CC BY
25
6. Nedjah N., de Macedo M. L. Finding minimal addition chains using ant colony // IDEAL / ed.
by R. Y. Zheng, R. M. Everson, Y. Hujun. LNCS. 2004. V. 3177. P. 642-647.
7. Downey P., Leong B., Sethi R. Computing sequences with addition chains // SIAM J.
Computing. 1981. V. 10. No.3. P. 638-646.
УДК 519.171
О СООТНОШЕНИЯХ СТЕПЕНИ И ПЛОТНОСТИ НЕКОТОРЫХ ГРАФОВ
И. А. Бадеха, П. В. Ролдугин
В данной работе наиболее важным является понятие реберного покрытия графа кликами (РПК). РПК — это такой набор клик (полных подграфов) K\, ...,Kr, что любое ребро графа G лежит хотя бы в одной из этих клик. В качестве клик, входящих в РПК, подразумеваются только максимальные по включению клики. Кроме того, будем отождествлять клику и множество ее вершин, то есть выражение «множество вершин R образует клику в графе G» означает, что множество вершин R порождает максимальный полный подграф в графе G. Назовем ребро e графа G собственным ребром клики K, если оно лежит в этой клике и не лежит ни в какой другой максимальной по включению клике графа G. Соответственно клику K, имеющую хотя бы одно собственное ребро, назовем зафиксированной.
Утверждение 1. Клика K входит в любое РПК графа G тогда и только тогда, когда она является зафиксированной.
Собственные ребра и соответственно зафиксированные клики допускают простую характеризацию, позволяющую легко распознать их в графе.
Утверждение 2. Ребро e Є E(G) является собственным ребром некоторой клики K тогда и только тогда, когда множество вершин графа G, смежных одновременно с обоими концами ребра e, порождает полный подграф в G. Кроме того, этот полный подграф в объединении с концами ребра e образует клику K.
Из данного утверждения следует возможность нахождения всех зафиксированных клик графа за полиномиальное время (трудоемкость не более O(n4), где n = |V(G)|). Отсюда следует, что в определенном смысле графами, в которых сложно строить минимальное РПК, являются графы, не содержащие зафиксированных клик, или, что эквивалентно, собственных ребер. Далее такие графы, то есть графы, в которых каждое ребро лежит не менее чем в двух кликах, назовем графами, свободными от собственных ребер. Введем на множестве вершин графа G отношение эквивалентности. Две вершины x и у называются эквивалентными, если они смежны и их окружения совпадают, то есть N (x) = N (у). Сжатым графом назовем граф, в котором все вершины попарно неэквивалентны.
Основное содержание работы отражает следующая теорема.
Теорема 1. Предположим, что G является связным сжатым графом, свободным от собственных ребер. Тогда
1) p(G) ^ A(G) - 1;
2) если p(G) = A(G) — 1, то A(G) = 4, и граф G эквивалентен графу B;
3) если p(G) = A(G) — 2, то в графе G существует не менее двух вершин степени A(G), либо граф G получается из графа B добавлением одной доминирующей вершины.
С помощью введения специальных операций над сжатыми графами, свободными от собственных ребер, сохраняющих данные свойства, и с использованием данной теоремы доказывается следующее утверждение.
Утверждение 3. Существуют непустые сжатые графы, свободные от зафиксированных клик, имеющие p(G) = р и A(G) = А, где А и р — произвольные натуральные числа, удовлетворяющие ограничениям: р ^ 3, А ^ р + 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cavers M. S. Clique partitions and coverings of graphs. University of Waterloo, 2005.
2. Kou L. T., Stockmeyer L. J., Wong C.K. Covering edges by cliques with regard to keyword
conflicts and intersection graphs // Communicat. ACM. 1978. V. 21. No. 2. P. 135-139.
3. Orlin J. Contentment in graph theory: Covering graphs with cliques // Indagationes Math.
1977. V. 39. P. 406-424.
УДК 519.7
БЕНТ-ФУНКЦИИ И ЛИНЕЙНЫЕ КОДЫ В CDMA1
А. В. Павлов
Булева функция от четного числа переменных называется бент-функцией, если она максимально удалена от класса аффинных булевых функций. Задача построения бент-функций возникает во многих областях, в том числе в теории кодирования, где находит свое применение в системах коллективного доступа, таких, как стандарты цифровой сотовой связи CDMA. Данные стандарты используют бент-функции для построения кодов постоянной амплитуды, что позволяет предельно снизить коэффициент отношения пиковой и средней мощностей сигнала. Такие коды состоят из векторов значений бент-функций. И как известно, предпочтение отдается линейным кодам, так как они довольно просты в реализации.
Так возникла задача построения максимального линейного кода на основе заданной бент-функции, такого, что при сдвиге данной бент-функции на любое кодовое слово не нарушалось бы свойство «бент». В [1] предлагается использовать для построения кода конструкцию Мак-Фарланда [2] f (x,y) = (x,n(y)) + g(y), где x,y G En/2; g(y) — булева функция от n/2 переменных; п — подстановка на En/2; En/2 — булев куб размерности n/2. Рассмотрим линейный код длины 2n, состоящий из векторов значений функций h(x,y) = g(y) и всех аффинных функций от n переменных. Размерность данного кода равна k = 2n/2 + n/2, кодовое расстояние равно d = 2n/2. Например, для любой бент-функции из класса Мак-Фарланда от 6 переменных имеем линейный код с параметрами [26,11, 8], а для 8 переменных — с параметрами [28, 20,16].
В [3] было доказано, что две бент-функции находятся на минимальном расстоянии 2n/2 друг от друга тогда и только тогда, когда они отличаются на аффинном подпространстве размерности n/2 и обе на нём аффинны. Исходя из этого критерия, предложен следующий алгоритм построения максимального линейного кода.
Алгоритм
1) Вход: бент-функция f.
2) Добавляем f в список функций functionList.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых российских
ученых (грант МК №1250.2009.1).
