CC BY
74
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 681.31,181.48
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД ГАЛЬВАНИЧЕСКОГО ПРОИЗВОДСТВА
© И. А. ПРОШИН1, В.В. КОНОВАЛОВ2 1Пензенская государственная технологическая академия, кафедра автоматизации и управления e-mail: [email protected] 2 Пензенская государственная технологическая академия, кафедра автоматизации и управления e-mail: [email protected]
Прошин И. А., Коновалов В. В. — Построение математических моделей эффективности очистки сточных вод гальванического производства // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011.
№ 26. С. 615—620. — Рассмотрены методы построения математических моделей при исследовании экологических проблем очистки сточных вод гальванического производства.
Ключевые слова: гальваническое производство, модель, экология
Proshin I. A., Konovalov V. V. — Construction of mathematical models in treatment of wastewater of galvanic manufacture // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 615—620. — We consider methods the construction of mathematical models to research environmental problems waste-water treatment galvanic manufacture.
Keywords: galvanic manufacture, model, ecology
Решение проблем экологической безопасности в нефтехимии связано со значительным объёмом накопления и обработки экспериментально-статистической информации. Очистка сточных вод гальванического производства, водной поверхности от загрязнений нефтью, создание экологически эффективных и экономически рациональных систем очистки сточных вод, являющихся чрезвычайно важными проблемами современных предприятий, немыслимы без использования современных систем контроля и обработки информации, управления.
Независимо от способа построения модели важным звеном её структурной и параметрической идентификации остаётся обработка экспериментально-статистической информации, получаемой либо в лабораторных условиях, либо при натурных испытаниях, либо с функционирующего объекта. Целью настоящей работы и является разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза математических моделей (ММ) для установления физико-химических особенностей очистки сточных вод от отходов гальванического производства, создание комплекса программ, обеспечивающего повышение эффективности обработки экспериментально-статистической информации при исследовании экологических проблем.
1. Общий подход к построению математических моделей по экспериментальным данным
В данной работе используется общий подход построения стохастических ММ, предложенный в работах [1, 2], основу которого составляют три следующих принципа.
• Систематизация ММ (базисных функций) по видам преобразования координат.
• Многоуровневый синтез и выбор пакетов функциональных зависимостей.
• Получение состоятельных, несмещённых и эффективных оценок ММ в преобразованных координатах.
Построение ММ нелинейных моделей на основе экспериментально-статистической информации включает этап выбора модели, т. е. определение её структуры. В работе ставится задача создания системы автоматизированного выбора структуры нелинейной модели, что определяет необходимость автоматического подбора нужной функциональной зависимости по совокупности экспериментальных данных.
Предложенный в [1-3] метод структурно-параметрического синтеза моделей по видам преобразования координат состоит в формировании функционально-полных наборов пакетов ММ по заданным видам функциональных преобразований ф(х) и у>(у) определённого х и результативного у признаков
^(у) г ^ у = (ао + а1ф(х))
ф(х) )
и в организации для каждого пакета множества линейно-зависимых математических моделей
^-1 (ао + аіф (х)) = {/Дао + аіх)} ,
наиболее полно отражающих физические закономерности исследуемого объекта.
С целью расширения набора функций и возможностей учёта различных нелинейностей в моделях предлагается проводить синтез моделей с многократным использованием одних и тех же видов преобразования координат:
фп ((фп-і('"<^ф (Г!(у))))))} ^ у = ^-1 (•••^-1 (^г1 (ао + аіф(х))))• (1)
Фт (Фт-1 ( • • • Ф2 (Ф1(х))) )
Здесь п и т - количество уровней преобразований результативного и определённого признаков.
Как уже отмечалось, одной из основных проблем построения моделей с использованием известных методов определения параметров моделей в преобразованных координатах является неэффективность получаемых оценок ММ. Для обеспечения построения ММ в преобразованных координатах разработан метод реверсивного преобразования координат (РПК) [2], обеспечивающий эффективность, состоятельность и несмещённость оценок моделей в непреобразованных координатах.
2. Анализ экспериментальных зависимостей исследования способов очистки сточных вод гальванических производств и выбор функций преобразования координат Исследования экологических проблем при очистке сточных вод гальванического производства связаны с анализом зависимостей влияния масс добавок различных материалов на эффективность очистки, с оценкой физикохимических свойств различных добавок и влияния pH среды на концентрацию различных компонент в растворе.
