CC BY
86
ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИНСТРУМЕНТА ПРИ МНОГОКООРДИНАТНОЙ ОБРАБОТКЕ
А.И. Будник; Е.И. Кац, к.т.н. (Уральский государственный технический университет,
г. Екатеринбург, budnikalexandr@mail.ru)
В статье рассматривается задача моделирования движения фрезерного инструмента при многокоординатной обработке. Разработан алгоритм построения траектории движения инструмента. При моделировании обработки заготовки по такой траектории можно рассчитывать на более точное представление обработанной поверхности.
Ключевые слова: многокоординатная обработка, геометрическое моделирование, траектория движения, дуга окружности.
Рассмотрим задачу моделирования движения фрезерного инструмента при многокоординатной обработке. На начальном этапе строится траектория движения инструмента. Исходя из практики применения такого моделирования, траектория должна быть получена в системе координат заготовки.
Основная постановка задачи: задана кинематика станка в виде дерева, узлами которого являются оси, осуществляющие вращение или перемещение элементов станка (рис. 1). Каждая ось управляется не более чем одной координатой. Заданы начальные и конечные значения координат для управления станком. Изменение всех координат считается линейным по времени. Необходимо аппроксимировать траекторию движения инструмента NURBS с заданной точностью в системе координат заготовки.
Идея аппроксимации траектории заключается в следующем. На первом этапе точным аналитическим методом находим касательные векторы на концах сегмента траектории. Затем строим сегмент рациональной кубической кривой, соответствующий найденным касательным векторам. Далее оцениваем погрешность и разбиваем сегмент траектории на части, если это необходимо.
Касательными векторами на концах траектории являются векторы мгновенной скорости движения инструмента. Мгновенная скорость в неко-
1 root \
1 An-1 А B„.i Л
Ao Л f Bo
/ Tool f Stock \
Рис. 1
торой точке Р(1) равна производной закона движения этой точки по 1. Движение инструмента относительно заготовки опишем путем умножения всех точек инструмента на некоторую матрицу, зависящую от 1. Тогда
Р(1)=Р0м(е);Р(е)=Р0м(е), (1)
где Р(1) - точка на кривой; Р0 - точка в начале кадра (Р0=Р(1)!Ь0); М(1) - матрица перемещения инструмента из Р0 в Р(1). Матрица М(1) предста-вима в виде
М(1)=Ато„ (1)-В1 (1)_
_Ао (1) ...Ап_1(е).в-га1_1(е).....в-1(е),
где АТоо1(1), В81оск(1) - матрицы движения инструмента и заготовки в системе координат станка соответственно; А^ Bj - матрицы, характеризующие движение по 1-й оси, управляющей положением инструмента, и j-й оси, управляющей положением заготовки. Так как каждая ось управляется определенной переменной, например, определенной станочной координатой, то возможны случаи, когда несколько осей станка управляются одной и той же станочной координатой. Полная производная матрицы М(1) будет выглядеть так:
(1м _ эм ах/
1 Эх1 1
(3)
Х _Х1 (1)
где М(1) - матрица оси станка; х0, хь ..., хп -переменные, управляющие станочными осями. Таким образом, после дифференцирования выражение (2) примет вид выражения (3). Количество слагаемых в нем равно количеству координат станка. Если одной координатой управляется несколько осей станка, слагаемое из выражения (3) будет представлять собой сумму нескольких частных производных матрицы станка по этой координате.
При моделировании траектории движения инструмента полезно уметь распознавать два частных случая - отрезок и дугу окружности. Такая задача распознавания решается на основе анализа соотношения между вращательным и поступательным движениями.
В работе станка также часто встречается движение инструмента по винтовой линии. Важно уметь без решения задачи распознавания модели-
ровать винтовую траекторию движения инструмента кривой, которая в проекции на плоскость вращения представляла бы собой окружность. При моделировании обработки заготовки по такой траектории можно рассчитывать на более точное представление обработанной поверхности. Исходя из этого, был реализован метод, позволяющий находить ось винтовой линии, зная начало и конец кадра, а также векторы скорости в них.
Постановка задачи: заданы начало и конец кадра - Po и P3, векторы мгновенной скорости T0 и T3 в точках P0 и P3. Необходимо построить винтовую траекторию движения инструмента.
Вначале весь кадр разбивается на дуги не более 180°, для того чтобы можно было представить их рациональными кубическими кривыми. Зная это, можно выявить траекторию в виде отрезка, если векторы мгновенных скоростей на концах траектории коллинеарны. Если нет, то считается, что траектория представляет собой либо дугу окружности, либо винтовую линию. В обоих случаях ось вращения может быть найдена.
