Построение и применение моментных инвариантов для обработки изображений в скользящем окне Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Н И. Глумов

ПОСТРОЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МОМЕНТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ В СКОЛЬЗЯЩЕМ ОКНЕ

Во многих задачах обработки цифровых изображений нашли широкое применение моментные характеристики изображений и рассчитываемые на их основе моментные инварианты |1-6|. Основным достоинством моментных инвариантов является нечувствительность к поворотам изображения, что делает эффективным их применение в качестве признаков в задаче обнаружения и распознавания на изображении объектов неизвестной ориентации. При использовании для обработки изображений информационной технологии скользящего окна" применение моментных инвариантов особенно уместно в связи с возможностью параллельно-рекурсивного вычисления локальных моментных характеристик |7.8|.

В ряде работ 11,2.5.6] в качестве признаков двумерных объектов предлат .я отдельные наборы инвариантов, построенные на основе моментов до '-го порядка В работах |3.4| описан способ построения таких инвариантов с использованием комплексных моментов. Однако в целом задач} построения информативного множества инвариантных признаков объектов по вычисляемым моментным характеристикам изображения в скользящем окне нельзя считать окончательно решенной, посколькч

II необходима ;иаптация известных подходов к технологии скользящего окна:

2) требуется формализация общего алгоритма синтеза моментных инвариантов прои ¡вольного порядка,

3) практическое применение моментных инвариантов невозможно без разработки дефективных алгоритмов выбора наиболее информативных признаков и их вычисления в скользящем окне.

В данной работе предпринята попытка решения поставленных вопросов, а также рассмотрены вопросы вычислительной сложности алгоритмов расчета моментных инвариантов.

1 МОМЕНТНЫЕ ИНВАРИАНТЫ В ОБРАБОТКЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Рассмотрим сначала изображение как функцию двух непрерывных аргументов \|1 .'..I Моменты порядка (к.*) определяются согласно формуле

ВВЕДЕНИЕ

Обычно в задачах распознавания используются центральные моменты, обладающие инвариантностью к сдвигу изображения:

00 00

= 11(ч-1|)к(ч-чГх(Ч'ЧКЛ2. к,5=0,1,...,

(2)

т,

где ^ =

10

т„

т01

I, =- - координаты центра тяжести изображения. Очевидно, что

т„

00 00

центральные моменты (2) выражаются через моменты (1):

(3)

¡=о ¿=о

где С|_, биномиальные коэффициенты. Для центрированного изображения (при

Ц = = 0) значения моментов (1) и (2) совпадают.

Центральные моменты (2) могут нормироваться для обеспечения инвариантности к масштабированию изображения [1,6], однако в рамках данной работы такое преобразование не рассматривается.

С помощью центральных моментов определяются характеристики, инвариантные к повороту изображения (моментные инварианты). Так, набор характеристик, приведенный в [6], включает семь инвариантов:

Ф1 = И20 + М02>

Ф2 =(М20 -М02Г +4М.1>

Ф3 =(и30 -^п) +(3М2| -Иоз) '

Ф4 =(М30 +М12) +(И2, +И03) >

ф5 = (и30 " 3^12) (мзо + М,2) (изо + М12)2 " З(и2, + Ц0з)2] +

+ (3М21 - Моз) (и2, + Моз) _3(мзо + Н12)2 - (ц2, + Моз)2]. Ф6 =(м20 -м02)[(и30 + М12)2 -(и21 +Иоз) ] + 4ци(ц30+ц12)(ц21 +ц0з), Ф7=(3М21 -иоз)(и,0 +М12)[К +М12)2 "3(м21 +М03)2]--(^30-Зм12)(м21 +М„З)[3К+М12)2-(И21 +цоз)2]-

(4)

В данном наборе используются только моменты до порядка (к,я) при к + я<3. В работах [1,2,5| используется более узкий набор инвариантов, входящих в указанное множество (4). Но при любом выборе набора возникают два вопроса:

1) о функциональной избыточности набора, т.е. о возможности выразить один из инвариантов как функцию других;

2) о полноте набора, т.е. о возможности с помощью моментов до заданного порядка построения других функционально независимых инвариантов.

2. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОМЕНТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО

ПОРЯДКА

Для ответа на поставленные выше вопросы рассмотрим предложенный в |3.4| метод построения моментных инвариантов с использованием комплексных моментов:

ос оо

СЬЯ/Л|,+«аГ(1Г"2),хК'Ч)л.Л2' ..........(5>

-ОС -оо

где I - мнимая единица. Комплексные моменты являются линейной комбинацией

обычных моментов:

С = Я, + ,Г , (6)

Ь к5

где Я, =Уа т., I, = У Ь. т.. при ¡+1=к+5, кч и и ^ 1 и и

и

а1(, - целочисленные коэффициенты.

В полярных координатах комплексные моменты могут быть представлены в виде:

2я ею

Сь = |{рк+5+1е,|к $|в х(рсо8&.рмп8)арс1Э. к,5=0,1..........(7)

о о

II ¡ш I I

Сь|е где |Ск |, чф/^ - модуль и аргумент комплексного

числа. Путем несложных преобразований выражения (7) показывается, что при повороте изображения на угол ДЭ значение комплексного момента примет вид:

Ск(ДЭ) = |с |е-«-'лв1к-<>. (8)

Ь ! Ы

Из (8) следует |4|. что при повороте изображения не меняются значения С^ДЭ) Сц и

С, (Д0)С (Дв) = |с к* « |

Обобщая эти результаты, введем в рассмотрение произведение

Г Г г

С с- ...с,4 =

*Л "А \\

г г г I ^У» г -'ЛВ 1к, -5.)' ^к-.-5-,! г,+ -»(к _!> К

С С С I е 'ч'' И 1 I' I V 2 II 7 V ч ^/ч]

'кл. к,4,'"' к $ I I . 2 : « ч;

Оно является инвариантным к повороту, если выполняется условие:

ч

К

1=1

к - 5 г = 0. 110)

I 11 I

При этом условии в качестве инвариантов можно использовать модуль

произведения комплексных моментов

г )

с!' с'г ...с'« кч5,

вещественную

Кс Ск, • С'к\ " мнимую IП1: С'1 Сг-. ...С; часть произведения.

: : 14" V Г| 2*2

Легко показать, что набор моментных инвариантов (4) для центрированного изображения выражается через комплексные моменты следующим образом:

Ф,=СП> Ф2=С20С0Г Ф1=С21С,2> Ф<=С30С0Э> Ф5 = Ке(С2,С0з)' Ф6=МС22,С02). (П)

Отметим, что данный набор является функционально избыточным, т.к. инварианты Ф,, Ф4. Ф5, Ф7 связаны соотношением:

Ф* + Ф* = Ф^Ф4 .

Очевидно, что по заданному набору комплексных моментов можно построить любое

число инвариантов, т.к. любая функциональная комбинация инвариантов также является

инвариантом. Однако количество функционально независимых инвариантов ограничено и

зависит от числа комплексных моментов, используемых при построении.

Предлагаемый алгоритм синтеза набора функционально независимых инвариантов на основе множества Q комплексных моментов С. , С. ,..., С. состоит в следующем:

ГП *2S2 q q

1) из множества Q берутся моменты С при k = s , которые являются

Vi 1 1

инвариантами;

2) задается базовый элемент С (k =s ) множества Q, и для остальных

моментов С при k.*s. строятся инвариантные комбинации, удовлетворяющие Vi ' '

требованию (10):

при (к0,80)^(к.,4 (12)

0 0 II

Очевидно, любое другое инвариантное произведение вида (9) при условии (10), построенное из моментов множества Q, представляется через инварианты (12).

Таким образом, число функционально независимых инвариантов, которое можно построить из q комплексных моментов, составляет:

( q, ее ли k. = s.

J = S , , при liiiq.

