CC BY
159
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 190-195
Механика
УДК 539.3
Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости *
Аннотация. Построен алгоритм определения матриц граничной жесткости, предложенных А.А.Ильюшиным, при конечно-элементной аппроксимации задачи теории упругости. Представлены результаты тестирования работы алгоритма на примере задачи Ламе. Демонстрируется возможность построения матрицы граничной жесткости для плоской многосвязной области.
Ключевые слова: упругость, плоская задача, конечный элемент, матрица граничной жесткости.
При решении многих прикладных задач механики деформируемого твердого тела, в частности, задач о моделировании взаимодействий между элементами сложных конструкций, целесообразно предварительно оценить поведение всей конструкции в целом. После этого возможно рассматривать каждый отдельный элемент, используя найденные на первом этапе силы взаимодействия в качестве граничных условий. Для предварительного анализа необходимо иметь для каждого блока универсальные соотношения, связывающие произвольную нагрузку на границе тела с перемещениями точек, принадлежащих этой границе. А.А.Ильюшиным [1, 2] была
предложена идея построения подобных соотношений. Для задачи, дискретизированной с помощью метода конечных элементов, подобная связь может быть записана в матричной форме. В данной работе описывается алгоритм построения такой матрицы и приводятся результаты решения некоторых задач, демонстрирующие корректность данного метода.
Рассматривается задача теории упругости для линейно-упругого тела. В отсутствии массовых сил имеет место принцип возможных перемещений Лагранжа:
А. А. Маркин, Ю. В. Астапов
(1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а).
где ¿А(г) — J а ■ ■¿е — работа внутренних напряжений на возможных
V ~
деформациях, ¿А(е) — / Р ■ ¿и — работа внешней поверхностной нагрузки
£
на возможных перемещениях.
Применение метода конечных элементов [3] позволяет, произведя дискретизацию объема V, найти связь между внешней нагрузкой и перемещениями в п точках области в виде системы линейных алгебраических уравнений
П
^ ^ Сг.у— Рг, г — 1; ...п, (2)
У=1
где , г — 1, ...п, j — 1,п — компоненты глобальной матрицы жесткости системы конечных элементов, Рг — внешние обобщенные узловые силы.
Переставим в системе (2) уравнения таким образом, чтобы первые пе уравнений соответствовали перемещениям узлов, принадлежащих границе Х объема V. Оставшиеся п — пе уравнений будут соответствовать перемещениям внутренних узлов. Причем, учитывая отсутствие массовых сил, к внутренним узлам не отнесены узловые силы, поэтому вторая часть системы будет однородной:
П
52 Су и — Рг, г — 1...пе,
"=1 (3)
^ Суиу — 0, г — пе + 1...п. у=1
В каждом из уравнений системы (3) также выполним группировку пер
1.(е):
неизвестных перемещений, соответствующих внутренним узлам и(г) и узлам
на границе и
Е СгуМ(е) + ^ Суи(г) — Рг, г — 1...пе,
у=1 У=Пе+1 (4)
Пе ( ) п (Л (4)
I] СгуМ(е) + X] СгуМ(г) — 0, г — пе + 1...п.
у=1 У=пе+1
Представим матрицу [С] в блочном виде, обозначив элементы матрицы Су следующим образом:
Кг? — Ст1, т — 1...пе, I — 1...пе,
К? — Ст1, т — 1...пе, I — пе + 1...п,
кте) — Ст1, т — пе + 1...п, I — 1...пе,
— Ст1, т — пе + 1...п, I — пе + 1...п.
В новых обозначениях система (4) примет вид:
п
е
[К(ее)] {и(е)} + [К(ег)] {и(г)} — {Р} [К(ге)] {и(е)} + [К(гг)] {и(г)} — {0} .
(5)
Найдем из однородной части системы (4) выражение для перемещений внутренних узлов через перемещения граничных узлов:
{и(г)} — — [к(гг)] 1 [к(ге)] {и(е)}
(6)
Подставим соотношение (6) в неоднородную часть системы (5):
^ К(ее) — К(ег) К(гг) 1 К(ге) ^ {и(е)} — {Р} . (7)
Выражение (7) устанавливает универсальную линейную связь между поверхностной нагрузкой и узловыми перемещениями на границе. Назовем матрицу, входящую в левую часть соотношения (7), матрицей граничной жесткости:
[В] —
К(ее) — К(ег) К(гг) К(ге)
-1
(8
причем матрица граничной жесткости имеет размер пе х пе.
Построив по формуле (8) матрицу граничной жесткости для произвольного тела с заданной конфигурацией конечно-элементной сетки, возможно, задавая различные допустимые комбинации граничных условий, получать решения в виде перемещений граничных узлов и соответствующих опорных реакций. Преимуществом данного подхода является то, что решения на границе, полученные с помощью матрицы граничной жесткости и с помощью глобальной матрицы жесткости идентичны, однако число уравнений, разрешающих задачу в первом случае значительно меньше, чем во втором. Следует, однако, отметить, что сам алгоритм построения матрицы граничной жесткости сопряжен с определенными вычислительными затратами. В соответствии с формулой (8), необходимо численно обращать блок глобальной матрицы жесткости, соответствующий внутренним узлам [К(гг)]. Применение метода оправдано в тех случаях, когда для области со сложной внутренней структурой необходимо оценивать поведение границы. Тогда возможно, аппроксимировав внутреннюю структуру большим числом конечных элементов, построить матрицу граничной жесткости и дальнейшие расчеты вести с ее помощью, пользуясь ее малой размерностью по сравнению с глобальной матрицей жесткости.
