Построение экономико-математической модели рынка телекоммуникаций в случае олигополии Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Математические модели и методы в

экономике

УДК 330.4

Построение экономико-математической модели рынка телекоммуникаций в случае олигополии

С. А. Васильев, Л. А. Севастьянов, Д. А. Урусова

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

В этой статье строится экономико-математическая модель рынка телекоммуникаций в случае олигополии. На базе этой модели проводится анализ равновесных тарифов на телекоммуникационные услуги для этого типа рынка, а также исследуются возможные методы государственного регулирования рынка телекоммуникаций.

Ключевые слова: математическое моделирование, телекоммуникации, ценообразование, рыночное равновесие, государственное регулирование.

1. Введение

В связи с необходимостью анализа тех процессов, которые протекают в телекоммуникационной отрасли, стали активно развиваться методы математического моделирования в экономике телекоммуникаций [1—12].

В данной статье строится экономико-математическая модель рынка телекоммуникаций в случае олигополии (на рынке присутствует М компании), которая обобщает модель, построенную авторами ранее [13].

В рассматриваемой здесь модели предполагается, что телекоммуникационные компании попарно договариваются о правилах тарификации за доступ в сети друг друга, причём эта тарификация строится как функция от тарифов, которые компании предлагают своим абонентам за обслуживание. Таким образом, эти компании ограничиваются на первом шаге договорённостями по обоюдным правилам пропорциональной тарификации за доступ (ОППТД), которые впоследствии позволяют определить абонентские тарифы. Обоюдность правил означает, что компании подчиняются одним и тем же правилам на всем интервале времени, в течение которого действует договорённость.

Принятие компаниями ОППТД может рассматриваться как аналог регулирующей политики государства телекоммуникационной отрасли. Если телекоммуникационные сервисы, предоставляемые различными компаниями, являются близкими субститутами, то использование ОППТД приводит к конкурентным ценам в отрасли. Однако, если предположить, что конкурирующие компании пойдут по пути дифференциации сервисов, то тогда потребуется вмешательство государства для пресечения возможности применения компаниями монопольной власти.

Также предполагается, что функция полезности абонентов состоит из детерминированной и стохастической частей. Детерминированная часть этой функции позволяет найти линейную функцию спроса абонентов на телекоммуникационные услуги, которая обладает постоянной ценовой эластичностью. Это позволяет избежать неограниченного возрастания потребления телекоммуникационных сервисов абонентами при стремлении соответствующих тарифов к нулю и обеспечивает существование точки насыщения, т.е., например, существует предел времени, которое абонент использует для звонков по телефону. Для стохастической компоненты функции полезности используется распределение Вейбулла, которое удобно для дальнейшего анализа.

Статья поступила в редакцию 9 октября 2010 г.

На базе этой модели удаётся найти равновесные тарифы и равновесный спрос на телекоммуникационные услуги, причём это равновесие является равновесием в чистых стратегиях и всегда существует, а абонентские тарифы вычисляются явным образом.

2. Модель телекоммуникационной отрасли в случае

олигополии

Рассмотрим случай, когда на рынке телекоммуникаций присутствуют M компаний TELCi (i G {1,...,М}), которые предоставляют телекоммуникационные сервисы TELSg (g G {1,...,G}). Каждая из этих компаний владеет своей телекоммуникационной сетью Neti (i G {1,...,М}), а сети различных компаний попарно соединены.

Будем предполагать, что предельная стоимость телекоммуникационных сервисов, предоставляемых компаниями, равна нулю. Существующие фиксированные издержки компаний связанны с построением сети и её эксплуатацией, причём затраты на эксплуатацию сетей предполагаются независимыми от объёма услуг. Обозначим фиксированные издержки каждой из компаний Fi = F > 0(i G {1,...,M }).

