CC BY
23
Е. В. СИРОТИНА
Евгения Валерьевна Сиротина — аспирантка кафедры экономической кибернетики и математических методов в экономике СПбГУЭФ.
В 2006 г. окончила Череповецкий государственный университет.
Автор 3 публикаций.
Область научной специализации — комплексные переменные в
экономико-математическом моделировании. ^ ^ ^
ПОСТРОЕНИЕ КЛАССИФИЦИРУЮЩЕЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТИПА КОББА-ДУГЛАСА*
В современных условиях экономического кризиса для предприятий возрастает актуальность более глубокого анализа показателей финансово-хозяйственной деятельности. Классический метод исследования предприятия — построение производственных функций. Одной из самых распространенных производственных функций является функция Кобба-Дугласа. Однако указанная функция не всегда дает решение в области действительных чисел, а следовательно, не может дать адекватную интерпретацию результата. Одной из альтернатив решения данной проблемы является применение в анализе функций комплексных переменных, которые освобождают исследования от узких рамок действительной области вычислений. Производственная функция комплексных переменных уникальна и не имеет аналогов в области вещественных чисел.
Рассмотрим производственную функцию комплексных переменных следующего вида:
О + 1С = (а0 + 2а1)(Ко + 2Ку )а(Ьо + Ну )1-а, (1)
где О — валовая прибыль; С — издержки; Ко — основной капитал; Ку — неосновной (вспомогательный) капитал; Ьо — труд основных работников; Ьу — труд неосновных (вспомогательных) работников; а0, а1, а — параметры модели [3], причем Ко + Ку = К — совокупный капитал; Ьо + Ьу = Ь — фонд оплаты труда.
Для целей комплексного анализа также может быть полезна экспоненциальная (показательная) форма записи комплексных чисел. Тогда выражение (1) будет иметь следующий вид:
и1+2р1 _ и 2+2р2+а(и3+2р3)+(1-а)(и 4+2р4)
, (2)
где
и1 =
1й(л/О2 + С2 );
е1ф1 = собф + /япфь ф1 = агС£ СЮ,
при р е( ^^Ч; если О = 0, то р = -2; -О < С; С> 0;
п
1п(^/ а(2 + а1);
при р2 е | 0;— |; а1 > 0; если а0 = 0, то р2 п '
е1<р2 = соБф2 + /япф2; ф2 = аг^ (а1)/(а0), п 2
и2 = (V Ко2 + Ку 2); е1ф3 = соБф3 + /япф3; ф3 = aгctg Ку/Ко,
где Ку/Ко > 0, рз е|0,:п|;
где Ьу/Ьо > 0,р4 е[0, £
и4 = (V Ьо2 + Ьу 2); е1ф4 = соБф4 + /япф4; ф4 = aгctg Ьу/Ьо,
ГРНТИ 28.17.19 © Е. В. Сиротина, 2009
Статья публикуется по рекомендации доктора экономических наук, профессора С. Г. Светунькова. Статья выполнена в рамках гранта РФФИ № 07-06-00151 «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных».
Для выражения (1) проведена проверка выполнимости основных свойств производственной неоклассической функции [1]. Первое и четвертое свойства об отсутствующем «роге изобилия» и линейной однородности выполняются однозначно. Третье и четвертое свойства о положительности первой и отрицательности второй производных не имеют однозначной трактовки, в силу чего о неоклассичности можно говорить лишь условно. Данную ситуацию можно считать скорее достоинством модели, поскольку исследователь не ограничен рамками, в которых модель неадекватно описывает реальное производство. Анализ коэффициентов производственной функции комплексного переменного, построенной для конкретного предприятия, позволит сделать вывод об эффективности производства [6].
Определенный интерес для исследования представляют коэффициенты эластичности функции.
