CC BY
73
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МАНИПУЛЯТОРА С УЧЕТОМ УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТИ КОНСТРУКЦИИ
THE CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF THE MANIPULATOR WITH THE ELASTIC FLEXIBILITY OF CONSTRUCT
Бакай Б.Я. (НЛТУ Украины, г. Львов, Украина) Bakay B.Ya. (Ukrainian National Forestry University, Lviv, Ukraine)
Рассмотрены и получены основные динамические характеристики и уравнения движения гидравлического манипулятора с учетом упругой податливости его конструкции.
Considered and obtain the basic dynamic characteristics and the equations of motion of hydraulic manipulator with the elastic flexibility of its construct.
Ключевые слова: динамика, манипулятор, упругая податливость, уравнения движения Лагранжа.
Key words: dynamics, manipulator, elastic flexibility, Lagrange's equations of motion.
Введение. Известно, что одним из прогрессивных путей создания современных гидравлических манипуляторов с большой величиной вылета стрелы есть разработка унифицированных конструкций и компоновка той или иной манипуляторной системы [1-4]. В связи с этим, актуальной является задача всестороннего исследования гидравлических манипуляторов.
Постановка задачи. На рис. 1 представлена одна из наиболее распространенных кинематических схем манипулятора лесозаготовительных машин (харвестера, форвардера и др.) для выполнения операций в сложных производственных условиях [3]. На основании проведенного детального анализа производственных возможностей и конструктивных особенностей наиболее общей кинематической схемой манипулятора таких машин является манипулятор, созданный с использованием вращательных пар для обеспечения полноценного пространственного перемещения лесоматериалов [4].
Рисунок 1 - Кинематические схемы манипулятора: а - общая стреловая система; б - звено манипулятора с упругой податливостью
Для описания движения манипулятора введем в инерциальном пространстве вместе со стрелой систему координат 01 х1 у1 г с общей осью Ох. Ось О1 у1 зададим по направлению касательной к нейтральной линии стрелы гид-
Z
равлического манипулятора в точке 01.
Введем следующие обозначения: тг и I - масса и момент инерции /-го звена манипулятора относительно оси, проходящей через центр инерции параллельно Oz (г=1, 2, 3, 4); 131 - момент инерции стрелы относительно оси проходящей через ее центр инерции параллельно 01х1; I - расстояние от центра инерции к оси Oz, ф - угол между ортами осей Оу и 01 у1; 2 - высота звеньев над плоскостью Оху; М - сосредоточенный относительно оси О2 момент управляющих сил; ^ и управляющие усилия, обеспечивающие изменение во времени высоты 2 и длины соответственно; А1 и А 2 - угловые относительные отклонения конца стрелы манипулятора с грузом от равновесного состояния.
Сущность решения задачи. Уравнение движения изучаемой механической системы составим в форме уравнения Лагранжа второго рода. Примем за обобщенные координаты величины: ф, 2, $>., Аь А2. Для вычисления кинетической энергии системы воспользуемся формулой
Т = 2 к 6 2 + 2 тг (Ц ХЮг) Г + Юг ©Юг ], (1)
где тг - масса /-го звена манипулятора;
иг - скорость полюса;
г - радиус вектор центра инерции тела в системе осей, имеющей начало в полюсе;
© - тензор инерции тела в полюсе;
Юг - угловая скорость.
Кинетическая энергия рассматриваемой системы имеет вид
Т = ±Тг, (2)
г=1
где Т - кинетическая энергия г-го звена манипулятора;
Выражение кинетической энергии колоны манипулятора и механизма передвижения рассматриваемой системы имеет вид
1 т 1 1
Т = 211 ф2, Т2 = 2ш2(22 +12ф2) + 1¡2 ф2. (3)
Прежде чем записать кинетическую энергию стрелы и груза найдем квадрат абсолютной скорости точки О'2. Для радиуса-вектора точки О'2 имеем (см. рис. 1, б)
ОО'2 = 0О1 + ор' 2.
В соответствии с правилами кинематики абсолютная скорость точки О2 равна
d00'l 1
V0 = 1 + —+ссх О1О' 2, (4)
О2 dt dt 12
^ * _^
где — - производная вектора О.О' , вычисленная в подвижной системе координат О1 х1 у1 г;
Й - вектор угловой скорости вращения подвижной системы координат относительно инерциальной.
