 Т1Л-52 + 15/2ат°3Т1 Л-72 ,

С„1 - Сц0 - С011 - 34ат02Л-32 - 3/ат04 Л-52 + 9/аТ Т Л-52 + 15/атт°У Л-72

Данные коэффициентов связности удовлетворяют условию Эйлера.

СтТ - СТ - СТ - 0. (10)

Это условие является проверочным. Подставив в него коэффициенты связностей и составляющие векторов, получаем тождества, равные нулю. Вывод: коэффициенты связностей найдены правильно.

Первый тензор кривизны имеет вид [4]:

^ м = Акг - А]к . О1)

где Лкг = РСкг.

Свернем индексы следующим образом:

Бь = р2 [С „.О - С „С ]врпвтг. (12)

/к I рк/ гпт гкп р/т Л V

Получили тензор типа тензора Риччи в римановой геометрии [3], который используется в ОТО. В уравнении гравитации в ОТО он приравнен к плотности энергии-импульса. В случае релятивисткой массы получаем размерность

[в. ] = Б ] = ^Жсе2.

м 1

В геометрии размерность [Б. ] = —.

м

Чтобы перейти к геометрическому тензору Б. следует ввести две постоянные у и с с

размерностями [у] = Н м , [с] = и помножить Б. на у. Окончательно получаем кг2 сек с2

Б. = у Б. . (13)

с

1

Заметим, что Б. содержит —.

с

Это уравнение сохраняет физико-геометрические связи основного уравнения ОТО. Если

1 2

к левой части добавить член —О1} Б, а правую часть умножить на 8р , где Бг - скалярная кри-

1 у Ф

визна пространства, то полученное уравнение БГ. +— О.Б = Б. совпадает с основным

2 ' с

уравнением ОТО как по физико-геометрическому содержанию, так и по форме.

Уравнение гравитации в ОТО, например, Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. [1] получают с использованием принципа наименьшего действия, приравнивая геометрические и физические величины (тензор Риччи, скалярную кривизну риманова пространства и плотность тензора энергии-импульса). Этим самым постулируется, что энергия-импульс искривляют пространство-время. В ОТО введены физические величины у и с. При приравнивании геометрических и физических величин необходимы, по крайней мере, две размерные величины: у и с с размерностями [у] = Н м2 и [с] = . И в самом начале изложения они объявлены соответственно кг2 сек

гравитационной постоянной и скоростью света. Это не совсем корректно. Физическое содержание у раскрывается при соблюдении принципа соответствия: ОТО в пределе должна сводиться к теории Ньютона. Здесь и раскрывается физическое содержание у. Она является гравитационной постоянной. Ее численное значение получают экспериментально. Физическое содержание постоянной с раскрывается при получении в ОТО волнового уравнения, где постоянная с является скоростью гравитационной волны. Численное значение этой постоянной найдено экспериментально: оно совпало со скоростью света.

Величины у и с имеют числовые значения. В уравнении ОТО они образуют комбинацию

УУ =-и — = 12.2.1043Н .

с 12.2.10 Н у

Уравнение (13) также содержит эту комбинацию.

Получается, что в правой части уравнений содержится две физические величины: плотность энергии-импульса в числителе и в знаменателе - силу, числовое значение которой 12.2.1043Н . Таким образом, на кривизну пространства-времени влияет не только плотность энергии-импульса, но и сила.

Для соблюдения преемственности разумнее представлять уравнение (13), как и основное уравнение ОТО, в форме

12..2 1043Б1 = с2 Эк .

Н Дж

Размерность уравнения — = ——.

м м

Рассматриваемые уравнения фактически отображают формулы напряженности и потенциала гравитационного поля. Например, напряженность гравитационного поля в теории тяготения Ньютона представляется формулой

М Р _

У— = — = Е, г2 т

где М и т - массы, Е- напряженность гравитационного поля.

Н Дж _ _

Размерности совпадают, а именно, — = ——. Подобное можно получить и для потенциала

м м

1

поля. Здесь простая зависимость - гиперболическая (размерность —-). В рассматриваемых

м

уравнениях геометрическая зависимость сложная: в ОТО она задана тензором Риччи (размерность 1

---), а в построенных уравнениях она задана тензором, построенным на основе первого тензора

м

кривизны Картана. fSk, где f- сила, является давлением (размерность Па).

Конкретный пример. Определим Эк. Для этого подставим в выражение Эк конкретные значения (6) и контравариантные тензоры тензорам (9) при к = 0 и / = 0. Получаем

12

= Э = 9 Р2 _ о2 [12Ь6-11Р + 6]2 в= V

Э00 = Э00 = 4С2Р 1 , ь [1 -Я5[2 + 3Ь2]2 ' Ь = С1

где V- скорость.

Построим Э0г0 так, как это сделано в работе [1], а именно, умножим Э® на у2 . Получаем

с

Э0 = - 9 У4 Р2 о . (14)

Геометрические структуры расслоенного пространства в электромагнетизме. В

элект ромагнетизме также реализуются расслоенные пространства внутренних степеней свободы ХпЫ [2]. В этой связи и в электромагнетизме возможно построение с привлечением геометрии расслоенных пространств внутренних степеней свободы уравнения, которое сохраняет основные связи и форму основного уравнения ОТО.

