CC BY
23
УДК 336.7
построение прогнозных моделей динамики изменения цен на древесину и пиломатериалы
А.Ю. ЕРМАКОВА, старший преподаватель РЭА им. Г.В. Плеханова(1)
a.allai 105@mail.ru
(1) ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»,
117997, г. Москва, Стремянный пер., 36
Исследуются методы прогнозирования экономических показателей и динамики их изменения. Предлагается способ построения прогнозной модели, предполагающий поиск аппроксимирующей функции на основе метода наименьших квадратов. Для реализации данного метода разработано соответствующее программное обеспечение, позволяющее строить указанные аппроксимирующие функции и их графики по значениям прогнозируемых характеристик за предыдущие временные интервалы. Предложенный метод применяется для построения прогнозных оценок динамики изменения цен на древесину и пиломатериалы.
Ключевые слова: прогнозная модель, прогнозируемые показатели, аппроксимирующая функция, метод наименьших квадратов, древесина, пиломатериалы.
В условиях расширяющегося экономического кризиса весьма актуальной является задача прогнозирования различного рода показателей, в первую очередь экономических, таких как, например, цены на энергоресурсы, курсы валют и драгоценных металлов, прогноз развития ВВП и аналогичных показателей. Прогноз цен на энергоресурсы особенно актуален в условиях, когда они являются основой формирования бюджетной политики государства. Однако актуальной является задача прогнозирования экономических показателей и в других областях хозяйственной деятельности, в частности, в лесозаготовках, производстве и торговле пиломатериалами. Необходимость в таких прогнозах возникает, например, при определении необходимого объема заготовок древесины и мощностей для их переработки и решения других важных аналогичных вопросов.
В настоящей статье излагаются результаты разработки прогнозной модели на основе построения аппроксимирующих функций. Ранее в работах [1-3] дан краткий обзор существующих решений, а указанный метод применялся к задаче прогнозирования валютных курсов и котировок драгоценных металлов. При построении указанных прогнозных моделей и поиске соответствующих аппроксимирующих функций применялся метод наименьших квадратов, реализованный в пакете прикладных программ «Wolfram Mathematica» [4], который, в свою очередь, имеет ряд ограничений в применении. С це-
лью преодоления возникающих ограничений и расширения возможности применения методов аппроксимации разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм наименьших квадратов и имеющее значительно более широкий спектр возможностей, чем пакет «Wolfram Mathematica». В частности, значительно расширен перечень базовых функций, предусмотрена как ручная, так и автоматическая процедура перебора параметров при поиске аппроксимирующей функции, обеспечивающей наилучшее приближение на заданном временном интервале.
Описание методов аппроксимации
Метод наименьших квадратов ([5]) (далее - МНК) является одним из способов аппроксимации таблично заданной функции некоторым базисным набором функций, выбор которых основан на определенном критерии, позволяющем выявить особенности заданных входных значений. В качестве оценки качества приближения используется сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от значений в узлах таблицы.
Формальная постановка задачи осуществляется следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] задана одномерная сетка X = {x / x = x , + h, h > 0,
x г г г - 1 Pi 1
i = 1, 2, 3, ..., n; x0 = a, xn = b}, в узлах x. которой заданы значения уг = fx), i = 0, 1, 2 , ..., n - соответствующие значения функции fix).
Пусть также для аппроксимации табличных данных выбран некоторый класс функций Ф(х, с0, с1, с2, ..., ст), т < п, где с0, с1, с2, ..., ст - коэффициенты, выбор значений которых позволяет определить конкретную функцию из выбранного класса. Требуется найти значения коэффициентов с с с2,..., ст, для которых выполнено условие
Ф(с0, с1, c2, ст) =
п
= ЪУг - Ф(х, с0, с1, С2' - . ст))2 ^ min. (1)
1=0
Критерий (1), на основании которого осуществляется выбор значений коэффициентов с, С, С, —, с , является основой МНК. Вы-
05 1 2 5 т
бранные в соответствии с этим критерием значения коэффициентов позволяют определить конкретную функцию, наиболее согласованную с табличными (экспериментальными) данными или, иначе говоря, обеспечивающую наилучшее среднеквадратическое приближение.
