Построение объясняющих цепочек наименьшей длины при упорядоченных по важности критериях с порядковой шкалой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.816

ПОСТРОЕНИЕ ОБЪЯСНЯЮЩИХ ЦЕПОЧЕК НАИМЕНЬШЕЙ ДЛИНЫ ПРИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПО ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЯХ С ПОРЯДКОВОЙ ШКАЛОЙ

Андрей Павлович Нелюбин, аспирант ИМАШРАН Тел8(905)554-12-55, e-maiLmlubm@gmaU.com Институт машиноведения им. А. А.Благонравова РАН http://www.imash.ru

В статье представлен новый алгоритм сравнения вариантов решений многокритериальной задачи методами теории важности критериев для случая, когда все критерии упорядочены по важности и имеют общую порядковую шкалу. В отличие от известных алгоритмов, представленный алгоритм строит объясняющие цепочки наименьшей длины. Экспериментально получены точные значения максимальных длин цепочек при небольшом числе критериев и градаций шкалы.

Ключевые слова: многокритериальные задачи принятия решений, теория важности критериев, порядковая шкала, объясняющие цепочки.

зультата сравнения рассматриваемых вариантов, т.е. объяснения, почему один вариант лучше другого или почему они одинаковы по предпочтительности. Поэтому такие последовательности получили название «объясняющие цепочки».

Сложность построения объясняющих цепочек заключается в том, что для одних и тех же сравниваемых вариантов может существовать множество различных цепочек. Среди них наибольший практический интерес представляют цепочки наименьшей длины (содержащие наименьшее число операций). Первый алгоритм построения объясняющих цепочек был описан в [3]. В работе [4] был предложен более эффективный алгоритм построения объясняющих цепочек, а также получена оценка сверху длины цепочки в зависимости от числа критериев.

В настоящей статье представлена модификация алгоритма из [4], строящая объясняющие цепочки наименьшей возможной длины. С помощью нового алгоритма экспериментально получены точные значения максимальных длин цепочек в зависимости от числа критериев (до 10) и числа градаций шкалы критериев (до 9).

Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации принятия индивидуального решения в условиях определенности:

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31160).

А.П. Нелюбин

Математическая теория важности критериев была создана и продолжает развиваться в России (см. историю и библиографию в [1, 2]). Она опирается на строгие определения понятий «один критерий важнее другого» и «критерии равноважны». Такая качественная (нечисловая) информация о важности критериев позволяет корректно сравнивать варианты решений многокритериальной задачи по предпочтительности. Процедура сравнения вариантов разбивается на последовательность элементарных операций, выполняемых в соответствии с базовыми определениями теории. Предъявление этой последовательности может служить в качестве обоснования (подтверждения) ре-

1. Математическая модель и сведения из теории важности критериев

М = < т, X, ^ Z, Ш>,

где т - тип постановки задачи (выбрать один или несколько лучших вариантов, упорядочить все варианты по предпочтительности, и т.д.); X - множество вариантов (альтернатив); К = (К1, ..., Кш) - векторный критерий, состоящий из m > 2 частных критериев К,; Z - область значений векторного критерия; Ш - модель предпочтений лица, принимающего решение (ЛИР).

Под критериемК, понимается функция с областью определения X и областью значений (множеством оценок) Zi. Далее полагается, что все критерии однородны или приведены к таковым. Это означает, что критерии имеют общую шкалу и, в частности, у них общая область значений Z0 ={1, ., к, ., ^}, где q > 2. Шкала критериев20 полагается всего лишь порядковой, т.е. номера к градаций шкалы отражают только упорядоченность их по предпочтению: чем номер градации больше, тем она предпочтительнее.

Таким образом, каждый вариант х из X характеризуется m числами - значениями К,(х) всех критериев, образующими векторную оценку этого варианта у = К(х) = (К1(х), ..., Кш(х)). Поэтому сравнение вариантов по предпочтительности сводится к сопоставлению их векторных оценок. Векторные оценки из множества Z = Z0m могут соответствовать вариантам из X или быть гипотетическими.

