CC BY
170
УДК 624.04
В.И. Римшин, А.Л. Кришан*, А.И. Мухаметзянов*
ФГБОУВПО «МГСУ», *ФГБОУВПО «МГТУ»
ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОДНООСНО СЖАТОГО БЕТОНА
Для оценки напряженно-деформированного состояния железобетонных элементов в различных стадиях их загружения в настоящее время наиболее перспективной представляется нелинейная деформационная модель, основанная на диаграммах деформирования материалов. Достоверность результатов расчетов во многом определяется точностью аналитического описания криволинейной диаграммы деформирования бетона. Предложена методика построения такой диаграммы деформирования с помощью коэффициента упругости. Используя соответствующие коэффициенты упругости в расчетах, можно учитывать различные режимы нагружения конструкций (например, длительное нагружение). Такое аналитическое представление диаграммы деформирования бетона является более универсальным по сравнению с зависимостью европейских норм.
Ключевые слова: железобетонные элементы, диаграммы деформирования, коэффициент упругости, длительность нагружения.
Активно разрабатываемые в настоящее время методы расчета прочности и оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) железобетонных элементов на основе нелинейной деформационной модели с использованием диаграмм деформирования материалов являются наиболее перспективными. С их помощью конструкции можно рассчитывать в различных стадиях нагружения: до образования трещин, на стадии трещинообразования, на стадии работы элемента с трещинами, стадии разрушения [1, 2].
Точность перечисленных расчетов зависит от достоверности принятых диаграмм деформирования для бетона и стали. Причем особое внимание следует уделять обеспечению наибольшего соответствия принимаемой в расчете диаграммы деформирования бетона его реальной диаграмме, которая имеет ярко выраженный криволинейный вид.
С другой стороны, не следует забывать, что рассчитываемая конструкция может подвергаться различным режимам нагружения: кратковременному, длительному или многократно-повторному. В этой связи к используемым диаграммам деформирования можно предъявлять требование универсальности. Они должны легко трансформироваться для расчетов с разными режимами.
В данной работе предлагается зависимость между напряжениями и деформациями для кратковременного и длительного режимов нагружения. При подборе соответствующих зависимостей для коэффициентов упругости ее можно применять и для других режимов нагружения.
Краткий анализ известных зависимостей между деформациями и напряжениями бетона достаточно детально изучался в нашей стране.
Хотя попытки теоретического построения диаграмм деформирования бетона предпринимались неоднократно (в работах О.Я. Берга, В.М. Бондаренко и С.В. Бондаренко, А.А. Гвоздева и некоторых других ученых), на сегодняш-
ВЕСТНИК
МГСУ-
6/2015
ний день более исследованы чисто эмпирические подходы, заключающиеся в подборе наиболее подходящих кривых в виде различных функций. Такие зависимости между сжимающими напряжениями cc и относительными деформациями укорочения e бетона предлагали G. Smith (1955), A.C. Liebenderg (1962), L P. Saennz (1964), B. Sinha (1964), S. Shah (1966), В.Я. Бачинский и
A.Н. Бамбура (1984), Т.А. Балан, (1986), Г.Р. Бидный и С.Ф. Клованич (1986),
B.Н. Байков (1987) и мн. др. [3—10]. Достаточно подробный обзор этих зависимостей дан в [11].
Среди предложенных зависимостей sc - ec можно особо выделить формулу, рекомендуемую действующими европейскими нормами (EN 1992-1-1) и имеющую вид
к e-e
s = -
, (1)
1 + (к - 2)8
где с — отношение напряжения сс к прочности одноосно сжатого бетона /ст (с = сс//ст ); 8 — отношение текущей деформации ес к предельной деформации бетона в вершине диаграммы деформирования ес1 (рис.) — е = г с/ г с1; к — коэффициент, значение которого определяется по формуле 1,05Е .е.,
к = -
f
J cm
(2)
Диаграмма деформирования одноосно сжатого бетона
где Ет — начальный (секущий) модуль упругости бетона, определяемый при уровне напряжений сс« 0,4/т (см. рис.).
Формула (1) имеет три основных недостатка. Первый отмечен в [12, 13] и заключается в сложности ее интегрирования, что иногда приводит к определенным неудобствам. Второй недостаток состоит в сложности определения деформаций при известном уровне напряжений. Третий связан с затруднениями использования данной формулы для расчетов железобетонных конструкций при длительном или многократно-повторном действии нагрузки.
При этом по оценкам многих специалистов [1, 11, 12], данная формула хорошо описывает экспериментальные диаграммы для бетонов различной прочности, работающих в условиях кратковременного одноосного сжатия. В этой связи, результаты вычислений, выполняемых по этой формуле, можно принять за эталонные при подборе других аналитических зависимостей между деформациями и напряжениями бетона, лишенных отмеченных недостатков.