Для каждой компании TELCi (i G {1,...,М}) имеются функции спроса на её телекоммуникационные сервисы. Функция спроса Dga на сервисы TELSg (g G {1,..., G}), предоставляемые в пределах её сети Neti, и функция спроса Dgij (i,j G {1,... ,М}, i = j) на сервисы, предоставляемые совместно как сетью Neti, так в сетью Netj (i,j G {1,..., M},i = j). Таким образом, возникает вопрос о доступе одной компании к ресурсам сети другой компании.

Пусть компании TELCi и TELCj (i,j G {1,..., M}, г = j) договариваются о тарифах àgij и àgji, где àgij — тариф, по которому компания TELCi платит компании TELCj (i,j G {1,...,М},г = j) за использование её сетевых ресурсов в связи с сервисом g G {1,...,G}, а àgji — соответствующий тариф, по которому компания TELCj платит компании TELCi (i,j G {1,..., M}, i = j) за использование сетевых ресурсов в связи с оказанием аналогичного сервиса g G {1,...,G}.

Через Pgi (г G {1,...,М}) обозначим тариф, который компания TELCi взимает за единицу сервиса g G {1,..., G} с каждого из своих абонентов.

Далее предположим, что у любых двух компаний TELCi и TELCj (i,j G {1,..., M}, г = j) тарифы àgij и àgji зависят от тарифов pgi и pgj таким образом, что имеет место àgij = agi(Pgi,Pgj) для любых i,j G {1,...,М},i = j и g G {1,... ,G}.

В рамках рассматриваемой модели ограничимся случаем пропорциональной зависимости между àgij и pgi

dgij = ûgiPgi,

где коэффициент пропорциональности 0 ^ agi ^ 1 для г G {1,...,М} и g G {1,... ,G}.

Пусть далее a9i = agj = a (i,j G {1,..., M}, г = j), g G {1,..., G}, тогда будем считать, что компании TELCi и TELCj (i,j G {1,...,M},i = j) применяют обоюдное правило пропорциональной тарификации за доступ (ОППТД).

Функции прибыли компаний (i,j G {1,..., M}, i = j) будут тогда иметь следующий вид:

G м

П = VgiVgii + ^(Pgi - apgj)Dgij + apgiDgji)] - F, (1)

9=1 3=1

G M

n = ^[PgjDgjj + ^(Pgj - aPgi)DgH + aPgjDgH)] - K (2)

g=1 i=1

Пусть имеет место следующая последовательность событий:

Шаг 1. Все компании ТЕЬС1 (г е {1,..., М}) принимают ОППТД.

ШШаг 2. Компании ТЕЬС1 (г е {1,..., М}) выбирают одновременно и независимо тарифы дг и сообщают о них потенциальным абонентам.

ТТТаг 3. После ознакомления с тарифами pgi (г е {1,... ,М}) каждый потенциальный абонент выбирает к сети какой компании ТЕЬСг (г е {1,...,М}) он подключится, а также определяет для себя объем потребления при соответствующем тарифе каждого из сервисов д е {1,..., С} этой компании.

3. Построение функции спроса абонентов

Предположим, что существует N потенциальных абонентов, которые готовы воспользоваться телекоммуникационными сервисами, которые предлагают компании ТЕЬС{ (г е {1,... ,М}). Допустим, что у каждого абонента есть индивидуальные вкусы и предпочтения по отношению к этим сервисам. Пусть абонент к (к е {1,..., N}), который подключился к сети компании ТЕЬСг (ъ е {1,..., М}), имеет следующую функцию полезности:

^кд^сЬ) = ((гд-8д ад )ад + Г^д )еаеЫ , (3)

где величина <1д — объем сервиса д е {1,... , С}, которым готов воспользоваться абонент за определённый промежуток времени.

Случайный параметр ekgi характеризует индивидуальные вкусы и предпочтения абонента и имеет распределение Вейбулла. Величина а даёт характеристику меры разброса вкусов и предпочтений абонентов, то есть а позволяет оценить взаимозаменяемость телекоммуникационных сервисов д е {1,..., С}, которые предоставляют компании ТЕЬСг и ТЕЬСу (г, у е {1,..., М}, г = у).

