ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КАДОМЦЕВА-ПЕТВИАШВИЛИ (КП-2) С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ МЕТОДОМ ДИБАР-ОДЕВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

_ДОКЛАДЫ АН ВШ РФ_

2018_октябрь-декабрь_№ 4 (41)

__ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ _

НАУКИ

УДК 530.182; 517.957

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КАДОМЦЕВА-ПЕТВИАШВИЛИ (КП-2) С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ МЕТОДОМ ДИБАР-ОДЕВАНИЯ

В.Г. Дубровский, А.В. Топовский, Г.М. Остреинов

Новосибирский государственный технический университет

В данной работе в рамках метода д -одевания Захарова-Манакова развита новая схема точного интегрирования нелинейных двумерных дифференциальных уравнений с интегрируемыми граничными условиями. Получены новые точные солитонные и периодические решения уравнения КП-2 на полуплоскости.

Продемонстрирована принципиальная возможность применения метода д -одевания для построения классов точных солитонных и периодических решений двумерных интегрируемых нелинейных уравнений с интегрируемыми граничными условиями.

Ключевые слова: интегрируемые нелинейные уравнения, метод дибар-одевания, двумерное интегрируемое нелинейное уравнение Кадомцева-Петвиашвили, интегрируемые граничные условия, солитонные и периодические решения.

Б01: 10.17212/1727-2769-2018-4-7-29

Введение

Пятьдесят лет назад был открыт метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений: метод обратной задачи рассеяния. Интегрируемое нелинейное уравнение при этом представляется как условие совместности соответствующих линейных вспомогательных задач. Ключевая идея, лежащая в основе этого метода - сведение задачи точного интегрирования нелинейных уравнений к решению ряда вспомогательных линейных задач, оказалась необычайно плодотворной. Как оказалось, метод обратной задачи рассеяния применим к широким классам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, разностных, интегро-дифференциальных и других уравнений.

Многие из нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, такие как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон, уравнение одномерного ферромагнетика Гейзенберга, уравнение резонансного волнового взаимодействия, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и другие имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом нелинейные интегрируемые уравнения и их локализованные солитонные решения имеют широкую область применения: от теории гравитации и квантовой теории поля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики и физики твердого тела.

Первоначально метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) был применен к интегрированию одномерных нелинейных эволюционных уравнений с временной и одной пространственной переменной. Сфера применимости МОЗР стремительно расширялась. За последние тридцать пять лет метод обратной задачи рассеяния был обобщен и успешно применен к различным 2+1-мерным нелинейным эволюционным уравнениям с временной и двумя пространственными переменными, таким как

© 2018 В.Г. Дубровский, А.В. Топовский, Г.М. Остреинов

уравнения Кадомцева-Петвиашвили [1, 2], Дэви-Стюардсона [4], уравнение Ишимо-ри [5], уравнения Нижника-Веселова-Новикова [6], система Захарова-Манакова, двумерное обобщение уравнения синус-Гордон и т. д. [7-10].

В настоящее время нелокальная проблема Римана-Гильберта [9], д -проблема [10] и более общий метод д -одевания Захарова-Манакова [11-17] являются основными инструментами для построения различных классов точных локализованных решений (2 + 1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений:

В данной статье метод д - одевания применяется к построению новых точных решений двумерного интегрируемого нелинейного уравнения Кадомцева-Пет-виашвили

и1 + иххх - 6иих + 3ст2д-1 иуу = 0 (1)

с интегрируемым граничным условием вида

(ихх + стиу )| у=0 = 0. (2)

Здесь значение параметра ст = 1 соответствует уравнению КП-2, случай ст = / соответствует уравнению КП-1; приняты также обозначения: д =д / д х,

ду = д / ду... и д-1 - оператор, обратный к дх . Впервые уравнение КП (1) было

получено в работе Кадомцева-Петвиашвили [1] из простых физических соображений некоторой двумеризацией уравнения Кортевега де Фриза (КдФ) -добавлением в одномерное уравнение малого поперечного возмущения. Хорошо известно, что уравнение КП-1 может быть представленно как условие совместности линейных вспомогательных задач Ьщ = 0, Ь^у = 0, в форме Лакса это условие имеет вид [2, 3]

[ЬЬ Ь2] = 0, (3)

линейные вспомогательные задачи для уравнения КП имеют вид

Ьщ = стуу - ухх +иу = 0,

1 (4)

Ь2У = Уt + 4Уххх -6иУх - (3их + стдхиу = а

В настоящей работе строятся новые точные решения уравнения (1) КП-2 (ст = 1) с интегрируемым граничным условием (2). Данное интегрируемое граничное условие для уравнения КП было установлено в работе Хабибуллина [18]. Интегрируемый характер граничного условия (2) означает совместность этого условия с линейными вспомогательными задачами (4) и, следовательно, возможность применения того или иного варианта метода обратной задачи к построению точных решений с указанным граничным условием. В работах Хаби-буллина с сотр. [19, 20] точные решения ряда интегрируемых нелинейных уравнений с интегрируемыми граничными условиями строились с использованием метода одевания Захарова-Шабата [3], основанного на применении уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко. В настоящей работе, на примере уравнения КП-2, продемонстрирована принципиальная возможность эффективного построения точных решений двумерных интегрируемых нелинейных

уравнении с интегрируемыми граничными условиями в рамках современного варианта метода обратной задачи, метода д -одевания Захарова-Манакова.

Статья организована следующим образом. В первом разделе приводятся основные формулы метода д - одевания в применении к построению точных решений с интегрируемым граничным условием (2) уравнения КП (1). Во втором разделе построен класс солитонных решений уравнения КП-2 с интегрируемым граничным условием (2), приведены примеры новых решений из этого класса, отсутствующие среди построенных ранее методом одевания Захарова-Шабата решений в работах Хабибуллина [18]. В третьем разделе построен новый класс периодических решений уравнения КП-2 (1) с интегрируемым граничным условием (2), приведены явные простые примеры точных решений из этого класса. В заключении кратко обсуждаются полученные результаты и перспективы применения метода д- одевания к построению точных решений двумерных интегрируемых нелинейных уравнений с интегрируемыми граничными условиями.

1. Основные формулы метода д- одевания для уравнений КП

Приведем некоторые важные для построения точных решений уравнений КП (1) формулы метода д- одевания для уравнений КП (1) (см. детали в [10, 11]).