Функция Ф(х, с0, с1, с2, ..., ст) называется моделью, а искомые коэффициенты с0, с с2, ..., ст - параметрами модели. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда модель линейно зависит от параметров и ее можно представить в виде
ф(х, с0, с1, с2, — , ст) = С0 Ф0(Х) + С1 Ф1(Х) +
+ С2 Ф2(Х) + — + Ст (X). (2)
Модель вида (2) часто называют обобщенным полиномом. Здесь ф0(х), Ф1(х), ...,
фт(х) - множество так называемых базисных функций. Базисные функции могут быть как линейными, так и нелинейными функциями переменной х. Независимо от этого модель (2) остается линейной, поскольку она линейно зависит от параметров модели с с —, ст.
В качестве базисных функций могут быть выбраны, например, степенные функции
Ф0(х) = 1 Ф1(х) = X Ф2(х) = ^ — ' Фт(х) = хт .
Тогда модель будет представлять собой полином степени т
Ф(Х С0, ^ ^ ст) = = с0 + с1х + с2х2 + — + стхт. (3)
Очевидно, что в качестве базисных функций могут быть использованы и другие функции, необходимо лишь, чтобы они были линейно независимыми.
Таким образом, для линейной модели (2) требуется найти значения параметров с0, с1, —, ст, обеспечивающих выполнение условия (1).
С математической точки зрения поставленная задача является задачей поиска минимума функции нескольких переменных, ее минимум можно искать, исходя из необходимых условий экстремума для функций нескольких переменных.
Запишем эти условия в виде системы линейных уравнений и преобразуем ее к виду
п п п п п
СоЕфо(Х«)+С1Хфо(Х/)ф1(Х-)+С2Ефо(Х«)ф2(Х,)+-"+СтХф1(Хг)ф«^) = Е^
/=0 1=0 1=0 1=0 ¿=о
л п п п л
1=0 1=0 г=0 1=0 г'=0
п п п п и
(4)
;=о
1=0
1=0
¡=0
г=0
л п л п л
^^ Ф/л (Хг )фо ) ^^ Фт )ф1 ) ^2 ^^ Фт (Х1 )фг Ст ^^ Фт ) ~ Фт
1=0
;=о
/=0
;=о
1=0
Матрица системы линейных уравнений (4) носит название матрицы Грамма и имеет вид
Г—
п Ефо(хг) »—А и ^ФО(х/)Ф1 (Х/) I—А и »—А л ЕФо(х.)Фи(х.) г—Л
¿ФАОФОО,) 1=0 ¿=0 <=и ¿ф1(х,)ф2(хг) •• 1=0 <—и 1=0
п 1=0 п ХфгО^МС*,) г=0 1=0 п Еф2(Х<)фИ(Хг) ¡=0
л Ефт(Х/)фо(Х,) .1=0 л 1=0 п Ефт(Х.)ф2(Х,) ¡=0 1=0
Очевидно, что матрица Г симметричная. Можно показать, что она положительно определена. Определитель матрицы Г отличен от нуля в силу линейной независимости базисных функций ф0(х), ф1(х), ..., фт(х). Следовательно, система (4) имеет единственное решение, которое может быть найдено любым из известных методов решения такого вида систем. В результате решения системы (4) будут найдены значения модельных параметров (c0, c1, ..., cm) и определена наилучшая в указанном выше смысле модель Фф, c c ..., cm).
Описание разработанной программы.
Ввод исходных данных в программу осуществляется посредством таблично заданных значений в формате Excel следующего вида (табл. 1).
В табл. 1 первый столбец - значения величин x второй столбец - значения величин у..
Интерфейс программы
Работа с программой начинается с нажатия кнопки «Чтение таблицы» и выбора необходимого файла с исходными данными. В случае успешного чтения первая таблица заполняется данными из Excel файла. Если при попытке чтения произошла ошибка либо файл был пустой, появляется сообщение «Ошибка чтения из файла».
