Построение метода упругой миграции сейсмических данных в приближении Борна Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 550.834

О. Я. Воинов1, В. И. Голубев1, М. С. Жданов1'2, И. Б. Петров1

1 Московский физико-технический институт (государственный университет)

2University of Utah

Построение метода упругой миграции сейсмических данных в приближении Борна

Ввиду того, что нефть и природный газ являются ключевыми топливными ресурсами, поиск и разведка их месторождений является приоритетной задачей. Для её решения применяются полевые исследования, называемые сейсмической разведкой, задачей которых является восстановление структуры подповерхностного пространства. Огромное значение имеет задача миграции - определение положений отражающих горизонтов по известной опорной модели среды. Для её решения в акустическом приближении разработано множество методов, например, метод Кирхгофа, метод Борна, миграция конечными разностями и т.д.

Целью настоящей статьи являлось исследование сейсмических полей в полной упругой постановке, которая с большей точностью описывает динамические процессы, происходящие в реальных гелогических средах. Авторами предложен метод упругой миграции, основанный на приближении Борна для однородной фоновой модели среды. Проведено его тестирование на модели, схожей по структуре отражающих границ с моделью Marmousi, широко используемой для тестирования методов компьютерного моделирования сейсмических процессов.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, сейсмическая разведка, миграция, упругое тело, приближение Борна.

O. Ya. Voinov1, V.I. Golubev1, M.S. Zhdanov1'2, I. B. Petrov1

1Moscow Institute of Physics and Technology 2 The University of Utah

Elastic migration of seismic data using the Born

approximation

Due to the fact, that oil and gas are the key fuel resources, the search of their deposits is in a high priority. Field studies called seismic survey are used for solving this problem. The main goal of this procedure is the reconstruction of subsurface area structure. The migration problem - imaging of reflectors and geological horizons using known background model - is crucial. In acoustic case the are a lot of methods for solving this problem: Kirchhoff, Born, finite-difference migration, etc.

The goal of this article is the analysis of seismic fields in full elastic approach which more precisely describes dynamic processes occured in real geological media. The elastic migration method based on Born approximation was proposed by authors. It was successfully tested on the model similar by the geometry of reflecting boundaries on the Marmousi model that is widely used for verification of computer simulation methods of seismic processes.

Key words: computer simulation, seismic survey, migration, elastic medium, Born approximation.

1. Введение

Основной задачей сейсмической разведки является создание достоверной модели подповерхностного пространства геологической среды. Сейсмическая разведка была применена впервые более ста лет назад и значительно развита и усовершенствована к настощему времени. Можно выделить два основных направления: сейсмическая миграция и сейсмическая

инверсия. Результатом процесса инверсии является пространственное распределение параметров среды, тогда как миграция позволяет лишь установить положения отражающих горизонтов (и, возможно, точечных отражателей - трещин, включений). Таким образом, геометрия месторождения углеводородов может быть успешно определена.

Работы [1, 2] можно отнести к одним из первых, посвящённых миграции и построению сейсмических изображений и положивших начало бурному развитию данной области. В дальнейшем в работах [3,4] был предложен подход, названный Kirchhoff Summation Approach, в работе [5] - представлена k-f миграция. В работе [6] проблема построения миграционного изображения сопоставлена с пространственной деконволюцией в области пространственных частот.

В последнее время предпринимаются значительные усилия для повышения точности миграционных изображений для сложных геологических сред (например, в условиях соляных куполов [7]). И определённые надежды возлагаются на использование полноволновых подходов к упругой миграции.

В настоящей работе была предложена процедура, позволяющая построить миграционные изображения для упругой среды. Её вывод следует общему подходу, ранее использованному в акустическом случае. Полученный метод упругой миграции основан на приближении Борна и предположении о том, что фоновая модель среды является однородной. Для проверки работоспособности данного подхода были рассчитаны синтетические сейсмограммы, а затем построены миграционные изображения для модели, содержащей структурные границы, схожие с границами модели Marmousi.

2. Математическая постановка задачи миграции

Прямая задача сейсморазведки может быть представлена в виде

d = Ьш,

где d - наблюдаемые на сейсмоприемниках данные, ш - параметры среды, Ь - оператор прямого моделирования. Миграционное изображение среды задается выражением [8]

шт,гдг — Ь ^

где присоединенный оператор Ь* определяется из уравнения

Ьш) — (L*d, ш), Уш, d.