Сначала для вспомогательной, зависящей от комплексных «спектральных» переменных X, X , волновой функции /(X, X) постулируется нелокальная д -проблема:

дх(^~ Х) = (Х*Я)(Х, Х) = ЮЛ(Ц, ц X, ху цлёц, (5)

дх с

ёц л ёц = -2/ ёця ёц/ ,

где х(Х, X) и ядро Я(Х, X; ц, Д) д -проблемы являются комплексными скалярными функциями. Фактически, правая часть (5) задает меру отклонения

ду —

Ф 0 волновой функции /(X, X) от аналитичности в точке X, причем это

дX

отклонение, посредством ядра Я^, X; ц, ц), определяется всей комплексной плоскостью, отсюда и происходит нелокальный характер д-проблемы (5).

Решение д- проблемы, т. е. определение /(X, X) при заданном ядре Я^, X; ц, ц), в случае часто используемой канонической нормировки волновой функции

^ 1 (6)

эквивалентно решению следующего сингулярного интегрального уравнения:

/(X, X) = 1 + Ц ^Л Цу(ц, ц)Я(ц, ц; X', Г)ёц л ёц. (7)

С х) с

Зависимость ядра Я д -проблемы от пространственных переменных х, у и временной переменной / для уравнения КП-2 (1) имеет вид [10]

Щ(у, у; X, X; х, у, г) = Я0(у, у; X, Х)вр(у)-Е(Ч (8)

где

^(у) = ¡ух -у2у + 4/'у3г. (9)

Задание зависимости (8) для ядра от пространственно-временных переменных непосредственно связано с построением в рамках метода д -одевания линейных вспомогательных задач (4) для уравнений КП, причем волновая функция у(Х, X; х, у, г) задач (4) связана с волновой функцией /(X, X; х, у, г) д- проблемы (5) следующим образом:

у^, X; х, у, г) = /(X, X; х, у, г)ер. (10)

Решение нелинейных уравнений КП-2 (1), т. е. определение потенциала и(х, у, г), входящего в вспомогательные линейные задачи (3), осуществляется с помощью формулы реконструкции потенциала:

и( х, у, г) = 2/д х х-1, (11)

определяющей и(х, у, г) через соответствующий коэффициент х-1 разложения волновой функции /(X, X; х, у, г) в ряд по обратным степеням спектрального параметра X в окрестности бесконечно удаленной точки X = :

/(X, X; х, у, г) = 1 + + Х-2(х2у,г) +... (12)

X X2

Вычисление точных решений и(х, у, г) уравнений КП производится посредством определения волновой функции, как решения интегрального уравнения (7) при заданном ядре Щ(у, у; X, X; х, у, г) = Щ (у, у; X, X)eF(у)-^^ .

Необходимый для вычисления и коэффициент %-1 определяется из интегрального уравнения (7):

х-1 = -Ц а^ ^X Цх(у, Ц)Щ(у, У; X,X^у л ^. (13)

с с

Широкие классы точных решений КП: солитонных, ламповых и периодических получаются при использовании следующих факторизованных дельта-образных ядер Яо(У, У;X,X) д-проблемы (5)-(9):

N

Що(У, У; X, X) = X А8(У - Ук )8(X - Xk), (14)

к=1

здесь (Ак, Ук, Xк), (к = 1,..., N - некоторые фиксированные, вообще говоря, комплексные константы-параметры.

Подстановка (14) в уравнение (7) дает волновую функцию

/(X, X; х, у, г) = 1 + 2 X -^(Ук )еР(Ук)) (15)

л к=1 ^ -X

и соответствующий коэффициент разложения Х-1^

- N

Х-1(х, у, /) = - - X Лк Х(цк )еЕ(Цк) -Е (Я*). (16)

п к=1

Выбор ядра В в форме (14) приводит к простой полюсной зависимости (15) волновой функции по спектральной переменной X, полюсы волновой функции задаются набором ..., XN). Таким образом, строящиеся по формуле реконструкции и(х, у, /) = 2/Зх%-1 решения, соответствующие выбору ядра Во в виде (14), характеризуются полюсами волновой функции, а также соответствующими вычетами функции в указанных полюсах. Набор (Лк, Цк, Хк) (к = 1,..., N) задает, как говорят, спектральную характеризацию строящихся решений.

Из (11), (15) и (16) получаем известную детерминантную формулу для точных решений уравнений КП:

и = - = -2-^2-(Ме1 В). (17)

дх дх

Вывод формулы (17) приведен в приложении.

При вычислении точных решений уравнения КП необходимо удовлетворить следующим условиям.

1. Условию вещественности

и (х, у, /) = и (х, у, /). (18)

2. Граничному условию

(ихх +стиу ^=0 =2'(1-\ххх + стХ-1ху ^ = 0 =°. (19)

3. При вычислении периодических решений необходимо удовлетворить и условию мнимости фазы Е(ц) - Е(X) входящей в определение ядра д-проблемы, т. е. условию

Е(ц) - Е(X) = -(Е(Ц) - Е(X)). (20)

Последнее условие означает использование осциллирующих экспонент еЕ (Ц) - в ядре д- проблемы, что, следовательно, приводит к возможности построения периодических решений в рамках метода д - одевания.

Условие вещественности для решений уравнений КП приводит к следующим ограничениям на ядро В° [10]:

В°(ц, Ц; X, X) = В^, X; Ц, Ц) КП-1, (21)

В0 (ц, Ц; X, X) = В0 (-Ц, - Ц; - X, - X). (22)

Условие мнимости фазы Е (ц) - Е (X) в случае КП-2 имеет вид

-/(Ц - X)х - у(Ц2 -X2) - 4/(Ц3 -X3)/ = = -/(Ц - X)х + у(Ц2 - X2) - 4/(Ц3 - X3)/,

последнее равенство удовлетворяется, например, при выборе

у = -X. (23)

В последующих разделах будет показано, как перечисленным выше условиям можно удовлетворить при соответствующем выборе ядра Щ (у, у; X, X) при построении различных классов точных решений (солитонных и периодических) уравнения КП-2 с интегрируемыми граничными условиями (24).

