Построение обобщенной ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

2. Сидоренко О. И. В лабиринтах логики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

3. Сидоренко О. И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2007. 192 с.

4. Сидоренко О. И. О базисном множестве суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 6 (8), 2016. С. 52-60.

5. Сидоренко О. И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 2. Часть 3. Новосибирск, 2016. С. 7-15.

6. Сидоренко О. И. О построении традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Единый Всероссийский научный вестник. № 4 (2). М., 2016. С. 93-104.

7. Сидоренко О. И. Введение в аналитическую силлогистику. Саратов: Изд. Центр «Наука», 2016. 230 с.

8. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей суждений с фиксированной степенью неопределенности в квазиуниверсальной силлогистике // Научно-образовательное содружество «Еуо1иИо». № 1. М., 2016. С. 61-68.

9. Сидоренко О. И. Построение силлогистик Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 7 (9), 2016. С. 49-58.

10. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

11. Сидоренко О. И. Построение обобщенной ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 56-65.

12. Сидоренко О. И. О дедуктивной непригодности базисного множества акцидентальных суждений Н. А. Васильева и их отрицаний в силлогистике // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 44-51.

Построение обобщенной ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений

Сидоренко О. И.

Сидоренко Олег Иванович /Sidorenko Oleg Ivanovich - кандидат физико-математических наук,

главный конструктор, Научно-производственное предприятие «Анфас», г. Саратов

Аннотация: осуществлена демонстрация эффективности построения обобщённой ортогональной силлогистики Джона Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений.

Abstract: implemented a demonstration of effectiveness of building of the generalized orthogonal John Venn's syllogistic by the semantic method of calculating the resulting relations.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, аксиоматический метод, семантика, результирующие отношения, решение силлогизма.

Keywords: syllogism, syllogistic, axiomatic method, semantics, resulting relations, solution of syllogism.

Введение

В работе [2] рассмотрен аксиоматический метод построения обобщенной силлогистики Джона Венна как ортогональной силлогистической системы ОС4У, в

которой двухпосылочные законы (правильные модусы) предлагается выявлять путем их вывода из 37 схем аксиом (т.е. путем доказательства в соответствующем исчислении). Однако этот путь достаточно трудоемкий из-за сложности выбора подходящих аксиом, далеко не простого инструментального аппарата и неразрешимости классического исчисления предикатов, в которое погружается силлогистика для осуществления выводов. Именно поэтому, доказуемость правильных модусов и неправомерность некорректных модусов обобщенной силлогистики Венна в указанной работе фактически только продекларированы без соответствующих выкладок в явном виде.

В работе [7] автором был предложен альтернативный указанному семантический метод решения силлогизмов с помощью вычисления результирующих отношений, как нельзя лучше соответствующий переводу термина «силлогизм» с греческого на русский язык как «вычисление» [2]. Предложенный метод развит в работах [8], [9], [10]. Он основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает знать его условия истинности, в качестве которых фигурируют теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов. Метод сводит доказательство правильности силлогизма к его решению. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Л. Лёвенгеймом как теории одноместных предикатов [5]. В процессе решения мы получаем или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует.

Цель настоящей статьи - проверить альтернативным методом вычисления результирующих отношений результаты работы [2] по построению аксиоматическим методом силлогистической теории ОС4У, в которой в качестве исходных рассмотрены нестандартные силлогистические константы, соответствующие ровно одной модельной схеме с универсумом, а также показать эффективность и простоту использования этого семантического метода для указанных целей.

Попытка выявить все правильные модусы в силлогистике с семью определенными кванторами по некоторым семантическим правилам была предпринята и в работе [3], однако процесс вывода в данной работе до конца не формализован и содержит ошибки.

Следует отметить, что идея использования в силлогистике нестандартных «односмысловых» констант не нова. Так в работе [4] такие константы названы «атомарными» и автор данной работы пишет: «Многообразие базисов приводит к мысли о том, что разумнее иметь некий элементарный базис, на основе которого можно как из кирпичиков (атомов) строить описание любой посылки» [4, с. 117]. В работе [6] предлагается избавиться от многосмысловости суждений Аристотеля и перейти к суждениям так называемого «ортогонального» базиса, в котором каждая логическая форма суждения истинна только на одном единственном отношении между терминами. Очевидно, что такой базис полностью совпадает с базисом, рассмотренным в [2].

