Построение модального робастного регулятора при возмущающих и задающих воздействиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.688

М. М. Безрядин, Г. И. Лозгачев

ПОСТРОЕНИЕ МОДАЛЬНОГО РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ ВОЗМУЩАЮЩИХ И ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Рассматривается проблема построения модального регулятора на основе критерия, обеспечивающего оптимальное соотношение между качеством управления системой и ее робастными свойствами.

Ключевые слова: алгоритм, модальный регулятор, робастность, качество.

Одна из наиболее актуальных задач современной теории автоматического управления — компенсация внешних возмущений, влияющих на работу системы управления объектами.

В работах [1—4] предложен алгоритм построения регулятора для свободного движения. В настоящей статье рассматривается метод построения модальных робастных регуляторов при наличии задающих и возмущающих воздействий, при этом предполагается, что задающее и возмущающее воздействие имеют волновую структуру [5]. Данный метод распространяется на системы любого порядка, но в отличие от методов, рассмотренных в работах [6, 7], его математический аппарат достаточно прост и сводится к элементарному делению полиномов.

Метод синтеза регулятора. Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления, структурная схема которой представлена на рис. 1.

X

8 и

гР

} р

I

У

Рис. 1

Пусть задана передаточная функция объекта

Р( Р)

Кб (р) =

р (Р)

где р (р) и р (р) — полиномы степени т и п, т < п .

Задающее воздействие характеризуется следующим выражением:

Построение модального робастного регулятора 17

^2( Р)

где -^(р) и ^(Р) — полиномы степени q и г, а внешнее возмущение — выражением

Ох(р )

р (Р) = '

Р)

где G1 (р) и а2 (р) — полиномы степени g■í и ^2 •

Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде частного двух полиномов ШР) и 02(Р) :

Ж3с (Р) = ^ ,

02 (Р )

где 0 (р) и 02 (Р) — полиномы степени I и к, I < к .

Полином 02( Р) будем считать требуемым. Полином 0^(р) задан с точностью до коэффициентов, которые определяются в процессе построения передаточной функции регулятора. Ошибка управления может быть представлена выражением

б(р) = X(р) - 7(р) = X(р) - (и(р) + Е(р))Жоб (р) • Введем в рассмотрение полиномы ¿2, Хост, ¿ост, Гь Тост, ^ £ост :

02(Р) - 01(Р) = ь ( р) + Хост (Р) .

Р (Р) Р (Р) '

=А( р)+¿остМ. Р1(р) жр) '

02(Р) - 01(Р) = Т( р) + Тост (Р) .

^(р) 1 Ъ(Р) '

¿2(р) = £ (р) + ^ост (р)

^2(Р) 1 °2(Р) '

тогда

8(р) = &(Р)-ШР) X(р)-^р)е(р).

Р ) Р)

Если исходная динамическая система является полностью управляемой и наблюдаемой, т.е. передаточная функция объекта Коб (р) представляет собой несократимую дробь, и выполняется условие к > (2п -1) + г + g2, то всегда найдутся коэффициенты полинома 01(р), при которых происходит деление без остатка: 02(р)-01(р) на Р2(р), 02(р)-01(р) на ^2 (р) и 01 (р) на р (р) . При этом существует передаточная функция регулятора, обеспечивающая воспроизведение задающего воздействия без остаточной ошибки и желаемое расположение корней характеристического полинома [1—3]:

А( Р)

К (р) =

¿2( Р)

Для построения регулятора сформируем критерий, обеспечивающий необходимое соотношение между качеством управления системой и ее робастными свойствами:

I =

ж 1

р! {( + К (Г)2 ) + р2-, (1)

где К — некоторое число, р — мера робастности, в- и Р2 — весовые коэффициенты.

Первое слагаемое в уравнении (1) представляет собой интегральный критерий качества, а второе слагаемое характеризует робастные свойства системы.

Зададим характеристический полином замкнутой системы с коэффициентами в виде параметров. Используя алгоритм, описанный в работе [8], можно получить регулятор, коэффициенты которого будут выражены через коэффициенты требуемого полинома. Минимизация критерия (1) позволяет найти значения коэффициентов характеристического полинома, обеспечивающие желаемое соотношение между робастными свойствами системы и качеством управления.

Для систем небольшой размерности, а также в случае если передаточная функция объекта имеет один параметр, критерий может быть выражен в явной форме. Иначе необходимо применить численные методы оптимизации.

Вычисление меры робастности системы. Пусть Яп — множество многочленов степени п над полем действительных чисел. Пусть передаточная функция объекта задана в виде

Щ*б (р) = , (2)

Р2( Р)

* * * *

где Р- е Ят , Р2 е Яп и т < п; Р- и Р2 содержат параметрическую неопределенность, заданную в виде

¡± < Ч* - Чг < ¡г ,

*

где Чг — заданные номинальные значения параметров, 41 — реальные значения параметров, ^ и ^ — пределы возможных погрешностей определения г-го параметра, г = 1, э, э < п + т .