После успешной загрузки файла становятся доступны остальные функции программы. Кнопка «МНК1» запускает алгоритм поиска многочлена аппроксимирующей функцией методом наименьших квадратов с базисными функциями xJ. Степень многочлена можно менять в поле «Степень». При этом в первой таблице в четвертом столбце f(x^) появятся значения аппроксимирующей функции в заданных точках, будет построен график и посчитано среднеквадратическое отклонение по узлам таблично заданной функции. Коэффициенты при соответствующих слагаемых многочлена выводятся во вторую таблицу. При изменении степени многочлен пересчи-тывается автоматически и все изменения отображаются на графике и в таблицах.
Кнопка «МНК2» без пометки «Авто» запускает алгоритм поиска аппроксимирую-
щей функции методом наименьших квадратов с базисными функциями, выбранными в третьей таблице (количество, порядок, комбинация и дополнительные параметры выбираются любыми, но в случае линейной зависимости программа выдаст ошибку). После успешного выполнения алгоритма результат выводится аналогично, но коэффициенты во второй таблице уже соответствуют коэффициентам базисных функций в самой аппроксимирующей функции.
Если при нажатии кнопки «МНК2» стоит пометка «Авто», то набор базисных
Т а б л и ц а 1
Формат исходных данных The format of the original data
A В
1 1 0,841471
2 2 0,909297
3 3 0,14112
4 4 -0,7568
5 5 -0,95892
6 6 -0,27942
7 7 0,656987
8 8 0,989358
9 9 0,412118
10 10 -0,54402
11 11 -0,99999
12 12 -0,53657
13 13 0,420167
14 14 0,990607
15 15 0,650288
16 16 -0,2879
17 17 -0,9614
18 18 -0,75099
19 19 0,149877
20 20 0,912945
Рис. 1. Интерфейс программы Fig. 1. The program interface
Рис. 2. Вид аппроксимирующей функции Fig. 2. Type of approximating function
Рис. 3. График аппроксимирующей функции Fig. 3. Schedule approximating function
функций и параметров для них определяется автоматически, путем перебора используемых различных комбинаций базисных функций и параметров. Сложность рассматриваемых комбинаций регулируется значением в поле «Степень». Критерием для выбора оптимальной конфигурации служит минимальное сред-неквадратическое отклонение в узлах таблично заданной функции среди рассмотренных вариантов. Вывод результатов аналогичен режиму без автоматического подбора базисных функций, разница заключается в том, что оптимальный набор базисных функций появится в третьей таблице автоматически.
Для вывода аппроксимирующей функции предусмотрена кнопка «Вывести функцию в файл», с помощью которой найденная функция выводится в указанный файл (рис. 2) для возможного последующего использования в математических приложениях.
Программа предусматривает возможность построения графиков аппроксимирующих функций, которые демонстрируют характер ее изменения. Пример построения графика приведен на рис. 3. При вычислении заданного прогнозного значения оно указывается на графике аппроксимирующей функции.
Т а б л и ц а 2
динамика цен на бревна и пиломатериалы хвойных и лиственных пород
Dynamics of prices for logs and sawn softwood and hardwood
Дата Цена на бревна хвойных пород, $/м3 Цена на бревна лиственных пород, $/м3 Цена на пиломатериалы хвойных пород, $/м3 Цена на пиломатериалы лиственных пород, $/м3
03.2012 147 357 260,65 886,5
04.2012 128 353,5 295,41 896,37
05.2012 148,87 367 300,32 892,15
06.2012 145,65 362 292,12 862,85
07.2012 134,35 357,2 295,21 857,91
08.2012 141,41 354,7 291,35 856,65
09.2012 175,5 353,53 299,63 878,25
10.2012 152,15 350,2 289,07 873,35
11.2012 166,1 353 284,11 870
12.2012 149,3 354,8 276,5 879,95
01.2013 152,62 334,12 275,6 870,6
02.2013 152,62 319,7 275,6 842,87
03.2013 164,07 313,78 280,65 822
04.2013 160,55 304,52 300,72 834,37
05.2013 168,92 294,77 321,82 833,2
06.2013 174,8 306 323,47 844,61
07.2013 150,6 298,77 318,81 827,7
08.2013 165,6 304,4 299,74 845,05
09.2013 159,25 300,11 303,41 865,13
10.2013 165,9 304,32 291,47 876,97
11.2013 183,62 297,35 296,7 878,25
12.2013 172,54 287,35 324,87 892,83
