CC BY
37
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
УДК 666.9-127
А.В. Заболотский, к.т.н.
ООО "Группа "Магнезит" Санкт-Петербург, Российская Федерация
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ПОРОВОЙ СТРУКТУРЫ КЕРАМИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Аннотация
Построена математическая модель структуры керамического материала для определения параметров проницаемости. С помощью метода клеточных автоматов рассчитаны значения содержания мелкой фракции в шихте и общей пористости материала при которых материал становится газо- или влагопроницаемым. Даны определения пор различных типов, в зависимости от их размера, наличия или отсутствия их выхода на поверхности образца и определена их количественная зависимость от общей пористости. На конкретном примере огнеупорного бетона продемонстрировано применение полученных результатов для построения модели пористой структуры материала без применения прямого численного моделирования.
Ключевые слова
Структура, огнеупоры, керамика, перколяция, моделирование, проницаемость.
Введение.
Свойства керамических и, в частности, огнеупорных материалов определяются их химической природой и микроструктурой. Последняя формируется в процессе производства, которое в общем случае представляет собой смешение сырьевых порошкообразных материалов различного зернового состава, формования путем прессования или налива (для гидравлически твердеющих материалов) и термической обработки для спекания связующих компонентов в случае обжиговых материалов или удаления временной связки в случае применения органических и гидравлических связующих. Таким образом, структура керамического или огнеупорного материала в общем виде представляет собой комбинацию крупных, как правило, беспористых зерен (заполнителя) размером 0,1 - 10 мм и тонкодисперсной матрицы, состоящей из мелких зерен (менее 0,1 мм), тонкодисперсного связующего и пор, которые согласно классификации, приведенной в [1], относятся к классу "первичных" дефектов структуры. Исследование материалов, в которых зерна заполнителя обладают собственной пористостью оставлено за рамками этой работы. Для того, чтобы материалы этого класса обладали достаточными прочностными характеристиками необходимо, чтобы матрица образовывала непрерывный стягивающий кластер, то есть кластер, выходящий одновременно на противоположные грани расчетной области (в частном случае всего изделия), и обволакивала зерна заполнителя. Условимся, что кластером, является совокупность близких по размеру составляющих материала (твердые зерна или поры), которые касаются друг друга, то есть между двумя любыми элементами кластера можно провести путь, нигде не прерывающийся и не выходящий за пределы этого кластера.
В дальнейшем будем рассматривать керамический материал как иерархическую структуру (подразумевается размерная иерархия). Первым уровнем иерархии будем считать крупные зерна заполнителя и находящуюся между ними матрицу, состоящую из тонкодисперсных компонентов и поры. Структуру матрицы будем считать вторым уровнем иерархии. Во многих керамических материалах, например бетонах, толщина слоя матрицы соизмерима с размерами крупных зерен. При этом, как было показано выше, для обеспечения прочности материала матрица должна образовывать в нем непрерывный стягивающий кластер (назовем его стягивающим кластером первого порядка).
Материал будет проницаемым, если фаза пустоты (поры) в свою очередь образует также стягивающий кластер. Причем, как было отмечено выше для широкого класса бетонов и керамики, поры могут образовываться только в матрице. То есть, они должны образовывать стягивающий кластер в стягивающем кластере - кластер 2-го порядка. С точки зрения микроструктуры керамических и других многофазных конструкционных материалов, определяемой зерновым составом исходных компонентов, для
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
моделирования проницаемости могут быть интересны также кластеры более высоких порядков, учитывающие зерновой состав матрицы и распределение пор материала по размерам.
Модель материала, содержащего структурные кластеры 1-го и 2-го порядков схематично изображена на рис. 1. Цифрами на рис. 1 обозначены: 1 - крупное зерно заполнителя (все крупные сферы), 2 - матрица, структура которой детально не показана (стягивающий кластер первого порядка), 3 - одиночная пора в матрице, 4 - изолированный кластер пор (крупная пора, не имеющая выхода на поверхность расчетной области), 5 - стягивающий кластер пор, выходящий на противоположные грани расчетной области (кластер второго порядка).
Рисунок 1 - Модель структуры бетона.
