Построение оптимального расписания с учетом условия предшествования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Таким образом, по результатам проведённого исследования наиболее рациональной из представленного модельного ряда является карусельная зерносушилка.

Заключение. Получена нечётко-возможностная модель для оценки эффективности функционирования зерносушильного агрегата.

Из анализа полиномиального выражения следует, что наиболее значимыми в процессе зерносушения являются следующие факторы: удельные энергетические затраты на сушку зерна, производительность агрегата, влажность зерновороха.

Расчёты по модели показывают, что при равных значениях производительности сушилок и начальной влажности зерна, обработанного в продовольственном режиме, наименее ресурсозатратной является зерносушилка карусельного типа.

Таким образом, разработанная нечётко-возможностная модель способна выступать инструментом оценивания эффективности функционирования зерносушильного агрегата вне зависимости от его типа.

Список литературы

1) Керимов М.А. Оценка условий и качества функционирования зерновых сушилок. - В кн.: Автоматизация процессов послеуборочной обработки зерна. - Л.:

1985. - с. 70-74.

2) Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. - М.:

Радио и связь, 1984. - 288 с.

3) Петровский А.Б. Теория принятия решений. - М.: Издат. центр «Академия»,

2009. - 400 с.

УДК 519.854.2; 004.02; 004.04

Биченкова Оксана Федоровна,

аспирант,

Судакова Лидия Владимировна,

студент,

Черненькая Людмила Васильевна,

д-р техн. наук, профессор

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПИСАНИЯ С УЧЕТОМ УСЛОВИЯ ПРЕДШЕСТВОВАНИЯ

Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

Высшая школа киберфизических систем и управления Института компьютерных наук и технологий, e-mail: [email protected]

Аннотация: Рассматривается задача составления оптимального расписания для одной машины. Особенностью данной задачи является наличие условий предше-

ствования на множестве операций и учет важности каждой операции. Целью работы является составление оптимального расписания выполнения работ с использованием одного из жадных алгоритмов. В результате представлен алгоритм для составления расписания и приведен пример реализации.

Ключевые слова: оптимальное расписание, условия предшествования, жадные алгоритмы, алгоритм Лаулера.

Oksana F. Bichenkova, Post-graduate student,Lidia V. Sudakova,

Student,

Liudmila V. Chernenkaya,

Doctor of Technical Sciences, Professor

CONSTRUCTION OF SCHEDULES OF WORKS' EXECUTION UNDER PRECEDENCE CONSTRAINTS WITH USING OF GREEDY

ALGORITHMS

Russia, St.Petersburg, Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University, High School on Cyber-physic Systems and Control of the Institute for Computer Sciences and Technologies, e-mail: [email protected]

Abstract. The article describes the problem of scheduling for production. A peculiarity of the problem formulation is the presence of precedence constraints on a variety of jobs and consideration of the importance of each job. The purpose of the work is to create an optimal schedule of a work using one the greedy algorithms. The result is demonstrated on an algorithm for scheduling and an example implementation.

Keywords: schedule, precedence constraints, greedy algorithms, Lawler's algorithm.

Введение

Время - ключевой ресурс в современном мире, поэтому необходимо очень бережно и оптимально его расходовать. Задача формирования расписания работ, управления производственными процессами появилась одновременно с возникновением самих предприятий и фокусировалась на том, чтобы распределить работы во времени и зафиксировать установленный порядок [1-3]. Для производства задача оптимального распределения ресурсов, особенно времени, является одной из важнейших, т.к. именно от этого зависит выживание предприятия в текущей экономической ситуации.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу построения расписания для одной машины. Пусть N = { 1t...ji} - конечное множество операций. Их выполнение происходит на одной машине, причем время, требуемое на выполнение г-ой

операции - р1. Для каждой операции задана монотонно неубывающая функция /¡. Между операциями существуют отношения в виде ориентированного графа без циклов: если существует ребро 1, то операция е должна завершиться до начала выполнения операции /.

Для представления задач построения оптимальных расписаний используется обозначение , состоящее из трех полей [4].

Поле « используется для описания обслуживающей системы. В рассматриваемой задаче ® = 1 - система состоит из одной машины.

Поле Р служит для описания характеристик операций. Одно из возможных значений данного поля £ = ргас говорит о заданном ограничении предшествования на множестве операций.

Поле У описывает целевую функцию задачи. Задача заключается в построении расписания, которое минимизирует целевую функцию. Рассмотрим следующую целевую функцию:

йии=™*/}(С/) (1)

где С1 - время завершения выполнения /-ой операции.