[q - 1, если k. * s.

Так, например, из треугольной матрицы комплексных моментов (5) при 1 < k + s £ К, включающей (К + 1ХК + 2) / 2 элементов, можно сформировать (неединственным образом) (К + 1)(К + 2) / 2 - 1 независимых инвариантов вида (9) при условии (10).

Для центрированного изображения комплексные моменты С01,С,0 равны нулю, вследствие чего при построении инвариантов они не используются (например, в (4) и (11)). Однако, как будет показано ниже, оказывается возможным и даже желательным использование моментов С01 и С]0 при обработке цифровых изображений в режиме

"скользящего окна", специфика которой будет рассмотрена ниже.

3. ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МОМЕНТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В РЕЖИМЕ "СКОЛЬЗЯЩЕГО ОКНА"

Дня обработки цифровых изображений используются дискретные аналоги моментных характеристик (1), (2), (5), в которых операция интегрирования заменена на суммирование дискретных значений произведений изображения на двумерную степенную функцию. Однако обычно требуются моменты, вычисленные не по всему изображению, а только на ограниченной области - по окну обработки (например, при обнаружении и распознавании объектов ограниченность области вытекает из конечности размеров объектов). В данном случае для каждой точки изображения с координатами (ирП,)

локальные моментные характеристики определяются выражением:

Мь(п1'п2)= £ Хт?т2х(п1 — т1,п2 — ПП2), (13)

(т,,ш2)

где Э - область, задающая окно обработки.

Применение технологии "скользящего окна" |8| заключается в последовательном перемещении окна по изображению, вычислении и анализе признаков (например, моментных инвариантов) для каждого положения окна. При обнаружении и распознавании объектов такой подход имеет следующие особенности:

1) исчезает необходимость центрирования моментов (путем вычисления по дискретному аналогу формулы (2) или преобразованием моментов (13) в центрапьные по формуле (3)), поскольку при обработке всегда найдется положение окна, для которого геометрический центр окна будет близок к центру тяжести объекта;

2) возникают ситуации, когда окно захватывает только часть объекта, и эта часть постепенно увеличивается при "наползании" окна на объект, при этом центр тяжести изображения в окне смещается от края окна к его центру.

Дня точной локализации (определения координат) объекта на изображении необходимо использовать признаки, характеризующие "захват" объекта окном, например, расстояние от центра тяжести изображения в окне до центра окна. Расстояние является инвариантным к повороту изображения и выражается через моменты:

Ф= ' » 01

+ И01

С00 ^00

(14)

Вместо инварианта (14) в качестве признаков можно использовать инварианты С С , С по отдельности, а также другие инварианты, построенные согласно (9), (10)

с использованием комплексных моментов С)0, С0] (С^С^, С30С^ и т.д.).

Таким образом, набор признаков для распознавания объектов должен состоять из инвариантов:

1) построенных с использованием комплексных моментов младших порядков (к + 5 < 1) и обеспечивающих локализацию объекта;

2) построенных с помощью комплексных моментов высоких порядков (к + в>1) и обеспечивающих распознавание (различение) объекта.

Вопросы отбора необходимого множества инвариантов будут рассмотрены в следующем разделе.

4. ВЫБОР СИСТЕМЫ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ (РАСПОЗНАВАНИЯ)

ОБЪЕКТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИИ

Задача отбора признаков, обеспечивающих качественное решение поставленной задачи, является одной из основных проблем распознавания образов. Очевидно, при неограниченном росте числа функционально независимых признаков объект может быть идентифицирован с требуемой достоверностью. Однако при этом необходимо соблюдение разумного баланса между вычислительной сложностью используемого алгоритма расчета признаков и качеством решения задачи.

При применении в качестве признаков моментных инвариантов возникают вопросы, связанные:

1) с ограничением порядка комплексных моментов, используемых при построении инвариантов;

2) с синтезом различных инвариантов для заданного порядка комплексных моментов.