Недостатком всех указанных выше работ является то, что в них для предлагаемых новых форм базисных суждений не представлены словесные выражения на естественном языке и не выявлены в явном виде все правильные модусы. Логические формы для суждений силлогистики ОС4У предложены в работах автора [12], [13]. В данной статье получены в явном виде все правильные модусы указанной силлогистики.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Метод вычисления результирующих отношений применительно к задаче выявления всех правильных модусов рассматриваемой силлогистики заключается в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары базисных суждений рассматриваемой силлогистики записывают обозначения логических форм посылок и их условия истинности (в скобках) в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом считаются термины и М, а во

второй - Ми Р, что соответствует первой фигуре силлогизма. Здесь М - средний термин силлогизма, 5 и Р - крайние термины.

2. Для декартова произведения отношений в посылках рассматриваемой пары суждений из ключевой таблицы 1 [8] выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации БЫ - МР, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений в традиционной силлогистике, представленных в таблице 1, доказана полным перебором всех модельных схем для трёх терминов силлогизма и аналитическим методом [9], [10]. Указанной таблицей нужно пользоваться подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

3. Составляют перечень полученных по п. 2 результирующих отношений (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Выписывают из базисного множества те суждения, условия истинности которых, покрывают результирующие отношения (т.е. включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают самое сильное, расположенное в верхней части диаграммы логического следования суждений (при его наличии) и обладающее меньшей степенью неопределенности

(меньшим числом условий истинности).

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок МР - 5М, переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычисления в других фигурах силлогизма производят взаимные замены отношений 11 ^ 13 в условиях истинности посылок в соответствии с фигурой, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики (при его наличии), и производят взаимную замену определенных суждений в соответствующих фигуре посылках в результатах вычислений по первой фигуре.

Свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности, о котором впервые было заявлено в работе [7], состоит в том, что если это множество содержит суждение, логическая форма которого истинна на отношении 11, то оно должно также содержать суждение, истинное и на отношении 13, и наоборот при полном совпадении других отношений. Справедливость утверждения вытекает из того, что среди всех возможных семи отношений между терминами в традиционной силлогистике только два отношения 11 и 13 имеют разные значения истинности на наборах с неодинаковыми значениями истинности терминов (см. таблицу 3).

№ Посылки 8М, МР Заключение 8Р № Посылки 8М, МР Заключение 8Р

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15

2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15

3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15

4 6, 11 14 29 13, 6 14

5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15

6 6, 14 11 31 13, 9 13

7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15

8 7, 6 11 33 13, 13 13

9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14

10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15

11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13

12 7, 13 7 37 14, 7 13

13 7, 14 11 38 14, 9 14

14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14

15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15

16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15

17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15

18 9, 11 11 43 15, 6 15

19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15

20 9, 14 14 45 15, 9 15

21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15

22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15

23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15

24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15

25 11, 11 11

Базисное множество суждений обобщенной ортогональной силлогистики Венна

Базисное множество суждений обобщенной ортогональной силлогистики Венна представлено в таблице 2 и является подмножеством суждений квазиуниверсальной силлогистики [11].

Таблица 2. Базисное множество суждений обобщенной ортогональной силлогистики

Венна

Обозначение логической формы суждения Условия истинности логической формы Логическая форма суждения

АА' (ей) 6 Все Б суть все не-Р

А 'I (гп) 7 Все не-Б суть только некоторые Р

АА (аа) 9 Все Б суть все Р

1А (¡а) 11 Только некоторые Б суть все Р

А1 (аг) 13 Все Б суть только некоторые Р

А1' (е/) 14 Все Б суть только некоторые не-Р

114 (г/) 15 Только некоторые Б и не-Б суть только некоторые Р

Примечание. Знак «'» означает терминное отрицание, в скобках указаны силлогистические

константы из [2].

Условия истинности базисных суждений в таблице 2 представлены в виде десятичных номеров теоретико-множественных отношений Кейнса как расширенных жергонновых отношений между терминами суждения со стороны их объёмов, на которых суждение данной логической формы является истинным исходя из своего смысла для случая ограничений на термины в части непустоты и неуниверсальности и фиксации универсума рассуждений.