В качестве функции /?■(£?) примем функцию:

Г£сД = (2)

где - вес у-ой операции. Данный параметр характеризует «важность» операции [5].

В результате получили задачу .

Решение задается перестановкой:

-=--_,-. (3)

Величина щ задает номер операции, стоящий на /'-ом месте в перестановке гс-

Жадные алгоритмы

Для решения данной задачи используем жадные алгоритмы. Жадными (градиентными) алгоритмами называют алгоритмы, действующие по принципу «максимальный выигрыш на каждом шаге», т.е. на каждом шаге составления расписания решается локальная оптимизационная задача. Заметим, что такие алгоритмы не всегда ведут к успеху - иногда выгоднее сделать не наилучший выбор на очередном шаге, чтобы в итоге получить оптимальное решение [6].

Воспользуемся одним из таких алгоритмов - алгоритмом Лаулера. Идея алгоритма заключается в том, что расписание строится с конца. Пусть ¿V = (1, ,,.п} _ множество операций, _ множество операций,

еще не добавленных в расписание и ^ . Тогда в оптимальном

решении последней операцией будет операция / е 51, которая не имеет детей в графе зависимостей и имеет минимальное значение /ДР^Л) [7].

Составим более детальный алгоритм. Для этого введем матрицу смежности графа А = Ц), в которой ач = 1 , если в графе существует ребро * ], и = 0 в противном случае. Также укажем, что №) - число детей вершины £ . Алгоритм Лаулера:

1.Для£ от до и вычислить:

я

Ш)= У а-,,-;

Н (4)

2. Принять -5"= (1.

3. Вычислить:

и

Р = (5)

4. Для * от п до :

4.1. Найти операцию / в 5 ? где = 0 и значение

- минимальное;

4.2. Из множества 5 удалить элемент / ;

4.3. Принять = ш и я&) = / ;

4.4. Вычислить Р = Р - Р,-

4.5. Для ' от до 11: если аи = 1 , то = ^С)-1 .

Пример реализации

Задача: составить оптимальное расписание для выполнения 7 операций с условиями предшествования на одной машине. Время выполнения и веса каждой операции указаны в таблице (см. табл. 1).

Таблица 1

Время выполнения и веса работ

Номер работы : Время выполнения работы Рг Вес работы --■:

1 3 1

2 5 2

3 2 1

4 4 1

5 1 3

6 3 5

7 1 2

Условия предшествования заданы в виде ориентированного графа без циклов (см. рис. 1).

Рис. 1. Условия предшествования

Построим матрицу смежности:

^ =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0

(6)

Применяя для решения данной задачи жадный алгоритм Лаулера, получаем в результате оптимальное расписание:

-= У. (7)

Построим для данного расписания диаграмму Ганта в программе MS Excel (см. рис. 2):

Рис. 2. Диаграмма Ганта

Таким образом, для задачи о составлении оптимального расписания для одной машины с условиями предшествования и учетом важности операций был описан подробный алгоритм решения с использованием жадного алгоритма. Работа алгоритма была продемонстрирована на численном примере.

Список литературы

1. Биченкова О.Ф. Модели предварительного планирования в программном комплексе «1С-Каскад» // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XX Международной научно-практической конференции. Часть 2. - СПб, СПБПУ. - 2016. С. 380-384.

2. Биченкова О.Ф., Черненькая Л.В. APS-уровень: контроль качества при планировании этапов производства. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXI Международной научно-практической конференции. Часть 2. - СПб, СПБПУ. - 2017. С. 368-374.

3. Chernenkaya L.V., Desyatirikova E.N., Belousov V.E., Chepelev S.A., Sergeeva S.I., Slinkova N.V. Optimal planning of distributed control systems with active elements. // 2017 IEEE II International Conference on Control in Technical Systems (CTS) 2017 IEEE II International Conference on Control in Technical Systems (CTS). Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI". 2017. С. 37-40.

4. Тахонов И.И. Введение в теорию расписаний. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2011. - 135 с.

5. Лазарев А.А., Гафаров Е.Р. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы. - М.: Изд-во МГУ, 2011. - 222 с.

6. Алексеев В.Е., Таланов В.А. Графы. Модели вычислений. Структуры данных. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2005. - 307 с.

7. Peter Brucker. Scheduling Algorithms — Springer, 2006 г. — 371 c.