Построение покрытий ребер графа кликами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сформулируем задачу о вершинном k-расширении как задачу распознавания свойств, то есть задачу, ответом на которую может быть «да» или «нет»: ВЕРШИННОЕ k-РАСШИРЕНИЕ УСЛОВИЕ. Даны графы G = (V, а) и H = (U, ß).

ВОПРОС. Верно ли, что граф G является вершинным k-расширением графа H? Теорема 1. Задача ВЕРШИННОЕ k-РАСШИРЕНИЕ является NP-полной.

Аналогично формулируется задача о реберном k-расширении:

РЕБЕРНОЕ k-РАСШИРЕНИЕ УСЛОВИЕ. Даны графы G = (V, а) и H = (U, ß).

ВОПРОС. Верно ли, что граф G является реберным k-расширением графа H?

Теорема 2. Задача РЕБЕРНОЕ k-РАСШИРЕНИЕ является NP-полной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.-25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F., Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Harary F., Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.

4. Абросимов М. Б. Минимальные расширения графов // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур. Томск, 2008. С. 59-64.

УДК 519.171

ПОСТРОЕНИЕ ПОКРЫТИЙ РЁБЕР ГРАФА КЛИКАМИ

И. А. Бадеха, П. В. Ролдугин

Реберным покрытием кликами (РПК) графа G называется такой набор клик (полных подграфов) Ki,..., Kr, что любое ребро графа G лежит хотя бы в одной из этих клик. Задача построения РПК, минимального по числу входящих в него клик, как известно, является NP-полной (см., например, [1]). Поскольку каждую из клик в наборе можно дополнить произвольным образом до максимальной клики и получить также РПК, то будем считать, что в определении РПК и далее речь идет о максимальных кликах.

Легко выделить клики, которые обязаны содержаться в каждом РПК для данного графа. Назовем ребро e графа G собственным ребром клики K, если оно лежит в этой клике и не лежит ни в какой другой клике графа G. Соответственно клику K, имеющую хотя бы одно собственное ребро, назовем зафиксированной.

Как известно, вершина графа называется доминирующей, если она соединена ребром с каждой из остальных вершин графа.

Определение 1. Конструкцией C в графе G будем называть порожденный подграф графа G, обладающий ненулевым количеством доминирующих вершин, и такой, что граф, получающийся из графа C удалением всех доминирующих вершин и инцидентных им рёбер, является непустым и связным.

В работе доказывается, что в связном графе без собственных рёбер существует конструкция.

Конструкция C может быть пригодной или непригодной для разбиения графа, что определяется свойствами рёбер, входящих в неё. Данные свойства подробно исследованы в работе. Все рёбра пригодной конструкции разбиваются на две категории: те,

которые в минимальном покрытии должны покрываться кликой, содержащейся внутри конструкции (категория 1), и те, которые могут покрываться вне клики без потери свойства минимальности (категория 2).

Основным содержанием работы можно считать следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть R^ ..., Rs — минимальное РПК конструкции C, пригодной для разбиения графа, с вычеркнутыми рёбрами категории 2. Пусть также Li,..., Lr — минимальное РПК оставшейся части графа G. Тогда R1,..., Rs, L1,..., Lr — минимальное РПК графа G.

В работе приводится эвристический алгоритм поиска рёберных покрытий в графе, основанный на использовании данной теоремы и состоящий из следующих основных шагов:

1. Поиск собственных рёбер в графе. Фиксирование соответствующих клик.

2. Поиск конструкции, пригодной для разбиения графа. В случае, если пригодных конструкций в графе не существует, выбирается конструкция, наиболее приближенная к пригодной для разбиения. В случае, если ни одной конструкции не было найдено, для процедуры разбиения в качестве аналога разбивающей конструкции выбирается наименьшее по мощности окружение ребра.

3. Разбиение исходного графа на два графа: в первый из графов входят те рёбра, которые относятся к конструкции, а во второй граф — все остальные рёбра.

4. Рекурсивное применение данного алгоритма к обоим графам.

5. Объединение полученных покрытий.

Для некоторых классов графов данный алгоритм является точным. В работе представлены такие графы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Orlin J. Contentment in graph theory: Covering graphs with cliques. // Indagationes Math. 1977. V. 39. P. 406-424.

УДК 519.5

РАСПОЗНАВАНИЕ ГРАФА ПРИ ПОМОЩИ БЛУЖДАЮЩЕГО ПО НЕМУ АГЕНТА

И. С. Грунский, Е. А. Татаринов

Основной проблемой компьютерной науки является проблема взаимодействия управляющей и управляемой систем (управляющего автомата, агента и его операционной среды) [1]. Взаимодействие этих систем зачастую представляется как процесс перемещения агента по помеченному графу (лабиринту) среды [2]. Определился ряд подходов к моделированию операционных сред, одним из которых является топологический [3]. В этом случае агенту недоступна метрическая или алгоритмическая информация о среде и доступна только информация о связях между различными областями среды.

Постановка задачи. Рассматривается конечный граф G — неориентированный, связный, без петель и кратных ребер, где V — множество его вершин и E — множество ребер. Вершины и инциденторы графа G можно метить специальными красками и/или камнями, где инцидентор — «точка прикосновения» вершины v и ребра (v,u). Изначально предполагается, что все вершины и инциденторы не помечены.