При а ^ 0 сервисы д е {1,... ,С} компаний становятся полностью взаимозаменяемыми, а при а ^ — полностью взаимодополняющими.

Пусть и^д^й) детерминированная часть функции полезности абонента к (к е {1,... }), который подключился к сети компании ТЕЬСг (ъ е {1,... ,М}) для получения сервиса д е {1,...,С}, тогда и^^с!) при соответствующем тарифе рдг имеет вид:

= (Гд-8д Ад )<!д - Рд^д . (4)

Эта функция достигает максимума при

^дг = 9 9 (5)

и тогда

<г = ТГ (Г9 - Рог)2. (6)

Из (3) и (6) следует, что абонент к (к е {1,...,^}) сделает выбор в пользу компании ТЕЬС1, а не в пользу компании ТЕЬС^ (г,^ е {1,..., М}, % = у), если

Таким образом, вероятность Ркд1 того, что абонент к отдаст предпочтение компании ТЕЬСг и отвергнет компанию ТЕЬС^ (г,^ е {1,..., М}, % = у), равна

Рк9г = >4%е"™}. (7)

Так как величины вк^ независимы и имеют распределение Вейбулла, то

Ркдг — -1. (8)

1+{

Подставляя (6) в (8), получим для компании ТЕЬСг

Р, . — _(Гд - У__(О)

Пдг = (Гд - РдгУ + (Гд - Рд,У ' (9)

где т — 2/а. Аналогично для компании ТЕЬС^ будем иметь, что

А . — _(Гд - Рд^Т__(10)

= (Гд - РдзУ + (Гд - Рдг)Т . (10)

Вероятности Рк^ и Pкgj не зависит от индекса к (к € {1,..., N}), поэтому его можно далее опустить.

С точки зрения компаний ТЕЬСг и ТЕЬС^ каждый абонент будет выбирать ТЕЬСг

с вероятностью Pgi и ТЕЬС^ с вероятностью Рд ^. Ожидаемое число абонентов, которые выберут ТЕЬС1, составит ИР^. Таким образом, Pg^ можно рассматривать как долю рынка компании ТЕЬС{.

Из (9) следует, что ожидаемая доля рынка тд1 компании ТЕЬСг есть

(гд - Рдг У

(Гд - Рдг)Т + (Гд - РдзУ

™дг — Рдг — ^^дН^-Т^ ■ (11)

Спрос абонентов на сервисы д € {1,..., С} компании ТЕЬСг (г € {1,..., М}) представляет собой:

N . „ N

Одг — (гд - Рдг)рд^ — (гд - Рдг}Шдг. (12)

Вероятность того, что абонент компании ТЕЬСг воспользуется сервисами в пределах сети ИеЪг, равна тф, а вероятность того, что этот абонент воспользуется сервисами сети конкурента НеЛ^ составит mgj. Поэтому из (11) и (12) следуют следующие соотношения:

N 2

Dgiг — (гд - Рдг, (13)

вдц — (гд - Рдг)тд1 тд^ (14)

N д

вдзз — (гд - Рдз)Шдг (15)

N

ВдЦ — (гд - Рдз)тдзтдг. (16)

4. Конкуренция телекоммуникационных компаний с

ОППТД

Пусть компании ТЕЬС1 (г € {1,...,М}) используют ОППТД. Это значит, что эти компании используют одно и тоже правило а^ — apgi, 0 ^ а ^ 1(1 € {1,..., М}). Используя (1), (2) и (13)—(16), получим следующие функции прибыли

компаний ТЕЬС1 ,ТЕЬС^ (г^ € {1,...,М}, г = у), которые будут иметь место при оказании сервисов д € {1,..., С}:

N

Пgí = 2Т {Рд^Г9 - Р дг)тдг + (Р дг — ардг)(гд — Рд^т^'дз ) +

+ ард1(Гд — Рдэ)тдгтдз)} - F, (17)