Необходимо найти передаточную функцию регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы с передаточной функцией

Щз.с (Р) =■

Щб (Р)Щр(Р)

1+Щоб (Р)Щр( Р)

при максимальном значения критерия робастности. В качестве такого критерия можно при-

_ э _ _

нять у = шт(/г- - ¡^) или д = (/■ -¡г), где 8г- — весовые коэффициенты, I = 1, э, э < п + т .

_ г=1 _

В качестве критерия робастности можно также выбрать объем (в общем случае п-мерный) области устойчивости системы.

Представим передаточную функцию объекта управления (2) в виде

щ; ( Р) = ЕМ+Ш^, Р,( р) + АР,( р)

где АР1( р) и ДР2( р) — полиномы, содержащие неопределенность.

Построение модального робастного регулятора 19

В этом случае характеристический полином замкнутой системы

D(p) = Q2(p) + APi(p)L(p) + AP,(p)N(p). (3)

Обозначим коэффициенты полинома D(p) через bi, i = 0, k, тогда

D(р) = bopk + bpk-1 +... + bk-ip + bk . Коэффициенты bt представляют собой функции от коэффициентов at, i = 0, k, полинома Q2 и параметров полиномов Ap (p) и AP2 (p).

Обозначим через Uj = (ail, a^,..., ak_i, aJk ) совокупность коэффициентов полинома Q2 .

Используя численные методы, можно найти значения a(, a2,..., aj_i, aJj , обеспечивающие максимальное или требуемое значение любого из перечисленных критериев. Например, для вычисления критерия у = min(/i _ ) можно воспользоваться методом, предложенным в работе [9].

Пример. Пусть передаточная функция объекта задана в виде

_ Kp +1

Кб (p) = ■

Tp +1

Внешнее воздействие представлено единичным скачком. Зададим передаточную функцию замкнутой системы в виде

К (р) = 01(Р) = Р2 + 4Р + ё2

зс 02( Р) Р2 + а1 р + а2

В качестве расчетных значений примем К = 1, Т = 1. Используя программу, описанную в работе [8], получим выражения для передаточной функции регулятора, при котором характеристический полином замкнутой системы будет равен 02 (Р) :

К (р) = Р(-1 + а1 + а2) + а2 р Р (1 + а1 + а2) '

Квадратичный критерий качества, выраженный через коэффициенты а1 характеристического полинома, определяется как

(1 + а1 + а2)2 ((1 + а1)2 - 2а1а2 + а23) 8а1а2

Зададим приращение параметрам объекта: К = 1 + ДК, Т = 1 + ДТ, при этом

«-»б (р)=-Р+1+ДКР -

р +1 + ДТр

Согласно выражению (3) характеристический полином системы с обратной связью

Б(р) = р2(1 + ДТ(1 + а1 + а2) + ДК (-1 + а1 + а2)) + р(а1 + ДКа2) + а2. Используя условие устойчивости системы, получаем

ДК >-ДТ>-1 -ДК(-1 + а1 + а2). а2

Минимизируем функционал I. Для этого определим минимум интегрального критерия. При a1 > 0, a2 > 0 получим a1 = 0,66 и a2 = 0,85 . Используя эти значения как начальные, можем производить настройку робастных свойств системы. Переходный процесс в системе при единичном воздействии и a1 = 0,66, a2 = 0,85 представлен на рис. 2.

Y

0,8 0,6 0,4 0,2 0

-0,2

10

12

14

16 t

Рис 2.

Рассмотренный метод построения модального робастного регулятора благодаря алгоритмической простоте достаточно удобен для реализации на компьютере. К достоинствам этого метода можно также отнести возможность получения регулятора в общем виде, что позволяет производить оптимизацию характеристик системы непосредственно по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы.

0

2

4

6

8

список литературы

1. Лозгачев Г. И. Синтез модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы // АиТ. 1995. № 5. С. 49—55.

2. Лозгачев Г. И. Построение модальных регуляторов для одноконтурных и многосвязных систем // АиТ. 2000. № 12. С. 15—21.

3. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом// Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2003. № 5. С. 17—20.

4. Лозгачев Г. И., Безрядин М. М. Проблема соотношения робастности и качества управления при построении модальных регуляторов // Кибернетика и высокие технологии XXI века: XII Междунар. науч.-техн. конф., 11—12 мая 2011г. Воронеж, 2011. Т. 2. С. 412—416.

5. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. 408 с.

6. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. Robust control: the parametric approach // Upper Saddle River. N. J.: Prentice Hall, 1995.

7. Coddard P. J., Clover K. Controller approximation"1 approaches for preserving Hш performance // IEEE Trans. Automat. Control. 1998. Vol. 43, N 7. P. 858—871.

8. Лозгачев Г. И., Безрядин М. М. Программная реализация алгоритма построения модального робастного регулятора по передаточной функции замкнутой системы в случае наличия возмущающего воздействия // Вестн. ВГУ. Системный анализ и информационные технологии. 2010. № 2. С. 50—52.

9. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.