Критерии прочности однонаправленного органопластика при трехосном напряженном состоянии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4

Г. Г. Кулиш, С. В. Цветков

КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ОРГАНОПЛАСТИКА ПРИ ТРЕХОСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Сформулированы требования к поверхности прочности анизотропного материала для случая трехосного напряженного состояния. Предложены варианты критериев прочности и построены поверхности прочности, описывающие экспериментальные данные. Проведено сравнение предложенных критериев прочности.

E-mail: sergejtsvetkov@mail.ru

Ключевые слова: инварианты, органопластик, высокое давление, критерии прочности.

Феноменологический критерий прочности анизотропного материала связывает возможность разрушения со значением тензора напряжений Uij в материале и выражается в общем виде соотношением

f (*у) = 1- (1)

В выражение для критерия входит набор констант, характеризующих прочностные свойства материала.

Критерию прочности соответствует поверхность прочности для общего случая в шестимерном пространстве напряжений а и — а22 — а33 — —а13 — а23 — а 12, к которой предъявляются следующие требования:

— поверхность прочности должна быть односвязной и замкнутой (возможна незамкнутость со стороны гидростатической оси в области всестороннего сжатия);

— начало координат должно находиться внутри поверхности прочности;

— контуры прочности, которые получаются на пересечении поверхности прочности и координатных плоскостей, должны быть замкнуты;

— поверхность прочности должна проходить через точки, которые определяются техническими характеристиками прочности материала, т.е. пределами прочности при одноосном растяжении и одноосном сжатии в трех взаимно перпендикулярных направлениях и пределами прочности на сдвиг в трех взаимно перпендикулярных плоскостях;

— луч, выходящий из начала координат, должен иметь одну точку пересечения с поверхностью прочности (если луч направлен по гидростатической оси, то он может не пересекаться с поверхностью прочности);

— иногда на поверхность прочности накладывается условие выпуклости по аналогии с требованием к поверхности пластичности, но данное требование не обязательно.

По свойствам симметрии структуры композиционные материалы, армированные волокнами в одном направлении, относятся к трансвер-сально изотропным материалам. Этот класс материалов имеет обозначение по Шенфлису [1]. Как и всякий инвариант, функция /(а^) может быть выражена через функциональный базис инвариантов тензора напряжений для данной группы симметрии. Для группы симметрии функциональный базис состоит из пяти инвариантов [2]. Если материал рассматривается в прямоугольной системе координат ОХ^2Х3, у которой ось ОХ3 направлена по оси трансверсальной изотропии, то инварианты функционального базиса имеют вид

Л = а33; ^2 = а11 + а22; /з = а11а22 + а22! Д = а23 + а23! = \аг3

(2)

Преобразованный набор инвариантов, очевидно, также может быть принят за функциональный базис [3]:

71 = /1 + ^2 = а11 + а22 + а33;

72 = 2/1 — /2 = 2^33 — си — ^22;

73 = 9/3 — 3(/1 + /2)/2 + (/1 + /2)2 =

= (2а11 — а33 — а22)(2а22 — а33 — а11) — 9а22;

т т а2 , 2 . (3)

74 = = а13 + а23;

75 = 27/5 — 9(/1 + /2)(/3 — /4 + /1/2) + 2(/1 + /2)3 =

= (2^11 — С22 — С33)(2с22 — Сц — ^33)^33 — С11 — С22) +

+ 54^12^23^13 — 9(2а11 — С22 — ^33)^^3 —

— 9(2а33 — а11 — а22)а22 — (2а22 — а11 — а33)а23-

В отличие от базиса (2) базис (3) характеризуется тем, что инвариант 71 пропорционален гидростатической составляющей тензора напряжений, а инварианты 72,73,74,75 не зависят от этой составляющей.

Самый общий вид квадратичного критерия прочности (критерий Цая-Ву) для трансверсально изотропного материала симметрии структуры в инвариантно-полиноминальной формулировке:

А71 + А2 72 + А11Л + А22722 + 2^77 + А3 73 + А4 74 = 1. (4)

В тензорно-полиномиальной формулировке этот критерий может быть записан как

Рц а'г] + ^'тп^'тп 1) (5)

где константы ^, выражаются через Аг, Л^ [3].

В работе [3] показано, что некоторые частные случаи квадратичного критерия отличаются тем, что в них по-разному учитывается гидростатическая составляющая тензора напряжений, т.е. инвариант Л1.