Здесь круглыми скобками обозначено скалярное произведение в соответствующем пространстве данных или параметров модели.

3. Оператор миграции в приближении Борна для упругих слабонеоднородных сред

3.1. Слабонеоднородное пространство

Пусть движение среды задается уравнением Ламе в следующем виде [9]:

d2u 1 о о

Ли - —- = — F, Л = c„VV ■ -ciV х V х .

dt2 р р *

Разложим параметры среды в некоторой области V на фоновые (background) и добавочные (А) составляющие, а поле на первичное (initial) и вторичное (secondary) и условимся обозначать нижним греческим индексом потенциальные (potential) и соленоидальные (solenoidal) компоненты полей, подразумевая, что полная величина поля (без индекса) есть

их сумма1:

4 = с«,ь + Дс«, Дс«|г^ = 0, Л = Л + АЛ, и = и + и,

- ^ = — ^ Е - ^ = -ДЛ (и- + и) .

Для краткости введем медленность среды в = с-1 и операторы ] = УУ- и Е)3 = —V хУх. Если обозначить

§« = {х — 1 — |г' — г|) — х (У — ¿)} 1

4r |r' — r|'

где I - единичный тензор и %(í) = max(0, t), то тензор Грина для полученных уравнений в случае постоянных фоновых скоростей звука са,ь = const примет вид [9]

G„ {r',t'|r, t) = D«ga = D'aga, а первичное и вторичное поля будут задаваться выражениями

1 ^l

Р (r)

Г Г+ж 1 „ L

ига (r', t') = / —-F (r, t) ■ Gl (r', í'|r, t) dtdV,

Jv^J-oo p (r)

. L (1)

и« (г' Л') = {АЛ (г) [и* (г, () + и" (г, ()]} ■ С„ (г' ,(1гЛ)<ШУ.

3V 7-тс

В приближении Борна пренебрежем и5 в правой части последнего выражения, и оператор прямого моделирования примет вид

и«Б (г',*') = / {ДС2 (г) У2и (г,¿) + Дс2 (г) У2< (г,*)} ■ С« (г',ф,

./V J-ж

где учтены свойства потенциальных и соленоидальных полей ]«и« = У2и«.

Введем гильбертово пространство данных волнового поля, заданных на множестве точек V' в моменты времени Т, со скалярным произведением

■ а2) = [ [ а1 (г', *) ■ а2 (г', í ) ас^,

./V' Зт

и гильбертово пространство моделей, заданных в объеме V, со скалярным произведением

(Ш1 ■ Ш2)Л [Ас2,1 (г) Ас2,2 (г) + А с2 1 (г) Ас2 2 (г)] (V, шг = (Дс^, Дс2г)Т . ./V

Оператор миграции, сопряженный к оператору прямого моделирования, задается выражением

A c«,migr (r) = / í Í+ {V4 (r, í)} ■ GL (r',í>, í) ■ d (r',t')dtdt'dv'. Jv' Jt J-oo

3.2. Точечный источник с постоянной поляризацией

Пусть поле возбуждается точечным источником с постоянной поляризацией: Е (г, 1) = 5(г — го) ^(1)* = 5 (г — го) ¡''(1)*. Например, для импульса Рикера

•л-2 f2 У-2

F(t) = (1 — 2r2f2Mt2) е-^2, f(t) = — . (2)

2 JMr

хДля некоторых величин, для которых это не вызовет недоразумения, в том числе для скалярных, будем таким образом обозначать соответствие либо волнам сжатия (pressure), либо сдвиговым волнам (shear).

Заметим, что имеет место соотношение

г>+ж f +ж

/+ж Г+Ж

х {f -1) fm = f {t> -1) tdt = n {t> -1)+f (t' -1) t] io

-oo J 0

которое для «хороших» импульсов упрощается до / (¿'), а для постоянного вектора Г и произвольной функции координат д (г) справедливо

6« (д (г) 1 — |~Ба (д (г) 1) 1 ■ { — 6а (д (г) {).

