Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Горбунов В.К., КозловаЛ.А.

УДК 338.2:001.895

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИИНВАРИАНТНЫХ ИНДЕКСОВ ПОТРЕБЛЕНИЯ

1. Введение.

Используемые в экономико-статистической практике индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических, рассчитываемых по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества соответствующих индексируемым периодам динамики некоторого рынка продуктов (благ) конечного потребления [7], [5]. Эти многочисленные методы представляют субъективизм исследователей и политиков, но игнорируют субъективизм и рациональность потребителей, приспосабливающихся к меняющейся конъюнктуре в соответствии со своими предпочтениями. В условиях экономической нестабильности они дают неприемлемо большие расхождения [5], [1].

Первым шагом построения индексов потребления, учитывающих рациональность потребителей, была работа А.А.Конюса [8] (1924). В ней был предложен "истинный индекс стоимости жизни" (ИСЖ), как отношение стоимостей двух наборов товаров - реального, потреблённого в базовый период при соответствующих ценах, и виртуального, обеспечивающего в новых ценах базовый уровень потребления. При этом уровень потребления измеряется значением функции полезности, представляющей систему предпочтений потребителей. Идея Конюса получила развитие во многих зарубежных работах [16] и привела к созданию нового направления индексологии - теории "экономических" или "аналитических" индексов потребительского спроса.

Однако, несмотря на очевидную прогрессивность этой идеи, аналитические индексы до настоящего времени не вошли в полной мере в статистическую практику и спорадически появляются как объект исследования в отдельных научных публикациях [19], [9], [10]. Мы выделяем две основные причины, препятствующие развитию и внедрению в статистичес-

кую практику аналитических индексов, - техническую и методологическую.

Техническая причина заключается в сложности построения аналитических индексов в общем случае. Такие индексы определяются [16], [4] через функцию потребительских расходов, которая представляет минимальные расходы потребителей данного рынка, обеспечивающие при заданных ценах покупку набора товаров, эквивалентного заданному набору [15]. Предпочтения ансамбля потребителей, определяющие наблюдаемый на рынке спрос, должны быть представлены соответствующей порядковой функцией полезности. Такая функция должна строиться по статистическим данным с неизбежными погрешностями. Соответствующая "обратная задача" в полном объёме (построение рационализирующей вогнутой и дифференцируемой функции полезности) достаточно сложна и до настоящего времени методы её решения далеки от завершения [4].

Методологическая причина, сдерживающая развитие аналитического направления, заключается в известной несостоятельности традиционно излагаемой теории потребительского спроса как раздела микроэкономики [15]. Здесь одна и та же модель максимизации функции полезности на множестве товаров ограниченной стоимости применяется как к индивидуальному потребителю, так и к ансамблю потребителей некоторого рынка. Такая схема объясняется желанием построить теорию макрообъекта - рыночного спроса - через теорию микрообъекта - индивидуального потребителя, причём на основе одинаковой аналитической модели максимизации полезности. При этом естественно возник вопрос об аналитических свойствах индивидуальной и коллективной функций полезности, обеспечивающих корректное агрегирование [15]. Ответ был дан в статье У. Гормана 1953 года [14]. Оказалось, что необходимым и достаточным условием корректного агрегирования является

"выпрямление" кривых Энгеля для всех покупателей, причём все индивидуальные прямые Энгеля должны быть параллельными. Аналогичный результат получен в последние годы В.И. Зоркальцевым [6]. Класс соответствующих предпочтений является некоторым обобщением однородных предпочтений, совершенно недостаточным для представления известных свойств наблюдаемого рыночного спроса, установленным на основе анализа торговых статистик (классификация благ как ценных, малоценных, заменителей, допол-нителей...).

Также необходимо отметить, что в традиционной схеме агрегирования индивидуальные потребители считаются автономными и независимыми. Но это протеворечит очевидному взаимовлиянию потребителей через обычаи и моду, а также влиянию рекламы и другим эффектам.

Далее, в 70-е годы XX столетия было установлено (теорема Дебре-Зонненшейна-Ман-теля [17], [18]), что агрегированный спрос, являющийся суммой индивидуальных спро-сов, которые порождаются различными предпочтениями классического типа (полных, непрерывных, транзитивных,...), может быть произвольной непрерывной функцией, удовлетворяющей расходному тождеству (закону Валь-раса). Это, очевидно, также противоречит упомянутым свойствам рыночного спроса. Эти свойства воспроизводятся классической моделью максимизации полезности, которая накладывает жёсткие аналитические ограничения на функции спроса требованием отрицательной полуопределённости и симметричности матрицы Слуцкого [15], [4].