Граничное условие (19) с учетом (13) в пределе слабых полей (/ и 1) приводит к соотношению

(ихх +стиу )|

— д2 ГЦЦЩ0(у, у; X, X)уeF(у)(X)ёукёу1

П ' с с

=0

' Г "' ^ = 0, (24)

'у=0

которое следует удовлетворить подходящим выбором ядра Щ. Условие вещественности дает дополнительное ограничение на ядро д-проблемы, в случае КП-2 оно имеет вид

щ (у, у; X, X) = щ (-у, - у; - X, - X). (25)

Ниже будет показано, что оба условия (11) и (12) или (14) и (13) для уравнения

2 3

КП-2 с Г (у) = ¡ух + уу + 4-у г можно удовлетворить для ядер Щ вида:

Щ (у, у; X, X) = X 8(у- )8(X - Ъц) + %а2(8(у - у2- )8(X - X2г-)), (26)

содержащих пары согласованных друг с другом слагаемых с соответствующим образом подобранными параметрами (ац, у^, X!) и (а2-, у2-, X2¡).Таким образом, условие вещественности и интегрируемое граничное условие удовлетворяются подходящим выбором констант.

Сформулированная процедура может быть с успехом применена в рамках метода д-одевания и для других двумерных интегрируемых нелинейных уравнений с интегрируемыми граничными условиями (совместимыми со вспомогательными линейными задачами), что является предметом дальнейших исследований.

2. Солитонные решения уравнения КП-2 с интегрируемыми граничным условием

2.1. Первый пример точного решения с интегрируемыми границами При построении точных решений уравнения КП-2 необходимо удовлетворить условию вещественности и(х,у,г) = и(х,у,г) или в терминах ядра ^0(у, у; X, X) условию

щ (у, у; X, X) = щ (-у, - у; - X, - X) (27)

и интегрируемому граничному условию (ихх + стиу )| 0 = 0, или в терминах ядра В0(ц, Ц; X, X) д-проблемы, условию:

Л йXвdXI ЦВ0(Ц, Ц; X, ^це1"(Ц)-Е^)йЦВ^ц1 1 )| =0 = 0. (28)

с с )

Покажем, как этого можно достичь, используя факторизованные, дельта-функ-ционные ядра В0:

N

В0(ц, Ц; X, X) = X <*к8(Ц-Цк )8(X-Xk). (29)

к=1

Начнем с простейшего ядра с одним слагаемым

В0(ц, Ц; X, X) = ак8(ц-цк )8(X-Xк). (30)

Очевидно, для такого слагаемого

В0(-Ц, -ц; -X, -X) = ак8(-ц-ц )8(-X -Xk) =

= ак 8(Ц + Цк )8(X+Xk). (31)

Условию вещественности (27) можно для ядра (30) удовлетворить, потребовав, чтобы

ак = ак,

Цк = -Цк = 'Цк0, Цк0 = Цк0, (32)

Xк = -Xk = ^к0, Xк0 =Xк0. Таким образом, ядра вида (29) с вещественными ак = ак и чисто мнимыми

Цк = 'Цко, Ч = %0, т. е. ядра

N

В0(ц, Ц; X, X) = X ак8(ц-/Цко)8(X- /Xк0) (33)

к=1

удовлетворяют условию (27), при выполнении которого решение и вещественно. Для удовлетворения второго условия (28) воспользуемся следующим наблюдением. Фаза Е (ц) - Е (X) в экспоненте условия (28) имеет вид

(Е(ц) - Е(X))|у=0 = /(Ц-^х + 4/(Ц3 -X3)/ (34)

и не изменяется при замене переменных в интегралах (28) типа инволюции

ц ^ -X, X ^ -Ц. (35)

При такой замене подынтегральное выражение (28) переводит в следующее:

(((ц, Ц;Х, X)VeeF(Ц)"Е^

-ц

=0 Ц^-

(В0 (-Х, -X; -Ц, -цХ-^(ц)"Е

, (36)

у=0

поэтому каждому слагаемому ядра (33)

ак8(у - гуkо)8(X - &k0) ^ ьк^^ - ^k0)5("У - ^ко) можно сопоставить еще дополнительное слагаемое типа

ьк6(у + Гкk0 )5(Я + ¡уk0)' Ь = ьк (37)

и удвоить число слагаемых в ядре (33), рассматривая более общее ядро вида

N

Щ0(у, у; X, X) = X ((5(У - ¡Уk0 )5^ - %0) + Ьк5(У + ¡Xk0 )5ф + ¡Ук0))■ (38) k=1

В силу указанного наблюдения (36) каждой паре слагаемых с амплитудами аk и bk при подстановке (38) в (28) будет соответствовать одна и та же экспонента в обоих слагаемых пары

еГ ОУк 0) - Г (Д k 0)

у=0

= еГ (-¡X k 0) - Г (-¡Уk 0)

(39)

у=0

с показателем

Г О'Ук 0) - Г (¡Xk 0) = Г (-¡Xk 0) - Г Н'Ук 0) = = (Xk0 - Уk0)х - 4(X|0 - у3 0 )г = Фk (х, г), (40)

тогда условие (28) можно удовлетворить при следующем выборе амплитуд ак

и Ч:

Ьк = ук0 ак. (41)

Ч 0

Итак, в силу (32) и (41) условие вещественности и интегрируемое граничное условие удовлетворяются для ядер вида

^(у у; ^ X) = XГ ак 8(У- ¡У к о)8(X- ^ к 0) + ак т^ (У + ^ к о)8(X+¡Ук 0) 1 = к=Л Xк о ;

2 N

= X Ак 5(у- ¡Мк о)5(X - ¡Л к о). (42)

к=1

В последнем выражении введены наборы амплитуд

(4, ..., AN; AN +1, ..., A2N) = Га1, ..., aN; а1 У^, ..., aN Ук01 (43)

^ Xk0 Xк 0)

(44)

и соответствующие этим амплитудам наборы точек комплексной плоскости:

(М ):(М1, ..., MN; MN +1, ..., М2 N ) = (¡У10, -, ¡У N0; - —ю, ..., - ¡X N о),

(Л):(ЛЬ ..., ЛN; ЛN+1, ..., Л2N) = (¡X10, ..., Л-N0; -'У10, ...,- ¡УN0).

Для решения и(х, у, г) справедлива детерминантная формула, доказанная во втором разделе:

д 2

и(х, у, /) = -2—-(1и(ае1 В)), (45)

сх2

с очевидной заменой набора амплитуд (Л\,..., AN) ^ (А\,..., Л- N) и точек (Ц1,..., Ц N) ^ (Мь..., М2N), (XX,..., X N) ^ (Л 1,..., Л 2N). В точках Мк берутся волновые функции %(Мк, Мк), нужные для вычисления Х-1, точки же

Лк соответствуют полюсам —1— волновой функции X).

