Построение критерия прочности углерод-углеродного композиционного материала типа 4ДЛ при трехосном напряженном состоянии

Барышев А.Н.; Цветков С.В.

УДК 539.4:620.17 DOI 10.18698/0536-1044-2017-6-78-85

Построение критерия прочности углерод-углеродного композиционного материала типа 4ДЛ при трехосном напряженном состоянии

А.Н. Барышев, С.В. Цветков

НИИСМ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1

Building the Strength Criterion of Carbon-Carbon Composite Material of the 4DL Type Under Triaxial Stress

A.N. Baryshev, S.V. Tsvetkov

BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1 e-mail: abaryshev@inbox.ru, sergejtsvetkov@mail.ru

Объемно-армированные углерод-углеродные композиционные материалы применяют для изготовления изделий, в которых, как правило, при эксплуатации возникает трехосное напряженное состояние. Поэтому разработка анизотропного критерия прочности для такого класса материалов при трехосном нагружении является актуальной задачей. Углерод-углеродный композиционный материал типа 4ДЛ имеет каркас, состоящий из четырех семейств прямолинейных армирующих элементов. Из анализа структуры данного композита следует, что по свойствам симметрии материал относится к гексагональному классу D6. Рассмотрены тензорно-полиномиальная и инвариантно-полиномиальная формулировки анизотропного критерия прочности. Показано, что для материалов, структура которых имеет класс симметрии D„ (4 < n < ro) тензорно-полиномиальный критерий второй степени не описывает прочностные свойства. Для углерод-углеродного композиционного материала типа 4ДЛ этот критерий должен иметь степень не ниже 4. Установлены требования к виду инвариантно-полиномиальной формулировки критерия прочности, вытекающие из особенностей симметрии структуры углерод-углеродного композиционного материала типа 4ДЛ.

Ключевые слова: углерод-углеродный композиционный материал, структура 4ДЛ, симметрия структуры, критерий прочности, инвариантно-полиномиальная формулировка, тензорно-полиномиальная формулировка.

Three-dimensional reinforced carbon-carbon composite materials are used for manufacturing products that are usually subjected to triaxial stress during operation. Thus, the development of the anisotropic strength criterion for this class of materials under triaxial stress becomes an important task. Carbon-carbon composite material of the 4DL type has a frame consisting of four families of straight-lined reinforced elements. The structural analysis shows that with regards to the symmetry properties, the material belongs to the hexagonal class D6. The tensor-polynomial and invariant-polynomial formulations of the anisotropic strength criterion are analysed. It is shown that for the materials of the Dn (4 < n < ro) symmetry class, the tensor-polynomial criterion of the second degree does not describe strength properties. For carbon-carbon composite material of the 4DL type, the degree of this criterion should not be lower than four. The authors specify the requirements to the invariant-polynomial formulation of the strength criterion that are determined by the structure symmetry of the carbon-carbon composite material of the 4DL type.

Keywords: carbon-carbon composite material, 4DL structure, symmetry of structure, strength criterion, invariant-polynomial formulation, tensor-polynomial formulation.

Для расчета конструкций, выполненных из композиционных материалов, используют набор их характеристик, полученных, как правило, экспериментальным путем. К таким характеристикам относится и критерий прочности композита, определяющий возможность его разрушения в зависимости от значений компонент тензора напряжений в материале.

Феноменологический критерий прочности представляет собой математическое выражение, включающее в себя компоненты тензора напряжений а^ и несколько констант Ск, которые находят из результатов испытаний. Самое общее выражение для такого критерия имеет вид

I(,Ск ) = 1. (1)

Предложено большое количество различных критериев прочности анизотропных материалов [1, 2]. Первоначально композиционные материалы использовали в тонкостенных элементах (пластинах и оболочках) конструкций, находящихся при эксплуатации в двухосном напряженном состоянии. Поэтому многие из разработанных методов расчета и проектирования композитных конструкций пригодны только для таких случаев.