Анализ зависимостей эффективности очистки модельного раствора от дисперсности шлама и влияния массы добавки шлама, от температуры и длительности контакта [4] показывает, что все они могут быть представлены математическими моделями на основе пяти следующих функций: прямо пропорциональной X = х, логарифмической X = 1п х, гиперболической X = 1/х, степенной х” и экспоненциальной
3. Систематизация математических моделей по видам преобразования координат Первый принцип предложенного подхода [1-3] заключается в систематизации пакетов функций с использованием простейших видов преобразований координат результативного и определённого признака. Такой подход сводит процесс выбора к сравнению ограниченного и в то же время функционально полного набора функций, обеспечивает эффективность сравнительного анализа моделей.
Если в основу систематизации и приведения ММ к линейному виду в (1) и (2) положить прямо пропорциональное X = х, логарифмическое X = 1п х и обратно пропорциональное X = 1/ж преобразования, то для двух переменных при однократном их преобразовании можно получить девять видов функций. При пяти преобразованиях, взятых в качестве основных, можно синтезировать набор из 25 линейно независимых функций (табл. 1).
Таблица 1. Базисные функции с однократным преобразованием координат, синтезированные на основе пяти простейших преобразований
№ Вид ММ Исходное уравнение Преобразованные переменные
У X
1 Линейная у = ао + а1 • х у х
2 Линейно-гиперболическая у = ао + а1/х у 1/х
3 Линейно-логарифмическая у = ао + а1 • 1п х у 1п х
4 Линейно-экспоненциальная у = ао + а1 • ех у ех
5 Линейно-показательная у = ао + а1 • х” у х”
6 Обратная линейная у = —+— & ао+аі -х 1/у х
7 Обратная гиперболическая у = —+1 / * ао+аі/х 1/у 1/х
8 Обратная логарифмическая у ао+аі -1п х 1/у 1п х
9 Обратно-экспоненциальная у ао+аі *еж 1/у ех
10 Обратно-степенная у ао+аі -хп 1/у х”
11 Показательно-линейная у — еао + аі *х 1п у х
12 Показательно-гиперболическая у — еао + аі /х 1п у 1/х
13 Показательно-логарифмическая у = еао + аі*1п(х) 1п у 1п х
14 Бипоказательная у = еао + а1 *ех 1п у ех
15 Показательно-степенная ао+аі ■ х 1п у х”
16 Логарифмическо-линейная у = 1п (ао + а1 • х) еу х
17 Логарифмическо-гиперболическая у = 1п (ао + а1/х) еу 1/х
18 Билогарифмическая у = 1п (ао + а1 • 1п (х)) еу 1п х
19 Логарифмическо- экспоненциальная у = 1п (ао + а1 • ех) еу ех
20 Логарифмическо-степенная у = 1п (ао + а1 • х”) еу х”
21 Степенная-линейная у = ^ ао + а1 • х у” х
22 Степенная гиперболическая у = ^ ао + а1/х у” 1/х
23 Степенная-логарифмическая у = ^ ао + а1 • 1п(х) у” 1п х
24 Степенная-экспоненциальная у = а/ ао + а1 • ех у” ех
25 Бистепенная у = П ао + а1 • х” у” х”
В разработанной на базе предложенных принципов программе введена возможность выбора видов преобразования координат, а сам набор функций в сравнении с заданным в табл. 1 значительно расширен.
4. Схема построения стохастических математических моделей Структурная схема построения математической модели на базе предложенных принципов представлена на рис. 1.
Выбор
преобразований_______^
координат
~~М(Г)"={~М (2~)У
Синтез N функциональнополного, линейнонезависимого набора пакетов
Выбор уровня ________|\
преобразований I/
М (1)= {N422} Выбор паь^та
М (2 )
М (2)= ^І3І> Расчёт оценок М (3)
Первичная обработка экспериментально-статистической информации
Л'
Исходные данные
Искомая математическая модель
Перерасчёт оценок параметров ММ
Выбор общих закономерностей
Выбор из ранжированных пакетов моделей удобной формы записи
Синтез многофакторной модели
Выбор единой системы координат Г
Ранжирование пакетов по заданному критерию
8 и
б а
о Н с н ш н
2 «
й а
Рис. 1. Схема построения стохастических математических моделей Структурная схема (рис. 1) включает в себя следующие процедуры:
1. Синтез функционально - полных пакетов ММ. Наборы пакетов моделей задаются видом и уровнем преобразования координат.
2. Предварительная обработка экспериментально - статистической информации, включающая нормировку, сглаживание и преобразование исходных данных в соответствии с выбранными видами и уровнем координатных преобразований.
3. Структурная и параметрическая идентификация математических моделей.
4. Ранжирование пакетов математических моделей по заданному критерию (минимум среднеквадратического отклонения или относительной ошибки).
5. Накопление пакетов полученных математических моделей и исходных данных.
6. Получение однофакторных и многофакторных моделей удобной формы записи, описывающих общие закономерности рассматриваемых явлений.