Лк-X

В простейшем случае N = 1 двух слагаемых ядра В0 (42):

В0 (ц, ц; X, X) = а^ц - гЦю^^ - 2X10) + а1 Ц"10 8(Ц + г^до^^ + гцю) (46)

X10

вычисления по формулам раздела 2 дают следующее выражение для det В :

ае1 В = 1 -2еф(ху) a1(X10e®(у) + Ц10е"®(у)) + ^Ю^Ю -Ц10)

+е2Ф(х, у) a12(Xl0 +Ц1о)- . (47)

% Xl0(X10 -Ц10)

Здесь

Ф(х, /) = (Xl0 - Ц10)х - 4 ^ - ^) /,

®( у) = -((-ц-о )у

Соответствующее решение и (х, у, /) уравнения КП-2 имеет вид

I еф

(48)

4(Xlо - то)2 (й® (1 + й02е2Ф ) - 2й-еф), и (х, у, /) =-*-^-0-' '-, (49)

(1 + й02е2Ф- 2еФ й®)

где введены параметры

а0 , а0 = а1 ^е0+-1ое"0). (50)

^Ю^Ю-Ц10) ^Ю^Ю-Ц10)

Очевидно, что й® |у о = йо, при этом решение уравнения КП-2 в полуплоскости у > 0 , на границе у = 0 этой области удовлетворяет интегрируемому граничному условию

(ихх +стиу )| у=о = 0, (51)

двумерное солитонное решение (50) при этом превращается в одномерный солитон

i(х, y, t)|

4(х10 _Ц10)2d0 (х10 _Ц10)2

у=0

(( d0e°)

ch

2 Ф + Ф0 2

d0 = а1(х10 + ц10) ^ _еФ0 ^х10(х10 _^10)

(52)

(53)

Полученное солитонное решение (49), очевидно, несингулярно при следующем выборе параметров аю, Ую, Xlо :

а1х10 < 0, а1^ю < 0, или а^до > 0, а1Цю > 0,

х10(х10 _^10) > 0

х10(х10 _^10) < 0

(54)

Рис. 1. - Решение (49). Значения параметров:

Х10 =1, Ц10 = ^ а1 = 1 Fig. 1 - Solution (49). Parameter values:

X10 = ^ М-10 = 3, а1 = 1

Для обоих указанных выборов (54) d0 = _еф0 < 0 и одномерный солитон (52) также несингулярен.

2.2. Второй пример точного решения КП-2 с интегрируемыми границами.

Второй пример точного многосолитонного решения КП-2 с интегрируемым граничным условием (58) построим для ядра вида

^(ц, ц; X, X) =

X (ак5(Ц " Н )5(х _ цк) + а§(ц + цк )5(х + Цk)) к

(55)

состоящего из пар слагаемых типа (29) и (31) с Xk =Ук . Такое ядро, очевидно, по построению, проведенному в начале раздела, удовлетворяет условию вещественности

ц; х, х) = _ц; _х, _х).

(56)

Интегрируемое граничное условие, как было показано в разделе 1, выполняется при условии

(ихх +стиу ^=0 =

: — д— ГцdXВdX!ЦВ0(ц,ц;X,X)цeЕ(ц)-Е(Х)йцВйц1

п 1 с с

= 0 (57)

у=0

и может быть удовлетворено при следующем требовании:

' ' = 0. (58)

JJdцВйщ JJdXВdX1 В0(ц, ц; X, X)цeЕ(ц)-Е^

с с

у=0

Для любой пары слагаемых ядра Во вида

ак8(Ц - Цк )8^ - Цк) + ак8(Ц + Цк )8(X + Цк) (59)

подстановка (59) в (58) приводит к соотношению

ак цкеЕ(цк)-Е(цк) - акцкеЕ(-Цк)-Е(-Цк)

у=0

здесь

= (ак Цк - ак Цк )еФк (х'Г)+/@к (у) = (ак Цк - а^к )еФк (х'Г), (60)

у=0

Фк (х, /) +/®к (у) = /'(Цк -Цк ) х + 4/' (Ц -Ц3к ) / - (ц— - Ц—) у = -2цк/х - 8цк1 (3ц-в -Ц-1)/ - 4/Цк/ЦкВу,

т. е.

Ф

к(x, О = --Цк1х-8Цк/ (3Ц—В -Ц-7)^ ®к(у) = -4Цк1 ЦкВу. (61)

Из (60) заключаем, что интегрируемое граничное условие удовлетворяется при

___ак ак —

ак Цк - ак Цк = 0 = — = ьк = ьк , (62)

Цк Цк

или ак = Ьк Цк, ак = Ьк Цк (к = 1,..^), т. е. для ядер Во вида (55) с вещественными амплитудами Ьк = Ьк

в0(ц, цДД) = X (Ьк Цк 8(Ц - Цк)8^ "Цк) + Ьк Цк 8(Ц + Цк)8^ + Цк)). (63) к

д -

Для применения общей детерминантной формулы и (х, у, /) = -2—— (ln(det В))

дх2

вводим очевидным образом наборы точек комплесной плоскости X, набор (Л), соответствующий полюсам X = Л к строящейся волновой функции X):

(Л):(Л 1,..., Л 2 N) = (У1, •••, У N, "У1, •••, "У N) (64)

и точек

(М) : (М 1, ,,,, М2N) = (У1, ■■■, УN, "У1, ■■■, "УN) , (65)

в которых в методе д- одевания вычисляются волновые функции %(Мк,Мк )• Наборам точек (64) и (65), в силу (63), соответствует ядро Ко :

_ 2 N

К0(у, У; X, X) = X А5(у - Мк )8(X - Лк )• (66)

к=1

Многосолитонное решение, соответствующее ядру (72), как было показано в первом разделе, дается простой детерминатной формулой (17) с матрицей В, задаваемой выражением

( ^ Л. „, . Л

Blk = eF) 5¡k _(У/)"F(Xk) l л X k _ y/

e~F (У/) =

= eF (yk ^C/ke~F (y/). (67)

Строящееся точное решение, как было показано, удовлетворяет условию вещественности и интегрируемому граничному условию.