По мере расширения сферы применения композиционных материалов большое значение приобретает разработка методов описания прочности композитов при трехосном напряженном состоянии [3-8]. Объемно-армированные углерод-углеродные композиционные материалы (УУКМ) используют для изготовления изделий, в которых, как правило, при эксплуатации возникает трехосное напряженное состояние. Поэтому разработка критерия прочности для случая трехосного напряженного состояния наиболее актуальна для таких материалов [9].

Критерию прочности в шестимерном пространстве напряжений ап-а22-СТзз-СТ2з-СТ1з-СТ12 соответствует поверхность прочности, которая должна отвечать ряду требований. В частности, она должна быть односвязной и замкнутой. Незамкнутость допустима только со стороны гидростатической оси (ац = а22 = азз) в области всестороннего сжатия при наличии экспериментального подтверждения.

Можно говорить о гибкости критерия прочности. Чем большее количество констант вхо-

дит в состав выражения для критерия, тем он гибче, т. е. он способен описать более сложные зависимости, которым соответствуют разнообразные механизмы разрушения. Предложено несколько обобщенных критериев прочности, в выражении для которых количество констант может быть неограниченно, и выбирается исходя из желаемой точности описания экспериментальных данных.

Цель работы — рассмотреть возможности некоторых критериев прочности для описания прочности УУКМ типа 4ДЛ.

Симметрия структуры УУКМ типа 4ДЛ. Схема армирования УУКМ типа 4ДЛ показана на рисунке, где каркас материала состоит из четырех семейств параллельных волокон, соединенных углеродной матрицей. Волокна семейства а направлены вертикально. Волокна семейств Ь, с и й параллельны горизонтальной плоскости. Углы между волокнами семейств Ь и с, с и й равны 60°. Плотность волокон в семействах Ь, с и й одинакова. Введем прямоугольную систему координат ОХ^Хз. Ось ОХз направлена вдоль волокон семейства а, а ось ОХ1 — вдоль волокон семейства Ь. Как видно из рисунка, структура материала обладает тремя поворотными осями симметрии (ПОС) второго порядка, параллельными осям ОХ1, ОХ2 и ОХз. Оси симметрии можно выбрать так, что они будут пересекаться в одной точке. Таким образом, УУКМ типа 4ДЛ по свойствам симметрии структуры

Х3

Схема армирования УУКМ типа 4ДЛ

(2)

относится к точечной группе Б2 (обозначение групп симметрии по Шенфлису [10]).

При рассмотрении объема материала, размеры которого достаточно велики по сравнению с диаметром армирующих элементов, его можно считать сплошной средой, где направления Ь, с и й эквивалентны. Тогда к числу элементов симметрии необходимо добавить ПОС шестого порядка, параллельную оси ОХз. Такой материал имеет точечную группу симметрии Бб.

Тензорно-полиномиальный критерий прочности. Многие из известных критериев прочности анизотропных материалов (критерии Мизеса-Хилла, Хоффмана, Марина, Цая-Ву и др.) являются частными случаями тензорно-полиноми-ального критерия [2], который в свою очередь можно рассматривать как частный случай критерия Гольденблата-Копнова [1].

В общем случае тензорно-полиномиальный критерий разрушения (критерий Малмейстера) [11] записывается следующим образом:

Щ <5ц + Щук1 <5ц+ ЩытпЪц®тп + ... = 1;

I,у, к, 1,т,п = 1, 2, 3,

где Щ, Щук1, ЩукЫп, — — компоненты тензоров прочности, определяемые по результатам экспериментов.

Количество слагаемых в выражении (2) и, следовательно, количество тензоров выбирают исходя из желаемой точности описания экспериментальных данных. В соответствии с принципом Неймана [10] компоненты тензоров связаны соотношениями = ;

Щук1п = РгтРупРкрР^Рг^РshFmnpqgh ;

i, у, к, I, г, s, т, п, р, q, g, h = 1,2,3.

Здесь (Ру) — матрица преобразований координат, принадлежащая группе симметрии структуры материала Ст. Таким образом, компоненты тензоров Щ, Щук1, Щук1п, — не являются независимыми.