Как уже было отмечено выше, базисные суждения данной силлогистики являются атомарными и полностью определенными, что соответствует максимальному уровню познания в рассуждениях о свойствах предметов.

Условия истинности базисных суждений обобщенной ортогональной силлогистики Венна и семантика отношений Кейнса в двоичном коде представлены в таблице 3.

Таблица 3. Условия истинности базисных суждений обобщенной ортогональной силлогистики Венна и семантика отношений Кейнса

Условия истинности суждений

SP Противоречивость Дополнительность Равно-объёмность Включение S з Р Включение Р з S Соподчинение Пересечение

6 7 9 11 13 14 15

00 0 0 1 1 1 1 1

01 1 1 0 0 1 1 1

10 1 1 0 1 0 1 1

11 0 1 1 1 1 0 1

АА' 1 0 0 0 0 0 0

А'1 0 1 0 0 0 0 0

АА 0 0 1 0 0 0 0

1А 0 0 0 1 0 0 0

А1 0 0 0 0 1 0 0

АГ 0 0 0 0 0 1 0

II'I 0 0 0 0 0 0 1

Примечание. 5 - субъект суждения, Р - предикат суждения, з - знак включения множеств; 0 - отсутствие свойства для терминов и запрещенная комбинация свойств для отношений, 1 - наличие свойства для терминов и разрешенная комбинация свойств для отношений.

Непосредственные выводы

Непосредственные выводы в силлогистике основаны на логических отношениях между суждениями [1]. Из таблицы 3 прямо следует, что в силлогистике ОС4У между суждениями различных логических форм с одинаковыми субъектами и предикатами существует только отношение контрарности - два суждения не могут быть вместе истинными, остальные комбинации значений возможны: ЛЛ', Л'Ч; ЛЛ', АА; ЛЛ', ЧЛ; ЛЛ', А1; ЛЛ', ЛЧ'; ЛЛ', ЧЧ'Ч; Л'Ч, ЛЛ; Л 'Ч, ЧЛ; Л Ч, ЛЧ; Л Ч, ЛЧ'; Л 'Ч, ЧЧ'Ч; ЛЛ, ЧА; ЛЛ, ЛЧ; ЛЛ, ЛЧ'; ЛЛ, ЧЧ'Ч; ЧЛ, ЛЧ; ЧЛ, ЛЧ'; ЧЛ, ЧЧ'Ч; ЛЧ, ЛЧ'; ЛЧ, ЧЧ'Ч; ЛЧ', ЧЧ'Ч. Другие отношения, т.е. контрадикторность, подчинение (логическое следование), субконтрарность и независимость отсутствуют. Это свидетельствует о том, что соответствующие базисным суждениям силлогистики ОС4У силлогистические константы аа, аг, га, у, ¡и, еи, е] (см. таблицу 2) в отличие от стандартных констант Аристотеля а, е, г, о образуют по терминологии В.А. Смирнова полный базис, их дизъюнкция является законом исключенного восьмого: АА' VЛ'Ч VЛА V ЧЛ V ЛЧ V ЛЧ' V ЧЧ'Ч, а отрицания их попарных конъюнкций являются тавтологиями: -

(АА'&АТ); - (АА'&АА) и т.д. [2]. Здесь V, &, - - логические операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания соответственно.

Поскольку все базисные суждения силлогистики ОС4 V являются суждениями с квантификацией предиката, при которой они трактуются с точки зрения равенства объемов субъекта и предиката, то правила обращения всех семи суждений сводятся к простой перестановке терминов вместе с их кванторными словами без всяких «неуклюжестей», свойственных традиционной силлогистике. Например, суждение «Только некоторые Б суть все Р» обращается в суждение «Все Р суть только некоторые Б».

Опосредованные выводы

В силлогистике ОС4V базисное множество суждений является силлогистически полным, что позволяет получать заключения силлогизмов в модусах второй, третьей и четвертой фигур без вычисления результирующих отношений из модусов первой фигуры путем взаимной замены суждений А1 ^ 1А в соответствующих фигурам посылках. Так для получения правильных модусов второй фигуры указанную замену необходимо проводить в первой посылке, для модусов третьей фигуры - во второй посылке, а для модусов четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно.