Предпочтения ЛПР моделируются на Z при помощи отношения нестрогого предпочтения Я: запись уЯг означает, что векторная оценка у не менее предпочтительна, чем

2. Отношение Я является (частичным) квазипорядком (т.е. оно рефлексивно и транзитивно) и порождает на Z отношения безразличия I и (строгого) предпочтения Р:

уЬ^уЯглгЯу; уРг^уЯгА—гЯу.

Так как предпочтения ЛПР возрастают вдоль шкалы критериев Z0, то на множестве векторных оценок Z определено отношение Парето Я0:

уЯ°г^у, > г-, i = 1, ... , m.

Получить решение многокритериальной задачи в требуемой постановке т только при помощи отношения Парето, как правило, не удается, и поэтому его требуется расширить, привлекая дополнительную информацию о предпочтениях ЛПР. Далее в роли такой информации выступают сведения об относительной важности критериев.

Приведем необходимые для дальнейшего изложения сведения из теории качественной важности критериев [3]. Обозначим черезу1] векторную оценку, полученную из векторной оценки у = (у1, ..., уш) перестановкой ее компоненту, и Уj.

Определение 1. Критерии К, и К-равноважны, или одинаково важны (такое сообщение обозначается -~/), когда векторные оценки у и у11 одинаковы по предпочтительности.

Определение 2. Критерий К,важнее критерия К- (такое сообщение обозначается -У/), когда векторная оценка у, в которой у>у], предпочтительнее, чем у-1.

Пусть О - качественная информация о важности критериев, т.е. совокупность сообщений вида и -У/. Согласно определениям 1 и 2, сообщение ,~] задает на множестве Z отношение безразличия /~], а сообщение У] - отношение предпочтения , определяемые следующим образом:

уГ}1^ (г = у- у, ф у) уРУг& (г = у-1, у,>уД

Отношение Я , порождаемое на Z качественной информацией о важности критериев О, определяется как наименьшее транзитивное отношение, содержащее отношение Парето Я и отношения Яс для всех сообщений се О:

ЯО= ТгСА<има Я")и Я°].

где ТгС1 - символ операции транзитивного замыкания бинарного отношения, Яс = /~], если о = -~], и Яс = РУ, если с = -У/. Согласно этому определению, уЯОг верно тогда и только тогда, когда существует цепочка вида:

-,„Т)С> 1 1 7”) с2 2 Ь ТЛС++ /1 \

уЯ и , и Я и , ..., и Я г, (1)

в которой и1 - векторные оценки из Z, а в качестве Яс выступают Я0, 11 или . Причем если хотя бы одно отношение Яс является отношением строгого предпочтения Р° или Р1У], то выполняется уРОг. В противном случае выполняется у1° г. Такую цепочку называют объясняющей, поскольку она показывает, на основе каких сообщений о предпочтениях ЛПР сделан вывод о том, что уЯг. Число Ь называется длиной объясняющей цепочки.

Перестановка компонент и1 и и1 векторной оценки и1 считается допустимой, если

1+1 / 1\,1 I

получающаяся векторная оценка и = (и ) не лучше и в соответствии с определениями 1 и 2, т.е. если и1 >и] при У], или и1 фи] при ,~]. Доказано [3], что еслиуЯО г, то объясняющая цепочка (1) наименьшей длины может быть получена путем последовательного осуществления допустимых перестановок компонент векторной оценки у = и , так что для последней векторной оценки иЬ выполняется иЬЯ0г. Поэтому далее ограничимся

рассмотрением цепочек (1), в которых в качестве Яс , I = 1, ., Ь выступают Т~] или Р1>], а ЯС++ = Я0.

2. Построение объясняющих цепочек

Сначала приведем алгоритм построения объясняющей цепочки, описанный в работе [4]. Затем покажем, что в ряде случаев этот алгоритм неэффективен с точки зрения длины получающейся цепочки, и модифицируем его так, чтобы обеспечить минимум этой длины.