01.2014 165,97 286,6 299,99 897,77
02.2014 189,97 291,85 295,57 902,19
03.2014 179,2 290,9 322,87 905,75
04.2014 165,5 290,32 308,41 912,5
05.2014 177,88 292 317,95 918,05
06.2014 165,6 291,72 311,35 921,35
07.2014 178,3 292,7 316,32 930,6
08.2014 157,7 289,17 312,5 910,32
09.2014 166,24 277,55 296,17 889
10.2014 193,35 275,65 297,67 875,77
11.2014 167,32 256,13 302,74 859,9
12.2014 170,1 249,4 305,75 852,17
01.2015 170,1 249,4 315,35 826,7
02.2015 170,1 249,4 315,35 835,2
03.2015 169,5 249,5 315,35 816,6
04.2015 168,96 249,41 305,25 814,23
05.2015 159,31 246,5 293,23 842,46
06.2015 149,14 240,57 295,61 847,75
07.2015 153,68 241,27 307,46 848,07
08.2015 152,75 241,75 311,62 849,97
09.2015 172,89 247,78 312,01 836,74
10.2015 159,37 248,08 328,96 835,81
11.2015 151,07 242,9 319,42 828,62
12.2015 151,07 244,62 319,42 816,85
Таблица 3
Прогноз цены на бревна и пиломатериалы хвойных пород The forecast prices for logs and sawn softwood
Дата Цена на бревна хвойных пород, $/м3 Отно сительная ошибка, % Цена на пиломатериалы хвойных пород, $/м3 Отно сительная ошибка, %
01.2015 171,60 0,8 313,93 0,4
02.2015 169,10 0,5 307,52 2,4
03.2015 166,95 1,5 302,96 3,9
04.2015 166,70 1,3 304,46 0,25
05.2015 166,80 4,4 310,60 5,0
06.2015 163,20 8,0 309,70 4,7
07.2015 162,20 5,5 315,00 2,0
08.2015 162,20 4,1 309,00 0,8
09.2015 159,14 7,8 303,10 2,8
10.2015 157,30 1,5 307,50 6,0
11.2015 156,50 2,2 313,54 1,8
12.2015 154,80 2,4 314,48 1,5
Прогноз изменения цен на древесину и пиломатериалы
Рассмотрим работу предложенного метода на примере построения прогнозной модели динамики изменения цен на древесину и пиломатериалы. Как отмечалось выше, необходимость в таких прогнозах возникает, например, при определении необходимого объема заготовок древесины и мощностей для их переработки и решения других важных аналогичных вопросов.
В табл. 2 приведены обобщенные данные динамики мировых цен на бревна и пиломатериалы хвойных и лиственных пород определяемые в долларах за кубический метр ($/м3). Данные соответствуют ежегодным обзорам [6] цен мирового рынка на бревна и пиломатериалы хвойных и лиственных пород.
На рис. 4-7 приведен явный вид и графическое представление аппроксимирующих функций F(x), /=1, 2, 3, 4, построенных описанным выше методом по данным табл. 2 и определяющих соответствующие прогнозные модели.
Прогноз цены на бревна хвойных пород
Прогнозная функция ^(х) (рис. 4) динамики изменения цен на бревна хвойных пород, построенная по данным табл. 2, имеет вид F1 (х) = 124,1057+ 71,68/х2 + + 3,2844х - 0,0549х2 - 1,805Ып[х].
На представленном графике по оси ОХ за нулевое значение принят январь 2012 г., точками отмечены данные за прошлый период, последняя точка соответствует декабрю 2014 г. По оси OY приведены значения цены на бревна
190 180 170 160 150 140
10
20
30
40
50
Рис. 4. График функции F1(x) Fig. 4. The graph of the function F^x)
320 310 300 290 280 270
10
20
30
40
50
Рис. 5. График функции F2 (x) Fig. 5. The graph of the function F2 (x)
Таблица 4
Прогноз цены на бревна лиственных пород на период с января по декабрь 2016 г. The forecast prices for hardwood logs for the period from January to December 2016
Дата Цена на бревна лиственных пород, $/м3
01.2016 256,40
02.2016 257,77
03.2016 259,63
04.2016 260,57
05.2016 260,09
06.2016 259,11
07.2016 259,13
08.2016 260,83
09.2016 263,46
10.2016 265,54
11.2016 266,18
12.2016 265,96
Таблица 5
Прогноз цены на пиломатериалы лиственных пород на период с января по июнь 2016 год
The forecast prices for sawn hardwood in the period from January to June 2016
Дата Цена на пиломатериалы
лиственных пород ($/м3)
01.2016 808,19
02.2016 796,41
03.2016 788,14
04.2016 785,17
05.2016 784,18
06.2016 779,82
360 340 320 300 280
Рис. 6. График функции F3(x) Fig. 6. The graph of the function F3(x)
950 900 850
Рис. 7. График функции F4(x) Fig. 7. Graph of the function F4(x)
хвойных пород в долларах за 1 м3 ($/м3), за нулевое значение принята величина 130 ($/м3).