В простейшем случае N = 1 одной пары слагаемых в ядре (63), т. е. для ядра вида

Ro(y,y;X,X) = ¿iyi8(y _ yi)8(X _ yi) + ¿iyi8(y + yi)S(X + yi) (bi = ¿1). (68)

После простых вычислений получается следующее выражении для det B:

2bke°(x,t) b2y2e2®(x,t)

det B = 1 + —k-(yR cos ©(y) + y7 sin©(y)) + 1 R 2 2-=

лУ1 л2у2

= 1 + d02e2O(x,t) + 2d©e<í(x,t), (69)

где

Ф

1(X t) = _2У1/Х _ 8У11 (3yjR )t, ©1(>0 = _4y1Zy1Ry

do = , d© = -¿— (y1R cos©1(y) + У1/ sin©1 (y)).

лУ1/ ЛУ11

(70)

Из (17) и (69) определяем решение уравнения КП-2:

Лф

v2

Л Г ¿

_16yje ¡ 2 ф 2 2Ф\

u(x, y, t) =--Id© + 2doe + dood©e b

(det B)

-16y2eФ (d© + 2d^ + d2d©e2Ф)

(1 + d2e2<^ x,t) + 2d©e^ xt )2

и

Рис. 2. - Сингулярное решение (71). Параметры:

3

Цд = 2 , Ц/ = 1 , b =

V5

Fig. 2 - Singular solution (71). Parameter values:

3

Цд = 2, Ц/ =1, h =

S

При у = 0, т. е. на границе области у > 0, решение сводится к одномерному несингулярному солитону:

-16ц2еФ d0 -4ц2

u( x, y, t) =

здесь для обеспечения несингулярности солитона (77) положено

(1 + do^f ch2

(72)

= . e^o > 0.

(73)

Построенное решение (71), очевидно, является периодическим по у и распространяется вдоль оси х, сохраняя свою форму, со скоростью

Vx = 4

(Ц2/ - 3Ц2д ),

(74)

это решение является сингулярным и при выполнении условия (73) на границе у = 0 сводится к одномерному несингулярному солитону (72).

3. Периодические решения уравнений КП-2 с интегрируемыми граничными условиями

При построении периодических решений уравнения КП-2 с интегрируемыми граничными условиями удовлетворим сначала условию мнимости фазы Е(ц) - Е(X), входящей в уравнение д-проблемы для волновой функции %(Х, X).

2 3

Учитывая определение Е(ц, X) = /цх -ц у + 4/ц /, имеем:

ДЕ(ц, X) = -/(ц - X)х - (ц2 -X2)у - 4/(ц3 -X3)/ = = -ДЕ(ц,X) = -/(ц^)х + (ц2 -X2)у - 4/(ц3 -X3)/, (75)

^ц2 = X2, ^^ (76)

При выполнении условия ц = -X имеем для фазы Е (ц) - Е (X) = = Е (-X) - Е (X) следующее выражение:

Е(-X) - Е(X) = /(-X - X)х - (X2 - X2)у + 4/(-X3 - X3)/ =

= -2/^х - 2 • 4/^ (XI - 3X2 )/ + 40^XIу = /Ф(х, /) + /©(у). (77)

Аналогично для фазы Е (-X) - Е (X) получаем

Е(-X) - Е(X) = /(-X - X) х - (X2 - X2)у + 4/(-X3 - X3)/ =

= /Ф( х, /) - /©( у). (78)

В (77) и (78) введены обозначения:

Ф(х, /) = -2XRх - 8XR (XI - 3X2 )©(у) = 4XRX1у. (79)

Подчеркнем, что желая получить периодические решения, мы придерживаемся выполнения условия мнимости фазы Е(ц) - Е(X), откуда и следует (76) и выражения (77) и (78).

Удовлетворим теперь интегрируемому граничному условию

(ихх + стиу )|

8 ^2 л

д2 [ЦdXRdXI Л 10(ц, ц; X, X)цeF(ц)-F(X)ёцкёц7 С С

1у=0

) Е(1) Л = 0. (80)

у=0

Интегрируемое граничное условие (ихх +стИу)| 0, в силу (80), может быть удовлетворено при выполнении соотношения

Л dXRdXI Л 10(ц, ц; X, ^це^(ц)-Е^)dцRdц7

С С

= 0. (81)

у=0

Как уже отмечалось в разделе 2, фаза (Е(ц) - Е(X))у 0 не изменяется при инволюции ц —^ -X, X —^ —ц, поэтому требование (81) можно удовлетворить, выбирая ядро 10 в виде суммы двух слагаемых:

10 (ц, ц; X, X) = Ь15(ц + X )8(X - X1) + ¿^(ц + X1 )8(X - X). (82)

Каждое из слагаемых, в силу отмеченой инволюции, приводит к одной и той же экспоненте

^ е^) - F

= / (- ^ (Xl)

у=0

= егФ( х,г ).

у=0

Условие (81) при этом дает

(-¿1X1 - ¿2 Xl)e

г'Ф( х,г)

у=0

= 0,

откуда получаем соотношение между константами ¿1, ¿2

¿2 =-Ь1

XI

Итак, для ядер Ко вида

Ко (У, у; X, X) = X ьк5(у + Xk )5(X - Xk) - ¿к 5(у + Xk )5(X - Xk) к 1 ^

(83)

(84)

(85)

(86)

интегрируемое граничное условие (ихх + стИу)| о , в силу выполнения условий

(85), и, следовательно, условия (81) удовлетворяется. Вводя наборы точек комплексной плоскости X

(М) : (М1, ..., MN; MN +1, ..., М2N) = (-4, ..., ^; -Xl, ..., XN), (Л) : (Л1, ..., Л N; Л N +1, ..., Л 2 N ) = ^1, ..., X N; Xl, ..., X N ) и набор соответствующих амплитуд

Г XI X N ^

(А):(АЬ..., AN; AN+l,..., A2N) = ¿ь ..., ЬN; - ¿1-1,..., - ЬN Л

XI

X N

(87)

(88)

получаем класс точных периодических решений КП-2 в виде простой детер-минантной формулы

д2

и(х, у, Г) = -2—(1п(ае1 В))

дх2

с матрицей В вида

Вк = eF(Уk) I 5/к -2L-^eF(У>)-^к) 1 пХк - У/

F (У/)

(89)

(к, / = 1, ..., 2N). (90)

Этот класс периодических решений уравнения КП, удовлетворяющих интегрируемому граничному условию (ихх + стиу )| о = 0, соответствует по построению ядру (82) или в терминах (87), (88) ядру

_ 2 N

К0(у, у; X, X) = X Ак5(у - Мк )5^ - Лк). к=1

Строящиеся рассматриваемым способом решения являются пока комплексными, так как условие вещественности еще не удовлетворено.