В реальных керамических изделиях характерные соотношения "размер поры - размер изделия" могут варьироваться в пределах от 1/50 до 1/10000. Соответственно, при рассмотрении полной модели изделия количество элементов может достигать величины 1012 и более (при несимметричной вытянутой форме изделия). При этом, поиск стягивающих кластеров в такой системе потребует больших временных затрат или мощных ЭВМ. Построение компьютерных моделей пористого тела производится статистическими методами случайным образом, поэтому для получения надежных статистических данных требуется проводить достаточное количество вычислительных опытов. В среднем один расчет на модели, содержащей 106 элементов, занимает несколько минут при использовании персонального компьютера со средним быстродействием. Для достижения доверительного интервала в 5 - 10 % необходимо осуществить несколько десятков последовательных расчетов, что требует уже значительного времени. В свете этого актуально статистическое исследование образования кластеров в системах различного размера с целью получения рабочих моделей меньшей размерности для уменьшения времени расчета.
Таким образом, целью данной работы является построение математической модели поровой структуры керамического материала, которая позволит моделировать проницаемость материала газами или жидкостями, а также процесс сушки сырца при использовании гидравлических вяжущих, не требуя больших вычислительных мощностей.
Построение модели.
На первом этапе работы были исследованы кубические расчетные области с соотношением размера включений к размеру области от 1/10 до 1/300. Рассматривалась кубическая решетка, в которой каждый элемент имеет 6 соседей, то есть соседними считались только элементы, имеющие общую грань. Это обосновано тем, что в реальных материалах поры и зерна имеют округлые формы, таким образом, включения фактически могут объединяться в кластеры только в случае наличия общей грани (шар, вписанный в куб
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
касается его граней и не касается его углов и ребер).
Для расчета использовались алгоритмы, подготовленные автором и основанные на методе клеточных автоматов [2]. Разработанные правила автомата позволяли в рамках одной модели, описывающей геометрию расчетной области разделять стягивающие, нестягивающие кластеры, точки принадлежащие матрице и одиночные включения (поры).
Для анализа вычислялись следующие величины: доля включений, вовлеченных в кластеры (то есть рассматривались включения, имеющие в качестве соседей хотя бы одно аналогичное включение) с разделением на стягивающие и изолированные кластеры, доля одиночных включений, вероятность образования стягивающего кластера и средняя относительная глубина фильтрации (средняя глубина проникновения кластера, выходящего на одну из поверхностей, в расчетную область, отнесенная к характеристическому размеру расчетной области по направлению, в котором необходимо исследовать проникновение). Типичный вид зависимости этих величин от доли включений приведен на рис. 2 и 4. Необходимо отметить, что доля включений, вовлеченных в кластеры не зависит от относительного размера включений, в то время как вероятность образования стягивающего кластера и средняя относительная глубина фильтрации являются функциями этого параметра.
Исследование модели.
Для технических целей необходимо различать стягивающие и изолированные кластеры, а также кластеры, выходящие на одну из поверхностей области расчета и одиночные включения, поскольку с точки зрения проницаемости материалов важны пустоты, соединяющиеся с внешней средой, в то время как изолированные включения могут играть роль концентраторов механических напряжений и становиться инициаторами роста трещин. Механические напряжения в системе могут являться результатом внешних механических или тепловых воздействий, а также побочным эффектом массопереноса в системе, например, в процессе сушки сырца [3].
На рис. 2 приведен график зависимости доли включений, входящих в различные ассоциации, в зависимости от общей доли включений. При общей доле включений менее 10 % основная их часть представлена одиночными включениями, при количестве включений 10 - 30 % большую часть составляют одиночные включения и изолированные кластеры; при общей доле включений 30 - 40 % совершается переход, в результате которого основную часть включений начинают представлять непрерывные кластеры, а изолированные кластеры и одиночные включения составляют менее 10 % от общего количества.
Соотношение изолированных и открытых кластеров
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
>s
X Q) т 2
ш
CK
с;
о
у/
ДОГ» MW4MW ВЖОДМЦИЯ • КЛЯС?*0М
•ыкхэяи*« ма гаомриюстъ доля KncNewH • ихширом»*«*! «лас'ера» aorw 0ДИНС»«ИЬ1« вКЛЮчвм»»*
■ ■ ■ ~ г— 1
ю
45
50
55
15 20 25 30 35 40
Доля включений, %
Рисунок 2 - Соотношение включений разных типов в зависимости от их общего количества.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
Этот результат объясняется наличием перколяционного перехода 1-го порядка (образование стягивающего кластера, имеющего выход на противоположные грани расчетной области) при превышении общим количеством включений доли в 31 - 32 %.
