Построение имитационной модели аэродинамических характеристик летательного аппарата в условиях ограниченного набора данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том ХЬЇЇ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 5

УДК 629.7.01

ПОСТРОЕНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОГО НАБОРА ДАННЫХ

А. В. ТАРАСЕНКО

Изложен метод построения имитационной математической модели аэродинамических характеристик (АХ) летательного аппарата, основанный на использовании искусственной нейронной сети. Показано, что он позволяет снизить погрешность аппроксимации АХ по сравнению с методом, основанным на экспертном подборе вида аппроксимирующей функции.

Ключевые слова: искусственная нейронная сеть, аппроксимация, имитационная математическая модель, аэродинамические характеристики.

Аэродинамические характеристики летательного аппарата (ЛА), полученные каким-либо расчетным или экспериментальным способом, представляют собой ограниченный набор значений в табличной форме. Для исследования летно-технических характеристик ЛА, создания пилотажных стендов, программирования автопилота необходима имитационная математическая модель (ИММ), представляющая зависимость АХ от параметров полета в виде набора непрерывных функций. Традиционный путь создания ИММ подразумевает экспертный анализ характера зависимости АХ от параметров полета и подбор некоторой комбинации элементарных функций, удовлетворительно, с точки зрения исследователя, аппроксимирующей табличные значения АХ. В случае нелинейного характера поведения АХ и большого числа параметров данная операция требует значительных затрат труда и времени. Кроме того, «ручной» способ подбора вида функции не всегда позволяет добиться достаточно малой величины погрешности аппроксимации. В данной статье представлен способ аппроксимации АХ ЛА, основанный на использовании искусственной нейронной сети (ИНС), позволяющий существенно снизить трудозатраты на создание

ИММ АХ и при этом обеспечить достаточную точность. В основе метода лежат идеи, изложенные в публикациях [1, 2], посвященных применению ИНС для обработки результатов трубного и летного экспериментов. В работе использованы нейросетевые алгоритмы, реализованные в пакете прикладных программ Matlab [3]. Рассмотрены примеры создания ИММ АХ суперкри-тического профиля и реального летательного аппарата, зависящих от двух параметров, однако метод не имеет принципиальных ограничений по количеству параметров.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИСКУССТВЕННОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ

Аппроксимация АХ производится с использованием двухслойного персептрона, структура которого приведена на рис. 1. Персептрон имеет Я входов и один выход. Первый слой состоит из 5 нейронов с нелинейной передаточной функцией, второй слой — из одного нейрона с линейной передаточной функцией.

ТАРАСЕНКО Андрей Валерьевич

инженер-конструктор, начальник группы ГосМКБ «Радуга»

Рис. 1. Структура нейронной сети

Значение на выходе сети а2 вычисляется с помощью следующих уравнений (верхний индекс соответствует номеру слоя):

а) = /1

(я ^

Ё ^ гРг + Ъ)

\ г=1

(1)

а2 = Ё ^а) + Ъ ]=)

(2)

где р — значения входных параметров; w — весовые коэффициенты; Ь — смещение;/— передаточная функция; а — выходное значение.

ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Поскольку ошибка аппроксимации уменьшается с ростом числа нейронов, массив данных, используемый для обучения ИНС, должен содержать достаточно большое количество наблюдений (значений АХ), которое позволит обеспечить необходимую точность аппроксимации и избежать при этом явления переобучения, которое возникает, когда количество коэффициентов сети приближается к количеству наблюдений. Согласно простейшей оценке [3], число наблюдений в обучающем массиве должно как минимум в 10 раз превышать количество связей в сети. Это условие может быть легко удовлетворено в случаях, рассмотренных в работах [1, 2], когда ИММ АХ строится на основе данных, выдаваемых измерительным комплексом аэродинамической трубы (показания тензовесов, датчиков, измеряющих положение модели и характеристики потока), или данных телеметрии, полученных в ходе летного эксперимента. В обоих случаях высокая частота съема информации обеспечивает достаточное для обучения ИНС количество наблюдений.