Требование необходимой почти-однород-ности индивидуальных и коллективных предпочтений, а также эффект Дебре-Зонненшей-на-Мантеля, делают несостоятельной традиционную схему построения теории потреблений "от индивидуального потребителя к коллективному" на основе одной и той же аналитической модели максимизации (порядковой) функции полезности. Однако эта несостоятельность не является основанием для отказа от позитивной части классической теории потребительского спроса, состоящей в формализации описания основного объекта теории -рыночного (агрегированного) спроса, представляющего не отдельных потребителей, а их статистически значимые ансамбли, а также

эффективный аппарат его качественного и количественного анализа.

Способ освобождения теории потребительского рыночного спроса от описанных противоречий достаточно очевиден [4]. Именно анализ статистических данных, представляющих ансамбли потребителей, привёл классиков теории спроса (Курно, Энгель, Госсен,...) к математической модели максимизации функции полезности и развитию современного аналитического и вычислительного аппарата. Поэтому статистический ансамбль потребителей необходимо взять за априорный объект теории и признать, что для описания индивидуальных потребителей более уместен аппарат дискретных вероятностных процессов. Аналоги использования различного математического аппарата для описания сложных ансамблей и их компонент представляют физические теории сплошных сред. Поведение молекул газов и жидкостей описывается как броуновское движение (дискретный стохастический процесс), а поведение газа и жидкости, состоящих из таких молекул, - детерминированными дифференциальными уравнениями.

Разумеется, любая теория имеет свои границы применения, и функция полезности, "рационализирующая" статистические данные, существует не всегда, особенно в периоды резких социально-экономических изменений. Но в такие периоды, как показывают исследования [5], [1], традиционные бинарные статистические индексы также несостоятельны для адекватной макроэкономической (агрегированной) оценки ситуации на потребительских рынках. Эффективный критерий адекватности рынков конечного потребления классической модели максимизации коллективной функции полезности был получен в 1967 году в работе С. Африата [13]. Эта работа открыла новое плодотворное направление в конструктивной теории потребительского спроса, цель которой - количественное исследование реальных рынков конечной продукции, в частности, построение индексов потребления. На основе этой работы X. Вэриан развил "непараметрический анализ" потребительского спроса [19], [20]. Этот метод в ограниченном варианте (для однородных предпочтений) использован, в частности, в работах [9], [10] для построения инвариантных индексов потребления [16] методом поэтапного поиска номенклатурных подгрупп, спрос на которыеодноро-ден4. Положительный, хотя и ограниченный относительно потенциальных возможностей

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

опыт применения непараметрического метода к реальным данным, приведенный в этих работах, говорит о достаточно широких границах применимости классической модели потребления для построения индексов.

В предлагаемой работе излагается сущность аналитического подхода и непараметрического метода решения обратной задачи потребления, описываются и исследуются квазиинвариантные индексы потребления, введённые в [4] как обобщение инвариантных индексов на случай неоднородных предпочтений.

2. Аналитические индексы потребительского спроса. Аналитические (экономико-теоретические) индексы спроса определяются [16] в рамках классической модели максимизации ординальной функции полезности и(х), определенной в пространстве п товаров , при бюджетном ограничении:

и(х(р,е)) = шах|и(хр,х} - е,х > 0}. (1)

Здесь и далее р > 0 - вектор цен, е - расходы потребителей (точнее, покупателей) данного рынка товаров, ^р,х^ - скалярное произведение, представляющее стоимость сделанных покупок х. При этом неявно принимается гипотеза существования коллективной функции полезности, представляющей усреднённые (и реально взаимодействующие между собой) предпочтения индивидуальных потребителей, и порождающей коллективный отклик на ценовую ситуацию р в виде совокупных расходов е и количеств покупок х, представляемых как отображение (векторная функция) спроса х(р,е). Вопрос об адекватности данной модели конкретному рынку, представленному статистическими данными

{р(,х' ,е( -(р(,х'):(-ОТ}, (2)

эффективно решается с помощью приводимой ниже теоремы Африата [13]. При этом выясняется возможность использования монотонно возрастающих и вогнутых функций полезности. Для углублённого анализа спроса (сравнительной статики) требуется также непрерывная дифференцируемость функций полезности до второго порядка.