Самый общий вид квадратичного варианта тензорно-полиномиального критерия (критерия Цая-Ву) описывается выражением

ЩуОу + Щук1 Оу<5к1 = 1. (3)

Этот критерий часто используют для описания прочности ортотропных и трансверсально-

изотропных материалов. Покажем, что для анизотропных материалов, имеющих класс симметрии структуры Бп (4 < п < т. е. структуры с ПОС п-го порядка, данный критерий неприменим.

Заметим, что, согласно классической теореме кристаллофизики для кристаллических материалов, значениями п могут быть 2, 3, 4 и 6 [10]. После открытия квазикристаллов с ПОС пятого порядка [12] взгляды на возможные виды анизотропии материалов были пересмотрены. Среди последних найдены такие, которые содержат ПОС восьмого, десятого и двенадцатого порядков. Квазикристаллические и композиционные материалы могут иметь ПОС любого порядка.

Предположим, что для материала с симметрией структуры группы Бп прочностные свойства описываются тензорно-полиномиальным критерием второго порядка (3). Для случая плоского напряженного состояния в плоскости, нормальной к ПОС п-го порядка, квадратичный критерий прочности принимает вид

ЩцОц + ^22^22 + Дш^и + ^2222^22 + 2^1122^11^22 +

+ 2^112^11^12 + 2^2212^22^12 + ^1212^2 = 1. (4)

Ось ОХ1 является ПОС второго порядка. Отсюда следует, что прочность материала не зависит от знака касательных напряжений. Поэтому в выражении (4)

ЩШ2 = 0 и Щш2 = 0.

Ниже докажем, что если прочность материалов классов симметрии структуры Лп описывается выражением (3), то должны выполняться следующие соотношения:

Щ11 = Щ>2; (5)

Щ1111 + Щ>222 = 21\122 + Щ_212 ; (6)

Щ1111 = Щ2222 . (7)

Доказательство соотношений (5)-(7). Рассмотрим анизотропный материал, структура которого по свойствам симметрии относится к классу Бп (п > 4), в системе координат ОХ1Х2Х3. При этом оси ОХ3 и ОХ1 — ПОС п-го и второго порядка соответственно. Покажем, что если прочность этого материала при двухосном напряженном состоянии с нагружением в плоскости ОХ1Х2 описывается квадратичным критерием прочности

FnOn + F22 ^22 + + F2222^22 +

+ 2FU22^11^22 + Fm2^22 = 1, (8)

то справедливы соотношения (5)-(7).

Пусть материал имеет прочность на сдвиг То, т. е.

F.212 Т2 = 1. (9)

Напряженное состояние чистого сдвига при а12 = т0 по прочностным свойствам эквивалентно таковому при значениях напряжений а11 = т0 sin2a;

а22 =-x0sin2a; (10)

а12 = т0 cos2a,

а также при

а11 = — т0 sin2a;

^22 = То sin2a; (11)

а12 = т0 cos2a,

где а = 2л/и.

Тогда выражение (8) принимает вид с учетом соотношений: • (10)

Д1х0 sin2a — F22т0 sin2a + F1111t0 sin2 2а + + F2222 т0 sin2 2а — 2F.122 т0 sin2 2а +

+ F1212TO cos2 2а = 1, (12)

• (11)

—Д1хо sin2a + F22 т0 sin2a + F1111t2 sin2 2а + + F2222 т0 sin2 2а — 2F.122 т0 sin2 2а +

+ F1212TO cos2 2а = 1. (13)

Из формул (12) и (13) получим (Fn — F22 ^т2а = O. Поскольку а Ф 90°, имеем

F11 = Fu. (14)

Из выражений (12), (14) и (9) следует

F1111 + F2222 = 2F1122 + F1212. (15)

Если материал имеет предел прочности при растяжении вдоль оси ОХ1, равный ао, то

Fnao + FnnaO = 1. (16)

Однако растяжение вдоль оси ОХ1 при напряжении ао эквивалентно одноосному растяжению вдоль направления под углом а = 2л/n к оси ОХ1, т. е. напряженному состоянию с компонентами

2

а11 = а0 cos2 а;

а22 = ао sin2 а; (17)

а12 = -а0 sin а cos а.

