CC BY
46
УДК 51-74:621 О.В. РЕПЕЦКИЙ
ББК 22.311 проректор по международной деятельности
Байкальского государственного университета экономики и права, доктор технических наук, профессор, г. Иркутск
e-mail: [email protected]
ФАН ВАН ТУАН
аспирант Байкальского государственного университета
экономики и права, г. Иркутск e-mail: [email protected]
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЛИЯНИЯ ФРИКЦИОННЫХ ДЕМПФЕРОВ НА КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Проведено построение стандартных фрикционных демпферных элементов для анализа колебаний лопаток турбин с фрикционным демпфером. Выполнен расчет для двух видов демпферов — круглого и трапециевидного — с применением метода прямого численного интегрирования.
Ключевые слова: математическая модель, трение, колебание, демпферы.
O.V. REPETSKIY
Vice Rector for International Relations, Doctor of Science in Engineering, Professor, Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk
e-mail: [email protected]
PHAN VAN TUAN
post-graduate student, Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk
e-mail: yeubeconlam @yahoo.com
CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODEL FOR ANALYSIS OF FRICTION DAMPERS INFLUENCES ON VIBRATION OF GAS TURBINE ENGINES’ BLADES
The authors construct standard friction damper elements for the vibration analysis of turbine blades with friction damper and make the calculation for two types of dampers — circle and trapezoidal — with the use of direct numerical integration method. Keywords: mathematical model, friction, vibration, damper.
Для устранения колебаний лопаток существует большое количество способов. Одним из них является использование фрикционных демпферов (ФД). Один из принципов работы ФД показан на рис. 1. Под действием центробежной силы Fд демпферы давят на полки, создают силу трения и приводят к уменьшению колебаний лопаток.
Самое обобщенное решение поставленной задачи может быть получено путем исследования системы лопатки-ФД как единой механической системы при моделировании конструкции с помощью трехмерных конеч-
ных элементов (КЭ). Тогда в каждый момент необходимо решить две задачи: статическую контактную задачу в зоне контакта между лопаткой и ФД и динамическую задачу системы. Результаты решения контактной задачи являются входными параметрами динамической задачи. Однако эта модель требует очень большого количества вычислений, причем возникает несходимость численных решений и можно говорить, что это неэффективная модель. Поэтому можно построить более простую модель решения данной задачи — на основе стандартных элементов
© О.В. Репецкий, Фан Ван Туан, 2011
фрикционных демпферов (ФДЭ). Требования для построения стандартных ФДЭ:
- точное отображение действия ФД на колебание лопаток;
- обеспечение простоты решения динамических уравнений системы.
^
Центробежная сила Рд
Фрикционный демпфер
Полка Сила трения
///'' III Рис. 1. Структура лопаток с фрикционными демпферами и виды демпферов
На рис. 2а показана трехмерная модель ФДЭ. Здесь ид — степени свободы демпфера, иП — степени свободы полки. Согласно этой модели, ФД характеризуется следующими параметрами: матрица жесткости [Кд], постоянная сила давления {Рд} = [0 0 Р]т, коэффициент трения ц.
К ]=
кХХ к.
кух к,
к„ к
ху
уу
к
Уz
1У
к
Контактные параметры включают: перемещения контактной точки на ФД {ид} =
= [хд Уд 2д]т; перемещения контактной точки на полке лопатки {иП} = [хП уП гП]Т; относительную скорость между ФД и полкой в момент /:
{йот }={ид }-{ип }
хд хп
Уд - Уп
гД гП
относительные перемещения между ФД и полкой в момент t {Ли} = {йот }dt; действующие силы от ФД на полку ^д} = [Тх Ту М]т. Работа ФДЭ включает три режима:
1. Режим залипания. В этом режиме ФД и полка являются одним целым — их относительная скорость равна нулю:
хд хп 0
К }=- уд - уп = 0
zд - zп 0
и гд = гП, а действующие силы от ФД на полку определяются выражением Т
К ].{д }+{р}
кхх хд + кху Уд
+ кх^ .*д
0
+ 0
Р
= -<кух хд + куу .Уд + кух .*д к?х хд + kzy Уд + kzz *д,
2. Режим скольжения, когда ФД и полка скользят относительно друг друга. Динамические уравнения этого режима:
zд = zп,
Т
^Nz
йху
хп хд
[Уп -Уд,
где \йх0у\ =
\1(хд хп) + (уд уп ) .
