CC BY
4режимы системы внешнего дыхания, определяя оптимальный дыхательный объем, продолжительность фаз вдоха и выдоха для каждого возможного уровня функциональной активности в спортивных единоборствах. Особенно это важно делать во время отдыха между схватками, в восстановительный период после соревнований.
Особо следует отметить возможности моделирования для имитации поединков с учетом функционального состояния спортсмена. Считаем, что силовое единоборство представляет собой прежде всего динамическую конфликтно-управляемую игру двух соперников. В математике ее определяют как дифференциальную игру [5, с. 112]. Особенностью этой игры является ограниченность времени, пространства, функционального ресурса, правил ведения поединка и оценки результатов игры (победа, поражение).
При планировании поединка, тактики и стратегии противоборства тренер учитывает, безусловно, функциональные возможности своего ученика, а также его соперников. Ситуационное моделирование [6, с. 82] позволяет ему создать модель возможного течения поединка, а модель ФСД - оценить изменение функционального состояния спортсмена в ходе имитируемого поединка и разработать рекомендации для возможного поведения (тактику и стратегию) в ходе противоборства.
Опыт работы с моделями может привести и к постановке новых исследовательских задач, решение которых
так необходимо при подготовке спортсменов высокого класса к ответственным соревнованиям.
Список литературы
1. Онопчук Ю.Н.Гомеостаз функциональной системы дыхания как результат внутрисистемного и си-стемно-средового информационного взаимодей-ствия//Биоэкомедицина. Единое информационное пространство/Ю.Н. Онопчук.-Киев.-2001.-С.59-81.
2. Онопчук Ю.Н., Белошицкий П.В., Аралова Н.И. К вопросу о надежности функциональных систем организма // Кибернетика и вычисл. Техника.-1999.-Вып. 122. - С. 72 - 89.
3. Бтошицький П.В., Онопчук Ю.М., Аралова Н.1. Ме-хашзми регулювання системи дихання, Тх роль в за-безпеченш надшносп функцюнування оргашзму // Фiзiол. журн. -2000. - 46.- № 2.- С. 113.
4. Полинкевич К.Б., Онопчук Ю.Н. Конфликтные ситуации при моделировании основной функции системы дыхания организма и математические модели их разрешения // Кибернетика. - 1986. - № 3. - С. 100 - 104.
5. Чикрий А.А. Конфликтно - управляемые системы. -Киев.: Наук.думка, 1993.-286 с.
6. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. -М.: Наука, 1968. - 362 с.
ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ В ВИДЕ СУММЫ
ДЕЛЬТАОБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
Браништи Владислав Владимирович
старший преподаватель кафедры высшей математики, Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнёва, г. Красноярск
BUILDING A PROBABILITY DENSITY ESTIMATIONS BY SUM OF DELTA-SHAPED FUNCTIONS
Branishti Vladislav, Lecturer of higher mathematics chair, Siberian State Aerospace University, named after academician M. F. Reshetnev, Krasnoyarsk
АННОТАЦИЯ
В работе исследуется задача оценивания неизвестной функции плотности вероятности непрерывной случайной величины в условиях непараметрической неопределённости. Рассматривается три вида оценок: гистограмма, проекционная и ядерная оценки. Показано, что все они могут быть выведены из одного выражения, представляющего сумму дельтаобразных функций. Также предлагаемое выражение используется для построения оценки нового вида. Построенная оценка применяется при восстановлении плотности вероятности некоторых случайных величин.
ABSTRACT
A problem of estimating an unknown probability density function in condition of nonparametric indeterminacy is investigated in the paper. One considered three types of estimations: histogram, projective and kernel estimations. One shows that all of it can be deduced from one expression which is sum of delta-shaped functions. Also, this expression is used to build an estimation of new kind. Built estimation is applied in restoration the probability density function of some random variables.
Ключевые слова: статистическое оценивание, непараметрические методы, плотность вероятности, проекционная оценка, ядерная оценка, обобщённые функции.
Keywords: statistical estimating, nonparametric methods, probability density, projective estimation, kernel estimation, generalized functions.
Одной из главных задач математической статистики является определение закона распределения генеральной совокупности по выборке. Для непрерывных случайных величин исчерпывающей характеристикой закона
распределения является функция плотности вероятности [2, с. 117]. Если искомая плотность вероятности известна с точностью до конечного числа параметров, то для решения этой задачи используются параметрические методы.