Тогда для напряженного состояния (17) имеем

Fna0 cos2 а + F22a0 sin2 а + F11na0 cos4 а + + F2222 а2 sin4 а + 2F1122a0 sin2 а cos2 а +

+ Fi212a0sin2 а cos2 а = 1. (18)

Из формул (16) и (18) получим

F11G0 + Fnna0 = FUG0 cos2 а + £>200 sin2 а + + Fnna2 cos4 а + £2222^5 sin4 а +

+ 2F1122a0 sin2 а cos2 а + Д212а0 sin2 а cos2 а.

Отсюда с учетом выражений (14) и (15)

(111 - F2222 )sin2 а = 0. (19)

Поскольку угол а Ф 0°, из уравнения (19) следует

F1111 = F2222 .

Таким образом, доказаны соотношения (5)-(7).

При одноосном нагружении материала вдоль оси ОХ1, если напряжение Стц соответствует пределу прочности при растяжении или сжатии в направлении оси ОХ1, то из выражения (4) имеем

Fnan + Fnna21 = 1. (20)

Из формулы (20) следует, что величины F11 и F1111 связаны с техническими пределами прочности материала на растяжение П+1 и сжатие П-1 вдоль оси ОХ1 соотношениями

-F11 +V F121 + 4F1111 П+1 =-—-;

2F1111

-F11 F121 + 4F1111 П-1 =-.

2F1111

Пусть рассматриваемый материал со структурой класса Dn нагружен напряжением а0 в направлении под углом Р к оси ОХ1. Тогда компоненты тензора напряжений примут следующие значения:

an = a cos2 Р; a22 = a sin2 Р; а12 = а0 sin Р cos р.

Для значения напряжения а0, при котором происходит разрушение материала, должно выполняться условие

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

iiiСто cos2 Р + F22O0 sin2 Р + FnnCT2 cos4 Р +

+ F2222CTO sin4 Р + 2F1122CT2 sin2 Р cos2 Р + + F1212CTO sin2 Р cos2 Р = 1.

критерия прочности анизотропного материала [16]

(21)

AiIi + AijIilj + AijkliljIk +... = 1 (i, j, k... = 1, 2,..., n),

(23)

Преобразовав формулу (21) с учетом соотношений (5)-(7), получим

РцСТо + РццстО = 1. (22)

Выражение (22) имеет тот же вид, что и соотношение (20). Таким образом, при одноосном растяжении под углом получим то же разрушающее напряжение, что и при нагружении вдоль оси ОХ1, т. е. для материала с симметрией структуры класса Бп (4 < п < в том числе и для УУКМ типа 4ДЛ, квадратичный критерий предсказывает прочность при одноосном растяжении и сжатии в плоскости ОХ1Х2, не зависящую от направления. Эксперименты показывают, что это не соответствует действительности. Например, в работе [13] приведены результаты прочностных испытаний квазиизотропных материалов с симметрией структуры Бб и Бв.

Таким образом, квадратичный критерий не подходит для описания прочности материалов с симметрией структуры класса Бп (4 < п <

Выражения типа (2) нечетной степени также нельзя использовать в качестве критерия прочности, так как всегда найдется такая плоскость, проходящая через начало координат в пространстве СТ11-СТ22-СТ33—СТ23-СТ13—СТ12, что сечение поверхности прочности этой плоскостью будет представлять кривую нечетной степени. Известно, что «все линии первого, третьего, пятого, седьмого и вообще нечетного порядка имеют по меньшей мере две бесконечные ветви, простирающиеся в двух прямо противоположных направлениях» [14].

Отсюда можно сделать вывод, что для описания прочности УУКМ типа 4ДЛ критерий прочности должен быть четной степени не ниже 4.