При создании ИММ на основе результатов, полученных численными расчетами или испытаниями модели в аэродинамической трубе, число исходных значений АХ может быть ограничено (не более нескольких десятков), что недостаточно для эффективного применения ИНС. Необходимый объем обучающей выборки может быть получен путем интерполяции исходных данных, которая проводится последовательно по каждому входному параметру, например, сначала по углу атаки, затем по числу Маха и т. д. (рис. 2, 3). Остальные входные параметры при этом

Рис. 2. Пример интерполяции коэффициента еха по углу атаки (маркеры — исходные значения, точки — значения, полученные интерполяцией)

о.ю

с

ха

0 06

0 06

0.04

0.02

0

& а = 0 + а = и а = 1° • а = ■ а = 2° ж а = і 3° * ж 4° . ■ 4 +-• . 0 * +■ ' *

ж * • • ш + . * ■'3

■ ♦ + ’ + * . + ' . ■ . в 1 0

- • * * Г . ’ , ■ в * ■ , 4 # ^ * * в д II

' _ . ■ ' . ■ 11 і і і • ! : : : І 1 . * . Е - г : : ^ • а

0.6 0.7 0.8 М 09

Рис. 3. Пример интерполяции коэффициента Сха по числу Маха

(маркеры — исходные значения, точки — значения, полученные интерполяцией)

фиксируются. Все полученные в результате интерполяции значения сводятся в единые массивы, используемые для обучения ИНС:

I = а1 а2

М1 М2

= 53 [суа1 С

а

М

Тсха [ [Сха 1 С ха 2 ••• Сха к ^;

:] •

- Суак ]; 1т2 =|_т21 т2 ••• т2к _

где I — матрица значений параметров; Т — матрица значений аэродинамических коэффициентов, соответствующих сочетаниям значений параметров в столбцах матрицы I; к — количество полученных в результате интерполяции значений АХ.

Полученная в итоге имитационная модель каждого из аэродинамических коэффициентов включает в себя уравнения (1), (2) и найденные в результате обучения ИНС матрицы коэффициентов м>1, Ь1, ^2, Ь2.

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ИММ АХ

Рассмотрим задачу аппроксимации АХ суперкритического профиля: коэффициентов сопротивления сха, подъемной силы суа и момента тангажа тг, нелинейно зависящих от двух па-

раметров: угла атаки а и числа М (рис. 4 — 9). Исходные значения АХ получены расчетом в пакете прикладных программ ANSYS CFX [4]. Диапазоны изменения входных параметров: -2°<а<5°, 0.4< М< 0.9.

С помощью сплайн-интерполяции расчетных значений каждого аэродинамического коэффициента получены массивы данных, содержащие приблизительно по 13 тыс. наблюдений. Для построения ИММ были применены двухслойные ИНС с различным количеством нейронов первого слоя: 5, 10, 30 и 50 нейронов. Рассмотрены два варианта передаточных функций нейронов первого слоя: гиперболический тангенс / (х) = —2^— 1 и логистическая функция

1 + е 2х

/ (х ) = —^-— 1. Для обучения использован алгоритм Левенберга — Маркара [3]. Каждая сеть

1 + е х

обучалась пять раз с различными случайно выбранными начальными значениями коэффициентов, после чего выбирался вариант, обеспечивающий минимальную среднюю погрешность аппроксимации. Средняя и максимальная погрешности аппроксимации рассчитывались по формулам:

с =

N

$

аисх 1 авых НС 1

N -1

где аисх 1 — исходное значение Аэродинамического коэффициента; авыхНС уна выходе обученной ИНС; N — число исходных значений.

— его значение

Рис. 4. Зависимость коэффициента сопротивления профиля от угла атаки (на рис. 4 — 9 точки — расчет СЕХ, линии — сплайн-интерполяция)

0.20 1 О 18 О 16 0.14 0.12 О 10 008 006 0.04 002 о

(

4

У У 1 / / 1

/ /•/

/X

А * Ж1

АС-

МГг^

а = -2° а = -1° а = 0 а = 1° а = 2° а = 3° а = 4° а = 5°

09 м 1

Рис. 5. Зависимость коэффициента сопротивления профиля от числа М

2

1.2

С

уа

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

О

-0.2

-0.4

н !