Вероятность образования стягивающего кластера на кубических решетках была подробно исследована ранее другими исследователями [4]. Согласно их результатам перколяционный переход лежит в пределах 3132 % включений. В данном статистическом исследовании получен результат, что данный параметр лежит в интервале 22 - 46 %, причем при уменьшении относительного размера включения диапазон перехода сужается и приближается к указанной аналитической оценке (рис. 3). Так, при относительном размере включения 1/10 вероятность образования стягивающего кластера изменяется от 0 до 100 в интервале доли включений от 22 до 46 %, а при уменьшении относительного линейного размера в 10 раз (изменение объема включения в 1000 раз), интервал сокращается до области от 30 до 32 %.
Рисунок 3 - Влияние относительного размера включения на образование стягивающих кластеров.
Зависимость средней относительной глубины фильтрации в расчетной области от размера включения приведена на рис. 4. Очевидно, что с уменьшением размера включения минимальная доля включений, при которой средняя глубина фильтрации достигает 100 % (материал становится проницаемым) стремится к значению 31 - 32%. Влияние относительного размера включений на глубину (эффективность) фильтрации, как следует из представленных графиков, весьма существенно. При уменьшении относительного размера включений переход от непроницаемого тела к проницаемому становится более резким (рис. 4).
12 16 20 24 28 Доля включений, %
Рисунок 4 - Глубина фильтрации в зависимости от размера включений и их доли
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
Важным параметром для дальнейшего технического применения стягивающих кластеров, и при переходе к рассмотрению стягивающих кластеров более высокого порядка, является длина пути по стягивающему кластеру между противоположными гранями области. На рис. 5 приведены расчетные значения средней длины кратчайшего пути для областей различной размерности (по результатам множества вычислительных опытов), нормированные к размеру объекта, т. е. за единицу средней длины пути принят размер расчетной области в направлении движения. Этот график получен при помощи метода клеточных автоматов, длину кратчайшего пути определяли по числу шагов метода до получения первого решения (длина шага метода равна геометрическому размеру включения или элемента твердой фазы). Также интересно решение по длине пути в кластере, полученное методом случайных блужданий. Этот подход может при введении соответствующих ограничений описывать свободную диффузию сквозь пористое тело, либо диффузию при определенном состоянии внешней по отношению к объекту среды. На рис. 6 приведен график, полученный методом случайных блужданий.
матрицы,
Рисунок 5 - Средняя протяженность кратчайшего пути в стягивающем кластере
График на рис. 5 демонстрирует, что при содержании включений 30 - 35% средняя длина пути по кластеру составляет 3-5 линейных размеров расчетной области (который легко пересчитывается в фактический размер изделия). При увеличении доли включений до 35 - 45 % средняя длина пути составляет 2-3 размера области расчета, а к 50 -70 % включений падает до полутора линейных размеров области и менее.
Результаты расчета длины пути в кластере методом случайных блужданий
50 52 54 56 58 60 62 Доля включений, %
Рисунок 6 - К определению длины пути в стягивающем кластере методом случайных блужданий
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
Суть использованных алгоритмов заключалась в следующем. Для метода клеточных автоматов на первом шаге выбирались все возможные точки начала движения на одной из поверхностей области - точки включений на данной поверхности. На втором и последующих шагах определялись все возможные перемещения из точек, определенных на предыдущем шаге. Соответственно, длиной пути считали количество шагов, необходимых для достижения противоположной грани исследуемой области. Метод случайных блужданий заключался в выборе одной случайной точки на поверхности входа, далее рассматривалась возможность движения, в первую очередь в направлении поверхности выхода, а при невозможности движения случайным образом генерировалось альтернативное направление. Приоритетность направления в сторону грани выхода обусловлена тем, что в реальных системах, как правило, перемещение в материале происходит под действием внешних сил, действующих в определенном направлении. Например, роль такой движущей силы может играть вентиляция в окружающем изделие пространстве при его сушке, обеспечивающая удаление выделяющейся воды и поддерживающая градиент концентрации водяного пара во внутренних полостях материала и внешней среде. После перемещения в новую точку процесс поиска путей повторялся. В расчет принимались только те итерации, которые приводили к достижению противоположной грани расчетной области.