Предложенные принципы систематизации и многоуровневого преобразования координат - основа синтеза функционально - полных линейно - независимых наборов пакетов математических моделей в первом блоке.
Во втором блоке производится преобразование экспериментальных данных в соответствии с заданными видами и уровнем преобразования координат. Использование в третьем блоке метода РПК обеспечивает получение состоятельных, несмещенных и эффективных оценок при структурной и параметрической идентификации математических моделей.
Накопленная в блоке 5 экспериментально-статистическая информация и ранжированные в блоке 4 пакеты моделей используются на заключительном этапе построения математических моделей в блоке 6.
В блоке 6 решаются четыре основные задачи:
• получение однофакторной математической модели удобной формы записи (выбор из пакета линейнозависимых моделей - модели удобной формы записи);
• выбор единой системы координат для результативного признака и синтез многофакторных моделей по совокупности однофакторных экспериментов;
• выбор общих оценок параметров моделей по совокупности разнородных экспериментов с однотипными переменными;
• пересчет оценок параметров математических моделей для выбранной структуры и формы.
На основе представленной структурной схемы разработан программный комплекс структурно-параметрического синтеза математических моделей. Результаты исследования, полученных методами РПК, последовательного спуска с полиномиальной аппроксимацией (ПСПА) и методом наименьших квадратов (МНК) математических моделей, на основе экспериментальных данных, приведены на рис.2 и в табл. 2.
Рис. 2. Графики модели У=1/(Ьп(Ьп(А0+А1* *Ехр(1/(Ехр(Х)))))) с параметрами А1, А0, рассчитанными тремя методами МНК, РПК, ПСПА
Табл. 2. Параметры рассчитанных математических моделей
Название метода Модель Ост. дисп. Сред. зн. от. ош. на инт.
МНК y=1/(Ln(Ln( - 20.146+26.024*Exp(1/(Exp(x)))))) 0.421 0.5S094
РПК y=1/(Ln(Ln( - 67.972+72.280*Exp(1/(Exp(x)))))) 0.017 0.11694
ПСПА y=1/(Ln(Ln( - 68.244+72.559*Exp(1/(Exp(x)))))) 0.016 0.11655
Поскольку процедура выбора вида математической модели предполагает сравнение между собой большого числа линейно независимых функций, а, следовательно, и вычисление параметров для каждой ММ в процессе структурной идентификации, использование методов многомерной оптимизации для определения оценок параметров оказывается дорогостоящим с точки зрения вычислительных затрат. Кроме того, при некоторых комбинациях результативного и определённого признаков такие методы требуют установки дополнительных условий, что затрудняет их программирование.
Предлагаемый способ расчёта оценок параметров ММ свободен от вышеперечисленных недостатков. Так, например, трёх уровневый выбор математической модели с использованием метода расчёта оценок покоординатного спуска с полиномиальной аппроксимацией (ПСПА) для двадцати экспериментальных точек при применении ЭВМ класса P5/16 занимает 1 час 40 минут, в то время как расчёт с применением предложенного метода - 20 секунд, что сравнимо со временем, затраченным на поиск при использовании метода наименьших квадратов (МНК) в преобразованных координатах - 18 секунд. Вместе с тем, как показывают расчёты во всех случаях оценки, полученные с использованием предлагаемых методов, близки к точным и значительно превосходят по точности оценки, получаемые методом наименьших квадратов в преобразованных координатах, что свидетельствует об их высокой эффективности.
Проведенные исследования предложенных подходов и принципов, разработанных методов к исследованию способов очистки сточных вод гальванического производства от ионов Fe2+, Fe3+, Zn2+ сталеплавильным шлаком показали их высокую эффективность и преимущества перед существующими методами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прошин И.А., Прошин Д.И., Мишина Н.Н., Прошин А.И., Усманов В.В. Математическое моделирование и обработка информации в исследованиях на ЭВМ. Пенза: ПТИ, 2000. 422 с.
2. Прошин И.А., Прошин Д.И., Прошина Н.Н. Структурно-параметрический синтез математических моделей в задачах обработки экспериментально-статистической информации. Пенза: ПГТА, 2007. 178 с.
3. Прошин И.А., Прошин Д.И., Прошина Р.Д. Структурно-параметрический синтез математических моделей объектов исследования по экспериментальным данным // Вестник Астраханского государственного технического университета. Сер. Морская техника и технология. 2009. №1. С. 110-115.
4. Лупандина Н.С., Кирюшина Н.Ю., Свергузова Ж.А., Ельников Д.А. Использование производственных отходов для очистки сточных вод // Экология и промышленность России. 2010. Май. С. 38-41.