Если предположить, что прочность материала не зависит от гидростатического давления, то получим критерий Мизеса-Хилла:

Л2231 + Аз 7э + А4 Л = 1. (6)

В выражение для критерия Хоффмана гидростатическая составляющая тензора напряжений входит линейно. Этот критерий выражается зависимостью

АЛ + Л232 + Л2231 + Аз 7з + А4 Л = 1. (7)

Рассмотрим некоторые критерии прочности для однонаправленного органопластика в случае трехосного напряженного состояния.

Экспериментальные данные по прочности этого материала, полученные во время испытаний при трехосном напряженном состоянии, приводятся в работах [4-6]. Эксперименты проводились на установке высокого давления. При этих испытаниях на напряженное состояние одноосного сжатия, одноосного растяжения или сдвига материала накладывалось гидростатическое давление до 300 МПа.

Использовались трубчатые и кольцевые образцы органопластика, изготовленные методом намотки жгута волокна СВМ, пропитанного эпоксидной смолой ЭДТ-10.

На рис. 1 показаны элемент исследуемого однонаправленного органопластика и компоненты тензора напряжений, которые были отличны от нуля при проведенных экспериментах. Элемент материала рассматривается в системе координат, у которой ось ОХ3 располагается вдоль направления армирования (ось трансверсальной изотропии).

В табл. 1 приведены значения компонент тензора напряжений, при которых разрушался исследуемый материал. Данные взяты из работ [4-6].

Из табл. 1 по данным экспериментов, проведенных при одноосных напряженных состояниях и чистом сдвиге, находим технические пределы прочности материала: Я+1 = 24,1 МПа и Д_1 = 144 МПа (пределы прочности при поперечных растяжении и сжатии); Я+3 = 1340 МПа, Я_3 = 225 МПа и Я13 = 50,74 МПа (пределы прочности при продольных растяжении, сжатии и сдвиге соответственно).

3

/ F»33

2

Рис. 1. Элемент трансверсально изотропного органопластика и компоненты тензора напряжений

Таблица 1

Напряжения разрушения органопластика

№ ^11 ^22 ^33 <?13

1 -152 0 0 0

2 -135 0 0 0

3 -161 0 0 0

4 -143 0 0 0

5 -131 0 0 0

6 -196 -60 -60 0

7 -196 -65 -65 0

8 -210 -70 -70 0

9 -210 -70 -70 0

10 -340 -170 -170 0

11 -390 -195 -195 0

12 -315 -200 -200 0

13 -381 -225 -225 0

14 -456 -275 -275 0

15 -473 -285 -285 0

16 23,5 0 0 0

17 24,6 0 0 0

18 -0,5 -33 -33 0

19 0 -35 -35 0

20 -112 -140 -140 0

21 -200 -250 -250 0

22 -185 -250 -250 0

23 0 0 -207 0

24 0 0 -217 0

25 0 0 -270 0

26 0 0 -240 0

27 0 0 -207 0

28 0 0 -213 0

29 0 0 1690 0

30 0 0 1450 0

31 0 0 1370 0

32 0 0 1140 0

33 0 0 1220 0

34 0 0 1180 0

35 -100 -100 1040 0

36 -100 -100 1300 0

37 -110 -10 980 0

38 -150 -150 1050 0

39 -200 -200 1040 0

Таблица 1 (окончание)

№ ^11 ^22 ^33 &13

40 -220 -220 710 0

41 -240 -240 930 0

42 -260 -260 680 0

43 -300 -300 1120 0

44 -300 -300 1010 0

45 -300 -300 740 0

46 0 0 0 50,63

47 0 0 0 50,66

48 0 0 0 51,16

49 0 0 0 50,50

50 -100 -100 -100 56,68

51 -100 -100 -100 47,05

52 -100 -100 -100 61,99

53 -100 -100 -100 62,68

54 -200 -200 -200 56,78

55 -200 -200 -200 47,18

56 -200 -200 -200 76,16

57 -200 -200 -200 67,36

58 -250 -250 -250 71,9

59 -275 -275 -275 61,4

60 -300 -300 -300 56,7

61 -300 -300 -300 52,5

62 -300 -300 -300 74,2

63 -300 -300 -300 62,33

Не все критерии прочности анизотропных материалов, широко используемые для случая плоского напряженного состояния, могут быть применены для описания прочности органопластика при трехосном напряженном состоянии. Например, критерий максимальных напряжений не подходит для этой цели, так как органопластик не разрушается при нагружении гидростатическим давлением, значение которого в несколько раз превышает прочность материала при одноосном сжатии. Критерий Хоффмана также не может быть применим, потому что прочность материала существенно зависит от гидростатического давления, при котором проводились испытания. Для лучшей аппроксимации экспериментальных данных желательно увеличение числа констант, которые входят в выражение для критерия прочности.