В представленных ниже выводах правильные модусы выделены.

АА' (6), АА' (6) ^ АА (9); А'Г(7), АА'(6) ^ ГА (11);

6, 6 ^ 9; 7, 6 ^ 11;

Р.О.: 9. Р.О.: 11.

АА' (6), А'1 (7) ^ А1 (13); А'1 (7), А'1 (7) ^ - ;

6, 7 ^ 13 7, 7 ^ 7, 9, 11, 13, 15;

Р.О.: 13. Р.О.: 7, 9, 11, 13, 15.

АА' (6), АА (9) ^ АА' (6); А'Г(7), АА (9) ^А'Г(7);

6, 9 ^ 6; 7, 9 ^ 7;

Р.О.: 6. Р.О.: 7.

АА' (6), 1А (11) ^ А1' (14); А'1 (7), 1А (11) ^ - ;

6, 11 ^ 14; 7, 11 ^ 6, 7, 11, 14, 15;

Р.О.: 14. Р.О.: 6, 7, 11, 14, 15.

АА' (6), А1 (13) ^А'1 (7); А'Г (7), АГ (13) ^ А'Г (7);

6, 13 ^ 7; 7, 13 ^ 7;

Р.О.: 7. Р.О.: 7.

АА' (6), АГ (14) ^ 1А (11); А'Г(7), АГ' (14) ^ ГА (11);

6, 14 ^ 11; 7, 14 ^ 11;

Р.О.: 11. Р.О.: 11.

АА' (6), ГГ'Г (15) ^ ГГ'Г (15); А'1 (7), 44'4 (15) ^ - ;

6, 15 ^ 15; 7, 15 ^ 7, 11, 15;

Р.О.: 15. Р.О.: 7, 11, 15.

АА (9), АА'(6) ^АА' (6); АА (9), АА (9) ^ АА (9);

9, 6 ^ 6; 9, 9 ^ 9;

Р.О.: 6. Р.О.: 9.

АА (9), А'Г (7) ^ А'Г (7); АА (9), ГА (11) ^ ГА (11);

9, 7 ^ 7; 9, 11 ^ 11;

Р.О.: 7. Р.О.: 11.

АА (9), АГ (13) ^ АГ (13); 4А (11), 44'4 (15) ^ - ;

9, 13 ^ 13; 11, 15 ^ 7, 11, 15;

Р.О.: 13. Р.О.: 7, 11, 15.

АА (9), АГ (14) ^ АГ (14); АГ (13), АА' (6) ^ АГ (14);

9, 14 ^ 14; 13, 6 ^ 14;

Р.О.: 14. Р.О.: 14.

АА (9), ГГ'Г (15) ^ ГГ'Г (15); А4 (13), А'4 (7) ^ - ;

9, 15 ^ 15; 13, 7 ^ 6, 7, 13, 14, 15;

Р.О.: 15. Р.О.: 6, 7, 13, 14, 15.

ГА (11), АА' (6) ^ А'Г(7); АГ (13), АА (9) ^ АГ (13);

11, 6 ^ 7; 13, 9 ^ 13;

Р.О.: 7. Р.О.: 13.

1А (11), А'1 (7) ^А'1 (7); АЧ (13), ЧА (11) ^ - ;

11, 7 ^ 7; 13, 11 ^ 9, 11, 13, 14, 15;

Р.О.: 7. Р.О.: 9, 11, 13, 14, 15.

1А (11), АА (9) ^ 1А (11); АГ (13), АГ (13) ^ АГ (13);

11, 9 ^ 11; 13, 13 ^ 13;

Р.О.: 11. Р.О.: 13.

1А (11), 1А (11) ^ 1А (11); А1 (13), АГ (14) ^ АГ (14);

11, 11 ^ 11; 13, 14 ^ 14;

Р.О.: 11. Р.О.: 14.

ЧА (11), АЧ (13) ^ - ; АЧ (13), ЧЧ'Ч (15) ^ - ;

11, 13 ^ 7, 9, 11, 13, 15; 13, 15 ^ 13, 14, 15;

Р.О.: 7, 9, 11, 13, 15. Р.О.: 13, 14, 15.