Базовой функцией для аналитических индексов является функция потребительских затрат

е(р,х) = шт{(р,х^:и(х/)> и(х),х/ > о}.(3)

Эта функция определяет аналитические индексы цен и количеств на статистических данных (2), соответственно,

е(р,х) ы^ ^ л-е(х,р)

, р *,х) =

-, 0(х',х* ,р) .

. (4)

(р*,х)' У ' ' е(х*,р)

Индекс Конюса в этих обозначениях суть Р(р(,р*,х*) [4].

Качество индексов принято оценивать в соответствии с тестами Фишера [7], из которых основными являются тесты транзитивности, мультипликативности и промежуточности, несовместимые для бинарных статистических индексов [5]. Индексы (4) в общем случае транзитивны и перекрёстно мультипликативны, т.е. Р(р',р*,хг )о(х',хя,р*)-Ъ{ /.

Для них также выполняются односторонние оценки экстремальными элементарными индексами, но свойство промежуточности в общем случае не гарантировано [4].

Для вычисления функции затрат е(р,х), определяющей индексы (4), требуется функция полезности и(х), адекватная данному ансамблю потребителей, представленному статистикой (2). Эта проблема достаточно сложная, так как до настоящего времени не известно эффективных методов построения дифференцируемых функций (полезности) многих переменных со свойствами монотонности и вогнутости по конечному набору значений этих или порождаемых ими функций (спроса). Однако излагаемый ниже непараметрический метод построения функций полезности по данным (2) является основой частичного решения проблемы аналитических индексов - построения инвариантных [16] и квазиинвариантных [4] индексов.

3. Обратная задача теории потребления. Теорема Африата. Обратной задачей для модели (1) называется задача определения функции и(х) такой, что расчётный спрос х(р,е) на статистических значениях аргументов (р{ ,е()

совпадает (с точностью до погрешностей данных) с его наблюдаемыми значениями х{. Функцию и(х), удовлетворяющую этому условию, принято называть рационализирующей данные (2) [15]. При этом

и(х() - шах|и(х):(р , х) < е{, х > о}, ^ - ОТ

Ведём перекрестные стоимости наборов х* в ценах р1 - «кросс-коэффициенты»

и «числа

efe =(P,х* ^ а* = еы -е, (5)

Африата» щ - щ(хг )), Xг ,хг).

Имеет место [13], [4]

Теорема Африата. Существование непрерывной, монотонно возрастающей и вогнутой функции полезности, рационализирующей торговую статистику (2), эквивалентно положительной разрешимости системы линейных неравенств

и!! -щ -Xа* < 0, - 0,Т, я ф I. (6) Для обеспечения положительности решения системы (6) накладываются условия на две компоненты её решений {щ ,Хг|:

Х0 -1, и0 -е0. (7) Структура (6) позволяет сделать это без противоречия, так как эта система алгебраически однородна и для и-чисел {щ } важны не абсолютные значения, а их разности.

Для корректного агрегирования данных о потребительском спросе важно находить группы товаров, спрос на которые описывается моделью (1) с положительно однородной функцией полезности. В работе Вэриана [20] установлено, что в однородном случае выполняются равенства

щ -хе, (8)

и характеристическая система Африата (6) распадается на две эквивалентные системы, определяющие, соответственно, числа {щ | и {XгПервая из них - щ-система

егщ* < , *,г - 0,Т. (9)

Вторая - Х-система

X<Хгег**,г -0Т. (10)

При этом теорема Африата модифицируется очевидным образом. Для обеспечения положительности решений редуцированных "специальных" (для однородных предпочтений) систем (9) и (10) также используются (по-отдельности) условия (7).

Нахождение чисел {щ } и {Xг}, удовлетворяющих основной системе неравенств Африата (6) или её специальным вариантам (9),

(10), даёт интерполяционные условия для построения функций щ( х ) и X( р,Ь ):

щ(хг )- щ , X(pt ,Ъ, ^г, г - 0~Т. (11)

Как уже отмечено, до настоящего времени не существует эффективных методов построения функций многих переменных с условиями монотонности, вогнутости и дифференцируе-мости по интерполяционным условиям типа

(11). В [13], [20] указаны кусочно-линейные

функции полезности, удовлетворяющие условиям (11) и рационализирующие данные (2) в общем и однородном случаях. Такие функции неудобны для построения функции расходов (3), определяющей индексы (4). Для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов, однако, достаточно определение чисел Африата {щ } и {Xг }. Ввиду неединственности решений совместных систем неравенств на выбор этих чисел продуктивно наложить дополнительные условия. Кроме того, следует учитывать неизбежные погрешности данных (2), которые могут быть основной причиной возможной несовместности неравенств Африата.