Прогноз цены на пиломатериалы хвойных пород
Прогнозная функция F2(x) (рис. 5) динамики изменения цен на пиломатериа-
лы хвойных пород, построенная по данным табл. 2, имеет вид
(х) = 281,9937- 123,4368/х2 + + 1,411х - 0,0179х2 - 6,8885^п[х].
На представленном графике по оси ОХ за нулевое значение принят март 2012 г., точками отмечены данные за прошлый пери-
од, последняя точка соответствует декабрю
2014 г. По оси OY приведены значения цены на пиломатериалы хвойных пород, за нулевое значение принята величина 260 ($/м3).
С целью проверки точности прогнозирования, в табл. 3 представлены прогнозные значения цены на бревна и пиломатериалы хвойных пород на период с января по декабрь
2015 г. и относительные ошибки (в %) прогнозирования рассматриваемого метода.
Как следует из данных табл. 3, в первом случае среднее значение относительной ошибки прогнозирования рассматриваемого метода составляет 3,3 %, а во втором случае - 2,4 % .
Далее, пользуясь обобщенными данными табл. 2, построим прогноз изменения динамики цен на бревна лиственных пород на период с января по декабрь 2016 г. и пиломатериалы этих пород на период с января по июнь 2016 г.
Прогноз цены на бревна лиственных пород
Прогнозная функция F3(x) (рис. 6) динамики изменения цен на бревна лиственных пород, построенная по данным табл. 2, имеет вид
F3 (х) = 399,9111- 239,6520/х2 --5,8778х + 0,0609х2 + 1,6970мп[х].
На представленном графике по оси ОХ за нулевое значение принят март 2012 г., точками отмечены данные за прошлый период, последняя точка соответствует декабрю 2014 г. По оси OY приведены данные цены на пиломатериалы хвойных пород, за нулевое значение принята величина 260 ($/м3).
В табл. 4 представлены прогнозные значения цены на бревна лиственных пород на период с января по декабрь 2016 г.
Прогноз цены на пиломатериалы лиственных пород
Прогнозная функция F4(x) (рис. 7) динамики изменения цен на пиломатериалы лиственных пород, построенная по данным табл. 2, имеет вид
F4 (х) = 799,2373 +836,2173/х2 + + 6.2365х - 0.2119х2 - 6,1066^п[х].
На представленном графике по оси ОХ за нулевое значение принят март 2012 г., точками отмечены данные за прошлый период, последняя точка соответствует декабрю 2015 г. По оси OY приведены данные цены на пиломатериалы хвойных пород, за нулевое значение принята величина 800 ($/м3).
В табл. 5 представлены прогнозные значения цены на пиломатериалы лиственных пород на период с января по июнь 2016 г.
Заключение
В настоящей статье продолжены начатые в работах [1-3] исследования методов разработки прогнозных моделей динамики изменения экономических показателей на основе построения аппроксимирующих функций. Разработано программное обеспечение, позволяющее строить указанные функции как в ручном, так и в автоматическом режиме. В качестве примера применения данного метода рассмотрена задача построения прогнозных оценок динамики изменения мировых цен на древесину, в частности, цены на бревна и пиломатериалы хвойных и лиственных пород. Приведены экспериментальные результаты оценки точности прогнозирования рассматриваемого метода, относительные ошибки прогнозирования в рассмотренных случаях не превосходили значения 4 %.