/ -г-^ - ру

5 г Г 'XV ✓V Гх

* . Г

Г-^ г ^ 0* Г* *

г ^

—0—м = 0.4

-М - 0.5

—*— М = 0.6

—в—м - 0.7

—■— ы - 0*3

...... м 0.75

—— ы - 0'8

■ — м - 08

—1й— М - 0.83

—#С- м - 0.85

- О • М = 0.87

—X- м = 089

—*—м - 0.9

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

а, град

Рис. 6. Зависимость коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки

1.2

С уа

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

.......

•л

^АЛ'1 ^ \

1 __ _ — ■- 1

< гЧК>^>Т

— 1—

03 0 4 0 5 0 6 0 7 0 • ч* 0

а = -2° а = -1° а = 0 а= 1° а = 2° а = 3° а = 4° ос = 5°

М

Рис. 7. Зависимость коэффициента подъемной силы профиля от числа М

Рис. 8. Зависимость коэффициента момента тангажа профиля от угла атаки

Рис. 9. Зависимость коэффициента момента тангажа профиля от числа М

0.20

а

0.18

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

о

Лі

О а = -2 3 ■ а = -1° д а = 0 □ Я II ° Г

■ а = 2° + а = 3° • а = 4° * а = 5° У/

— аппроксимация 1Ш,

и уУ/. +£ ////Л

-У — г——

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

М

0.9

Рис. 10. Аппроксимация зависимости коэффициента сопротивления от числа М (50 нейронов с передаточной функцией — гиперболический тангенс). Линии аппроксимации проведены для углов атаки а = -2 ... 5° с шагом 0.5°

Пример аппроксимации коэффициента сопротивления от числа М приведен на рис. 10. Как средняя, так и максимальная погрешности аппроксимации падают с увеличением числа нейронов в сети независимо от вида передаточной функции нейронов первого слоя (рис. 11). При использовании 50 нейронов средняя погрешность аппроксимации АХ становится сравнимой со случайной погрешностью измерения этих АХ в трансзвуковых АДТ ЦАГИ [5].

Отработанная на примере профиля методика была применена для аппроксимации АХ реального летательного аппарата. Исходные данные для построения ИММ АХ получены в АДТ и включают в себя значения коэффициентов сопротивления, подъемной силы и момента тангажа в зависимости от угла атаки и числа М. По программе испытаний угол атаки изменялся в диапазоне -6° < а < 8° при числах М = 0.7, 0.8, 0.9 . Истинные значения числа М во время испытаний несколько отличались от указанных. При проведении интерполяции они округлялись до величин, соответствующих программе испытаний, а при оценке погрешности использовались истинные значения а и М. Обучающие массивы данных, полученные интерполяцией результатов эксперимента, содержали по 7719 наблюдений для каждого аэродинамического коэффициента. Так же, как при создании ИММ АХ профиля, рассмотрены ИНС с различным количеством нейронов первого слоя. Передаточная функция в первом слое — гиперболический тангенс.

Рис. 11. Погрешность аппроксимации АХ профиля в зависимости от вида передаточной функции и количества нейронов в первом слое ИНС

Результаты аппроксимации представлены на рис. 12 — 14, значения погрешности аппроксимации — на рис. 15. Для сравнения приведены величины погрешности традиционной аппроксимации, выполненной экспертным подбором функции. Аппроксимирующие функции в этом случае имеют следующий вид:

сха (а, м) = СХшш (м) + схшпа (М, а),

(м )=

§1 + §2м + Йм2 + §4^ +^5м12 g 6 + g7M

1 - м

2 12

§9 + Й0м + §11м + §12м

-0.73 < суа < -0.5,

-05 < Суа < 0.7,

0.7 < Суа < 1.14,

Сха1па (M, а) =

а1 (м)с2а +а2 (м)

Суа +а3 ( м )'

12

'уа

- вг. , м -

,(м)(

с — с

уа уас

-( м ) = §13 + §14м + §15м12 = §16 + §17м + §18м2

"уас

У сг

Ь (м) Су\ + Ь2 ( м) с/а + Ьз ( м) с Ь, (м ) =

12

уа

•45,

в ,м -

-0.73 < суа < -0.5,

—10 5 < суа < °.7,

0 7 < суа < 114,

суа (а,м) = су0 + Рсу (а,м),

2

)