Основное влияние на сложность и качество решения задачи оказывает порядок моментов, поскольку только при повышении порядка ( как отмечалось выше) возможно увеличение числа функционально независимых инвариантов. Увеличение числа моментных инвариантов за счет синтеза различных комбинаций (в том числе функционально зависимых друг от друга) комплексных моментов до заданного порядка эквивалентно усложнению вида разделяющих поверхностей между классами в подпространстве признаков, состоящем из подмножества функционально независимых признаков |9|.

Исходя из сказанного, рекомендуется следующий алгоритм построения и отбора признаков:

1) задается начальный порядок К треугольной матрицы комплексных моментов Сь (к + 8<К);

2) для заданного порядка конструируются согласно (9). (10) различные комплексные инварианты; в качестве признаков принимаются вещественные и мнимые части, модули комплексных моментов, а также, возможно, их нелинейные комбинации (выбор конкретных инвариантов зависит от множества факторов, например, от вида распознаваемых объектов, и носит во многом эвристический характер);

3) из синтезированного набора признаков отбираются наиболее информативные признаки. Для оценки информативности можно использовать вероятностные характеристики, полученные путем полного моделирования процесса распознавания объектов на изображении. Однако с целью уменьшения трудоемкости отбора признаков возможно использование некоторой меры в пространстве признаков, например, расстояния Махаланобиса между классами |9]. Для отбора признаков можно использовать алгоритмы с наращиванием набора информативных признаков ("селекции вперед"), с

отсевом малоинформативных признаков ("селекции назад") и комбинированные алгоритмы еелекции |10);

4) производится проверка достаточности выделенного набора для решения задачи распознавания; в случае, если набор не обеспечивает решение задачи, порядок комплексных моментов увеличивается, и пп.2-4 повторяются с использованием отобранных на предыдущем шаге инвариантов.

5. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА МОМЕНТНЫХ ИНВАРИАНТОВ

Итак, алгоритм вычисления заданного набора моментных инвариантов для каждого

положения скользящего окна на изображении включает следующие этапы:

1) вычисление треугольной матрицы моментов (к + й^К) до заданного порядка

К;

2) вычисление линейных комбинаций моментов, задающих вещественные и мнимые части требуемых комплексных моментов;

3) вычисление значений моментных инвариантов.

Рассмотрим указанные этапы и приведем оценки вычислительной сложности реализуемых алгоритмов.

Как правило, окно обработки имеет прямоугольную форму и без существенной потери общности его можно положить симметричным относительно центрального элемента:

й-М, ¿т! 5М,; -М2<т2<М2, где М,,М2 - параметры, задающие границы окна по координатам. Выбор размеров окна

определяется условиями решаемой задачи (при обнаружении и распознавании размеры окна должны превышать размеры объекта).

Для такого окна применим параллельно-рекурсивный алгоритм вычисления моментных характеристик |7.8], в соответствии с которым организуется (каскадно по осям координат) рекурсия с использованием моментов младших порядков, определенных для предыдущего положения окна:

к

^к(п1'п2) = - 1.п2) + (-М,)кх(п, + М,,П2) -

¡-о

-(М.+1)кх(п1-М1-1,п2)>

5 1-0

-(М2 + 1)$цк(п,,п2-М2-1), 0 < к £ К, 05 б 2 К - к.

Данный алгоритм позволяет за один проход изображения скользящим окном вычислить все нужные моментные характеристики. Вычислительная сложность алгоритма определяется только порядком рассчитываемых моментов и не зависит от размеров окна обработки. Для вычисления треугольной матрицы моментов порядка К требуется операций сложения и и^ операций умножения на каждый отсчет обрабатываемого изображения, где

„ К(К + 2)(К + 7)

(К + 1)(К + 3)(К + 8) U" " 6 ' « 6

На этапе расчета линейных комбинаций моментов (6) число операций зависит от набора комплексных моментов, необходимых при вычислении инвариантов. Для пары комплексно сопряженных моментов достаточно определения только двух комбинаций, поскольку

Re(CJ = Re(CJ> ta(cj—Im(cJ.