Будем считать, что информация О непротиворечива и полна, т.е. она позволяет упорядочить (ранжировать) по важности все критерии. Для удобства пронумеруем критерии в порядке невозрастания их относительной важности. При этом номера равноважных критериев соберем в группы:

М1 = {1, ..., -1}, М2 = {-1 + 1, ..., -2}, ..., Мр = {,р-1 + 1, ..., -р}.

Таким образом, в группе М1 находятся номера наиболее важных критериев, а критерии с номерами из группы Мр наименее важны (очевидно, что -р = m).

Обозначим через у<.] векторную оценку в пространстве Z0г, состоящую из первых

- компонент векторной оценки у. В алгоритме [4] сначала достигается выполнение отношения и<к]Я0г<к] путем перестановок компонент с номерами из М1, затем и<2г. ]Я0г<^ путем перестановок компонент с номерами из М1 и М2, и т.д.

Алгоритм [4]:

Шаг 1. Положить и° = у, I = 0, ] = 1.

Шаг 2. Если г ^ < и1, то выполнить шаг 3, иначе - выполнить шаг 4.

Шаг 3. Если ] = m, то выполнить шаг 9, иначе - положить ] = ] + 1 и выполнить шаг 2.

Шаг 4. Найти в такое, что]еМр.

Шаг 5. Если существует индекс ге {1, 2, ., -р} такой, что 2Г < и] < и1г, то выполнить шаг 6, иначе - выполнить шаг 10.

Шаг 6. Среди всех ге {1, 2, ..., -р} таких, что 2г < и1] < и1г, найтир, при котором

г г

достигается максимум ир = тахг иг.

Шаг 7. Осуществить в и1 перестановку компонент с номерами ] и р, полученную векторную оценку обозначить иг+1, положить I = г+ 1.

Шаг 8. Выполнить шаг 2.

Шаг 9. Конец. Соотношение уЯ г - верно. Объясняющая цепочка длины I состоит из векторных оценок у, и1, ., и1, г.

Шаг 10. Конец. Соотношение уЯ г - не верно. Объясняющей цепочки нет.

В [4] доказано, что если выполняется уЯОг, то работа алгоритма заканчивается на шаге 9, иначе - на шаге 10. Однако при доказательстве нигде не используется тот факт, что на шаге 6 среди всех индексов г выбирается именно указанный индекс р. Поэтому можно сформулировать более сильное утверждение.

Теорема 1.Пусть на шаге 6 алгоритма [4] в качестве индекса перестановки р выбирается любой из индексов г. Тогда, если выполняетсяуЯ0 г, то работа такого алгоритма заканчивается на шаге 9, иначе - на шаге 10.

Доказательства теорем вынесены в приложение.

В [4] получена оценка сверху длины объясняющей цепочки, построенной с помощью алгоритма [4], в зависимости от числа критериев т:

L(m) = L(

m m -1

) + L(

_ 2 _ _ 2 _

) + m-1, m = 3, 4, ... L(l) = 0, L(2) = 1. (2)

Здесь квадратными скобками обозначена операция взятия целой части вещественного числа.

На каждой итерации алгоритма, т.е. при осуществлении перестановки j-ой и p-ой компонент векторной оценки ul, либо достигается выполнение условия Zj < uj+, либо

разность Zj - ul+ уменьшается по сравнению с Zj - uj. Выбор индекса p такого, что ulp = maxr ulr, обеспечивает максимальное уменьшение разности Zj - uj на текущей итерации алгоритма. Однако такой «жадный» подход не является оптимальным с точки зрения длины всей объясняющей цепочки.