Коэффициенты эластичности по капиталу отражают изменение производимого продукта (в %) при увеличении затрат основного или вспомогательного капитала на 1 %, причем действительная часть коэффициента показывает изменение действительной части производимого продукта (т. е. изменение О), а мнимая часть отражает изменение мнимой части продукта (т. е. изменение С):
р _ Ко ё/ _ аКо _ аКо2 . аКоКу ; _ / Х ~ Ко + Ку ~ Ко2 + Ку2 "1 Ко2 + Ку2 ' _ К^ / _ аКу(Ку + /Ко) _ аКу2 . аКоКу
Як. _ / х /Ку - Ко2 + Ку2 - Ко2 + Ку2 +1 Ко2 + Ку у '
Одновременное изменение и основного, и вспомогательного капитала на 1% приводит к изменению действительной части продукта О на а:
р _ р р _ аКо2 . аКоКу аКу2 . аКоКу _
Як =ЯКо +ЯКу _ Ко2 + Ку2 -1 Ко2 + Ку2 + Ко2 + Ку2 +1 Ко2 + Ку2 = аКо2 аКу2 аКо2 +аКу2 а( Ко2 + Ку2)
Ко2 + Ку2 Ко2 + Ку2 Ко2 + Ку2 Ко2 + Ку2 Коэффициенты эластичности по труду отражают изменение производимого продукта (в %) при увеличении затрат основного или вспомогательного труда на 1 %, причем действительная часть коэффициента показывает изменение действительной части производимого продукта (т. е. изменение О), а мнимая часть отражает изменение мнимой части продукта (т. е. изменение С):
я _ Ьо ё/ _ (а-1)Ьо _ (а- 1)Ьо2 . (а-1)ЬоЬу ;
яьо _ / Х /о ~ Ьо + 1Ьу ~ Ьо2 + Ьу2 +1 Ьо2 + Ьу2 ' я _ Ьу ё/ _ (а- 1)Ьу(Ьу + 1Ьо) _ (а-1)Ьу2 .(а- 1)ЬоЬу ЯЬу _ /Х/у ~ Ьо2 + Ьу2 "" Ьо2 + Ьу2 ~г Ьо2 + Ьу2 ' Одновременное изменение и основного и вспомогательного труда на 1 % приводит к изменению действительной части продукта О на (1 - а):
(а-1) Ьо2 .(а- 1)ЬоЬу ( (а-1) Ьу2 .(а-1) ЬоЬу ^
ЯЬо + ЯЬу т 2 т 2 + 1 т 2 т 2 +
Ьо + Ьу Ьо + Ьу
-
Ьо2 + Ьу2 Ьо2 + Ьу2 ,
(а -1) Ьо2 .(а- 1)ЬоЬу (а - 1)Ьу2 . (а -1) ЬоЬу
Ьо2 + Ьу2 + Ьо2 + Ьу2 - Ьо2 + Ьу2 - Ьо2 + Ьу2
(а-1) Ьо2 + (а-1) Ьу2 ( 1
1—Г^-_-(а-1) _ 1 -а.
Ьо + Ьу
При сравнении полученных общих коэффициентов эластичности исследуемой функции с аналогичными коэффициентами функции Кобба-Дугласа получим, что и для функции Кобба-Дугласа, и для исследуемой функции эластичность производственной системы для капитала равна а, а для эластичности по труду — (1 -а) [3].
Для нахождения неизвестных параметров (а0, а1, а) модели (1) воспользуемся методом наименьших квадратов оценки параметров нелинейных моделей комплексных переменных с комплексными коэффициентами [7]. Для этого уравнение (1) сначала необходимо привести к линейному виду путем логарифмирования левой и правой частей по натуральному основанию:
т О + 1С / ч т Ко + 1Ку
Ьп-_ Ьп(а0 + /а1)+ ахЬп-. (3)
Ьо +1Ьу Ьо + 1Ьу
Для упрощения введем следующие обозначения:
О+1С ОЬо + СЬу .СЬо - ОЬу
g _-_-2-Т~ +1-2-7~ — по правилу деления комплексных чисел. С
Ьо + 1Ьу Ьо + Ьу Ьо + Ьу
экономической точки зрения получаем своего рода комплексный показатель производительности труда.