ЧА (11), АЧ' (14) ^ - ; АГ (14), АА' (6) ^ АГ (13);

11, 14 ^ 6, 7, 11, 14, 15; 14, 6 ^ 13;

Р.О.: 6, 7, 11, 14, 15. Р.О.: 13.

АГ (14), А'1 (7) ^А1 (13); ГГ'Г (15), АА' (6) ^ ГГ'Г (15);

14, 7 ^13; 15, 6 ^ 15;

Р.О.: 13. Р.О.: 15.

АГ (14), АА (9) ^ АГ (14); ЧЧ'Ч (15), А'Ч (7) ^ - ;

14, 9 ^ 14; 15, 7 ^ 7, 13, 15;

Р.О.: 14. Р.О.: 7, 13, 15.

АГ (14), ГА (11) ^ АГ (14); ГГ'Г (15), АА (9) ^ ГГ'Г (15);

14, 11 ^ 14; 15, 9 ^ 15;

Р.О.: 14. Р.О.: 15.

АЧ (14), АЧ (13) ^ - ; ЧЧ'Ч (15), ЧА (11) ^ - ;

14, 13 ^ 6, 7, 13, 14, 15; 15, 11 ^ 11, 14, 15;

Р.О.: 6, 7, 13, 14, 15. Р.О.: 11, 14, 15.

АЧ (14), АЧ (14) ^ - ; ЧЧ'Ч (15), АЧ (13) ^ - ;

14, 14 ^ 9, 11, 13, 14, 15; 15, 13 ^ 7, 13, 15;

Р.О.: 9, 11, 13, 14, 15. Р.О.: 7, 13, 15.

АЧ (14), ЧЧ'Ч (15) ^ - ; ЧЧ'Ч (15), АЧ (14) ^ - ;

14, 15 ^ 13, 14, 15; 15, 14 ^ 11, 14, 15;

Р.О.: 13, 14, 15. Р.О.: 11, 14, 15.

ЧЧ'Ч (15), ЧЧ'Ч (15) ^ - ;

15, 15 ^ 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

Р.О.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

Результаты вычислений для четырёх фигур силлогизма сведены в таблицу 4.

Выводы

1. Результаты построения силлогистики ОС4У полностью совпадают с результатами, изложенными в работе [2], а именно: в указанной силлогистике имеется всего 128 правильных модусов по 32 модуса в каждой фигуре, но в отличие от работы [2] все доказательства правильности и неправильности модусов представлены в статье в явном виде.

2. Результаты, полученные в настоящей статье, а также в работах автора [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31] показывают, что в силлогистике появилась совершенно новая и эффективная технология для производства дедуктивных выводов, доступная широкому кругу читателей - не математиков.

3. Рассмотренные в статье алгоритмы предназначены для применения в системах искусственного интеллекта и могут быть использованы для компьютеризации силлогистики [32].

Посылки Заключения

1 фигура МР - 8М 2 фигура РМ - 8М 3 фигура МР -MS 4 фигура РМ -MS

АА', АА' АА АА АА АА

АА', А'1 4А 4А 4А 4А

АА', АА АА' АА' АА' АА'

АА', 1А А1 А1 А!' А!'

АА', А4 А!' А1' А! А!

АА', А1' А4 А4 А4 А4

АА', 111 т т т т

А'1, АА' А4 А4 А4 А4

А'1, А'1 - - - -

А'1, АА А1 А1 А! А!

А'1,1А А1 А1 - -

А'1, А1 - - А! А'I

А'1, А1' А4 А4 А4 А4

А'1,114 - - - -

АА, АА' АА' АА' АА' АА'

АА, А'1 А1 А1 АI А'I

АА, АА АА АА АА АА

АА, 4А 4А 4А А4 А4

АА, А4 А4 А4 4А 4А

АА, А4' А!' А1' А!' А!'

АА, 444 т т т т

4А, АА' А!' А!' А!' А!'

4А, А'1 - А1 - А'I

4А, АА 4А А4 4А А4

4А, 4А 4А - - А4

4А, А4 - А4 4А -

4А, А4' А1' - А!' -

4А, III - - - -

А4, АА' А1 А!' А! А!'

А! А'! А1 - АI -

А4, АА А4 4А А4 4А

А4, 4А - 4А А4 -

А4, А4 А4 - - 4А

А! А!' - А!' - А!'