4. Инвариантные и квазиинвариантные индексы. Известно [16], [4], что в однородном случае индексы (4) зависят только от индексируемых пар (р*,рг) или (х*,хг ) и выражаются

через функцию полезности и обратный множитель Лагранжа X(р) задачи (1), где е -1, обозначаемый далее

< р ) =

1

Ч р)

Соответственно, однородные аналитические индексы (4) обозначим

<рг)

Р*г - Р(рг, р* У—^,

о г - 0(хг, х* )

<х') .

(12)

По причине независимости этих индексов цен и количеств от сопряжённых величин (количеств и цен) они названы в [16] инвариантными индексами. Из определений (12) следует, что инвариантные индексы вычисляются по числам Африата {щ ,zt -1/Xг }, определяемым как решения специальных систем Африата (9) и (10):

Р _ X я _ Zt о

Р*г ~ - , 0*г - .

гг ' ^

X г zs щ

(12)

Инвариантные индексы удовлетворяют всем тестам Фишера, т.е. являются идеальными. Однако, реальные предпочтения потребителей для произвольных, в том числе содержательных для экономического анализа номенклатурных групп, не однородны, следовательно, эти индексы удаётся строить лишь для некоторых групп товаров [9], [10]. В удачном случае полученные инвариантные индексы, отнесённые к базовому периоду, т.е. {Р0г ,00г

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

можно считать агрегированными ценами и количествами потребления соответствующих товарных групп и продолжить процедуру поиска суперагрегатов, вплоть до получения скалярной пары индексов цен и количеств для исходной группы товаров.

Обобщение инвариантных индексов на общий неоднородный случай предложено в [4]. При этом по и-числам щ формально определяются квазимножители X( и обратные им числа -1/X(, обладающие свойством (8):

-с - е1

щ -X (е(, или zt - —.

щ

После этого можно определить индексные числа цен

Р _х5

--- л --I

X,

еи

(14)

ut

сохранив определение (13) для индекса количеств О ^.

Индексы цен (14), очевидно, транзитивны, и вместе с индексом количеств О^ они мультипликативны. В случае однородных предпочтений индексы ^ совпадают с инвариантными индексами (13), поэтому их естественно называть квазиинвариантными индексами потребления. Свойство промежуточности в общем случае для этих индексов может не выполняться.

За основу определения квазиинвариантных чисел можно также взять лямбда-числа X(, введя квази-и-числа по формуле

щ -хе.

При этом можно определить индексные числа количеств

О„-^ -х е

(15)

и 5 X е

сохранив определение (13) для индекса ценР^.

Пара индексов (Р^ ,О^ как и симметричная пара(Р^ транзитивна и мультипликативна. В общем случае они также могут не обладать свойством промежуточности. Их поведение относительно невыполнения этого важного свойства может быть различно как по величине, так и по направлению его нарушения. Поэтому естественно ввести усредненные квазиинвариантные индексы, представляющие среднегеометрические значения соответствующих формул (13), (14) и (15):

Р - [^РТ - Iх

Pst - VPstPst ~ ,

Vх ^

О- -^ОЖ . (16)

Vх 5е5и5

Такое усреднение, очевидно, сохраняет свойства транзитивности и мультипликативности и уравновешивает возможные нарушения свойства промежуточности. Представляется интересным исследование квазиинвариантных индексов на модельных и реальных данных.

5. Об алгоритмах решения неравенств Африата. Стандартный подход к решению систем линейных неравенств, основанный на переходе к некоторой задаче линейного программирования (ЛП), решаемой конечными методами, для неравенств Африата (6) и их частных случаев (9) и (10), не эффективен. Эти системы относятся к "высокому" типу (число неравенств равно квадрату половины числа неизвестных), где каждое из неравенств связывает три или две переменные. Для этих систем разработаны эффективные специальные методы [19], [20], ядром которых является алгоритм Варшалла-Флойда для поиска на ориентированном графе кратчайшего пути [11]. Однако эти методы применимы лишь для совместных систем неравенств. Система Африата с реальными данными, определяющими её коэффициенты (5), может быть несовместной. Эта несовместность, или же вырожденность, может быть следствием как неадекватности стационарной модели (1), так и следствием погрешностей исходных данных (2).