Инвариантно-полиномиальный критерий прочности. Функция /(СТу, Ск) в формуле (1) является инвариантом относительно группы симметрии структуры материала От, поэтому ее можно представить как функцию от базиса инвариантов для группы От. Если в качестве базиса инвариантов взять полиномиальный базис (целый рациональный базис [15]), то получим инвариантно-полиномиальную формулировку

где I1, I2, 1з, ..., In — инварианты, входящие в состав полиномиального базиса относительно группы Gт; n — количество инвариантов в полиномиальном базисе.

В выражении (23) проводится суммирование по повторяющимся индексам, но Ai, Aij, Aijk , . являются не компонентами тензоров, а константами, определяемыми из результатов испытаний, значения которых не зависят от выбранной системы координат. Количество слагаемых в выражении (23) выбирают исходя из желаемой точности описания экспериментальных данных.

В состав критерия прочности входят инварианты [17]:

для материала класса D6

I1 = СТ33; I2 =СТ11 + СТ22; I3 =СТПСТ22 -СТ^;

I4 =СТ11 ( + 6СТ11СТ22 -12ст22 +9СТ22);

I5 = ст2з + ст2з; I6 =Ст^з(СТ—3СТ) ;

I7 = СТцСТ^з +CT22CTJi3 —2СТ12СТ13СТ23 ;

Т43 +2СТ22 ст4з

I8 = СТцСТ^з + 3СТцСТ^3 + 2СТ22 СТ^ + 6СТ22 CTJ!3CT^3 —

13

12ст13СТ23;

— lr-?2 ^Пк К___Ъ„2 ± Лг*2 \„2

— 8ст12ст33ст23 ;

1д = ( + 2СТПСТ22 " 3СТ22 + 4СТ22 ) СТ23 -- 2( + 3СТцСТ22)( + СТ23) + ^СТцСТ12СТ 13СТ23 ;

для трансверсально-изотропной структуры 11 = СТ33; /2 =стп + СТ22; /э = СТ11СТ22 -<СТ2; ¡4 = СТ23 +СТ^3; /5 =|СТу |.

Наборы инвариантов степени не выше второй для случая трансверсальной изотропии и для материала класса Бб совпадают, поэтому инвариантно-полиномиальные критерии прочности второго порядка формулируются одинаково. По этой причине критерий второй степени не способен отразить отличия прочностных свойств трансверсально-изотропной и гексагональной структур.

Для выявления различий между трансвер-сально-изотропной и гексагональной структурами при построении критерия прочности следует использовать инварианты тензора напряжений, входящие в состав полиномиального базиса относительно группы Бб, но не являющиеся инвариантами для трансверсально-изо-

тропной группы. К таким инвариантам относятся Ц, I;, !7, Ь, I), порядок которых больше 2. Инварианты ^ и ^ имеют порядок з, инварианты I; и I) — 4, инвариант ^ — 5. Таким образом, инвариантно-полиномиальный критерий для материала класса симметрии D6 не может иметь порядок 2. С учетом того, что критерий не может быть полиномом нечетной степени, наименьший порядок критерия равен 4.

Заметим, что при построении критерия для случая, когда материал нагружен только нормальными напряжениями ац, а22 и азз, инварианты !б = Ь = I8 = I) = 0. Из инвариантов степени выше второй только !4 ^ 0. Таким образом, в состав критерия прочности четвертой степени (формула (2з)) должны входить слагаемые вида А4!4, 2A14I1I4 и 2A24I2I4.

При тензорно-полиномиальном подходе к построению критерия прочности для УУКМ типа 4ДЛ возникают сложности. Необходимо вводить в выражение (2) тензоры восьмого ранга, вид которых для различных классов

Литература

симметрии не исследован. В случае инвариантно-полиномиального подхода при построении критерия прочности любой степени трудностей не возникает.

Выводы

1. Тензорно-полиномиальный критерий второй степени не описывает прочностные свойства УУКМ типа 4ДЛ.

2. Критерий прочности для материала структуры 4ДЛ должен иметь четную степень не ниже 4.