Рассмотрим критерий прочности для описания прочности органопластика при сложном напряженном состоянии в следующем виде:

/) = /о(7ь 3 З4, 3) + нт = 1, (8)

где /о = А7 + А2 72 + Ап7? + ^22 7? + 2А772 + А373 + А474 -квадратичная относительно компонент тензора напряжений функция; /1 (71) — некоторая функция инварианта 71, которую надо подобрать для наилучшего описания экспериментальных точек.

В нашем случае будем рассматривать поверхность прочности в четырехмерном пространстве а11 — а22 — а33 — а13.

Точки пересечения поверхности прочности с гидростатической осью (т.е. где а11 = а22 = а33, а13 = 0) находятся из уравнения

Для сравнения критериев будем использовать величину, характеризующую близость поверхности прочности к экспериментальным точкам, которая предложена в работе [7]:

где п — число экспериментальных точек по прочности материала.

Критерий 1: А7 + ^2 + Ап7 + А22722 + 2^12 77 + А373 + + А474 = 1.

Для этого случая (критерия Цая-Ву) значения констант А1, А2, А11, А22, А12, А3, А4 можно найти, миниминизируя величину П при условии, что поверхность прочности проходит через точки, соответствующие техническим пределам прочности материала.

Для данного критерия получаем: А1 = 0,02181 МПа-1; А2 = = —0,01274 МПа-1; А11 = 2,09193 ■ 10-5 МПа-2; А22 = 3,3607 х х10-5 МПа-2; А12=—1,1744-10-5 МПа-2; А3 = —1,05068-10-4 МПа-2; А4 = 3,88418 ■ 10-4 МПа-2.

Поверхность прочности пересекает гидростатическую ось в двух точках: при 71 = 44 МПа и 71 = —1086,4 МПа, т.е. в точке, где а11 = а22 = а33 = 14,7 МПа, а13 = 0 и точке, в которой а11 = а22 = = а33 = —362,1 МПа, а13 = 0. Для данного критерия при найденных значениях констант построены контуры прочности (рис. 2, а и 3,а) и обозначены цифрой 1. На рис.2,а контур прочности представляет собой сечение поверхности прочности плоскостью, содержащей ось а11 и гидростатическую ось, и рассматривается в координатах (а11) — (а22 = а33). На рис.2,б — сечение поверхности плоскостью, содержащей ось а33 и гидростатическую ось. На рис. 2, в — сечение поверхности прочности плоскостью, содержащей ось а13 и гидростатическую ось.

На рис. 3 построено сечение поверхности прочности координатными плоскостями а11 — а22 и а11 — а33. На этих же рисунках даны экспериментальные точки, которые попадают на соответствующие плоскости.

A1J1 + A11J + fi(Ji) = 1.

(9)

(10)

i=1

Рис.2. Контуры прочности для различных критериев в плоскостях, содержащих гидростатическую ось и ось а11 (а), а33 (б), а 13 (в)

Рис.3. Контуры прочности для различных критериев в плоскостях ац — а22 (а) и а и — а33 (б)

Критерий 2: ЛгЗх + А7 + Лп+ Л22722 + 2АХ2Зх+ Л3З3 + + Л4 3А + Лf 3\ + Лг 36 = 1.

Для критерия, в который входит большее число констант, чем в критерий Цая-Ву, определение констант через минимум величины ^ малопродуктивно. Это объясняется тем, что такие выражения могут давать значительно большее разнообразие поверхностей в четырехмерном пространстве, большинство из которых многосвязные. Поэтому значения констант можно получить методом подбора при условии выполнения требований, предъявляемых к поверхности прочности.

Для данного критерия таким образом получены следующие значения констант: Л1 = 0,02199 МПа-1; Л2 = —0,01255 МПа-1; Лц = = 2,3449 • 10-5 МПа-2; Л22 = 3,32315 • 10-5 МПа-2; Л12 = —1,15477 х х 10-5 МПа-2; Л3 = —1,04217• 10-4 МПа-2; Л4 = 3,88418• 10-4 МПа-2; Л. = —3,0773 • 10-12 МПа-4; Лг = 7,574023 • 10-19 МПа-6.

Контуры прочности для этого критерия на рис. 2, 3 обозначены цифрой 2.

Поверхность прочности пересекается с гидростатической осью в двух точках (аи = 022 = 033 = 14,5 МПа, 013 = 0) и (стп = 022 = = озэ = -366,5 МПа, oi3 = 0).