Для уточнения причин возможного вырождения системы неравенств необходим более тонкий подход, заключающийся в получении псевдорешения, минимизирующего некоторую невязку системы, и выяснения вопроса, можно ли объяснить полученную несовместность влиянием погрешностей исходных данных? Если да, то модель (1) можно использовать для решения практических задач. При этом полученное псевдорешение (числа Африата), определяет в однородном случае инвариантные индексы (13), и в общем случае - квазиинвариантные (16). Ввиду неединственности решений совместных неравенств, на выбор чисел Африата продуктивно накладывать требование близости получаемых индексов статистическим индексам, используемым на практике. Если невязки неравенств Африата

на полученном псевдорешении выходят за пределы, объяснимые влиянием погрешностей, то модель (1) неадекватна относительно статистики (2).

Для исследования совместности и получения решения или приемлемого псевдорешения мы используем релаксационно-штрафной метод [3], основанный на введении новой переменной - релаксационного параметра г, так, чтобы новая система стала совместной. На первом этапе такому преобразованию подвергается одна из специальных систем , для определённости, (10). Переходя к обратным множителям zt с условием z0 -1, получим систему

Г е0^ -г < ег 0 -е0^г -г <-е, (17)

\etzs -estzt -г < 0 (*,г)-1,Т

Для этой системы решается задача ЛП относительно переменныхzT,г| с минимизируемым функционалом г. Если минимальное значение г- достаточно малое, то гипотеза существования однородной функции полезности, рационализирующей данные (2), принимается. По оптимальным числам zt можно строить числа щ - е( / zt, и по формулам (13) -инвариантные индексы {Р,0st }.

Однако задача ЛП, решаемая обычно симплекс-методом, дает некоторое угловое решение. Системы Африата, как правило, являются вырожденными из-за существенных погрешностей статданных. При этом их релаксация описанным или другим методом может приводить к неустойчивым допустимым множествам.

Для стабилизации построения индексов можно поставить дополнительную задачу квадратичного программирования (КП) о выборе из совместной системы (17), где зафиксировано г - г-, решения, ближайшего к пробному набору ориентируясь на статистические индексы, построенные поданным (2). Наиболее удобны для этой цели индексы Фишера, вычисляемые по данным (2) по известным формулам [4], [5],___

К =.

I е е

< 1 01

(18)

зом преобразуем общую систему (6) с условия ми (7):

щ

< г + а0* + е0,

-щ -Xtat0 < г -е0 , + щ ^ а <г,

*-1,Т;

t -1Т; (19) -1,Т,t ф *.

Здесь также вначале решается задача ЛП относительно переменных {щ1,...,щТX 1,...,XТ,г| с минимизируемым функционалом г. Если минимальное значение г- достаточно малое, то гипотеза существования (неоднородной) функции полезности, рационализирующей данные (2), принимается.

Для уточнения выбора решения из совместной системы (19), где г - г-, строим пробное решение на основе формул инвариантных индексов (13), где полагаем * - 0 и вместо Р01 , Ош подставляем индексы Фишера (18). При этом получаем

р 1 —

XF. =—, t -0,Т. (20)

t рр

1

- е с 01 0! '

Для однородной системы (17) полагаем

7р - рр

•'1,t 0t •

Сформировав это приближение, ставим задачу минимизации функционала

(u,X) = 2-щр)2 +(Xt ^)2]. (21)

Ф(

Эти индексы удовлетворяют тестам мультипликативности и промежуточности, но они не транзитивны. Уточнение выбора чисел Африата особенно важно для общей системы (6). Итак, если гипотеза однородности предпочтений отвергается, то аналогичным обра-

при условиях (19), где г - г-. Аналогичная задача продуктивна и для системы (17).

Эффективным алгоритмом решения поставленных задач КП с "высокими" системами ограничений и малым числом переменных в каждом ограничении является алгоритм нормального решения систем линейных неравенств типа "активных наборов", разработанный в [2].