Условию вещественности периодических решений и(х, у, г) можно удовлетворить на заключительном этапе построения решений прямым требованием вещественности:

Э2 _ 52

и(х, у, г) = -2—[1п(аег5)] = -2—[1п(аег5)] = и(х, у, г). (92)

Эх2 Эх2

Продемонстрируем это на простом примере с одной парой слагаемых (N = 1) в ядре (86):

- Хт -

Ко (ц, ц; Х, Х) = Ь^ц + Х1 )8(Х - - ^ —18(ц + Х1 )8(Х - Х1) =

Х1

= 48(ц- М^8(Х - Лт) + А28(ц - М2)8(Х - Л2). (93)

Вычисления по общим формулам раздела 2 дают следующее выражение для аег В:

аег(В) = 1 + 1 1 11-----1-+ —1—1-. (94)

Л2Х1Х2К |Х12 лХ1К лХ1КХ1

Вводя обозначения

Ь1 = е'фа = ае^*, Х1 = е'Фх, Х1 = е_г'Фх, (95)

перепишем (95) в следующей форме:

ае1(В) = ег'(Ф-Фх+Фа) х

Г 2*. 2 '(Ф-фХ +фа) 1

Х|е-'(Ф-Фх+Фа ) + "У + 2* ИП(©( У) + фх ) I (96)

[ п\21К м2 |

Потребуем также, чтобы выполнялось соотношение

а2 = Ат\Х1Р ^ * = Я|Х^. (97)

Кроме того, напомним, что согласно (77), (78) фазы Ф, © даются выражениями:

Ф(х, г) = -2Хшх - 8ХШ (ХК - 3ХЦ )г, ©(у) = 4ХШХцу. (98)

В результате проведенных вычислений выражение для det(В) приобретает максимально овеществленный вид

<1еКВ) = 2е'(ф-фх+фа) |сс8(Ф-фх + ф*) + |1яп(©(у) + фх)1, (99)

при этом

( || I ^

ln(det(B)) = /(Ф - ф| + фа) + ln2 cos(® - ф| + фа) + |^sin(©Си) + ф|)

^ L1I

= /(ф-фх+фа) + ln (det( B)).

(100)

Первое слагаемое в (100) линейно по фазе Ф ив (98) не дает вклада в решение, второе же слагаемое после вычислений по формуле (89) приводит к следующему выражению для вещественного периодического решения u (x, y, t)

уравнения КП-2 с интегрируемыми граничными условием (uxx + auy )| о = 0 :

8I

1R

u(x, y, t) = -

N

1 + J-U_si

L1I

sin (©(y) + ф|) cos^(x, t) + фа - ф|)

Iх1-sin(©(y) + ф|) + cos (Ф(x, t) + фа -ф|)

(101)

L1I

На границе у = 0 области у > 0 построенное решение (102) принимает вид одномерного периодического решения

t(x, t) = u(x, y, t)|y=0 = J

8х

R

4I'

+ cos (Ф(x, t) + фа -ф|) 2

R

cos2 (Ф(^t) -ф|+фа

(102)

Рис. 3 - Периодическое решение (101). Значения параметров:

X =|Xi|e^= 1e2i , Фа = 3 Fig. 3 - Periodic solution (101). Parameter values:

X ^e^ 1e2i , фа = 3

Построенное периодическое решение и(х, у, t) уравнения КП-2 удовлетворяет граничному условию (ихх + стиу)| ^ = 0, является периодическим

по у, а также по х, это решение сингулярно. В некотором смысле это решение напоминает солитонное периодическое решение, полученное в заключительной части раздела 2.

Заключение

Важную роль в квантовой теории поля, гидродинамике, теории динамических систем играют точные решения нелинейных уравнений с частными производными, удовлетворяющие определенным краевым условиям.

Метод обратной задачи рассеяния, как метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, названных интегрируемыми, был успешно применен в ряде работ различных авторов [18-22] (Е.К. Склянин, В.Л. Верещагин и др.) к построению точных решений интегрируемых нелинейных уравнений с так называемыми интегрируемыми граничными условиями, совместными с линейными вспомогательными задачами. Построение таких точных решений, после установления интегрируемых граничных условий, может быть осуществлено с использованием того или иного варианта метода обратной задачи, до сих пор для этого в основном использовался метод одевания Захарова-Шабата.

В настоящей работе, на примере уравнения КП-2, в рамках метода д- одевания Захарова-Манакова, развита новая схема эффективного построения точных решений нелинейных уравнений с интегрируемыми граничными условиями. Получены новые точные солитонные и периодические решения уравнения КП-2 на полуплоскости с интегрируемым граничным условием. Предложенная схема может быть применена к построению точных решений с интегрируемыми краевыми условиями и других двумерных интегрируемых нелинейных уравнений. Работа авторов по данной теме продолжается, полученные результаты будут опубликованы.

Приложение. Вывод формулы (17)

Из (15) получается алгебраическая система уравнений

I %г(йк) = 1, % = % " -ТА~ еР(^)) (П1)

к=1 л X к - (П1)

(к, / = 1,..., N)

для вычисления волновых функций х(Цк, Йк) = %(йк) в точках (ц,..., ^). При этом необходимый для вычисления и(х, у, t) коэфициент разложения имеет вид

N

г

-1(х, у, t) = - 2 I Акг(|кХ?(|к)-^(Хк) =

л к=1

= - 2 I Акгр(йк)-р(Хк)я-1. (П2)

N

л к,/

Матрицу Bik удобно выразить, используя преобразование подобия, через матрицу Cik:

( о,- л. „. . „.. Л

Blk = eF) % _(щ)-F(Хк) n X к _ Щ

e"F(^i) =

Очевидно, что

= eF (ук ^Clke~F (yi). (П3)

^ = _ 1 AkeF (yi)_ F (X к), (П4)

dx n

поэтому имеем, используя (П4), для из (16):

Х-1 =_ 2 bkeF (yk) _ F (Xk) e~F (yk )c_eF (yi) = =

n k ,l k ,l cX

= i—ln(det C) = i—ln(det B). (П5)

dx dx

Из (11) и (П5) получаем известную детерминантную формулу для точных решений уравнений КП:

u = 2i = _2 (lndet B) (П6)

dx dx2

ЛИТЕРАТУРА

1. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Доклады АН СССР. - 1970. - Т. 192, № 4. - С. 753-756.