N

Пдо = 2Т {Рзз (гд — Рдо )тдз + (Рдз — аРдз)(гд — Рдо)тgjтgí+

Имеет место следующая

+ аРдо (гд — Рдг)тд]'тдг} — F. (18)

Теорема 1. Для каждого 0 < а < 1, т > 0 и г9 > 0 (д € {1, сшвуеш одно и только одно симметричное равновесие вида

, С}) суще-

Рдг Р*о

(2 + а) гд т + 4

Доказательство. Пусть а = гд — Рд{ и 3 = гд — Рgj, тогда функции прибыли компаний имеют вид:

Пг(а,3) =

П (а, 3) =

N ах

у'Х + /1 )

эх

Пусть Р*аг = Р

2 вд (ах + 3х)

N 3х

25д (ах +3Х)

_ (2 + а)Гд

а(гд — а) + а(3 — а) 3(гд — 3) + а(а — 3)

3 х

( ах + 3 х) ах

( ах + 3х)

— F, -Г.

, „ д = (т + 2 — а) Гд _ ад

дг гд] т + 4 , ТОГДа а = т + 4

3*. Нужно доказать,

что П^а,3*) достигает максимума при а = а* и П^(а*,3) достигает максимума при 3 = 3*. В силу симметричности, достаточно доказать, что это имеет место для П ( а, 3 ).

Так как функция П(а, 3) непрерывна по т, то достаточно доказать справед-

т-г т о

ливость для положительных рациональных значений т. Пусть т = —, где т > 0, п> 0 целые числа, тогда

£ = а ™ и 8д = 3 ™ ,

Г = (а*) £ = 8*„, где

8 = (а' )™

1 (т + 2 п — ап

-V

т + 4 9

{а* ) * = (

(19)

, вд ) =

N

2Вд (гт + 8™)

гп(г д — П + аг д (8п — Г)

(гт + 8

- Г.

Так как возрастающая функция по переменной то достаточно доказать, что , 8*д) достигает максимума при £ * = (а*) ™ , когда 8*д = (3 *) ™ .

Легко показать, что

дП

дг í( гт + в™)

¡Р(1, 8д), где Р(1, 8д) полином вида:

= д

р (г, вд) = тз^г^д — гп)(гт + 8%) + агт8т™^пд — е)^™ — гт)+

+ (г ып — 2ы 2п)(гт + з^)2 — агы п8г™(гт + 8%).

1

)

п

™

д

т

Отсюда получим

Р(t, Sg) = s2gm [—(т + 2n)t2n + (rm — arm + rn — arn)tn + armsn] x

x s™ [—(m + An)tm+2n + (rm + arm + 2rn — arn)tm+n — armtn^n] —

— 2nt2 m+2 n + rnt2 m+n.

Легко показать, что t = t* = s* является корнем полинома P(t,sg), следовательно

P (t,s*g) = (t — s*g)g(t,s*g), (20)

для некоторого полинома g(t, sg). Также можно показать, что

n-1 2т—1

g(t, Sg) = —2п £ sPgt2m+2n——1 + n(rg — 2sn) £ sPgt2m+n——1 —

j=0 j=0

n— 1 n— 1

— Ws m E 4 t2n—0—1 + [y — ^n + n(r g — 2sn)]s2gm E 4 tn——1'

3 = 0 j=0

n— 1 n— 1

— v sm E sgtm+2n—j—1 + (z — v sn) E sgtm+n—-1+

g g g g

=0 =0

n 1

+ (z — v sng —arm) s'm+n sgtm—j—1, (21)

=0

i

'm + 2 n — an

/то + 2n — an \n гДе sg = S* = ^—m + 4n— rg) . Отсюда следует что

m + 4 n gy

w = m + 2n, v = m + An, у = rm — arm + rn — arn, z = rm + arm + 2r n — arn.