Алгоритм (8) был реализован применительно к плоской области, дискретизированной треугольными симплекс-элементами, и протестирован на численном решении задачи Ламе.
Рассмотрим сечение цилиндра, лежащее в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Для данной задачи из аналитического решения [4] могут
быть получены выражения, связывающие величины давлений Рд, Рв с радиальными перемещениями ид и ив:
Рв — 2(Л + ----^_) ^—(аз^ + аь2(д + ^))ив + а_Ь(Л + 2^)ид) ,
Рд — 2(Л + ----О (—а5_(д + 2^)ив + (Ь3^ + а_Ь(Л + ^))ид) , (9)
А — (а3^ + аЬ_(Л + ^)) (Ь3^ + а_Ь(Л + ^)) — а3Ь3(2^ + Л)2,
где Л и ^ — упругие константы Ламе.
В силу осевой симметрии задачи конечно-элементная сетка была построена для сектора круга, соответствующего центральному углу 90°. Было использовано 513 узлов и 936 элементов. Количество граничных узлов равно 68.
Для области была построена матрица граничной жесткости размером 176 х 176. На внутренней границе задавалось давление. Внешняя граница полагалась свободной. Также были сформулированы ограничения, наложенные на перемещения, и не позволяющие совершать движения области как жесткого целого. Полученная система уравнений, имеющая вид (7), была решена методом Гаусса. Результаты численного решения, полученного с использованием матрицы граничной жесткости, отличаются от результатов, полученных в виде (9) менее чем на 0,3%. На рис. 1 изображены граничные узлы сетки в деформированной конфигурации.
Рис. 1. Конечно-элементная аппроксимация задачи Ламе
Следующий пример демонстрирует возможность построения матрицы граничной жесткости для многосвязной области со сложной внутренней структурой. Рассмотрим прямоугольное (размером а х Ь) сечение с внутренним отверстием в виде полукруга. Для области была построена конечно-элементная сетка, состоящая из 788 узлов и 1436 элементов. Далее была получена глобальная матрица жесткости размером 1576 х 1576, а затем матрица граничной жесткости 280 х 280. Сформулированы граничные условия: по верхней границе действует равномерно распределенная
единичная нагрузка, нижняя граница жестко закреплена, внутренний контур свободен от нагрузки. Система уравнений для граничных узлов
была преобразована с учетом граничных условий и решена численно. Получение аналитического вида связей граничных перемещений и нагрузок сопряжено с определенными трудностями ввиду сложной геометрии области. Поэтому решение, полученное с помощью матрицы граничной жесткости, сравнивалось с решением, полученным в конечно-элементном пакете Апэуэ 11. Сравнение проводилось по величинам перемещений в характерных точках области. Результаты сравнения решений для точек, указанных на рис. 2, приведены в таблице. Оба решения были получены в безразмерном виде.
Рис. 2. Схема многосвязной области
Результаты расчетов относительных перемещений
Апвув 11 Матрица граничной
жесткости
№ их/а Ну/Ь их/а иу/Ь
1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 і 0 т-4 ю 1 -1.361 • 10-3 4 - 0 1 2 2. 3. - -1.211 • 10-3
4 і 0 т-4 го 1 0 1 5 6 3. 1 - 3.995 • 10-4 -1.206 • 10-3
5 I 0 т-4 о ю со 1 -4.19 • 10-4 -3.24 • 10-4 -3.68 • 10-4
6 3.547 • 10-4 -4.19 • 10-4 4 - 0 1 3 4 2. 3. 4 - 0 1 5 9 6. 3. -
7 -6.542 • 10-5 -4.56 • 10-3 4.05 • 10-5 -4.5 • 10-3
Полученный результат позволяет судить об универсальных возможностях применения матриц граничной жесткости для решения задач линейной теории упругости с различными комбинациями граничных условий.
Список литературы
1. О некоторых способах уточнения матриц жесткости Ильюшина в плоской задаче теории упругости / М.Ю. Рязанцева [и др.] // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 3. С. 175.
2. Шапиро Г.С. XVII Польская конференция по механике деформируемого твердого тела, 3-9 сентября 1975 г. // Проблемы теории пластичности: сборник
переводов. Новое в зарубежной науке. Механика; вып. 7. М.: Мир, 1976. С. 217-230.
3. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды: учебник для университетов. Т. 1. М.: Наука, 1976. 536 с.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Астапов Юрий Владимирович (ast3x3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Boundary rigidity matrix building for a plane elasticity problem
A. A. Markin, Yu. V. Astapov
Abstract. An algorithm for determining the boundary rigidity matrix proposed by A.A.Il’yushin, with the finite element approximation of the elasticity problem, has been constructed. The results of testing the algorithm for the Lame problem are presented. The possibility of constructing the boundary rigidity matrix for a planar multiply connected area has been demonstrated.
Keywords: elasticity, plane problem, finite element, boundary rigidity matrix.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 18.01.2014