А! III - - - -

АГ, АА' 4А 4А 4А 4А

АГ, АГ 4А 4А 4А 4А

АГ, АА А!' А!' А!' А!'

АГ, !А - - А.I' А!'

АГ, А А1' А!' - -

АГ, АГ - - - -

АГ, III - - - -

III, АА' т т т т

III, А1 - - - -

III, АА т т т т

т, А - - - -

т, А! - - - -

т, А!' - - - -

т, т - - - -

Литература

1. Антаков С. М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2012. 174 с.

2. Бочаров В. А., Маркин В. И. Силлогистические теории. М.: Прогресс - Традиция, 2010. 336 с.

3. Егоров С. Н. Умозаключение. С. Пб: Своё издательство, 2014. 370 с.

4. Лобанов В. И. Русская вероятностная логика. Азбука математической логики. М.: Русская правда. 320 с.

5. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

6. Сметанин Ю. М. Ортогональный базис силлогистики // Вестник Удмуртского унта. Выпуск № 4, 2009. С. 155-166.

7. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

8. Сидоренко О. И. В лабиринтах логики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

9. Сидоренко О. И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2007. 192 с.

10. Сидоренко О. И. Введение в аналитическую силлогистику. Саратов: Издат. Центр «Наука», 2016. 230 с.

11. Сидоренко О. И. О базисном множестве суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 6 (8), 2016. С. 52-60.

12. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В. И. Вернадского. № 4 (54), 2014. С. 53-62.

13. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27. № 3 (62), 2014. С. 102-106.

14. Сидоренко О. И. Аналитическая силлогистика - миф или реальность // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-28. № 4 (74), 2015. С. 57-59.

15. Сидоренко О. И. Что даёт переход от суждений Аристотеля к суждениям А. Де Моргана в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-28. № 4 (74), 2015. С. 60-62.

16. Сидоренко О. И. О сравнении силлогистик с ограничениями на термины // Национальная ассоциация учёных. № 11 (16). Часть 2. Екатеринбург, 2015. С. 85-91.

17. Сидоренко О. И. Моделирование естественных рассуждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27. № 3 (62), 2014. С. 110-113.

18. Сидоренко О. И. Об аналитической силлогистике // Национальная ассоциация ученых. Т. 5. № 10. Часть 5. Екатеринбург, 2015. С. 71-75.

19. Сидоренко О. И. Силлогистика и аналитический метод // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 1. Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 126-132.

20. Сидоренко О. И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 2. Часть 3. Новосибирск, 2016. С. 7-15.

21. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей суждений с фиксированной степенью неопределенности в квазиуниверсальной силлогистике // Научно-образовательное содружество «ЕуоМо». № 1. М., 2016. С. 60-67.

22. Сидоренко О. И. О построении традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Единый Всероссийский научный вестник. № 4 (2). М., 2016. С. 93-104.

23. Сидоренко О. И. О применении метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик без ограничений на термины // Ежемесячный научный журнал «Е^саИо». № 11 (18). Часть 3. Новосибирск, 2015. С. 104-108.

24. Сидоренко О. И. О процессе познания в традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 3 (3) .Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 107-112.

25. Сидоренко О. И. О дедуктивной непригодности базисного множества акцидентальных суждений Н. А. Васильева и их отрицаний в силлогистике // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 44-51.

26. Сидоренко О. И. О построении традиционной негативной силлогистики из суждений де Моргана аналитическим методом // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 73-75.

27. Сидоренко О. И. О логической полноте систем категорических суждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 75-76.

28. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе решения силлогизмов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 76-77.

29. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе вычисления результирующих отношений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-29. Т. 1. Саратов, 2016. С. 108-112.

30. Сидоренко О. И. О представлении традиционной негативной силлогистики некоторой обобщенной позитивной силлогистикой // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-29. Т. 1. Саратов, 2016. С. 103-107.

31. Сидоренко О. И. Построение силлогистик Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 7 (9), 2016. С. 49-58.

32. Сидоренко О. И. Силлогистический процессор / Патент РФ № 39722. Приоритет 15.03.2004. Опубл. 10.04.2004. Бюл. № 22. С. 20.