Библиографический список
1. Ермакова, А.Ю. Оценка качества прогнозирования динамики изменения валютных курсов на основе построения аппроксимирующих функций / А.Ю. Ермакова // Качество. Инновации. Образование. - 2013. - № 2 (93).-С. 71-79.
2. Ермакова, А.Ю. Исследование качества прогнозирования биржевых курсов драгоценных металлов / А.Ю. Ермакова // Качество. Инновации. Образование. - 2014. -№ 1 (104). - С. 49-56.
3. Ермакова, А.Ю. Построение прогнозных моделей динамики изменения экономических показателей / А.Ю. Ермакова // Актуальные проблемы социально-эконо-ми-ческих исследований. - Материалы III Международной конференции. - М., 2013. - С. 66-71.
4. Васильев, А.Н. МаШетаИса / А.Н. Васильев. - «Корона век». - СПб. -2008. - 447 с.
5. Рыбников, К.К. Введение в дискретную математику и теорию решения экстремальных задач на конечных множествах / К.К. Рыбников. - М.: Гелиос АРВ, 2010. - 317 с.
6. Цены мирового рынка на древесину. Лиственные и хвойные породы. Режим доступа: Ь1р//%'%гмг.1е80пЦпе. ги, свободный (дата обращения 28.03.2016)
CONSTRUCTION PREDICTIVE MODELS OF THE DYNAMICS OF CHANGES THE PRICE OF TIMBER AND LUMBER
Ermakova A.Y., senior lecturer, Plekhanov Russian University of Economics'1'
a.alla1105@mail.ru
(1)Plekhanov Russian University of Economics, Stremyanny lane, 36, Moscow, 117997, Russia
The article deals with methods of forecasting economic indicators and their dynamics. We propose a method of constructing a predictive model, involving finding the approximation function based on the method of least squares. For implementation of this method the appropriate software is developed, allowing to build the specified approximating functions and their graphs the predicted values of the characteristics for the previous time intervals. The proposed method is applied to construct the forecast estimates dynamics of changing prices for wood and lumber. In article results of research of methods of forecasting of economic indicators and dynamics of their changes. We propose a method of constructing a predictive model involving the search of approximating function on the basis of the method of least squares. The construction of the approximating function is carried out using the developed software. The proposed method is applied to build predictive assessments of the change dynamics of prices for timber and lumber.
Keywords: predictive model, projections, approximation function, least squares method, wood, lumber.
References
1. Ermakova A.Yu. Otsenka kachestva prognozirovaniya dinamiki izmeneniya valyutnykh kursov na osnove postroeniya approksimiruyushchikh funktsiy [Evaluation of the quality of forecasting the dynamics of changes in exchange rates on the basis of approximating functions], Kachestvo. Innovatsii. Obrazovanie [Quality. Innovation. Education], 2013, № 2 (93), pp. 71-79.
2. Ermakova A.Yu. Issledovanie kachestva prognozirovaniya birzhevykh kursov dragotsennykh metallov [Study of the quality of forecasting exchange rates of precious metals], Kachestvo. Innovatsii. Obrazovanie [Quality. Innovation. Education], 2014, № 1 (104), pp. 49-56.
3. Ermakova A.Yu. Postroenieprognoznykh modeley dinamiki izmeneniya ekonomicheskikhpokazateley [Building predictive models of the dynamics of changes in economic indicators]. Aktual'nye problemy sotsial'no-ekono-micheskikh issledovaniy. Materialy III Mezhdunarodnoy konferentsii [Topical problems of socio-eco-nomic Research Materials. III of the International konferentsii], Moskva, 2013, pp. 66-71.
4. Vasil'ev A.N. Mathematisa [Mathematica], SPb: Korona vek Publ., 2008, 447 p.
5. Rybnikov K.K. Vvedenie v diskretnuyu matematiku i teoriyu resheniya ekstremal'nykh zadach na konechnykh mnozhestvakh [Introduction to discrete mathematics and theory for solving extremal problems for finite sets], Moscow: Gelios ARV, 2010, 317 p.
6. Tseny mirovogo rynka na drevesinu. Listvennye i khvoynye porody [World market prices for timber. Non-coniferous], Access: http//www. lesonline.ru free (date accessed 28.03.2016)