В качестве примера сравним векторные оценки у = (3, 6, 2, 5, 4, 1) и z = (2, 1, 3, 4,

5, 6) по шести упорядоченным по важности критериям: Q = {1f2f3f4f5f6}. Алгоритм [4] строит объясняющую yRQz цепочку длины 7:

(3, 6,2, 5, 4, 1) P2f3 (3, 2, 6, 5, 4, 1) P3f5 (3, 2, 4, 5, 6, 1) P2f6 (3, 1, 4, 5, 6, 2) Plf6 (2, 1, 4, 5, 6, 3) Pf (2, 1, 3, 5, 6, 4) P4f6 (2, 1, 3, 4, 6,5) P5f6 (2, 1, 3, 4, 5, 6).

Однако существует объясняющая цепочка длины 3:

(3, 6, 2, 5, 4, 1) Plf3 (2, 6, 3, 5.4, 1) P4f5 (2, 6, 3, 4, 5, 1) P2f6 (2, 1, 3, 4, 5, 6).

Например, на первой итерации алгоритма индексы j = 3, r = {1, 2}, p = 2, так как у2>у 1. Но при построении оптимальной цепочки компонента у3 переставляется не с у2, а с у1.

Идея модификации алгоритма состоит в том, чтобы использовать для перестановки каждый из индексов r, а затем выбирать среди множества получающихся цепочек ту, которая имеет наименьшую длину. В результате работы такого алгоритма будет получаться дерево, каждая ветвь которого будет представлять собой одну из объясняющих цепочек. При этом строить все дерево необязательно, достаточно осуществить проход дерева в ширину до тех пор, пока не будет найдена кратчайшая цепочка.

Для организации прохода дерева в ширину будем использовать структуру очереди. Сначала очередь содержит только векторную оценку у. В каждой следующей по очереди векторной оценке u будем осуществлять допустимые перестановки компонент для каждого индекса r, а полученные векторные оценки будем помещать в конец очереди. Для каждой векторной оценки u будем хранить ее порядковый номер u.count и указатель u.previous на предыдущую векторную оценку в своей объясняющей цепочке.

Новый алгоритм:

Шаг 1. Поместить в начало очереди у, положить у.count = 0.

Шаг 2. Пусть u - векторная оценка, находящаяся в начале очереди. Положить j =

1.

Шаг 3. Если Zj < uy, то выполнить шаг 4, иначе - выполнить шаг 5.

Шаг 4. Если j = m, то выполнить шаг 9, иначе - положить j = j + 1 и выполнить шаг 3.

Шаг 5. Найти Р такое, что jeMp.

Шаг 6. Для каждого индекса re {1, 2, ..., ip} такого, что Zr < uy<ur, выполнить шаг 7. Если таких индексов нет, то выполнить шаг 10.

Шаг 7. Из векторной оценки u построить новую векторную оценку v, переставив местами компоненты с номерами j и r. Положить v.previous = u, v.count = u.count + 1. Поместить v в конец очереди.

Шаг 8. Удалить u из очереди. Выполнить шаг 2.

Шаг 9. Конец. Соотношение yRQ z верно. Объясняющая цепочка длины u.count восстанавливается, следуя по указателям u.previous до начальной векторной оценки у.

Шаг 10. Конец. Соотношение yR z неверно. Объясняющей цепочки нет.

Теорема 2.Если выполняетсяу^ z, то работа нового алгоритма заканчивается на шаге 9, причем построенная цепочка имеет наименьшую возможную длину. Если жеyRп' zrn выполняется, то работа нового алгоритма заканчивается на шаге 10.

3. Вычислительный эксперимент

С помощью предложенного алгоритма экспериментально найдены точные оценки сверху длины L(m, q) объясняющей цепочки в зависимости от числа критериев (2 < m < 10) и числа градаций (2 < q < 9) шкалы критериев Z0. Для этого перебирались все возможные пары векторных оценок при заданных небольших значениях m и q.

Считаем, что критерии строго упорядочены по важности, т.е. выполняется i fi+ 1, i = 1, ..., m - 1. Наличие равноважных критериев может только сократить длину объясняющей цепочки, так как появляются дополнительные возможности для перестановки компонент векторных оценок.