Не теряя общности изложения, также ограничимся двумерным базовым пространством

п ■ г. и 1 ЭХ 2 ЭХ2 .

с координатами Х , где / = 0,1 и слоевым координатами ц , ц , где t - параметр,

Эt Эt

ц1 и ц2 - проекции вектора. Слоевое пространство имеет также N = 2 измерений.

Величинам придадим физический смысл: ^ - время, г1 и г2 - проекции вектора напряженности электрического поля. Размерность [г1] = [т2] = Н. Вектор г касательный вектор к

Кл

линии электрической индукции.

Квадрат метрической функции Р2 представим в виде:

Fz - e e\ h |h2 = e0

f 23\

Л

(15)

Ф I г2 I

где е0 - фундаментальная электрическая постоянная с размерностью [е0] = —, I - ди-

м { г )

электрическая «постоянная». Она является функцией напряженностей электрического поля, т.е. состояние среды зависит от электрического поля. Данная метрическая функция отвечает геометрическому требованию: она является однородной функцией степени два в слоевых координатах. Ее размерность [Р2 ] = ^^.

м3

Заметим, что в электромагнетизме также можно построить многообразие различных метрических функций.

Здесь же построена простейшая метрическая функция. Дальнейшие действия будут проходить в соответствии с работой [4]. Также имеется и дуальное пространство с координатами Ь,, которые определяются по формуле (3).

Тогда получаем конкретные составляющие ковариантного вектора:

23 л 22

Ь = _ е г Ь = з е г

Ь 1 = _ 12 , Ь 2

2г 2 2г1 Они удовлетворяют уравнению (4).

Составляющие метрического тензора находим по формуле (5). Получаем

п п e0 h П 3g0 h /лс\

G11 = -G12 =--G22 = -— ■ (16)

h h h

Это есть однородные функции степени нуль в слоевых координатах. Они удовлетворяют уравнению (7).

Коэффициенты связностей находятся по формуле (8). Получаем

с -- 3 gph23 с _ С _ с _ с _ 3 £0h22 С _ С _ С __ 3 e0h2 (17)

С111 _ « 14 ' С222 0_1 > С112 _ с121 с211 _ 1з > с122 _ с221 _ с212 _ _ 12 К11/ 2h 2h 2h 2h

Данные коэффициентов связности удовлетворяют условию Эйлера (10).

Здесь также используем первый тензор кривизны (11) и тензор, полученный двойным свертыванием его индексов (типа тензора Риччи в римановой геометрии) (12). Имеем размерность

Б ] _ S ] - ДЖ КЛ 2

м3 Н2

1

В геометрии размерность Б^ - —

м

Чтобы перейти к геометрическому тензору Б^ следует ввести три постоянные

г , Н. м2 г , м _ _Ф с4 _

[у] =—— , [с] =-, е = Кл - элементарный заряд и умножить БФ на —-. Окончательно

кг сек уе

с 4

получаем Эк = —2Э®к .

уе

Это уравнение также сохраняет физико-геометрические связи основного уравнения ОТО, совпадает с основным уравнением ОТО как по физико-геометрическому содержанию, так и по форме.

Конкретный пример. Определим ЭГ2(= Э^). Для этого подставим в выражение (5) Эфк конкретные значения (16) и (17) при / = 1 и к = 2. Получаем

Эг = с4 Р2 о 18[Ь3 + 2О - 1] Е

= уе2Р о, о= ЕЕ2 ' ь = Е■

Это уравнение сохраняет структуру формул потенциала и напряженности для электростатического поля.

Заключение. Используя геометрические структуры расслоенного пространства, получили уравнения, которые совпадают по содержанию с основным уравнением ОТО и сохраняют основные физико-геометрические связи ОТО.

Геометрическое описание с привлечением расслоенных пространств внутренних степеней свободы возможно для систем с большой неоднородностью и анизотропией, нелинейных систем, процессов пересечений механико-электрических, мехнико-магнитных, термоэлектрических, термо-магнитных и т.д.

Список литературы:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М. Теория поля. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 400 с.

2. Лаптев Б.Л. Ковариантный дифференциал в теории дифференциальных инвариантов в пространстве тензорных опорных элементов // Ученые записки / Казан. гос. ун-т. - Казань, 1958. - Т. 118, кн. 4. - С. 75-147.

3. Рашевский П.К. Риманова геометрия. - М.: Наука, 1967.

4. Рунд Х., Дифференциальная геометрия финслеровых пространств / пер. с англ. Г.С. Асанова; под ред. Э.Г. Позняка. - М.: Наука, 1981. - 502 с.

5. Севрюк В.П. Расслоенные пространства внутренних степеней свободы // Вестник института образования взрослых Петровской академии наук и искусств (ИОВ ПАНИ). - Санкт-Петербург, 2010. - Вып. 2.

6. Севрюк В.П. Расслоенные пространства внутренних степеней свободы / XXII Международный философский конгресс, 30 июля - 5 августа 2008 г., Сеульский Национальный университет. - Сеул, Корея. - 459 с.

7. Солитоны в действии / пер. с англ. под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. - М.: Мир, 1981. -

312 с.