6. Вычислительный эксперимент. Описанная методика построения квазиинвариантных индексов потребительского спроса была протестирована на модельных примерах и реальной статистике цен на продукты питания в г.Иркутске [5]. В качестве исходных данных использовались помесячные цены 1995 года на три продовольственных товара: хлеб, говядина, молоко. Истинные количества помесячного потребления этих товаров неизвестны и, как и в работах [1] и [5], мы смоделировали правдоподобную динамику, использую приведенные в [12] годовые объемы потребления на данные товары по Иркутску в годы (1995; 1996): хлеб (кг/год) (130; 121); мясо (кг/год) (48; 47); молоко (л/год) (200; 170). Значения, соответствующие

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

1995 году, разделённые на 12, брались за по- Р^ приведенных в табл. 2. Углублённый анализ

треблениевянваре,соответственно,двенадца- индексов Фишера, заключающийся в вычис-таячастьзначений 1996 года считалась потреб- лении их помесячных значений Р,Р,, и после-

лением в декабре 1995 года. Потребление говядины принято за 20% от потребления мяса. Это даёт следующие граничные значения спроса на хлеб, говядину и молоко: на январь (10,83; 0,80; 16,70) и на декабрь (10,08; 0,78; 14,16).

Месячное потребление моделировалось следующим образом. На хлеб потребление снижалось по геометрической прогрессии с постоянным темпом, обеспечивающим удовлетворение граничных значений (10,83; 10,08). Это даёт показатель прогрессии 0,993. Потребление говядины (х1) и молока (х2) смоделировано по спросу, порождаемому логарифмической функцией полезности

и(х) -а 11п(1+р1 х 1 )+а2 1п(1+р2х2). (22) Соответствующие формулы спроса ,а 1Р1Р 2 е " Р1°2 р 2 + Р 2 а1р1

^ ( р,е )-2 (Р,е):

(а 1 +а 2 )Р1Р 2 Р1

а 2 р1р 2 е - Р 2 а1р1 + Р1 а2 Р 2

(23)

дующего перемножения, показывает их нетранзитивность (различие от значения Р1Р12 в

третьем знаке после запятой). Следовательно, они не являются инвариантными и статистика табл. 1 не может быть рационализирована никакой однородной функцией полезности.

На втором этапе решение задачи ЛП для общей системы (19) дало существенно меньшую невязку г- - 0,0003. Это позволяет принять гипотезу существования (неоднородной) функции полезности, рационализирующей статистику (2), и построить квазиинвариантные индексы по описанной методике. Для этого решена задача минимизации функционала (21) на решениях системы (19) с г- - 0,0003. По полученным числам Африата и формулам (16) построены индексы Ри, Ои,

приведенные в табл. 2 вместе с индексамиФи-шера и экстремальными элементарными индексами

Р- -{ш1п(р| / Р1)}, О- -{ш1п(х| /х1)},

р; -{шах(Р| /р1 )}, о; -{шах(х; /х\)},

(а 1 +а 2 )р1р 2 Р2 Для вычисления параметров функции (22) составлялась система из четырех уравнений, в которой аналитический спрос (23) с заданными для января и декабря ценами и суммарны- нужными для пр°верки тесга пр°межут°чнос-ми расходами на говядину и молоко приравни- ти А^я новых, квазиинвариантных индексов.

вался к соответствующим граничным значени- Из табл^. 2 видно, что построенные по статистике табл. 1 квазиинвариантные индексы ям, приведенным выше. Система решалась ме- 1

^ 1 удовлетворяют тесту промежуточности. Как и

тодом наименьших квадратов, в результате получились следую-

щие значения параметров: а 1 - 0,317, а 2 -1,513, р1 - 218,86, Р2 - 0,713. Полученная статистика представлена в табл. 1.

На первом этапе решалась задача ЛП для расширенной однородной системы Африата (17). При этом было получено значение невязки г- - 0,006. Индексы, вычисленные по формулам инвариантных (13), оказались не отличимыми от индексов Фишера РР и

Таблица 1

Статистика спроса

рч

М

Цены, руб. Потребление,

месяц хлеб говядина молоко хлеб говядина молоко Расход

янв. 1168 6911 1453 10.83 0.792 16.70 42393

фев. 1360 7200 1813 10.76 0.913 16.00 50203

мар. 1508 7894 2800 10.69 1.216 15.04 67835

апр. 1703 9077 2837 10.62 1.073 15.06 70545

май. 1836 12000 2893 10.55 0.848 15.49 74354

июн. 1874 14295 2920 10.48 0.729 15.75 76036

июл. 1944 15799 2939 10.41 0.669 15.90 77544

авг. 2160 16020 2868 10.35 0.642 15.86 78129

сен. 3183 14186 2750 10.28 0.677 15.40 84666

окт. 3175 16000 2843 10.21 0.623 15.47 86365

ноя. 3218 13719 3200 10.15 0.768 14.42 89348

дек. 3500 13416 3200 10.08 0.772 14.16 90949

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

индексы Фишера, они мультипликативны и, в отличие от них, - транзитив-ны по построению. Отметим также интересное свойство, проявлявшееся и в других экспериментах: накопленные к концу года квазиинвариантные индексы цен Р11 меньше индексов Фишера