Для пар векторных оценок у и z сначала проверялось условие yR z с помощью более простого аналитического алгоритма из [5] (он не строит объясняющих цепочек). Перебор пар векторных оценок по возможности сокращался за счет ряда соображений. Например, не рассматривались векторные оценки у и z, в которых присутствовали равные компоненты или выполнялось ym>zm. Для m = 10 перебор уже представлял значительные вычислительные трудности, поэтому точные оценки были получены только для q < 5. Полученные результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

Точные оценки максимальной длины объясняющей цепочки

Количество градаций шкалы

2 3 4 5 6 7 8 9

Количество критериев 2 1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 2 2 2 2 2 2 2

4 2 3 4 4 4 4 4 4

5 2 3 4 5 5 5 5 5

6 3 4 5 6 7 7 7 7

7 3 5 6 7 8 9 9 9

8 4 6 8 9 10 11 12 12

9 4 6 8 9 10 11 12 13

10 5 7 9 11

Для сравнения, оценка сверху (2) дает следующие результаты:

1(2) = 1, Ц3) = 2, Ц4) = 4, Ц5) = 6, Ц6) = 8, Ц7) = 10, 1(8) = 13, Ц9) = 16.

Для т = 2, 3, 4 эти оценки совпадают с приведенными в таблице 1 точными оценками, для т = 5, 6, 7, 8 превышают точные на 1, для т = 9 превышают точную уже на 3.

Интересно, что увеличение q при q > т не влияет на длину объясняющей цепочки. Это объясняется тем фактом, что в перестановках участвуют только компоненты векторной оценки у, которые занимают всего т градаций на порядковой шкале Z0.

При q = 2 максимальная длина цепочки получается в случае, когда для одной половины компонент выполняется у, = 2, = 1, а для другой у, = 1, г, = 2:

L(m,2) = L(2,2) х

m m

_ 2 _ _ 2 _

m = 3, 4,

Определенную закономерность можно проследить и для значений q = 3 и 4:

(m mod 4)mod3

L(m, q) = L(4, q) х

m m mod 4

_ 4 _ + L(3, q) х _ 3 _ + L(2, q) х

2

m = 5, 6,

Получить формулу для Ь(т, q) для общего случая пока не удалось.

Заключение

В статье представлен новый алгоритм построения объясняющих цепочек в случае, когда критерии упорядочены по важности и имеют общую порядковую шкалу. В отличие от известных алгоритмов, он строит цепочки наименьшей возможной длины. Экспериментально получены точные значения максимальных длин объясняющих цепочек в зависимости от числа критериев (до 10) и числа градаций шкалы критериев (до 9). Представленный алгоритм реализуется в новой версии системы поддержки принятия решений БАББ [2]. Эта система предназначена для анализа многокритериальных задач самого различного характера - экономического, социального, технического, экологического, ..., - в которых шкала критериев может быть балльной или даже вербальной (со словесными градациями типа «отлично», ., «очень плохо»).

Автор благодарен проф. В.В. Подиновскому за постановку задачи и конструктивные обсуждения в ходе работы.

Приложение

Для доказательства теорем воспользуемся леммой из [4].

Лемма 1. ЕслиуЯ°г, у</Ч]Я0г<;-1],у/<г/-,/еМр, то существует индексге {1, 2, ...,

в} такой, чтогг<у/<уг, причем выполняетсяиЯ^ г, гдеи = уг/.

Доказательство теоремы 1. Пусть выполняются условия леммы 1. Используем один из существующих индексов г для получения векторной оценки и1 = уг. Поскольку гг<у]- = и\, то при перестановке компонент с номерами/ и г условие и<Я0г<;-1]

сохраняется. Поскольку у<уг = и’, то либо и’, либо разность г, - и’ уменьшается по

сравнению с г, - у,-. Таким образом, последовательно применяя лемму 1 к и1, и2, ..., за конечное число перестановок компонент будет достигнуто выполнение условия и/

и, следовательно, и1.]Я0г</].