В обоих случаях наблюдается сокращение длины пути при увеличении доли включений, однако, метод случайных блужданий требует приблизительно в три раза больше итераций для нахождения решения. На графике рис. 6 приведен результат вычислительного эксперимента, в котором для нахождения пути использовали 1000 попыток. Колебания длины пути в левой части графика вызваны тем, что количество успешных попыток составляло менее 5 % от общего числа, то есть количество проведенных вычислительных опытов недостаточно для надежного определения среднего значения.
Уменьшение средней длины пути при возрастании доли включений очевидно, так как возрастает насыщенность кластера и, как следствие, число возможных перемещений из любой его точки. Это приводит к возникновению новых, в том числе и более коротких маршрутов.
Среди реальных керамических материалов многофазные структуры, которые описываются кластерами первого порядка встречаются редко (например цементный камень, не содержащий наполнителя, который, как правило, не находит применения в промышленности или строительстве). В основном поровая структура керамических материалов может быть представлена кластерами 2-го и более высоких порядков, в зависимости от сложности зернового состава наполнителя и матрицы. Примером материала для применения перколяционнного кластера 2-го порядка может служить бетон, содержащий крупные зерна наполнителя, распределенные в матрице, состоящей из мелкодисперсного наполнителя, связующего и пустот. Объемная доля матрицы составляет в бетонах 40 - 70 %. В свою очередь, общая пористость бетонов составляет 10 - 20 % или, иными словами, пористость матрицы достигает 15 - 50%.
Таким образом, согласно предыдущим рассуждениям, матрица в бетоне гарантированно представляет собой стягивающий кластер, поры в котором представляют собой кластер, который может оказаться как стягивающим так и нет. Соответственно, необходимо провести анализ кластеров второго порядка, используя следующие входящие данные: доля мелкой фракции и связующего в бетоне, общая пористость бетона, средние размеры пор в материале и средняя толщина слоя матрицы в бетоне. Все эти данные содержатся в нормативно-технической документации на производство бетона и результатах микроструктурного анализа материала.
На рис. 7 приведен график зависимости пористости матрицы от ее содержания в конечном материале и общей пористости материала. Уровень критической пористости матрицы (при котором совершается перколяционный переход 1-го порядка) приведен на графике в качестве линии 30 %. Очевидно, что при общей пористости 12 % и менее, материал будет непроницаемым, а при пористости свыше 20 % будет проницаемым во всех случаях (для технически значимой области матрицы). Иными словами точка перколяционного перехода 2-го порядка для бетонов находится в этих пределах (12 - 20 % общей пористости). В общем случае перколяционный переход 2-го порядка может происходить и при содержании матрицы 31 - 32 % в материале, пористость которой составляет 31 - 32 % то есть при общей пористости материала 9,6 - 10,2 % (от 0,312 до 0,322).
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
Действительно, как было показано выше, кластеры первого порядка (в данном случае пористая матрица) испытывают перколяционный переход при содержании доли включений около 31 %. Для оценки перколяционного перехода второго порядка следует представить стягивающий кластер первого порядка в виде вытянутого кластера, основание которого соответствует площадке (типичному сечению матрицы между зернами наполнителя), а длина вычисляется исходя из кратчайшего пути в кластере между противоположными гранями расчетной области, в данном случае, изделия.
Пример использования результатов.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть размер зерен наполнителя в бетоне равен 6 мм, как правило, линейный размер сечения матрицы (среднее расстояние между зернами) будет иметь тот же порядок, а средний размер поры составляет 0,06 мм. Типичный размер бетонного изделия - 300 мм, а объемная доля матрицы - 45 %. Общая пористость материала - 15 % Таким образом, можно рассмотреть систему как кубический кластер с длиной ребра 50. В данном случае фактическая длина одного элемента расчетной области составит 6 мм (размер зерна наполнителя или линейный размер сечения матрицы), а длина ребра будет соответствовать размеру изделия.
Зависимость пористости матрицы от общей пористости
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Доля матрицы, %
Рисунок 7 - Зависимость пористости матрицы от общей пористости системы
При этом кластер 1-го порядка, представленный матрицей, будет стягивающим, и кратчайший путь между противоположными гранями составит около 75 шагов (значение получено экстраполяцией данных рис. 5), то есть 450 мм.