2. Дрюма В.С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-де Вриза (КДВ) // Письма в ЖЭТФ. - 1974. - Т. 19, вып. 12. - С. 753-755.

3. Захаров В^., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функциональный анализ и его приложения. - 1974. - Т. 8, вып. 3. - С. 45-53.

4. Davey A., Stewartson K. On three-dimensional packet of surface waves // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. - 1974. - Vol. 338 (1613). - P. 101-110. -doi: 10.1098/rspa.1974.0076.

5. Dubrovsky V.G., Konopelchenko B.G. Coherent structures for the Ishimori equation: 1. Localized solitons with stationary boundaries // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1991. -Vol. 48, iss. 2-3. - P. 367-395.

6. Веселов А.П., Новиков С.П. Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уранения // Доклады АН СССР. -1984. - Т. 279, № 1. - С. 20-24.

7. Теория солитонов: метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.В. Питаевский. - Москва: Наука, 1980.

8. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. - Cambridge: Cambridge university Press, 1991. - (London Mathematical Society lecture note series; 149).

9. Konopelchenko B.G. Introduction to multidimensional integrable equations: the inverse spectral transform in 2+1 dimensions. - New York: Plenum Press, 1992.

10. Konopelchenko B.G. Solitons in multidimensions: inverse spectral transform method. -Singapore: World Scientific, 1993.

11. Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1981. -Vol. 3 (1-2). - P. 420-427. - doi: 10.1016/0167-2789(81)90145-7.

12. Beals R., Coifman R.R. The D-bar approach to inverse scattering and nonlinear evolutions // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1986. - Vol. 18 (1-3). - P. 242-249. - doi: 10.1016/ 0167-2789(86)90184-3.

13. Захаров В.Е., Манаков С.В. Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений // Функциональный анализ и его приложения. - 1985. - Т. 19, вып. 2. - С. 11-25.

14. Zakharov V.E. Commutating operators and nonlocal 9-problem // Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics / ed. by N.S. Erokhin, V.E. Zakharov, A.G. Sitenko, V.M. Chernousenko, V.G. Bar'yakhtar. - Kiev: Naukova Dumka, 1988. -Vol. 1. - P. 152.

15. Bogdanov L.V., Manakov S.V. The non-local 9-problem and (2+1)-dimensional soliton equations // Journal of Physics A. - 1988. - Vol. 21, N 10. - P. 537-544. -doi: 10.1088/0305-4470/21/10/001.

16. Fokas A.S., Ablowitz M.J. The inverse scattering transform for multidimensional (2+1) problems // Nonlinear Phenomena / ed. by K.B. Wolf. - Berlin; Heidelberg: Springer, 1983. -P. 137-183. - doi: 10.1007/3-540-12730-5_6. - (Lecture Notes in Physics; vol. 189).

17. Beals R., Coifman R.R. Linear spectral problems, non-linear equations and the 9-method // Inverse Problems. - 1989. - Vol. 5, N 2. - P. 87-130. - doi: 10.1088/0266-5611/5/2/002.

18. Гудкова Е.В., Хабибуллин И.Т. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости // Теоретическая и математическая физика. - 2004. - Т. 140, № 2. - С. 230-240.

19. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача на полуоси для уравнения МКдФ // Функциональный анализ и его приложения. - 2000. - Т. 34, вып. 1. - С. 65-75.

20. Хабибуллин И.Т. Уравнение sin-Гордон на полуоси // Теоретическая и математическая физика. - 1998. - Т. 114, № 1. - С. 115-125.

21. Верещагин В.Л. Интегрируемые граничные условия для 2+1 -мерных моделей математической физики // Теоретическая и математическая физика. -2012. -Т. 171, № 3. -С. 430-437.

22. Склянин Е.К. Граничные условия для интегрируемых уравнений // Функциональный анализ и его приложения. - 1987. - Т. 21, вып. 2. - С. 86-87.

THE CONSTRUCTION OF EXACT SOLUTIONS OF KADOMTSEV-PETVIASHVILI (KP-2) EQUATION WITH INTEGRABLE BOUNDARY CONDITIONS VIA DIBAR-DRESSING METHOD

Dubrovsky V.G., Topovsky A.V., Ostreinov G.M.

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia

In this paper, in the framework of the Zakharov-Manakov method, a new scheme of exact integration of nonlinear two-dimensional differential equations with integrable boundary conditions is developed. New exact soliton and periodic solutions of the KP-2 equation on the half-plane are obtained.

The principal possibility of using the dressing method for constructing classes of exact soliton and periodic solutions of two-dimensional integrable nonlinear equations with integrable boundary conditions is demonstrated.

Key words: integrable nonlinear equations, method of 9-dressing , two-dimensional integrable Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation, solutions with integrable boundary conditions,

solitons, periodic solutions.

DOI: 10.17212/1727-2769-2018-4-7-29

REFERENCES

1. Kadomtsev B.B., Petviashvili V.I. On the stability of solitary waves in weakly dispersing media. Soviet Physics Doklady, 1970, vol. 15, p. 539-541. Translated from Doklady Akademii naukSSSR, 1970, vol. 192, no. 4, pp. 753-756.

2. Dryuma V.S. Analytic solution of the two-dimensional Korteweg-de Vries (KdV) equation. Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, 1974, vol. 19, iss. 12, p. 387. Translated from Pis'ma v Zhurnal teoreticheskoi i eksperimental'noi fiziki, 1974, vol. 19, iss. 12, pp. 753-755.

3. Zakharov V.E., Shabat A.B. A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. Functional Analysis and Its Applications, 1974, vol. 8, iss. 3, pp. 226-235. Translated from Funktsional'nyi analiz i egoprilozheniya, 1974, vol. 8, iss. 3, pp. 43-53.

4. Davey A., Stewartson K. On three-dimensional packet of surface waves. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1974, vol. 338 (1613), pp. 101-110. doi: 10.1098/rspa.1974.0076.

5. Dubrovsky V.G., Konopelchenko B.G. Coherent structures for the Ishimori equation: 1. Localized solitons with stationary boundaries. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1991, vol. 48, iss. 2-3, pp. 367-395.