Критерий 3: AJ + A2J2 + An J + A22J2 + 2A12J1J2 + A3J3 + + A4J4 + Af 3J = 1.

Методом подбора получены значения констант для критерия: Ai = -4,89125 ■ 10-4 МПа-1; A2 = -4,977347 ■ 10-э МПа-1; An = = 9,32477■ 10-7 МПа-2; A22 = 1,83462■ 10-5 МПа-2; A12 = -8,06682 х х10-7 МПа-2; A3 = -6,44564-10-5 МПа-2; A4 = 3,88418-10-4 МПа-2; Af = 0,27866 МПа-1/3.

Контуры прочности для этого критерия на рис. 2, 3 обозначены цифрой 3.

Поверхность прочности пересекается с гидростатической осью в точках (011 = о22 = оээ = 16,4 МПа, 013 = 0) и (ои = 022 = 033 = = -648,3 МПа, 013 = 0).

Значения величины П, характеризующей отклонение поверхности прочности от экспериментальных точек, для рассмотренных критериев приведены в табл. 2.

Таблица 2

Отклонения (П) поверхности прочности от экспериментальных точек

№

Критерий

Значения констант

П

AJ + A2J2 + AJ2 + A22 J2 + 2Ai2 Ji J2 + A3 J3 + A4 J4 = 1

+

Ai =

A2

Aii

A22

Ai2

A3

A4 =

0,02181 МПа-\ -0,01274 МПа-\ = 2,09193 ■ 10-5 МПа-2, = 3,3607 ■ 10-5 МПа-2, = -1,1744 ■ 10-5 МПа-2, -1,05068 ■ 10-4 МПа-2, 3,88418- 10-4 МПа-2.

654,624

AiJi + A2J2 + AiiJ2 + A22 J| + + 2Ai2 Ji J2 + A3 J3 + A4 J4 + Af J4 +

+ Ar J6 = 1

Ai =

A2

Aii

A22

Ai2

A3 A4

Af

.Ar —

0,02199 МПа-1, -0,01255 МПа-1, = 2,3449 ■ 10-5 МПа-2, = 3,32315 ■ 10-5 МПа-2, = -1,15477 ■ 10-5 МПа-2, -1,04217 ■ 10-4 МПа-2, 3,88418 ■ 10-4 МПа-2, : -3,0773 ■ 10-i2 МПа-4, 7,574023- 10-i9 МПа-6

588,89

AiJi + A2J2 + AiiJ2 + A22 J22 +

+ 2Ai2 Ji J2 +A3J3 + A4J4 + Af J = 1

Ai —

A2

Aii

A22

Ai2

A3 A4

Af

-4, 89125 ■ 10-4 МПа-\ -4, 977347 ■ 10-3 МПа-\ = 9,32477 ■ 10-7 МПа-2, = 1,83462 ■ 10-5 МПа-2, = -8,06682 ■ 10-7 МПа-2, -6,44564 ■ 10-5 МПа-2, 3,88418 ■ 10-4 МПа-2, : 0, 27866 МПа--^3.

96,325

2

3

Как следует из табл. 2, использование критериев более сложных, чем критерий Цая-Ву, дает и более хорошее приближение к экспериментальным точкам. Наилучшее приближение из рассмотренных критериев дает критерий 3, но для данного критерия поверхность прочности не выпуклая.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сиротин Ю. И., Ш а с к о л ь с к а я М. П. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1975. - 680 с.

2. Спенсер Э. Теория инвариантов. - М.: Мир, 1974. - 156 с.

3. Зиновьев П. А., Цветков С. В. Инвариантно-полиномиальный критерий прочности анизотропных материалов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1994. -№ 4. - С. 140-147.

4. Z i n o v i e v P. A., T s v e t k o v S. V. Mechanical properties of unidirectional organic-fiber-reiforced plastics under hydrostatic pressure // Composites Science and Technology. - 1998. - Vol. 58. - Р. 31-39.

5. Зиновьев П. А., К у л и ш Г. Г., Ц в е т к о в С. В. Поведение однонаправленного эпоксидного органопластика при сдвиге в условиях высокого гидростатического давления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. - 1999. - № 4. - С. 93-101.

6. З и н о в ь е в П. А., К у л и ш Г. Г., Ц в е т к о в С. В. Процессы деформирования и разрушения композиционных материалов при высокоинтенсивном трехосном нагружении. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 95 с.

7. W u E. M. Optimal experimental measurement of anisotropic failure tensors // Journal of Composite Materials. - 1972. - No. 6. - P. 472-489.

Статья поступила в редакцию 15.04.2011