Р1р1 (здесь начиная с сентября), а соответствующие индексы количеств - больше. Это можно объяснить тем, что квазиинвариантные индексы строятся в рамках модели (1), отражающей (в общепринятом смысле) рациональность потребительского выбора, в силу которой потребители приспосабливаются к росту цен и снижению реальных доходов.

Таблица 2

Индексы Фишера и квазиинвариантные

БИБЛИОГРАФИЯ

t РГ Кг Pu Рг + Qt Fit Qu Qt

1 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

2 1.04 1.19 1.20 1.25 0.96 0.99 0.99 1.15

3 1.14 1.61 1.61 1.93 0.90 0.99 0.99 1.54

4 1.31 1.71 1.71 1.95 0.90 0.97 0.97 1.35

5 1.57 1.83 1.86 1.99 0.93 0.96 0.94 1.07

6 1.61 1.89 1.92 2.07 0.92 0.95 0.93 0.97

7 1.66 1.95 1.98 2.29 0.84 0.94 0.92 0.96

8 1.85 1.98 2.01 2.32 0.81 0.93 0.92 0.96

9 1.89 2.16 2.13 2.73 0.85 0.92 0.94 0.95

10 1.96 2.23 2.21 2.72 0.79 0.91 0.92 0.94

11 1.99 2.34 2.32 2.76 0.86 0.90 0.91 0.97

12 1.94 2.41 2.37 3.00 0.85 0.89 0.90 0.97

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Айзенберг Н.И. Сравнительный анализ методов расчёта индексов цен. Автореф. канд. экон. наук. ИСЭМ СО РАН, Иркутск, 2000. 23 с.

Горбунов В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач. Фрунзе: Илим, 1984. 241 с.

Горбунов В.К. Релаксационно-штрафной метод и вырожденные экстремальные задачи. -Доклады АН. 2001, Т. 377, No. 5, С. 583-587.

Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. М.: Экономика, 2004. -211с. Зоркальцев В.И. Индексы цен и инфляционные процессы. Новосибирск: Наука, 1996. - 316 с.

Зоркальцев В.И. Агрегирование покупателей. - Равновесные модели экономики и энергетики: Тр. Всеросс. конф. и секции Матем. экономики XIII Байкальской межд. школы-семинара „Методы оптимизации и их приложения", Иркутск: Байкал, 3-7 июля 2005 года: Изд-во ИСЭМ СО РАН., 2005, С. 278-283.

Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. М.: Фин. и стат., 1990. - 460 с.

Конюс A.A. Проблема истинного индекса стоимости жизни. - Экономика и матем. методы, Т.27, 1989 (1924, переиздание), No. 3, С. 435-444.

Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод. - Матем. моделирование, 1998, Т.10, No. 4, С. 105-116.

10. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951-1977 гг. с помощью обобщенного непараметрического метода. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1998. -160 с.

11. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977. - 218 с.

12. Регионы России. Социально-экономические показатели. Стат.сб./Росстат. М., 2001. 402 с.

13. Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data. -International Economic Review, 1967, V. 8, pp. 67-77.

14. Gorman W.M. Community preference fields. -Econometrica, 1953, V.21, p. 63-80.

15. Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. New York: Oxford Univ. Press, 1995. - 648 c.

16. Samuelson P.A., Swamy S. Invariant economic index numbers and canonical duality: survey nd synthesis. - The American Economic Review, 1974, V. 64, No. 4, p. 566-593.

17. Sonnenschein H. Market excess demand functions - Econometrica, 1972, V. 40, No. 3, p. 549-563.

18. Hugo F. Sonnenschein. -http://cepa.newschool.edu/het/profiles/son nens.htm

19. Varian H. The nonparametric approach to demand analysis. - Econometrica, 1982, V. 50, No. 4, p. 945-973.

20. Varian H. Non-parametric tests of consumer behaviour. - The Review of Economic Studies, 1983, V. 50, p. 99-110.