Рассмотрим схему (рис. 2). Плоскость у перпендикулярна вектору оси винтовой линии n. Из соображений о строении винтовой линии имеем
To-n=T3-n . (4)
В таком случае вектор оси можно представить следующим образом:
n=aoTo+аз'Гз +ц.роXT3] , (5)
L -1ед
где а0, а3 и ц - числовые коэффициенты.
Так как в винтовой линии модули мгновенных скоростей одинаковы, выражение (5) примет вид
n=a(To+T3 [To XT3 ]ед. (6)
Если необходимо найти лишь направление вектора оси, можно считать коэффициент а=1.
[ToxT3]
n У
[To*T3L„-M
P
T3
^-s
\ 2 - P
а/ 2 /
\ \ To
\ T \
Рис. 2
Выражение (6) упростится до вида
n=(To + T3)+^poXT3]ед .
Из рисунка 2 следует, что
'П-Р!=^/(T0+T)г 4п-Р
To + T3 -tg
(7)
. (8)
ч2 /
Зная способ нахождения п, единственной неизвестной остается в, то есть, по сути, угол, задающий ориентацию вектора п относительно векторов Т0 и Т3. Для расчета нужного угла в необходимо иметь инструмент, качественно оценивающий вычисление п. Из основной постановки задачи известно, что станочные координаты изменяются линейно во времени. Значит, при движении инструмента по винтовой линии точка на инструменте, описывающая траекторию, движется с постоянной угловой скоростью в плоскости у (рис. 3).
. P'3
P'o
а'/ 2
ЧЧ Y
Рис. 3
Так как плоскость у расположена под углом в к плоскости Т0 Л Т3, то справедливо следующее выражение:
* a ' tg . a 2
tg—=—— 2 cosP
(9)
Здесь угол а', зависящий от времени, и есть угловая скорость:
a ш
—=—=arctg 22
tga-cosP
(10)
где а - угол между векторами Т0 и Т3 (рис. 4).
Рассматривая рисунок 4, можно написать следующее выражение, из которого выразить а:
'T + T 42
2
= |To|2-cos2a , o2
a=2-arccos
V (To + T3 )2
2-T
(11)
(12)
Винтовая траектория движения инструмента также характерна тем, что инструмент имеет постоянный по времени модуль линейной скорости. Отсюда следует, что
юК=|т0'|=const, (13)
где T - проекция вектора скорости в начале кадра на плоскость у.
Исходя из рисунка 3, вычисляем радиус проекции винтовой линии:
К
прт P0P3
Ip'p'I
P0P3
„ . а „ . ю 2-sin— 2-sin
2
р р р0р3 P0P3 -n 0 3 ед
2-sin
ю
"2
(14)
2 2
где К - радиус проекции винтовой линии; пруР0Р3 - длина проекции Р0Р3 на плоскость у;
Р0' и Р3' - проекции Р0 и Р3 на плоскость у соответственно.
Модуль линейной скорости постоянен во всех точках винтовой линии, а значит, должен быть равен модулям мгновенных скоростей Т0 и Т3 в начале и конце траектории движения. Сравнение на совпадение значений скоростей на концах траектории и скоростей, полученных из вычислений и зависящих от угла р, дает возможность написать функцию Р(Р) для оценки:
Р(Р)=2-Ю(Р)-К(Р)^T -(To-ntl)2 ,
где F(P) - качественная функция от р.
Учитывая, что ^Т02-(To п..,) = ^то'|
(15)
/Тз2 -(Т3 *Пед ) _ |Тз'| , получим формулу для Г(Р):
г(р)_ 2ш(р)к(р)-|т;|-|т;|. (16)
График данной функции изображен ра рисунке 5. Из графика видно, что есть некоторое значение ропг, при котором функция Е(Р) принимает нулевое значение, то есть такую ориентацию вектора П в пространстве, при которой векторы скорости на концах траектории совпадают с векторами, заданными изначально; ропг находится методом дихотомии на интервале [р0, 180).
Так как предельным случаем винтовой траектории движения инструмента является дуга окружности, то р0 ищем следующим образом:
Р0Р3-((Т, + Тз)+Х-[Т,хТз])_0 , (17)
F(P)
\Ро„ 180° в
в0 \
Рис. 5
P0P3-(То+Т3)+^-PoP3 -[ТоХТ3]= 0 ,
. р0р3-(Т0 +Т3)
р0р3 -[Т0*Т31Д '
V Т2+Т32'
р 0=arctg
(18)
(19)
(20)
где 1 - длина вектора [Т0 хТ3].
Получив вектор п оси винтовой линии, можно построить траекторию. Так как проекцией траектории на плоскость у, перпендикулярную вектору п , является окружность, то проекция характеристической ломаной на эту плоскость будет ломаная, с совпадающими управляющими точками кривой Р1 и Р2. А так как траектория не является плоской кривой, касательные на ее концах не пересекаются. Значит, Р1 и Р2 не совпадают, а отрезок ломаной Р1Р2 будет перпендикулярен плоскости у. Для нахождения управляющих точек Р1 и Р2
найдем точку пересечения Т0' и Т3 в плоскости у. Восстановим их до реальных прямых, являющихся продолжениями касательных векторов Т0 и Тз , после чего соединим характеристической ломаной.