3. Инвариантно-полиномиальная формулировка критерия прочности обладает рядом преимуществ по сравнению с тензорно-полиномиальной.

4. При построении такого критерия через полиномиальные инварианты для материалов, имеющих симметрию структуры гексагональных классов, выражение для него должно содержать инвариант I4 = а11(а^!1 +6а11а22 -12а5!2 +9а22).

[1] Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности композицион-

ных материалов. Москва, Машиностроение, 1968. 192 с.

[2] Ву Э.М., Сендецки Дж., ред. Феноменологические критерии разрушения анизотропных

сред. Т. 2: Механика композиционных материалов. Москва, Мир, 1978, с. 401-491.

[3] Hinton M.J., Kaddour A.S. Triaxial test results for fibre-reinforced composites: The Second

World-Wide Failure Exercise benchmark data. Journal of Composite Materials, 2013, vol. 47, is. 6-7, pp. 653-678.

[4] Zand B., Butalia T.S., Wolfe W.E., Schoeppner G.A. A strain energy based failure criterion for

nonlinear analysis of composite laminates subjected to triaxial loading. Journal of Composite Materials, 2012, vol. 46, is. 19-20, pp. 2515-2537.

[5] Zhou Y.X., Huang Z-M. A bridging model prediction of the ultimate strength of composite

laminates subjected to triaxial loads. Journal of Composite Materials, 2012, vol. 46, is. 6-7, pp. 2343-2378.

[6] Rotem A. The Rotem failure criterion for fibrous laminated composite materials: three di-

mensional loading case. Journal of Composite Materials, 2012, vol. 46, is. 6-7, pp. 23792388.

[7] Zhang D., Xu L., Ye J. Prediction of failure envelopes and stress strain curves of fiber compo-

site laminates under triaxial loads: comparison with experimental results. Journal of Composite Materials, 2013, vol. 47, is. 6-7, pp. 763-776.

[8] Doudican B.M., Zand B., Amaya P., Butalia T.S., Wolfe W.E., Schoeppner G.A. Strain energy

based failure criterion: comparison of numerical predictions and experimental observations for symmetric composite laminates subjected to triaxial loading. Journal of Composite Materials, 2013, vol. 47, is. 6-7, pp. 848-866.

[9] Gu Z., Gao Q., Zhang W. Nonlinear bimodulus model and strength criterion of 3D carbon-

carbon material. Journal of Composite Materials, 1989, vol. 23, is. 10, pp. 988-996.

[10] Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. Москва, Наука, 1975. 680 с.

[11] Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига, Зинатне, 1980. 572 с.

[12] Векилов Ю.Х., Черников М.А. Квазикристаллы. Успехи физических наук, 2010, т. 180, № 6, с. 561-586, URL: http://ufn.ru/ru/articles/2010/6/a/. doi:10.3367/UFNr.0180.201006a.0561.

[13] Sun C.T., Zhou S.G. Failure of quasi-isotropic composite laminates with free edges. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 1988, vol. 7, pp. 515-557.

[14] Ньютон И. Математические работы. Перечисление кривых третьего порядка. Москва, Книжный дом «Либроком», 2012, с. 194-209.

[15] Спенсер Э. Теория инвариантов. Москва, Мир, 1974. 58 с.

[16] Зиновьев П.А., Цветков С.В. Инвариантно-полиномиальный критерий прочности анизотропных материалов. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 1994, № 4, с. 140-147.

[17] Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. Москва, Мир, 1965. 455 с.

References

[1] Gol'denblat I.I., Kopnov V.A. Kriterii prochnosti i plastichnosti kompozitsionnykh materialov

[Criteria of strength and plasticity of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1968. 192 p.

[2] Fenomenologicheskie kriterii razrusheniia anizotropnykh sred. Mekhanika kompozitsionnykh

materialov [Phenomenological criteria of fracture of anisotropic media. Mechanics of composite materials]. Vol. 2. Ed. Vu E.M., Sendetski Dzh. Moscow, Mir publ., 1978, pp. 401-491.