Далее на шагах 2 и 3 алгоритма будет найдено следующее />/, при котором выполняются условия леммы 1 для векторной оценки и1: и1Яаг, и<л-1]Я0г<л_^, и* <г,. Посту -

- I

пая с векторной оценкой и аналогично у, за конечное число перестановок компонент будет получено и<г]Я0г<л]. И так далее, пока не будет получено отношение и1Я°г и работа алгоритма завершится на шаге 9. Если же на одном из шагов 5 не будет найдено ни одного индекса г, то это значит, что условия леммы 1 не выполняются, т.е. уЯ^г - не верно. Тогда работа алгоритма завершится на шаге 10. Теорема 1 доказана.

Для доказательства теоремы 2 сформулируем и докажем вначале несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 2.Кратчайшая объясняющаяуЯ^гцепочка может быть получена путем осуществления только таких перестановок и1+1 = (и1)гг, для которых выполняется: и/ <г,, гг< и1г, zГ<z/, и/ < и1г (г^/илиг~/). (3)

Обозначим через Д(у) суммарную разность г. - у, по компонентам ] таким, что у,<2/. Заметим, что Д(^) = 0, так как иьЯ°г. Перестановки (3) уменьшают Д(и1+1) по сравнению с Д(иг), остальные перестановки - нет. Действительно:

гг<и1г+, так как гг<и1г <и1, = и1г+; г. - и.1 = г. - и1г <г, - и1,, т.е. Д(и1+1) <Д(и1). Рассмотрим все случаи остальных перестановок:

1. и, <г,, гг > и1г.

а. Если гг<и,, то г. - и1+ = г. - и‘г > (г. - и,) + (гг - и1г), т.е. Д(и1+1) >Д(и1).

б. Если г,<игг, то гг - и\+1 = гг - и^. > (гг - иг) + (г. - и,), т.е. Д(и1+1) >Д(и1').

в. Если гг > и, и г, > и\, то (г, - и.) + (гг - и‘г+1) = (г. - и,) + (гг - и‘г), т.е. Д(иг+1) =

Д(иг). ,

2. и, > г., гг< и1г. Так как,-ая и г-ая компоненты не дают вклад в Д(и), то сумма Д(иг+1) может только увеличиться.

3. и,<г., гг<и1г, гг > г,. Здесь гг - и1г+ = гг - и1,. > г, - и1,., т.е. Д(иг+1) > Д(иг).

4. и, <г,, гг<и1г, и1 > иг. Здесь г, - и. = г, - иг > г, - и^., т.е. Д(и,+1) > Д(иг).

Рассмотренные четыре типа перестановок имеет смысл производить, только если в дальнейшем это позволит за одну перестановку, удовлетворяющую условиям леммы

2, сократить сумму Д(и{), I = I + 2, I +3, ., Ь, более эффективно.

Перестановкой типа 1 можно было бы добиться того, что разности г. - и, и гг - и1г

соберутся вместе, как это произошло в случаях 1.а или 1.б. Тогда на следующем шаге эту разность можно было бы сократить за одну перестановку. Например, в случае 1.а это перестановка и1+2 = (и1+1)], для которой выполняется: гр < и‘}+1 <г <и‘рг {р>. или р~]).

В результате и1+ > гг, и,+2 = и1+ > z], ир2 = и1.1 > гр. Но такого же эффекта можно было добиться последовательностью перестановок, удовлетворяющих условиям леммы 2. Сначала У+1 = (иУ, для которой выполняется: и1, <г,, гр< и‘р, zp<z], и, <и‘р (р>. или р~7). Затем у1+2 = (у1+1уг, для которой выполняется: у‘г+1<гг (так как vГ+1 = и‘г <гг), гр< у1р) + (так как

1+1 I ^ ^ I I+1 \ ^ 1+1 I ^ \ 1+1 ^ 1+1 / 1+1 I ^ ^ I

гр < и, = иг <2г< и, = ур ), гр<гг (так как гр < и, = иг <гг), уг < ур (так как уг = иг <гг< и, =