Скольжение
Рис. 2. Модели ФдЭ: а — трехмерная; б — одномерная
3. Режим открытия. ФД и полка не контактируют. Динамические уравнения имеют вид Хд = 0, уд = 0, гд = Р / кгг, Тх = 0, Ту = 0, Ы2 = 0.
Во время работы ФДЭ часто имеет место переход от одного режима к другому. Значения матрицы жесткости [Кд] и коэффициента трения р зависят от характеристик материалов, геометрии ФД и полки в зоне контакта. Определение значений этих параметров показано в [1-4].
Трехмерная модель является обобщенной моделью, изображающей действие ФД, и корректна для трехмерных задач. Однако для отдельных моделей ФД лучше использовать одномерную модель, чтобы уменьшить затраты компьютерного времени. Одномерная модель ФДЭ изображена на рис. 2б. Эта модель характеризуется параметрами: жесткость Кд, постоянная сила давления N и коэффициент трения ц.
Режимы работы ФДЭ показаны в табл. 1.
Таблица 1
Режимы работы ФДЭ
Режим залипания Режим скольжения
Т = к.Хд Т - хд = хп Т = -sign(XП ).цМ ■ 1 ■ хд = -^дп(хп )-к~ хд = хп
Моменты перехода между режимами определены соотношениями, приведенными в табл. 2.
Таблица 2
Моменты перехода между режимами работы ФДЭ
Залипание к скольжению Скольжение к залипанию
Г Г 1 хд = ^^ 1 хд = 7~ 1 к или 1 к [хп > 0 [хп < 0 |N хд =~т хп =0 или х п < 0 |N хд = — хп = 0 х п > 0
На практике мы часто встречаем ситуацию, в которой контакты происходят не по точкам, а по плоскостям или линиям. Тогда, согласно [4], контакты по плоскостям или линиям моделируются контактами дискретных точек и в каждой точке моделируются одним ФДЭ.
С данной моделью ФД влияние ФД на колебание лопатки осуществляется с учетом двух факторов: изменение собственных частот механической системы лопатки-ФД (в режиме залипания); изменение колебаний механической системы лопатки-ФД под действием внешних сил.
Динамические уравнения лопаток в МКЭ имеют вид
[М]{8} + [С]{8} + [К]{8} = ^)} + {/д}, (1)
где [М], [С], [К] — глобальные матрицы масс, вязкого демпфирования и жесткости; {8 }, {8}, {8} — глобальные векторы узловых ускорений, скоростей и перемещений; {F(t)} — глобальный вектор внешней динамической нагрузки; ^д} — глобальный вектор действующих сил на полку от ФД.
Рис. 3. Моделирование контактов дискретными ФдЭ: а — круглый демпфер; б — трапециевидный демпфер
Уравнение (1) является нелинейным уравнением. Оно не имеет аналитического решения и может быть решено только с использованием численных методов, таких, например, как метод прямого численного интегрирования (Ньюмарка, Вилсона, Рун-ге-Кутта и др.), метод гармонического баланса и др. Мы выбрали метод прямого численного интегрирования Ньюмарка и пакет программ ANSYS. Расчет выполняется для двух видов демпферов: круглого (с 6 ФДЭ) и трапециевидного (с 18 ФДЭ) (рис. 3). Материал лопатки: модуль Юнга Е — 2,01.е5 МПа; коэффициент Пуассона ^ — 0,3; плотность р — 7 700 кг/м3; жес-
ткость ФДЭ Кд = 5.е7 Н/м; сила давления Р = 6 Н (согласно [4]).