6. Novikov S.P., Veselov A.P. Finite-zone, two-dimensional, potential Schrodinger operators. Explicit formula and evolutions equations. Soviet Mathematics Doklady, 1980, vol. 30, pp. 588-591. Translated from Doklady Akademii nauk SSSR, 1984, vol. 279, no. 1, pp. 2024.

7. Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevskii L.P. Teoriya solitonov: metod obratnoi zadachi [Theory of solitons: the Inverse Scattering Method]. Moscow, Nauka Publ., 1980.

8. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. London Mathematical Society lecture note series, vol. 149. Cambridge, Cambridge university Press, 1991.

9. Konopelchenko B.G. Introduction to multidimensional integrable equations: the inverse spectral transform in 2+1 dimensions. New York, Plenum Press, 1992.

10. Konopelchenko B.G. Solitons in multidimensions: inverse spectral transform method. Singapore, World Scientific, 1993.

11. Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1981, vol. 3 (1-2), pp. 420-427. doi: 10.1016/0167-2789(81)90145-7.

12. Beals R., Coifman R.R. The D-bar approach to inverse scattering and nonlinear evolutions. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1986, vol. 18 (1-3), pp. 242-249. doi: 10.1016/0167-2789(86)90184-3.

13. Zakharov V.E., Manakov S.V. Construction of higher-dimensional nonlinear integrable systems and of their solutions. Functional Analysis and Its Applications, 1985, vol. 19, iss. 2, pp. 89-101. doi: 10.1007/BF01078388. Translated from Funktsional'nyi analiz i ego prilozheniya, 1985, vol. 19, iss. 2, pp. 11-25.

14. Zakharov V.E. Commutating operators and nonlocal problem. Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics. Ed. by N.S. Erokhin, V.E. Zakharov, A.G. Sitenko, V.M. Chernousenko, V.G. Bar'yakhtar. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1988, vol. 1, p. 152.

15. Bogdanov L.V., Manakov S.V. The non-local problem and (2+1)-dimensional soliton equations. Journal of Physics A, 1988, vol. 21, no. 10, pp. 537-544. doi: 10.1088/03054470/21/10/001.

16. Fokas A.S., Ablowitz M.J. The inverse scattering transform for multidimensional (2+1) problems. Nonlinear Phenomena. Ed. by K.B. Wolf. Lecture Notes in Physics, vol. 189. Berlin, Heidelberg, Springer, 1983, pp. 137-183. doi: 10.1007/3-540-12730-5_6.

17. Beals R., Coifman R.R. Linear spectral problems, non-linear equations and the 9-method. Inverse Problems, 1989, vol. 5, no. 2, pp. 87-130. doi: 10.1088/0266-5611/5/2/002.

18. Gudkova E.V., Habibullin I.T. Kadomtsev-Petviashvili equation on the half-plane. Theoretical and Mathematical Physics, 2004, vol. 140, iss. 2, pp. 1086-1094. Translated from Te-oreticheskaya i matematicheskaya fizika, 2004, vol. 140, no. 2, pp. 230-240.

19. Habibullin I.T. An initial-boundary value problem on the half-line for the MKdV equation. Functional Analysis and Its Applications, 2000, vol. 34, iss. 1, pp. 52-59. Translated from Funktsional'nyi analiz i egoprilozheniya, 2000, vol. 34, iss. 1, pp. 65-75.

20. Habibullin I.T. Sine-Gordon equation on the semi-axis. Theoretical and Mathematical Physics, 1998, vol. 114, iss. 1, pp. 90-98. Translated from Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika, 1998, vol. 114, no. 1, pp. 115-125.

21. Vereshagin V.L. Integrable boundary condition for 2+1 -dimensional models of math physics. Theoretical and Mathematical Physics, 2012, vol. 171, iss. 3, pp. 792-799. Translated from Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika, 2012, vol. 171, no. 3, pp. 430-437.

22. Skliyanin E.K. Boundary conditions for integrable equations. Functional Analysis and Its Applications, 1987, vol. 21, iss. 2, pp. 164-166. Translated from Funktsional'nyi analiz i ego prilozheniya, 1987, vol. 21, iss. 2, pp. 86-87.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Дубровский Владислав Георгиевич - родился в 1948 году, д-р физмат. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной и теоретической физики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: нелинейные интегрируемые уравнения, теория солитонов. Опубликовано 49 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: [email protected]).

Dubrovsky Vladislav Georgievich (b. 1948) - Doctor of Sciences (Phys.&Math.), professor. Head of chair of Applied and Theoretical Physics, Novosibirsk State Technical University His research interests are currently focused on nonlinear integrable equations. He is author of 49 scientific papers. (Address: Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: [email protected]).

Топовский Антон Валерьевич - родился в 1985 году, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной и теоретической физики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: нелинейные интегрируемые уравнения, теория солитонов. Опубликовано 8 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: [email protected]).

Topovsky Anton Valerevich (b. 1985) - Candidate of Sciences (Phys.&Math.), associate professor of department of the Applied and Theoretical Physics, Novosibirsk State Technical University His research interests are currently focused on nonlinear integrable equations. He is author of 8 scientific papers. (Address: Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. Email: [email protected]).

Г

A

Остреинов Георгий Михайлович - родился в 1992 году, ассистент кафедры прикладной и теоретической физики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: нелинейные интегрируемые уравнения, теория солитонов, задача рассеяния. Опубликовано 10 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: [email protected]).

Ostreinov George Mikhailovich (b. 1992) - assistant of department of the Applied and Theoretical Physics, Novosibirsk State Technical University His research interests are currently focused on nonlinear integrable equations; soliton theory, scattering problem. He is author of 10 scientific papers. (Address: Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. Email: [email protected]).

Статья поступила 23 октября 2018 г.

Received October 23, 2018

To Reference:

Dubrovsky V.G., Topovsky A.V., Ostreinov G.M. Postroenie tochnykh reshenii uravneniya Ka-domtseva-Petviashvili (KP-2) s integriruemymi granichnymi usloviyami metodom dibar-odevaniya [The construction of exact solutions of Kadomtsev-Petviashvili (KP-2) equation with integrable boundary conditions via dibar-dressing method]. Doklady Akademii nauk vysshei shko-ly Rossiiskoi Federatsii — Proceedings of the Russian higher school Academy of sciences, 2018, no. 4 (41), pp. 7-29. doi: 10.17212/1727-2769-2018-4-7-29.