Ес (а, М) = Л (М)а + Л2 (М)а3 + Л3 (М)а5,

Л ( М) = т1 + т2М + т3М2,

Л2 (М) = т4 + т5М + т6М12,

Л3 (М) = т7 + т8М8 + т9М12, т (а, М) = то (М) + ртг (а, М), т2о (М) = п1 + п2М + п3М4,

^ (М, а) = р1 (М)а + р2 (М)а2 + р3 (М)а3 + р4 (М)а4,

Р] (М) = 41 + 42М + ^3м2,

где 4, е, т, п — константы.

Сопоставление показывает, что ИНС даже с небольшим количеством нейронов (5 — 10) обеспечивает более высокую точность, чем традиционный способ аппроксимации.

с ха

г. $

Ф У / / . X ... \ ул А •

N0* \ г

а. фад

8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Рис. 12. Зависимость коэффициента сопротивления ЛА от угла атаки

Число Маха Эксперимент Аппроксимация ИНС Традиционная аппроксимация

0.7 • • •

0.8 ▲ ▲ ▲

0.9 ■ ■ ■

С уа А

л?

а, град

3 - б - £ 1

л? р

■

Рис. 13. Зависимость коэффициента подъемной силы ЛА от угла атаки (обозначения те же, что на рис. 12)

т

■ • а. град

я 3 - \ ! 5 \ -4 - 2 ( ► 1 6 1

■ 4- '‘а '•. А.

ч. - ч • А

1 ч ■

Рис. 14. Зависимость коэффициента момента тангажа ЛА от угла атаки (обозначения те же, что на рис. 12)

Рис. 15. Значения погрешности аппроксимации АХ ЛА при использовании ИНС и традиционном способе аппроксимации

Необходимо отметить, что применение ИНС с достаточно большим количеством нейронов позволяет гарантировать малую величину погрешности аппроксимации, поэтому решающее влияние на точность созданной ИММ оказывает качество исходных данных. Так, при построении ИММ АХ профиля расчеты обтекания были выполнены таким образом, чтобы выявить характер зависимости АХ от числа Маха в диапазоне 0.7 < М < 0.9 . В то же время испытания ЛА в АДТ были проведены только при трех значениях числа Маха (М = 0.7, 0.8, 0.9), что недостаточно для создания адекватной ИММ АХ трансзвукового ЛА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены примеры построения имитационной математической модели аэродинамических характеристик профиля и летательного аппарата с применением искусственной нейронной сети. Показано, что ИНС в виде двухслойного персептрона, имеющая в первом слое порядка 50 нейронов с нелинейной передаточной функцией, обеспечивает следующие значения средней погрешности аппроксимации АХ ЛА: приблизительно 0.0001 — 0.0003 по коэффициенту сопротивления и приблизительно 0.001 по коэффициентам подъемной силы и момента тангажа.

Автор выражает благодарность руководителю работы С. М. Боснякову.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ереза А. Г., Михайлов Б. П., Свириденко Ю. Н. Методические исследования по обработке данных весового эксперимента в аэродинамической трубе Т-109 / Материалы XXI школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». — М.: Изд. ЦАГИ, 2010, с. 78.

2. Павленко А. А., Петрушкин А. Н., Свириденко Ю. Н. и др. Применение искусственных нейронных сетей для математического описания аэродинамических характеристик летательного аппарата / Материалы XVI школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». — М.: Изд. ЦАГИ, 2005, с. 86.

3. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Нейронные сети. MATLAB 6. — М.: Диалог-МИФИ, 2002, 496 с.

4. ANSYS CFX. Release 11.0. Solver Theory Guide, 2006, 312 р.

5. Б ертынь В. Р. Испытания контрольных моделей и некоторые вопросы методики эксперимента в аэродинамических трубах / Материалы XVI школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». — М.: Изд. ЦАГИ, 2005, с. 20.

Рукопись поступила 18/XI2010 г.