Г ■

С учетом последнего, в соответствии с первой из формул (1), первичное поле задается выражениями

*« (г, г) — ; ( (|г° -г|) - ; ® Г, < (г, г) — 6Г (г, 4). (3)

4,р (го) |г0 - г|

Используя равенства

{/ (*) - / (4 - 8а,ь |го - г|)}У2т^^- — 0,

|го - г|

у2 / ^ - 8а}Ь |го - г|) - / (¿) — ^ (^ - 8а<Ь |го - г|)

|го - г| с2а,ъ |го - г| ,

можно упростить комбинации У2и!,, У2и*, входящие в выражения для операторов прямой

и обратной задач:

г ( = D F (t - S»,b |r0 - r|) f = 1 D0 F (t - Sa,b |ro - r|) f V Ua (r,t) Ua (ro) |ro - r| p (ro)D 4<6 |ro - r| '

Аналогично выводу формулы (3), получим

f+™T72 i( Л gL МУ1 Лм 1 тУ т^o f (t' - Sftb |ro - r| - Sa,b |r' - r|)

J-ж V ^ (r, ' G" ^ , ' ^ = D^' 16.2c^ro-rN^-r! f•

С учетом этого, выражение для оператора прямого моделирования примет вид

s,b ( ' 1 tV iS o 2 f \f (t' - sß,b |ro - r| - sa,b |r' - r|)P,T/

U« (r = £ ^D^^ (r) 16,2c^o-rMr'-r! ^ (4)

а выражение для миграционного оператора - вид

Л 2 f л Г ¡' 1 л ( ' Sl^o f (t' - Sß,b |ro - r| - Sa,b |r' - r|)P,,',T/'

Ac% mlgr (r) = > / / ——-d r' ,t) ■ IJ„IJ«--ttö—i-гтт-i-fataV'. (5)

^,migr ( ) ^Jv'JtP (ro) V , У a ß 16,2c\b |ro - r| |r' - r| (5)

3.3. Формулы для полупространства

Пусть фоновые медленности постоянны в полупространстве z > 0 и поверхность z = 0 является свободной, то есть на ней отсутствуют нормальные и касательные напряжения:

2 d^L + AV- U = (■— + ^^^^ = (■— + ^^^^ =0 ^ dz U ^ \ dx dz ) ^ \ ду dz ) '

Тогда тензор Грина принимает вид

.ь,н

G« (r' ,t'!r, t ) = ]D 1

ёа ёа

I ,

ga = {X{t' -t- Sa,b |r' - Г^ - X (t1 - t) } |r - r| , r = (x, y, - z)

Рассуждая аналогично предыдущему, получим выражения для первичного поля - аналог (3):

^ (г . = /(* - а д,ь |го - г|) - /(¿) г - /(* - 8а,ь\ Г0 - Г | ) - Щ ) { » ' 4лр (го) |го - г| 4лр (го) \го - г\ '

и- (г, о = — к (г, о = — »!(г -г|> - /({) г - /С -^а-г|)- Я0,'

^ » 4л р (го) |го - г| — 4лр (го) \го - г\

где —» получается из 13» заменой дго на - д20; выражения для операторов прямой и обратной задач - аналоги формул (4) и (5):

1

и»в с, О = £ рр^—»X (г) £

р Г1 е{г, г}

о / (¿' - ар,ь |го - г| - |г' - г11) —о /(*' - а р, ь |го - г| - ь |г' - гх |) 1 | р 16л-2ср,ь |го - г| |г - гх | — 16л2ср,ь |го - г| |г' - гх | ]

А(г) = Е £' £ р(з * (г''*0 ■13» Е ^ 1

Г1 е{г, г}

1а о эр,ь |го - г| - в аЬ |г' - гх |) ~ о /(£'- 5р,6 |го - г| - «»,6 |г' - гх |) 1

\ —ЭР-о о—I-тгт-;--—ЭР-..„по—I-гтт-;-( ГоЪ аУ ,

^ р 16л2срь|го - г| |г' - гх| 16л2срь|го - г| |г' - гх| )

' ' (7)

где кг = 1, кг = -1.

4. Результаты расчетов

Были произведены расчеты прямых задач и задач миграции для модели слабонеоднородной среды (рис. 1) с использованием формул (6), (7). Все расчеты производились с неизменной одной из горизонтальных координат. Модель среды имеет протяженность 10 км, глубину 2.5 км и значения фоновых скоростей волн сжатия и сдвига соответственно 2.5 км/с и 1.25 км/с. Контраст неоднородностей А с»/ с»ь имеет значение 1%. Плотность среды на глубине залегания сейсмоисточников принята равной 2.5 т/м3.