(22)

Легко проверить, что

z — v sng — arm = 0, (23)

у — w sng — n( rg — 2 sng) = —arm. (24)

Имеет место следующая

Лемма 1. Пусть 0 < t < Гд , тогда для 0 < t < rg/n будем иметь g(t, s*) < 0.

Доказательство. Найдём суммы геометрических прогрессий в (21) и подставим в (22), (23), (24). После этого получим

1 _ (£— \п i _ (£— )2т

г-1 1 ( t ^ , ..л. x2m+n-1 1 ( t >

g(t, sg) = —2nt2m+2n—1 / V + n(rg — 2snq)t2m+n—1

1 _ li 1 v g "g^1" 1 _

1 t 1 t

1 _ (li)n 1 _ (li)n

— (m + 2n) smt2n—1-Ц)- arms 2mtn—1-

g 1—т 1——

1 _ (li\n 1 _ (li\n

— (m + An) s mmtm+2 n— 1-+ arms mtm+n— 1-Ц-^, (25)

g 1 — "T 1 — "f

где s g = s*.

Покажем, что сумма последних трёх слагаемых в правой части (25) отрицательна. Рассмотрим случай t < s*. Заметим, что

arms2mtn-1 > armsmtm+n-1,

для всех s* > t, следовательно сумма последних трёх слагаемых (25) отрицательна.

Рассмотрим случай t > s*. Здесь достаточно показать, что

1 _ (Si\п i _ (Si\п

(m + 4 п)smtm+2n-1-Ц^ > armsmtm+n-1-Ц)-,

g 1 - "f 1 - "f

откуда следует, что достаточно доказать справедливость выражения

(m + 4п)sП — arm < 0.

(26)

Легко проверить, что (26) выполняется для 8д = в*. Соответственно, сумма

последних трёх слагаемых (25) отрицательна для каждого 0 ^ Ь ^ гУп, и в д = в *. Возвращаясь к (25), нам остаётся показать, что когда 8д = в*, то

g(t, s*) < —2nt2m+2

n-11 - ( £f )

sg \п t

1 s3 1 - ~

^ - sz)2'

+ n(rg — 2s ng)t 2m+n-1 ( 1 _ 'si

1 t

1 _ (Si)n —(m + 2n) s™t2n-1 - ( "'J

1 s9 1 - —

< 0.

Пусть

¡2m _ „ 2 m

h(t, sg) = —212m — 2s*gm + (r* — 2Sn) - а

g' tn -

(27)

тогда легко проверить, что g(t, sg) ^

n(tn - snn)

(t - 8а)

зать, что h(t, sg) < 0 для всех 0 < t < rlJn и sg = s*g.

h(t, sg), поэтому достаточно пока-

Здесь нам потребуется следующая

Лемма 2. Пусть k(t, sg)

t2m - s2m , dk

Sg) > 0.

п - ап

тогда (t, sg) > 0, если (2m — n)(t —

Доказательство. Можно легко проверить, что

dk

dt(t, Sg) =

2mt2

(tn - s})

2 m 2 m i ь а

2mt2

m-n -£n _ gn

- 1

Используя обозначения теоремы 1

2 m 2 m 2 m 1 ь а = 2mm c2m-n

tn - sn n '

(28)

где min(i, sg) < с < max(t, sg), получим

dkk (+ ) = _ dt ( , Sg) =

2 m 2

(tn - sn)

2m—n

1

Откуда следует, что условия леммы 2 выполняются.