Однако очень часто исследователи оказываются в ситуации, когда сведения о восстанавливаемой плотности носят более общий характер: например, восстановление ведётся в классе непрерывных функций или функций, принадлежащих пространству L2. Оценки плотности вероятности, используемые в таких случаях, получили название непараметрических [1]. В настоящее время получили распространение следующие значительно различающиеся между собой виды непараметрических оценок плотности вероятности:
1) гистограмма;
2) проекционная оценка [5];
3) ядерная оценка [4].
В данной работе предлагается некоторый «общий вид» оценки плотности вероятности, частными случаями которого являются три упомянутых подхода, который также можно применить для синтеза новых способов оценивания плотности вероятности.
Пусть 5(х) - б-функция Дирака, т.е. такая обобщённая функция, что для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции v(x) справедливо равенство:
(6
л0=/
6(x)v(x)dx = v(0).
Из этого определения следует, что для любых дей-
ствительных x
+га
| 5(х — = | 6(t-x)v(t)dt = v(x).
—га —га
В пространстве обобщённых функций вводится понятие сходимости [3]: последовательность функций ^(х) сходится к обобщённой функции ^х), если
= Нт(^).
п^га п^га
Если последовательность регулярных функций 5п(х, £) сходится к функции 5(х — £), то элементы этой последовательности назовём б-образными функциями. Зафиксируем некоторую последовательность б-образных функций 5п(хД) и построим оценку плотности вероятности ^х) в виде
n
f(x)=1Z6n(x,Xi),
i=1
(1)
где x1, ..., xn - независимая выборка исследуемой случайной величины.
Рассчитаем математическое ожидание и дисперсию функции (1):
M{f(x)} = M{1^^6n(x,xi)} = M{6n(x,?)};
i=1 1
Dfx)} = M{6n(x,i;)} - M2{6n(x,i;)} = -D{6n(x,i;)}.
Из выражения для математического ожидания следует, что при любом выборе последовательности б-образ-ных функций оценка (1) является асимптотически несмещённой в каждой точке непрерывности функции f(x). Действительно,
+ га
lim M{f(x)} = lim M{6n(x,£)} = lim f 6n(x,t)f(t)dt
n^ra n^ra n^ra J
—ra
= f(x).
При выполнении условия
Ит^{5п(х,9} = 0
п^га П
дисперсия оценки (1) с увеличением объёма выборки стремится к 0, следовательно, оценка (1) является также и состоятельной.
Один из способов построения последовательностей б-образных функций даёт следующее утверждение.
Пусть действительная функция К(х) удовлетворяет условиям Парзена [6]:
1) К(х) измерима по Борелю;
2) sup|K(x)| <
3) ;—+гак(х)ах = 1;
4) —т |хК(х)| = 0.
х^±га
В этом случае можно показать, что при h = hn ^ +0 последовательность функций
1x hK(h)
сходится к 5(х) в смысле сходимости обобщённых функций.
Отсюда следует, что последовательность функций
h^)
сходится к 5(х — х;). В этом случае оценка (1) принимает вид
п
1V 1 /х —хА\
1=1
и является известной оценкой Розенблатта-Парзена или ядерной оценкой плотности вероятности [4, с. 23].
Гистограмма, или эмпирическая функция плотности вероятности, ^(х) представляет собой кусочно-постоянную функцию, определённую на некотором отрезке [а;Ь]. Если задано разбиение (в общем случае, неравномерное) этого отрезка точками
а = < < ••• < = Ь то ^(х) определяется следующим образом:
N
n(x) = Y j у
где п - это число значений х;, попавших в интервал Теоретически, вероятность того, что значение непрерывной случайной величины х; ляжет на границу какого-нибудь интервала dj), равна 0.
Покажем, что гистограмму ^(х) также можно представить в виде оценки (1). Для этого введём функцию
1
nn(x,t) = {dj -d
j—i
<де (dj—i;dj)
0,
иначе
Очевидно,что
hn(x) =1епп(х,х;).
1=1
Докажем, что если максимальная из длин интервалов dj) стремится к 0 при п ^ го, то пп(х, t) является
—ra
+ra
б-образной функцией. Рассмотрим скалярное произведение
+го
(Пп(хД)Мх)) = | Пп(хДМх;№
—го
= ---— I v(x)dx,
4 - 4—1 J
4-1
где dj) - интервал, содержащий точку t.
По теореме о среднем для определённого интеграла, существует ^ е (dj—1,dj), при котором
Тогда
J
I v(x)dx = v(Z)(dj-dj—l).
dj-1
(т^Д)^)) = V®.