При построении траектории движения инструмента необходимо решить задачу уточнения.
Постановка задачи: построить траекторию движения инструмента с погрешностью не более заданной.
Pl=P2 /S // /У N \ — \ ■s\
гч
P0 P3 Рис. 6
0
2
и
При рассмотрении данной задачи самым простым решением является деление траектории на несколько сегментов, пока отклонение получившихся в результате частей от истинной кривой не уложится в заданную погрешность (рис. 6).
Так как отклонение кривых друг от друга заведомо меньше А, величина А может служить оценкой (достаточно грубой) отклонения сверху. На рисунке 7 изображена винтовая линия - результат построения траектории. Инструмент одновременно поворачивается вокруг оси винтовой линии и смещается вдоль нее. Движение вдоль оси винтовой линии осуществляется с поворотом. Таким образом, инструмент движется по поверхности тора переменного радиуса. Это сложное движение обусловлено двумя независи-
мыми перемещениями и двумя независимыми вращениями. Данный кадр записан в программе в виде следующих изменений значений координат: B2160.Z-140.Y-500.C30.
Соответственно, значения координат XYZABC до и после выполнения кадра выглядят так: (50, 10, 0, 0, 0, 0) и (50, -490, -140, 0, 2160, 30).
На основе полученных результатов разработаны алгоритмы и программы моделирования траектории движения инструмента. Соответствующий модуль включен в состав симулятора обработки на станках с ЧПУ. Кроме того, эти результаты являются основой для дальнейших исследований в области геометрического моделирования сложной многокоординатной обработки.
Литература
1. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве; пер с англ. М.: Мир. 1982. 304 с.
2. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. М.: Мир, 1989. 478 с.
3. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989. 504 с.
4. Шикин Е.В., Боресков А.В., Зайцев А.А. Начала компьютерной графики. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1993. 138 с.
МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ПОСТАВКАМИ ГОРЮЧЕ-СМАЗОЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ АВТОТРАНСПОРТНЫМИ СРЕДСТВАМИ
М.В. Драпалюк, д.т.н.; Д.Н. Афоничев, д.т.н.
(Воронежская государственная лесотехническая академия, kafedramehaniza@mail.ru)
Предложена модель управления поставками горюче-смазочных материалов (ГСМ), которая учитывает затраты на доставку партии ГСМ автотранспортными средствами и позволяет установить оптимальный объем партии ГСМ, обеспечивающий минимальные затраты на их покупку, хранение и доставку.
Ключевые слова: модель, поставки, объем партии, скидка, затраты, горюче-смазочные материалы, автоцистерна.
Обеспечение бесперебойной и эффективной работы производств, осуществляющих эксплуатацию самоходных машин и тепловых энергоустановок, работающих на жидком топливе, предусматривает создание и пополнение запасов горюче-смазочных материалов (ГСМ) [1, 2]. Закупка крупных партий ГСМ предусматривает скидки на отпускную цену, что, несомненно, надо учитывать при управлении поставками. Модель управления поставками ГСМ с учетом скидок можно получить, используя известную модель управления запасами ресурсов [3, 4]:
z. д. s.Q. Z. = + + с. д. 1 Q. 2
• min;
1 = 1,1; е = 0, Е(, (1)
где Zi - затраты на управление запасами ГСМ 1-го вида в единицу времени, руб./л (руб./кг); zi -затраты на оформление заявки и доставку партии
ГСМ 1-го вида, руб.; д, - интенсивность потребления ГСМ 1-го вида, л/смена (кг/смена); -объем партии поставки ГСМ 1-го вида, л (кг); 8( -удельные затраты на хранение ГСМ 1-го вида, руб./[л • сут.] (руб./[кг • сут.]); с1е - стоимость единицы ГСМ 1-го вида с учетом е-й скидки, руб./л (руб./кг); I - количество видов ГСМ; Е( - количество предоставляемых скидок для 1-го вида ГСМ.
Ограничения модели (1) следующие:
>^>0^1>0;81>0;с1е>0. (2)
Стоимость ГСМ 1-го вида с1 (руб./л или руб./кг) уменьшается с увеличением объема покупаемой партии Q¡ согласно зависимости:
с, = с - Ь1е при V < 01 < Уке+1); е = бГЕ, (3) где Ь1е - скидка на ГСМ 1-го вида при объеме партии от У1е до У1(е+1), руб./л (руб./кг); У1е - объем партии, при котором вводится е-я скидка, л (кг);