□

n

Используем лемму 2 для доказательства того, что , 8д) < 0 для каждого 0 ^ Ь < г^п и вд = вд. Вначале заметим, что при (27)

h(t, sg) <

j2m _ 2m

(rg - 2 eg) ^ - 2 e2m

tn - srn

g

(29)

Рассмотрим следующие четыре случая.

dk

I. Пусть 2т — п < 0 и í < в*д, тогда по лемме 2 получим, что , 8д) > 0. Теперь достаточно показать, что правая часть (29) отрицательна при £ = 8*д. Действительно, при 8д = в*д имеет место

h(Sg, Sg) < ^(Гд - 2snq)s

п) 2т—п _ 2 Q2m _ Q2m

g) bg 2ьд _ ьд

2m (rg — 2s")

2

Используя (19), остаётся показать, что

2т (2ап — т) п (т + 2п — an)

- 2 < 0,

(30)

выполняется для всех т и п таких, что 2т — п < 0. Но здесь достаточно показать, что это справедливо для а =1, так как правая часть (30) возрастает по а. Последнее неравенство выполняется, когда т2 + п2 > тп. Очевидно, это справедливо для всех т,п > 0; откуда следует, что функция h(t, s*) отрицательна при t < s *.

dk

II. Пусть 2т — п > 0 и í < 8*д, тогда по лемме 2 получим, что (1, 8д) < 0.

Таким образом, остаётся показать, что правая часть (29) отрицательна при £ = 0. Действительно для д = д имеет место

h(0, Sg) < (гg - 2SП)sgm—n - 2sgm < s

(ГВ — 2srg)

2

(31)

Правая часть (31) отрицательна для sg _ s*g, если

2an — m

- 2 < 0 для всех

9 "9' ""* т + 2п — an т и п таких, что 2т — п > 0, а это верно для а = 1 и всех т,п > 0.

dk

III. Пусть 2т — п < 0 и i > s*9, тогда в силу (t, s9) < 0 нужно показать, что правая часть (29) отрицательна для t = s9. Для s9 = s9 будем иметь

h(sg, Sg) < ^(rg - 2sПП)8

п) Q2m—n

g) g

-2 в gm _ Sg

2т

2rn (rg — 2sg) 2

Отрицательность этого выражения доказана в случае I. IV. Пусть 2т — п > 0 и I > 8*д, тогда, используя (27), получим

h(t, Sg) <

(rg 2sg) tn _ Qn

i2m _ Q2m

n\ 1 bg 212m

(32)

Из (28) следует, что для всех 8д < Ь существует такое с, для которого при 8д ^

с ^ t имеем

t2m — slm 2т

2 т п

tn — s™

(33)

п

g

n

n

Если 2т — п > 0, то с2т п возрастает по с, поэтому при вд < Ь имеем с2т п < г2т~п < —. Тогда из (32) и (33) получим

ч " л д

п\ 2т +2т „ — п г* „2т _ ¡2т

Н(1, Зд) < (Гд — 28пд)—Гт8~дп — 2з2ат = Ь

2т (гд - 2в")

2т (гд - 2з")

2

(34)

Правая часть (34) отрицательна, когда--"—д--2 < 0 для 8д = 8*. Для

п

случае I. было показано, что это условие выполняется. □

По лемме 1 и (20) следует, что Р(Ь, в**) > 0 при 0 < Ь < в** и Р(Ь, в*д) < 0 при

яд ^ Ь ^ гд/п. Отсюда следует, что Ь = в** единственное значение, для которого достигается максимум функции П^, 8д), а это значит, что а* — единственное значение, при котором достигается максимум функции ПД а,0*).

Теорема 1 доказана. □

Из теоремы 1 следует, что ожидаемые доли рынка компаний ТЕЬС1 и ТЕЬС^ равны между собой тд1^ = тд^ ^ = 1/М, а равновесный спрос абонентов на услуги компании ТЕЬС (г е {1,..., М})

Dд = В;г (Рдг * ) = Б^д^ , Рдг * ) = ^^^ • (35)

Главным результатом теоремы 1 является то, что на олигопольном рынке телекоммуникаций компании, используя ОППТД, могут найти в чистых стратегиях равновесные тарифы р* (I е {1,...,М}) для абонентов. Необходимо отметить, что равновесные тарифы д* изменяются в зависимости от величины параметра т, чем больше параметр т, тем выше конкуренция между компаниями и, следовательно, тем ниже тарифы. Помимо этого, тарифы линейно возрастают при увеличении параметра гд в функции спроса на сервис д е {1,..., С}. Также тарифы р*^ (I е {1,... ,М}) возрастают с ростом коэффициента пропорциональности а, который может рассматриваться как предельная стоимость услуг, например телефонных звонков, которые требуют взаимодействия с сетью другой компании. Такими образом, чем больше значение параметра а, тем выше тариф для абонентов за услуги компании.