Так как с возрастанием п длина интервала dj) стремится к 0, то dj—1 и dj сходятся к ^ а вместе с ними и число Тогда
Иш^М)^)) ^00,
п^го 4
что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что проекционная оценка также представима в виде (1). Пусть {ф^)}?^ - ортонормиро-ванный базис пространства L2. Рассмотрим последовательность функций
Sl(x,t) = ^фj(t)фj(x),l = 1,2,.
j=l
(2)
Докажем, что при 1 ^ го последовательность (2) сходится к — £). Действительно,
+ го 1
(sl(x,t),v(x)) = | ^фj(t)фj(x) • v(x)dx =
—го j = 1
1 / +го \ 1
= X (фj (t) I фj (x)v(x)dx ) = X а
¡ = 1 \ —го ) j = 1
где а - коэффициенты разложения функции v(x) по базису {ф;^)}. Тогда
1 го
Иш^О^М) = 1imXаjфj(t) = Xаjфj(t) = v(t). j=l j=l
При использовании функций (2) в качестве последовательности б-образных функций для оценки (1) получим оценку:
п 1 1 п
?00 = 1X X фj ^ (x) = X (п X фj (Xi) • фj (x) ),
1=1 j=1 j=:L \ 1=1 )
которая является проекционной оценкой плотности вероятности [5].
Таким образом, показано, что любая из трёх рассмотренных оценок плотности вероятности является оценкой вида (1). Также формулу (1) можно использовать для построения новых методов оценивания, взяв подходящую последовательность б-образных функций.
Заметим, что последовательность функций s1(x, 0) из (2) сходится к 5^). Отсюда следует, что последовательность
Sl(x — t, 0) = X фj (0)фj (x — t)
j=l
(3)
сходится к 5^ — Тогда в качестве 5n(x,t) наряду с (2) можно использовать функции (3). При использовании функций (3) в качестве б-образных получим следующую оценку функции плотности вероятности:
f(x) =nXXфj(0)фj(x —Xi).
1=1 ¡=0
Рассмотрим результаты восстановления плотности вероятности различных непрерывных случайных величин с помощью выражения (4), взяв в качестве базиса орто-нормированную систему многочленов Эрмита:
(4)
фп(Х) =
(—1)пе~ dn
2,п = 0,1,.
(^ 2п п!)1/2^п Графики б-образных функций (3) в этом случае при различных 1 приведены на рис. 1.
Рисунок 1. Вид б-образных функций (3) при I = 0, 4, 10 и 20
а
2
—х
Из графиков видно, что при увеличении 1 график функции sl(x, 0) становится всё более вытянутым в окрестности точки х = 0.
Результаты восстановления плотности вероятности различных случайных величин с помощью оценки (4) по выборке объёма п = 100 приведены на рис. 2-4. Длина
ряда l рассчитывалась, исходя из минимума квадратичного критерия:
W,
= J (f(x) - f(x)) dx ^ min.
Рисунок 2. Восстановление плотности вероятности треугольного распределения оценкой (4), I = 16, Wl = 0,0146
Рисунок 3. Восстановление плотности вероятности показательного распределения оценкой (4), I = 20, Wl = 0,0627
Рисунок 4. Восстановление плотности вероятности равномерного распределения оценкой (4), I = 20, Wl = 0,11
Результаты численных экспериментов показы- 2.
вают, что выражение (4) также можно использовать при выборочном оценивании неизвестной функции плотно- 3.
сти вероятности.
В целом, формула (1) позволяет синтезировать различные методы оценивания плотности вероятности в 4.
зависимости от выбранной последовательности б-образ-ных функций, а также проводить их теоретический анализ. 5.
Список литературы 1. Вапник В. Н., Стефанюк А. Р. Непараметрические
методы восстановления плотности вероятностей // 6. Автоматика и телемеханика, 1978. - Выпуск 8. - С. 38-52.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник.
- 8-е изд. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - 7-е изд. -М.: Физматлит, 2004. - 572 с.
Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические модели и алгоритмы обработки информации. - Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2010. - 220 с. Ченцов Н. Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям // ДАН СССР. - 1962.
- 147, 1. - С. 45-48.
Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // The Annals of Mathematical Statistics, 1962. - Vol. 35, 3. - Pp. 1065-1076.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНО - ТЕМПЕРАТУРНЫХ СПЕКТРОВ КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Калытка Валерий Александрович,
к.ф.-м. н. доктор phD(«Физика»), Карагандинский государственный технический университет, г.Караганда,
Казахстан Камарова Сауле Нуртазаевна
магистрант кафедра «Энергетика», Карагандинский государственный технический университет,
г.Караганда, Казахстан