Первый шаг: анализ влияния ФД на свободные колебания лопаток. Модель анализа показана на рис. 4, результаты — на рис. 5.
Второй шаг: анализ влияния ФД на вынужденные колебания лопаток. Выражение вынужденной силы: Ех = 0,^п(юо^), где
~ 515 рад/с — угловая собственная частота лопатки, при которой происходит резонанс. На рис. 6а показана схема действия вынужденной силы, на рис. 6б — смещение вершины лопатки при резонансе без ФД. На рис. 7 показаны вынужденные колебания лопаток с трапециевидным ФД при резонансе.
Рис. 4. Модель анализа влияния Фд на свободные колебания лопаток: а — размеры модели; б — модель в ANSYS; в — схема действующей силы
Рис. 5. Смещение вершины лопатки при свободных колебаниях с Фд: а — с круглым демпфером; б — с трапециевидным демпфером, м
Рис. 6. Вынужденные колебания лопаток без Фд при резонансе: а — схема действия вынужденной силы Fx, Н; б — смещение вершины лопатки, м
(х10**-3) (х10**-5)
Рис. 7. Вынужденные колебания лопаток с трапециевидным Фд при резонансе: а — сила трения одного ФЦЭ, Н; б — смещение вершины лопатки, м
Время ^ Время
а б
Рис. 8. Смещение вершины лопатки при вынужденных колебаниях лопаток
с Фд при отсутствии резонанса: а — с круглым демпфером;
б — с трапециевидным демпфером, м
Следующим шагом выполнен расчет вынужденной силы Ех = О^^Юо./), где юс = 300 рад/с, при отсутствии резонанса. На рис. 8а показано смещение вершины лопатки с круглым ФД, на рис. 8б — с трапециевидным ФД.
Мы можем сделать следующие выводы:
- использование стандартных ФДЭ и дискретизаций упрощает расчет колебаний лопаток с ФД;
- трехмерный ФДЭ универсальнее одномерного ФДЭ, но в большинстве случаев достаточно использования одномерного ФДЭ;
- метод прямого численного интегрирования является эффективным методом решения систем нелинейных дифференциальных уравнений;
- при одинаковых значениях центробежной силы затухание колебаний при использовании круглого демпфера наступает быстрее, чем при использовании трапециевидного.
Список использованной литературы
1. Иванов A.C. Контактная жесткость неподвижных соединений деталей машин: дис. ... д-ра техн. наук. М., 2006.
2. Матвеев В.В. Исследование демпфирующей способности попарно бандажированных турбинных лопаток в зависимости от условий сопряжения их бандажных полок // Проблемы прочности. 1978. № 8.
3. Пыхалов A.A. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин: дис. ... д-ра техн. наук. М., 2006.
4. Dipl.-Ing. Lars Panning. Auslegung von Reiblementen zur Schwingungs-dampfung von Turbinenschaufeln / Institut fur Dynamik und Schwingungen. Universitat Hannover, 2005.
Bibliography (transliterated)
1. Ivanov A.S. Kontaktnaya zhestkost' nepodvizhnykh soedinenii detalei mashin: dis. ... d-ra tekhn. nauk. M., 2006.
2. Matveev V.V. Issledovanie dempfiruiushchei sposobnosti poparno bandazhirovannykh turbinnykh lopatok v zavisimosti ot uslovii sopryazheniya ikh bandazhnykh polok // Problemy prochnosti. 1978. № 8.
3. Pykhalov A.A. Kontaktnaya zadacha staticheskogo i dinamicheskogo analiza sbornykh rotorov turbomashin: dis. ... d-ra tekhn. nauk. M., 2006.
4. Dipl.-Ing. Lars Panning. Auslegung von Reiblementen zur Schwingungs-dampfung von Turbinenschaufeln / Institut fur Dynamik und Schwingungen. Universitat Hannover, 2005.