Для векторов ОО1 в системе Охуг и Й, 010'2 в системе О1 х1 у1 г имеем следующие координатное представление (см. рис. 1, б)
ОО = (О,О,г), Й = (О,О,ф*), ОО'2 = (5А1, 5, 5А2). (5)
С учетом (4) и (5) квадрат абсолютной скорости точки О'2 равен
У" = («5А1 + 5А1 -5<?)2 + (.5 + БА1<р)2 + (г-5А2 -5А2)2. (6)
Откуда для кинетической энергии груза имеем
1 2
Т4 = 1^ (7)
Используя уравнения (1) и (6) кинетическую энергию стрелы манипулятора можно представить в виде
т 1 13 = — т3 2 3
1 ■ • 2 1 ■ 2 1 ■ 1 ■ 2
+ 5АА1 - 5ф)2 + 4(+ 5фА1 )2 + (г - ^ - - 5 А2)2
+
+ 2 [/з(СР -АА 1)2 + / 31АА22 ]. (8)
С учетом уравнений (2), (3) и (6)-(8), для кинетической энергии рассматриваемой манипуляторной системы имеем окончательное выражение
Т = 2 [/ ф2 + тг2 + т5(1 + А2 +А22)5?2 + /1А2 + /2 А ]-
- /1 фА1 - т6г(5А2 + 5А2) + т5(А^1 + А2А2), (9)
где т = т2 + т3 + т4; т6 = т4 + т3/2; т5 = т4 + т3/4; / = I3 + т5 52; /2 = I31 + т5 52; I = /1 + /2 + /1 + т212 + т5 52 А^.
Будем моделировать податливость конструкции звеньев манипулятора упругим потенциалом
Па = 2( кЖ + к2 А22). (10)
где К1 и К2 - приведенные угловые коэффициенты жесткости, определяемые экспериментально. Если не учитывать податливости в шарнирах, как это делается в некоторых работах, то в квазистатическом приближении в качестве коэффициентов можно принять величины
К* = 3Е1 / 5, г=1, 2,
г* 1 у у у
где Е - модуль Юнга;
1г - центральные моменты инерции поперечного сечения г-го звена манипулятора;
5 - длина звена манипулятора. Отметим, что если известны величины Кг и К*, то приведенные угловые
коэффициенты жесткости Кг**, характеризующие упругую податливость шарниров конструкции манипулятора, можно вычислить из соотношений
1/К. = 1/К** +1/К*.
** *
Суммарная потенциальная энергия, которую запасает система как следствие податливости конструкции и действия сил тяжести, имеет вид
П = mgz -ш6gSА2 + 2(КА2 + К2А2;). (11)
Принимая во внимание уравнения (9) и (11) уравнения движения манипулятора, записанные в форме уравнений Лагранжа второго рода в линейном приближении по А1 и А2 , имеют вид
I ^)ф - /1 ^)А1 +/ (S)(ф -А1) = М (12)
т (2 + g) - т6 (SА2 + 2АlS + А25) = ^ (13)
т5 ^- т6А2(2- + ^ -2/(S)(ф2 - 2фА1) = ¥2 (14)
) (А1 -ф) + т5 S А^ - S ф2) + / '(S) (А1 -ф)S + К1А1 = 0 (15)
/2 (S) А2 - тб S (2- + ^ + т5 S А2+ / ^) S А2 + К2 А2 = 0 (16)
У формулах (12)-(16) точкой обозначена производная по времени t, а штрихом - по переменной S. Кроме того 10 = I(А1, S) 0 .
Вывод. Таким образом, получена нелинейная система взаимосвязанных дифференциальных уравнений, которая при выбранных начальных условиях для ф, 2, S, А1, А 2 и заданных уравнениях М, определяет движение ма-
нипулятора с упругой податливостью конструкции в линейном приближении по относительным отклонениям.
Список использованных источников
1. Ловейюн, В. С. Моделювання динам^ мехашзмш вантажоп1дйомних машин [Текст] / В. С. Ловейюн, Ю. В. Човнюк, М. Г. Д^ерук, С. I. Пастушенко. - К. : - Миколаш : РВВ МДАУ, 2004. - 286 с.
2. Корендясев, А. И. и др. Манипуляционные системы роботов [Текст] / А. И. Ко-рендясев, Б. Л. Саламандра, Л. И. Тывес; Под ред. А. И. Корендясева. - М. : Машиностроение,1989. - 471 с.
3. Адамовський, М. Г. Аналiз i перспективи використання трелювальних тракторш у люовому комплексi Украши [Текст] / М. Г. Адамовський, Б. Я. Бакай // Наук. вюник Укр-ДЛТУ: Лiсова шженерш: технiка, технолопя i довк1лля. - Львiв: УкрДЛТУ. - 2004, вип. 14.3. - С. 175-182.
4. Бакай, Б. Я. Формализация зоны действия гидравлических манипуляторов на лесопромышленных складах [Текст]/ Б.Я. Бакай// Актуальные проблемы лесного комплекса: сб. науч. тр. по итогам междунар. науч.-техн. конф./ Под ред. Е. А. Памфилова. - Брянск: БГИТА, 2006. - Вып. 16. - С. 3-7.