Следовательно, при использовании треугольной матрицы комплексных моментов С^ (0<к<К, 0 < s S К - к) порядка К необходимо определить только i элементов

матрицы С (0sk<K, 0 £ s < min(k,K - k)):

i =

К + 2 "к + з"

L 2 J L 2 J

где [п] - целая часть числа п. При этом количество арифметических операций сложения и и умножения и составляет

, к

к=0 К

к

L2.

ис =-У

ш Ч

к-2

к

L2J

+ 1

+ 1

к

L2

+ 5

К

L2

+ 1

К

L2

+ 5

к

L2.

+ 2

к

L2J

+ 3

К

L 2 J

+ 1

К

2 J

+ 2

К.

L 2 J

+ 3+1.

На практике количество операций умножения может быть ниже приведенной оценки за счет оптимизации вычислительного процесса (например, некоторые коэффициенты в линейных комбинациях оказываются равными единице).

При вычислении моментных инвариантов согласно (9), (10) число операций определяется количеством комплексных умножений, используемых при построении набора инвариантов. В частном случае, при использовании алгоритма с выбором базового элемента (например, С0| - см. п.2) число операций для вычисления инвариантов

составляет:

+ К-1, U* = 2U*.

U* = 2 "к + Г ~К + 2~

а - 2 - . 2 .

Таким образом, независимость числа выполняемых операций на всех этапах расчета инвариантов от размеров окна обработки делает рассмотренный алгоритм высокоэффективным как с точки зрения вычислительной сложности и реализации алгоритма, так и с точки зрения качества решаемой задачи обработки изображения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе развивается общий подход к построению моментных инвариантов и формированию из них функционально независимого набора признаков, рассматриваются особенности и вводятся инварианты, обусловленные спецификой

технологии "скользящего окна", предлагаются алгоритмы отбора признаков по информативности и вычисления инвариантов на изображении в скользящем окне. Приведены оценки вычислительной сложности для алгоритма расчета, которые дают основание считать моментные инварианты перспективными для применения в задачах обработки изображений.

Литература

1. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобии В.К Распознавание и цифровая обработка изображений. - М.: Высшая школа, 1983. - 295с.

2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. - М.: Мир, 1982. -Кн.2. -

792с.

3. Abu-Mostafa К, Psoitis D. Image Normalization by Complex Moments // IEEE Trans. Pattern Anal.Mach.IntelJ, pp. 46-55. Jan.1985.

4. Abu-Mostafa K, Psoitis D. Rccognitive Aspects of Moment Invariants // IEEE Trans. Pattern Anal.Mach.Intell, pp. 698-706, Nov. 1984.

5. Maghsoodi R., Rezaie B. Image Registration Using a Fast Adaptive Algorithm //Methods of Handling and Processing Image.- SPIE.- 1987,- vol.757.- pp.58-63.

6. Maumpa С. Моментные инварианты // ТИИЭР. 1979. - N 4, - C.297-

299.

7. Glumov N.I., Krainukov N.I., Sergeev V.V., Khramov A.G. The Fast Algorithm of Image Approximation in a Sliding Window // Pattern Recognition and Image Analysis. - N 4, 1991, pp. 424-426.

8. Глумов Н.И., Коломиец Э.И., Сергеев В.В. Информационная технология распознавания объектов на изображении в режиме скользящего окна // Научное приборостроение, N 1, 1993.

9. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. - М.: Мир. 1978. - 412с.

10. Кутин Г.И. Методы ранжировки комплексов признаков. Обзор // Зарубежная радиоэлектроника. - 1981. -N 9. -С.54-70.

Международный центр научной и технической информации

- принимает заказы на выполнение редакционно-издательских и полиграфических работ;

- размещает рекламу в своих изданиях;

- публикует статьи и различную информацию заинтересованных организаций в изданиях МЦНТИ либс в виде отдельных выпусков на договорной основе.