, Ко + ¡Ку КоЬо + КуЬу .КуЬо - КоЬу
к =-=------+1----— — по правилу деления комплексных чисел. С
Ьо + ¡Ьу Ьо + Ьу Ьо + Ьу
экономической точки зрения получаем своего рода комплексный показатель фондовооруженности. В дальнейших расчетах будем использовать главные значения логарифмов.
Ьп(а0 + ¡а1) = ЪоЯа + ¡ра = А0 + ¡А, (4)
где
Ra
= A =i
a0 + a^ — модуль комплексной переменной определяющего фактора;
а,
Ра = Ai = arct^-^ —
а„
ее полярный угол.
С учетом введенных обозначений модель (3) примет следующий линеаризованный вид:
ЬпК^ + гр& = (А + А1) + а(ЬпЯк + ¡рк). Для нахождения коэффициентов данной модели воспользуемся МНК. Критерий МНК примет вид:
(5)
Л
min F(A0, A^a) = mini £(LnRg - (A0 + ax LnRk))2 + £(pg - (A + axpk )) . (6) V t t J
Для нахождения минимума функции (6) необходимо приравнять к нулю первые частные производные функции по переменным ^40, А1 и а [2]. Получим следующую систему нормальных уравнений [4; 7]:
£ LnRg = ГА0 + a£ LnRk
Y,pg=TAi+a£pk
t t
£LnRgxLnRk +£pg xpk = A£LnRk + Ai£ Pk + a£(n2Rk + pk2)
(7)
хРк = А0Ъ+ А1 ЬРк + <
г г г г г
где Т — количество наблюдений; г = 1, 2, 3,..., Т.
Для нахождения параметров модели были использованы статистические данные за период с 1999 по 2008 г. Таким образом, на основе выражений (7) получена следующая система уравнений:
17,73=10х Ао +ах23,30
8,83=10хА -ах2,19 (8)
39,69= 17,73х А0 - 2,19х А +ах55,85. Для данной системы уравнений найдено следующее решение:
а = 0,72
А0 = 0,087 (9)
А = 1,042.
Подставляя полученные значения в выражение (4), получим следующие значения параметров а0, а1:
а0 + ¡а1 = еА°+А = е0*08^1,042 = 0,55 + 2 х 0,94, следовательно, а0 = 0,55 и а1 = 0,94.
Таким образом, модель (1) имеет следующий вид:
О + С = (0,55 + 2 х 0,94)(Ко + ¡Ку)°12(Ьо + ¡Ьу) 0,28. (10)
Методика построения классифицирующей производственной функции комплексного переменного типа Кобба-Дугласа с достаточной степенью достоверности позволяет проводить анализ сложившейся ситуации и разрабатывать практические рекомендации по управлению дальнейшими направлениями деятельности компании. Несомненным достоинством модели является универсальность аппарата, что позволяет применять его практически в любой сфере деятельности.
ЛИТЕРАТУРА
1.. Абланская Л. В., Бабешко Л. О. Экономико-математическое моделирование. М.: Экзамен, 2004. 800 с. 2.. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения.. М.: Мир, 1974. 491 с. 3.. Елисеева И. И. Эконометрика. М.: Финансы и статистика, 2003. 344 с.
4.. Кротов В. Ф., Лобанов С. М., Лагоша Б. А., Данилина Н. И. Основы теории оптимального управления:
учебное пособие. М.: Высшая школа, 1990. 432 с. 5. Савинов Г. В., Светуньков С. Г. Комплексные переменные в экономическом анализе и моделировании //
Известия СПбУЭФ. 2006. № 4. 6.. Светуньков С. Г. Инновации, конкуренция и предпринимательство. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2008. 99 с. 7.. Светуньков С. Г. Основы теории эконометрии комплексных переменных. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2008. 108 с. 8. Шапкин А. С. Математические методы и модели исследования операций. М.: Издательский дом Дашков и Ко, 2005. 596 с.
