CC BY
131
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Григорян К.М. Email: [email protected]
Григорян Карине Микитовна - преподаватель, кафедра ИТ и естественных наук, Шушинский технологический университет, г. Шуши, Республика Армения
Аннотация: в статье рассмотрен метод построения графиков сложных функций без помощи производной, если известны графики внутренней и внешней функций. Определяются асимптоты графика, промежутки монотонности, нули функции. По графикам внутренней и внешней функций исследуется «поведение» функции в окрестностях определенных точек и при неограниченном возрастании и убывании аргумента, выясняется характер изменения функции. Составляется таблица зависимости переменных и строятся в координатной плоскости соответствующие фрагменты графика заданной функции.
Ключевые слова: композиция, график, изменение, таблица, фрагменты.
PLOTTING COMPLEX FUNCTIONS Grigoryan K.M.
Grigoryan Karine Mikitovna - Teacher, DEPARTMENT OF IT AND NATURAL SCIENCES, SHUSHI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, SHUSHI, REPUBLIC OF ARMENIA
Abstract: the article considers the method of constructing graphs of complex functions, if you know the graphics of internal and external functions. The asymptotes of the graph, monotonicity intervals, zeros of the function are determined. Graphs of internal and external functions are used to study the"behavior" of the function in the vicinity of certain points and with unlimited increase and decrease of the argument, the nature of the function change is found out. The table of dependence of variables is made, and the corresponding fragments of the chart are built in the coordinate plane. Keywords: composition, graph, change, table, fragments.
УДК 512.076
Учащимся из школьного курса математики известен алгоритм построения графиков сложных функций с помощью аппарата производных, а также с использованием последовательных геометрических преобразований уже известных графиков [1]. В последнем случае возможности построения графиков ограничены, так как такого рода преобразования применимы не ко всяким сложным функциям.
Рассмотрим способ построения графиков сложных функций без помощи производных, если известны графики внутренней и внешней функций [2]. Одним из основных этапов данного способа построения является выявление асимптот графика, определение "поведения" функции в окрестностях некоторых точек. Для этого введем следующие условные обозначения: если значения аргумента x функции неограниченно приближаются к числу a справа, записывать x — а + 0 ; если значения x неограниченно приближаются к числу a слева, записывать х — а — 0 ; если значения функции y неограниченно возрастают, записывать y — + оо ; если значения функции y неограниченно убывают, записывать
При наличии вертикальных асимптот при неограниченном приближении аргумента x к числу a справа или слева, значения функции неограниченно возрастают, либо убывают. Запишем это условие в виде одной из следующих систем:
Гх -» а + 0 Гх -> а - О Гх -> а - О Гх->а + 0
) | у —> + 00 ) ( у —> + 00 ) ( у —> — 00 ) ( у —> — 00 ( )
Этим случаям соответствуют следующие графики (рис. 1).
Рис. 1. Фрагменты графиков
При наличии горизонтальных асимптот при неограниченном возрастании или убывании аргумента х , значения функции асимптотически стремятся, т.е. сколь угодно близко приближаются к числу а сверху или снизу, оставаясь при этом больше или меньше а. Запишем это условие в виде одной из следующих систем:
с х -> +со г х —^ -(-со (- х -» —с» г х -» —с»
а) б) в) г)
Им соответствуют следующие графики (рис. 2).
Рис. 2. Фрагменты графиков
Используя вышесказанное, покажем на конкретном примере построение графика сложной функции.
2
Пример 1. Построить график функции у = ———-.
Решение. Рассмотрим функцию у = Р(х) как композицию двух функций:
о 2
Р = § ° /, где 1=^(х)=2х +х-3 - внутренняя функция, у=яО)=- - внешняя функция,
у=№)) . '
Схематично изобразим графики внутренней и внешней функций (рис. 3).
Рис. 3. Графики внутренней и внешней функций 6
Из решения уравнения 2х2+х-3=0 найдем точки, которые не входят в область определения функции F(x): x=1 и x= -1,5.
Исследуя график функции t = Д(х) (рис.3), выясним и запишем с помощью обозначений (1) характер изменения функции t=f(x) в окрестностях точек х=1 и х=-1,5:
Гх ^ 1 - 0 (х —»1 + 0 Гх —> -1,5 - 0 Гх -> -1,5 + 0
1 г ^ —о 11:^+0 I 1:^+0 1 1:->-о
Также рассмотрим характер изменения функции t=f(x) при неограниченном возрастании и убывании аргумента х: при х -» + оо, £ —> + оо . Составим таблицу изменения переменных х, t и у.
х — 00 —1 , 5 — 0 -1,5 + 0 1-0 1 + 0 +со
t + 00 +0 -0 -0 +0 +со
у
Для заполнения третьей строки таблицы исследуем график функции y=g(t) (рис. 3) и определим характер изменения функции g(t) для значений ^ находящихся во второй строке таблицы.
^->+оо Г £: -> +0 Г С -> -О
у : 1у —> +0 {у —> + оо {у — — оо Заполнив третью строку таблицы и исключив вторую строку, получим зависимость у от х.
х — 00 -1,5 - 0 -1,5 + 0 1-0 1 + 0 + 00
у +0 + 00 — 00 — 00 + 00 + 0
Изобразим на чертеже соответствующие фрагменты графика (рис. 4).
V 4 Л V * » 1 \
-1.5! 0 1 1/ 1 1 >
Рис. 4. Фрагменты графика
Для окончательного плавного соединения полученных фрагментов графика можно вычислить значение функции в некоторых дополнительных точках. Итак, график функции y=F(x)=2/2x2+2x-3 имеет вид (рис. 5):
Рис. 5. График функции F(x)
Этим приемом можно пользоваться при построении графиков таких сложных функций, как: y=2/x-1/x2, y=1/cosx, y=1/sinx, y=1 / | x - 1 | (x + 2 ) и др.
Заключение. В данной статье не включены, конечно, все случаи построения графиков сложных функций. Рассмотрен один из приемов построения графика сложной функции y=F(x) без помощи производных при известных графиках внутренней и внешней функций по схеме:
1) строятся графики внутренней и внешней функций;
2) находится область определения функции F(x);
3) исследуется «поведение» внутренней функции в окрестности точек, не входящих в область определения и при неограниченно возрастающих и убывающих значениях аргумента;
4) по графику исследуется «поведение» внешней функции в зависимости от значений внутренней функции;
5) составляется таблица зависимости y от x и строятся соответствующие фрагменты графика;
6) при окончательном соединении фрагментов графика учитываются нули функции, если они есть, а также можно вычислить значение функции в некоторых дополнительных точках.
Список литературы /References
1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2009. 464 с.
2. Щагин В.Л., Соколов А.В. Теория. Задачи. Решения. Ответы: Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике и конкурсным экзаменам в вузы: Функции и графики: М. Вита-Пресс, 2007. 176 с.
3. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение, 1990. 352 с.