V-), р>г илир~г (так как в случае 1.а выполняется и, >и1г, т.е. ^г или7~г). В результа-

1+2 1+2 - /

те V = и , так как в этих векторных оценках компоненты векторной оценки и с индексами р, ,, г выстроились в одинаковом порядке ,, г, р. Таким образом, перестановкой типа 1.а не удалось сократить объясняющую цепочку. В случае 1.б доказательство аналогичное. По тому же принципу можно показать, что если несколько раз подряд применить перестановки типа 1.а или 1.б, то также не удастся построить цепочку меньшей длины.

Перестановкой типа 2 можно было бы добиться того, что отдельные положительные разности и, - г, и и1г - гг соберутся вместе по одной компоненте (например, .-ой,

если и, > и1г). Тогда на следующем шаге одной перестановкой с этой .-ой компонентой можно было бы сократить более длинную разность гр - и1р+ +. Но, аналогично предыдущему доказательству для перестановки типа 1, можно показать, что предлагаемую последовательность перестановок и1+1 = (и1)г, и1+2 = (и^1)® можно с тем же результатом заменить последовательностью перестановок у1+1 = (и1)®, у1+2 = (уг+1)рг, которые приэтом будут удовлетворять условиям леммы 2.

В перестановках типа 3 и 4 смысла нет совсем. Компоненты, по которым и1 хуже и

1+1 Т—г

лучше векторной оценки 2, просто меняются местами в и . При этом, помимо возможного увеличения Диг+1), может не выполняться отношение и1+1Яа2.

Таким образом, для построения кратчайшей объясняющей цепочки достаточно перестановок компонент, удовлетворяющих условиям (3). Лемма 2 доказана.

Лемма 3.Кратчайшая объясняющаяуЯП2цепочка может быть получена путем осуществления только таких перестановоки1+1 = (и1)Г], для которых выполняется:

и] <2], 2Г < и] < и[ (г>-]илиг~]). (4)

Рассмотрим перестановку и1+1 = (и1)Г], для которой выполняются условия (3), но не выполняются условия (4), т.е. гг>и1]. Тогда сохраняется и1+ = и1] <2Г. Дальнейшие перестановки такого типа приводят к тому же результату: ир = и1]<2р. Таким образом, для

построения объясняющей и1Яа2 цепочки придется осуществить перестановку типа (4). Пусть существует цепочка V, полностью сокращающая разность 2] - и1] за счет

перестановок типа (3). Как было показано выше, одна из этих перестановок имеет тип (4). Составим новую цепочку и, в которой эта перестановка типа (4) будет стоять на первом месте, т.е. и1+1 = (и1)Г]. Если 2] < и]+1, то разность 2] - и1] удается сократить за одну эту перестановку, тогда остальная цепочка V не нужна. В противном случае разность

2] - и1;1 просто уменьшается по сравнению с 2] - и1]. Тогда просмотрим цепочку V с начала, т.е. с Vм = (и1)р]. Возможны два случая:

і 1 1+1 ^ 1 1+1 т-> 1+2 г 1+Кр/

1. ир = ир < иг = и] . В этом случае перестановка и = (и / - не удовлетворяет условиям (3). Но она и не нужна, так как вся та часть разности 2у - и1], которую сокращала перестановка v1+1 = (и1)1', полностью сократилась перестановкой и1+1 = (и1)Г].

1 1+1 1 1+1 1+2 1+1 р]

2. ир = ир > иг = и] . В этом случае перестановка и = (и у удовлетворяет условиям (3). Она сокращает ту же часть разности 2] - и1]1, что и v1+1 = (и1)р]. Добавляем ее к цепочке и.

Таким же образом поступаем с остальными перестановками цепочки V. В результате цепочка и также полностью сокращает всю разность 2] - и], причем она оказывается не длиннее цепочки V.