Значение параметра а компании задают на первом этапе переговоров по поводу ОППТД. Но необходимо отметить, что переговоры между компаниями могут привести к любому значению параметра а из [0,1] при условии, что прибыль каждой компании будет неотрицательна для такого а. Этот факт является следствием того, что максимизировать прибыль по параметру а каждой компании в отдельности невозможно.

Если компании могут вступить в ценовой сговор и пойти по пути максимизации совместной прибыль Пдт = Пдд + ... + Пдм при разделе рынка на равные части между собой т* = т**^ = 1/М. Можно показать, что совместная прибыль Пдт имеет вид:

Л ИМ (т + 2 — а)(2 + а)г2 , х

Пдт = £ П„ = —( - Д2 — 2МР. (36)

Максимум совместной прибыли Пдт достигается при значении параметра а* = 2, но при этом необходимо гарантировать, чтобы а* ^ 1. Отсюда следует, что компании должны выбрать параметр а* = шш( ^, 1) при условии положительности

п

совместной прибыли. Таким образом, если по параметру а максимизировать совместную прибыль, то

(1, Т> 2,

и тогда равновесные тарифы

^ г > 2,

(37)

Р1г = Р*90 = \ 1 + А (38)

5 ' 2, г < 2,

спрос абонентов на услуги компании ТЕЬС1 (I £ {1,... ,М})

-, 2,

NГд (т+1)

Я* = Щ(Р9г*)=\ ^(Т + 4) (39)

' д

;

т < 2.

Таким образом, если параметр т > 2, то равновесное значение а* = 1, тогда межсетевой тариф между компаниями совпадает с тарифом для абонентов, и компании выступают в этом случае как простые абоненты по отношению друг к другу. Если же параметр т ^ 2, то межсетевой тариф между компаниями будет

2, а он меньше чем тариф для абонентов.

При государственном регулировании телекоммуникационной отрасли в случае олигополии имеется возможность найти такое значение параметра а, чтобы максимизировать общественное благо = П9т + С в (сумма совместной прибыли компаний П9т и излишков потребителей (абонентов) С в) при условии, что прибыль каждой компании будет неотрицательна для такого значения а.

Можно показать, что С в имеет вид:

N о

С5 = ^(Г9 - Р9г*)2,

а общественное благо при равновесных тарифах р* и р*9 ■ из теоремы 1 можно записать таким образом:

NM г2

= 4ад(т+Э4)2 (г + 2 -а)(т + 6 + а) - 2МЬ.

Эта функция монотонно возрастает при уменьшении параметра а при 0 ^ а ^ 1, следовательно общественное благо 55 достигает максимального значения при а* = 0, но при этом прибыль каждой компании должна быть неотрицательна для такого значения а.

Можно заметить, что если а* = 0, то равновесные тарифы по теореме 1 составят р*^ = р*д^ = —+^4, но тогда возможно оценить число абонентов N, при котором прибыли компаний будут положительными

N >

(г + 2) Г2

Отсюда следует, что фиксированные затраты компаний могут не покрываться при больших значениях параметра , а это значит, что для регулируемой таким образом отрасли может существовать опасность жизнеспособности, которая может

*

а* =

быть обеспечена путём предоставления государственных дотаций телекоммуникационным компаниям.

5. Заключение

В этой статье была построена экономико-математическая модель рынка телекоммуникаций в случае олигополии, а также проведён анализ равновесных тарифов на телекоммуникационные услуги для этого типа рынка и исследованы возможные методы государственного регулирования такой олигополии.