Рис. 1. Модель среды

Рис. 2. х-компонента сейсморазреза

Рис. 3. ¿-компонента сейсморазреза

Рис. 4. р-компонента миграционного изображения

Рис. 5. 5 -компонента миграционного изображения

Для данной модели по формуле (6) были получены синтетические сейсморазрезы нулевого удаления. Были использованы значения параметров расчета, типичные для практики: вертикально поляризованные источники Г — (0, 0,1)Т, расположенные на глубине 15 м, отстоящие друг от друга на расстояние 50 м по горизонтали, испускают импульс Рикера (2) с пиковой частотой /м — 25 Гц; данные записываются каждые 2 мс в течение 4 с (рис. 2-3). Следует отметить, что при данной постановке задачи ^-компонента отраженного поля получается равной нулю.

Миграционные изображения, полученные по формулам (6-7) представлены на рис. 4-5. Шаг расчетной сетки был выбран равным 10 м: дальнейшее уменьшение шага не приводило к улучшению результатов.

5. Заключение

В работе предложена процедура упругой миграции, позволяющая построить миграционное изображение среды по данным сейсмоприёмников, зарегистрированным на дневной поверхности. Она основана на использовании приближения Борна и предположении о том, что фоновая модель среды является однородной. Представлен результат её тестирования на модели среды с границами раздела слоёв сложной формы. Анализ полученных изображений говорит о том, что в целом возможно обнаружение истинных отражающих границ, однако существуют проблемы, связанные в первую очередь с высоким уровнем шума, наличием значительного числа ложных границ и плохой идентификацией границ с большими

углами наклона. Таким образом, для обеспечения возможности применения упругой миграции в промышленном масштабе к данным полевых сейсморазведочных работ необходима дополнительная доработка предложенного алгоритма.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 16-29-02018 «код офи_м».

Литература

1. Claerbout J.F. Coarse grid calculations of waves in inhomogeneous media with application to delineation of complicated seismic structure // Geophysics. V. 36, I. 3. P. 407-418.

2. Claerbout J.F., Doherty S.M. Downward continuation of moveout-corrected seismograms // Geophysics. 1972. V. 37, I. 5. P. 741-768.

3. French W.S. Computer migration of oblique seismic reflection profiles // Geophysics. 1975. V. 40, I. 6. P. 961-980.

4. Schneider W.A. Integral formulation for migration in two-dimensions and three-dimensions // Geophysics, 1978. V. 43, I. 1. P. 49-76.

5. Stolt R. H. Migration by fourier transform // Geophysics, 1978. V. 43, I. 1. P. 23-48.

6. Berkhout A. J., VanWulfften Palthe Migration in terms of spatial deconvolution // Geophysical Prospecting, 1979. V. 27, I. 1. P. 261-291.

7. Jiao K. et al. Elastic migration for improving salt and subsalt imaging and inversion // SEG Las Vegas Annual Meeting. 2012.

8. Claerbout J.F. Fundamentals of Geophysical Data Processing. McGraw-Hill Book, 1976

9. Zhdanov M.S. Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems. V. 36. Elsevier Science, 2002

References

1. Claerbout J.F. Coarse grid calculations of waves in inhomogeneous media with application to delineation of complicated seismic structure. Geophysics. V. 36, I. 3. P. 407-418.

2. Claerbout J.F., Doherty S.M. Downward continuation of moveout-corrected seismograms. Geophysics. 1972. V. 37, I. 5. P. 741-768.

3. French W. S. Computer migration of oblique seismic reflection profiles. Geophysics. 1975. V. 40, I. 6. P. 961-980.

4. Schneider W. A. Integral formulation for migration in two-dimensions and three-dimensions. Geophysics, 1978. V. 43, I. 1. P. 49-76.

5. Stolt R. H. Migration by fourier transform. Geophysics, 1978. V. 43, I. 1. P. 23-48.

6. Berkhout A. J., VanWulfften Palthe Migration in terms of spatial deconvolution. Geophysical Prospecting, 1979. V. 27, I. 1. P. 261-291.

7. Jiao K. et al. Elastic migration for improving salt and subsalt imaging and inversion. SEG Las Vegas Annual Meeting. 2012.

8. Claerbout J. F. Fundamentals of Geophysical Data Processing. McGraw-Hill Book, 1976.

9. Zhdanov M. S. Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems. V. 36. Elsevier Science, 2002.

Поступила в редакцию 16.04.2016