Далее аналогично поступим с цепочкой, объясняющей и1+1Яа2. Т.е. переместим в ее начало перестановку типа (4). И так далее, пока не получим цепочку, полностью сокращающую всю разность 2] - и1], и состоящую только из перестановок типа (4). Лемма 3 доказана.

Лемма 4.Кратчайшая объясняющаяуЯП2цепочка может быть получена путем осуществления только таких перестановок и1+1 = (и1)Г], для которых выполняется:

и<]-1]Я 0 2< ]-1] > ul]<2з, 2г < и] < и1 (г^іили Г~]\ (5)

Пусть выполняетсяуЯ°2. Согласно лемме 3, существует кратчайшая объясняющая уЯп2 цепочка, состоящая только из перестановок типа (4). Такая цепочка разбивается на независимые подцепочки, каждая из которых соответствует своей ]п-ой компоненте такой, что у. < 2. . При этом в каждой такой подцепочке последовательно сокращается

]п]п

разность 2] - у] путем перестановок с ]п-ой компонентой. Пусть ]1<]2< ... <]ы. Тогда

перенесем в начало рассматриваемой объясняющей цепочки все перестановки с ]1-ой компонентой, затем поместим все перестановки с ]2-ой компонентой и т. д. В получившейся цепочке каждая перестановка допустима и имеет тип (5), причем и1+1Я°2 выпол-

няется по лемме 1. Следовательно, такая цепочка существует и она не длиннее изначальной. Лемма 4 доказана.

Доказательство теоремы 2. Лемма 4 показывает, что с помощью лишь тех перестановок, что предусмотрены новым алгоритмом, можно получить объясняющую цепочку наименьшей длины. Таким образом, если уЯ°г, то в получающемся дереве решений содержится объясняющая цепочка наименьшей возможной длины.

Каждая ветвь дерева решений нового алгоритма определяется последовательностью выборов индексов перестановки г. По теореме 1, если выполняется уЯ°г, то любая такая последовательность позволяет построить объясняющую цепочку. Следовательно, при уЯ^г существует все дерево решений. Проход дерева в ширину обеспечивает то, что первой будет найдена кратчайшая ветвь в дереве, и работа нового алгоритма завершится на шаге 9. Если же выясняется, что на одной из ветвей дальнейшую цепочку построить не удается (не существует индексов г), то по теореме 1 уЯ^г неверно, и объясняющей цепочки не будет получено ни на одной из ветвей дерева. В этом случае работа нового алгоритма завершается на шаге 10. Теорема 2 доказана.

Литература

1. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: учебное пособие. - М.: Физматлит. 2007. - 64 с.

2. Подиновский В.В., Потапов М.А. Важность критериев в многокритериальных задачах принятия решений: теория, методы, софт и приложения // Открытое образование. 2012. № 2. С. 55 - 61.

3. Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности однородными критериями // Автоматика и телемеханика. 1976. № 11. С. 118-127.

4. Алексеев Н.С. Алгоритмы многокритериального сравнения вариантов решения при ранжированных по важности критериях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т. 36, № 9. С. 60 - 70.

5. Подиновский В.В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений. Порядковые, или ординальные, коэффициенты важности // Автоматика и телемеханика. 1978. № 10. С. 130 - 141.

Creation of explaining chains of smallest length at criteria ordered on importance with ordinal scale

Andrey Pavlovich Nelyubin, postgraduate student of Institute of Engineering Science after A.A.Blagonravov of Russian Academy of Sciences

The new algorithm of comparison of options for solution of a multicriteria task is presented in the article by the methods of the theory of importance of criteria for the case when all criteria are ordered according to the importance and have the general ordinal scale. Unlike well-known algorithms the given algorithm constructs explaining chains of the smallest length. The exact values of the maximum lengths of chains are experimentally received at a small number of criteria and gradation of a scale.

Keywords: multicriteria problems of decision-making, theory of importance of criteria, serial scale, explaining chains.