Наиболее важный результат данной работы можно свести к тому, что при условии соблюдения компаниями ОППТД равновесные тарифы на услуги всегда существуют. Прикладное значение модели сводится к тому, что применение телекоммуникационными компаниями ОППТД не требует детальной информации рынке телекоммуникаций, так как число параметров модели сведено к минимуму. Эта модель оказалась эффективной при анализе динамики телекоммуникационного рынка, так как позволяет компаниям гибко реагировать на внешние изменения, что даёт возможность своевременно менять стратегию. Также предложенная модель может служить средством для анализа наличия сговора между компаниями на телекоммуникационном рынке, а рассмотренный метод регулирования рынка может обеспечить предотвращение подобных случаев.

Литература

1. Armstrong M. Network Interconnection // The Economic Journal. — 1998. — Vol. 108. — Pp. 545-564.

2. Carter M, Wright J. Interconnection in Network Industries // Review of Industrial Organization. — 1999. — Vol. 14. — Pp. 1-25.

3. Carter M., Wright J. Asymmetric Network Interconnection // Review of Industrial Organization. — 2003. — Vol. 22. — Pp. 27-46.

4. Dessein W. Network Competition in Nonlinear Pricing // Rand Journal of Economics. — 2003. — Vol. 34. — Pp. 593-611.

5. Dessein W. Network Competition with Heterogeneous Customers and Calling Patterns // Information Economics and Policy. — 2004. — Vol. 16. — Pp. 323-345.

6. Doganoglu T, Tauman Y. Network Competition and Access ChargeRules // The Manchester School. — 2002. — Vol. 70. — Pp. 16-35.

7. Hahn J.-H. Network Competition and Interconnection with Heterogeneous Subscribers // International Journal of Industrial Organization. — 2004. — Vol. 22. — Pp. 611-631.

8. Laffont J.-J., Tirole J. Access Pricing and Competition // European Economic Review. — 1994. — Vol. 38. — P. 1673.

9. Laffont J.-J., Rey P., Tirole J. Network Competition I: Overview and Nondiscriminatory Pricing // The Rand Journal of Economics. — 1998. — Vol. 29. — Pp. 1-37.

10. Laffont J.-J., Rey P., Tirole J. Network Competition II: Price Discrimination // The Rand Journal of Economics. — 1998. — Vol. 29. — Pp. 38-56.

11. Laffont J.-J., Tirole J. Internet Interconnection and the Off-Net-Cost Pricing Principle // Rand Journal of Economics. — 2003. — Vol. 34. — Pp. 73-95.

12. Laffont J.-J., Tirole J. Receiver-Pays Principle // Rand Journal of Economics. — 2004. — Vol. 35. — Pp. 85-110.

13. Построение экономико-математической модели рынка телекоммуникаций в случае дуополии / С. А. Васильев, Д. Г. Васильева, М. Э. Костенко и др. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2009. — Т. 3. — С. 57-67. [Postroenie ehkonomiko-matematicheskoyj modeli rihnka telekommunikaciyj v sluchae duopolii / S. A. Vasiljev, D. G. Vasiljeva, M. Eh. Kostenko и др. // Vestnik RUDN. Seriya «Matematika. Informatika. Fizika». — 2009. — T. 3. — S. 57-67.]

UDC 330.4

Economics and Mathematical Modeling of Oligopoly Telecommunication Market S. A. Vasilyev, L. A. Sevastianov, D. A. Urusova

Telecommunication Systems Department Peoples Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

This paper presents a model of M competing telecommunication companies. The telecommunication networks of companies have different attributes which assumed fix and the consumers have idiosyncratic tastes for these attributes. The networks are mandated to interconnect and the access charges are determined by companies cooperatively. M telecommunication network companies are engaged in a price competition to attract consumers. Each consumer selects a network and determines the consumption of the telecommunication services. The regulation policy of the telecommunication market is studied for this model.

Key words and phrases: mathematical modeling, telecommunications, pricing, market equilibrium, state regulation.