Представим, теперь поровую структуру матрицы в виде кластера пор, распределенных в непроницаемом материале. Очевидно, что размер области расчета следует выбрать 6х6х450 мм (учитывается площадь сечения кластера и его длина), а размер элемента 0,06 мм. Количество элементов при этом составит 75 миллионов (при прямом моделировании с использованием кубической области необходимое количество элементов составит уже 125 миллиардов). Однако, согласно данным рис. 7 данный кластер будет стягивающим (пористость матрицы составит 35 - 36 %), а общая длина этого кластера составит 2,75 миллиона шагов или 165 метров. При этом длина кратчайшего пути в таком кластере составит около 1,5 метра. Нетрудно оценить, используя рис.2 общую площадь внутренней поверхности пор и их кластеров, выходящих на поверхности изделия, которые приблизительно для данной задачи составляют 8500 и 6000 м2/м3 соответственно. Общий объем канальных пор, имеющих выход на поверхности тела составит для данной задачи 0,1 м3/м3, а их общая длина около 60000 м/м3.
Таким образом, проведенное исследование позволяет проводить оценку структуры иерархически
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_
организованных материалов, не прибегая к громоздким вычислениям и детальным микроструктурным исследованиям. Выводы.
Проведено математическое моделирование структуры керамического (бетонного) материала с применением теории перколяции и статистических методов с целью получения зависимостей проницаемости материала от его пористости. Представление материала в виде иерархической структуры позволило определить области содержания мелкой фракции, в которых материал приобретает достаточную механическую прочность и пористости, при которой материал становится проницаемым. Для описания структуры в рамках математической модели включения (поры) разделяли на отдельные изолированные поры, изолированные кластеры включений и стягивающие кластеры. Определены количественные характеристики для всех перечисленных структур включений.
Установлено, что проницаемый материал должен содержать не менее 30 - 32 % матрицы, состоящей из мелкой фракции, связующего и пор для обеспечения механической прочности. Матрица, в свою очередь должна обладать собственной пористостью 30 - 32 % или более для того, чтобы материал был проницаемым, то есть пористость проницаемого материала с двухуровневой иерархией структуры должна составлять не менее 9,6%.
На примере огнеупорного бетона, известного зернового состава определена расчетная длина проницаемых пор, площадь их внутренней поверхности и объем без применения прямого моделирования структуры. В использованном примере размер слоя матрицы был соизмерим с размером крупных зерен заполнителя (по данным микроструктурного анализа). В случае, если зерна заполнителя значительно превышают толщину матрицы в материале, что часто встречается в керамических обжиговых материалах, данный подход также может быть использован, однако, при построении модели кластера 1-го порядка потребуется введение дополнительных размерных ограничений. Данное исследование оставлено за рамками выполненной работы.
Список использованной литературы:
1. В.А. Перепелицын, Ф.Л. Капустин, К.Г. Земляной, Л.В. Остряков, Л.П. Яковлева, И.Г. Марясев, Л.М. Михайловская. Генезис трещин в огнеупорах. Новые огнеупоры, 2016, № 8, с 23-30.
2. С. Г. Псахье, Г.-П. Остермайер, А.И. Дмитриев, Е.В. Шилько, С.Ю. Коростелев. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание. Физическая мезомеханика. 2000, т. 3, № 2, с. 5 - 13.
3. А.В. Заболотский, Л.М. Аксельрод. Моделирование разрушения крупных бетонных блоков при сушке под воздействием термической нагрузки. XV Минский международный форум по тепломассообмену. Минск, 2016, т. 3 с. 133 -136.
4. Шкловский Б. И., Эфрос А. Л., Электронные свойства легированных полупроводников, М., Наука, 1979, 416 с.
© Заболотский А.В., 2017
УДК 621.31
Ильченко И.В., Кирпичай Р.А., Кирпичай О.А.
Студенты 4 курса
Кубанский государственный аграрный университет имени И.Т. Трубилина
г. Краснодар, Российская Федерация
СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ЭНЕРГЕТИКИ ДЛЯ АПК
Аннотация
Выполнен обзор текущего состояния энергетики агропромышленного комплекса. Рассмотрены пути и