Первого недостатка можно избежать подбором легко интегрируемой зависимости сс = / (ес). Например, использовать предложенную в [14] формулу
сс = аеьс ехр (-Ье), (3)
в которой коэффициенты а и Ь определяются из решения систем двух уравнений, получаемых при рассмотрении условия йа I йг =0 для вершины
диаграммы деформирования и зависимости Em = oc / sc для участка квазиупругой работы бетона, например при уровне напряжений с = 0,4.
Однако для высокопрочных бетонов не наблюдается хорошего согласования результатов расчета по формуле (3) с данными, вычисленными с использованием формулы (1). Кроме того, данная формула так же не является универсальной и не может использоваться при рассмотрении разных режимов нагружения.
Для устранения всех указанных недостатков зависимости между напряжениями и деформациями бетона Н.И. Карпенко [15] предложил принимать ее в виде
с = V E e , (4)
c c cm cJ 4 '
где Vc — коэффициент упругости (изменения секущего модуля деформаций) бетона.
При такой записи соответствующей корректировкой коэффициента упругости можно учитывать различные режимы нагружения. Пример подобного расчета при длительном действии нагрузки рассмотрен ниже.
Для практического использования формулы (4) необходима достоверная зависимость по определению коэффициента упругости. Для его вычисления имеется ряд предложений. В [15] предложена следующая зависимость:
V = Vсu ± (о - Vси )) ^ , (5)
где V пси — значения коэффициента упругости в начале и вершине диаграммы; ю ю2 — коэффициенты, характеризующие кривизну диаграммы, причем
ю2 = 1 - ю1.
Значение коэффициента в вершине диаграммы через начальный касательный модуль упругости (который можно принять примерно равным 1,05Есш) рассчитывается по формуле
V =-/сш-. (6)
си 1 лг г-> 4 '
1,05 Есш е
' сш с
В зависимости (5) знак плюс принимают для восходящей ветви диаграммы деформирования бетона, знак минус — для нисходящей ветви. Для восходящей ветви начальный коэффициент изменения секущего модуля п0 =1, при этом ю1 = 2 - 2,5пс, а для нисходящий ветви — п0 = 2,05пси, ю1 = 1,95V - 0,138.
Данная формула предлагается к использованию в нормах проектирования РФ. Однако она также не лишена определенных недостатков. Во-первых, некоторые неудобства для расчета создают двойной знак ± и разные значения коэффициентов V ю ю2 для восходящей и нисходящей ветвей. Во-вторых, здесь величина коэффициента упругости является функцией уровня напряжений с, в то время как большинство современных расчетов выполняют по значениям деформаций или их уровням е. В [16] приведена зависимость, подобная (5), но выраженная через уровень деформаций. Однако здесь же отмечается, что получаемое при этом достаточно точное решение представляется довольно громоздким. Поэтому предлагается использовать приближенные зависимости в следующем виде:
для восходящей ветви диаграммы
V, = V,,, + V,, (1 -¡) + 2( - V„)(1 -г)" - V0(1 -г)т; (7)
для нисходящей ветви диаграммы
V, = V,,, + V,, (1 -Г) + 2 (V0 - V,,,) (1 -Г у - V0 (1 - Г У , (8)
где п, т, п т — коэффициенты, величина которых зависит от класса бетона и определяется по приведенной в [16] таблице.
Выполненный нами анализ показал, что с использованием предлагаемых упрощенных зависимостей получаются заметно менее точные результаты. Кроме того, величины коэффициентов п, т, п т приведены для бетонов классов не более В60, т.е. воспользоваться зависимостями (7) и (8) для высокопрочных бетонов не представляется возможным.
В [12] предлагается формула для вычисления коэффициента упругости, имеющая следующий вид
- -2 -3 -4
vc = 1 + с 8 + с2 8 + с3 8 + с4 8 . (9)
Следует отметить хорошую точность, обеспечиваемую формулой (9). Максимальная разница с результатами расчетов напряжений по формулам (1) и (4) с использованием (9) на восходящих ветвях диаграммы деформирования составляет 0,6 %, а на нисходящих — 2,2 %. С этой точки зрения данную формулу следует признать наиболее удачной.
При практическом использовании формулы (9) можно отметить единственный недостаток. Для вычисления каждого из четырех коэффициентов с. приходится пользоваться громоздкими зависимостями, в которых имеется девять различных параметров, требующих предварительного определения.
Предлагаемая авторами зависимость для кратковременного нагружения состоит в том, что после анализа известных зависимостей между напряжениями и деформациями была поставлена цель получения более удобной для практических расчетов формулы по определению коэффициента упругости бетона V При этом новая формула должна достаточно точно описывать экспериментальные диаграммы для бетонов различных классов по прочности на сжатие и не иметь недостатков, присущих вышеприведенным зависимостям.
Поиск нужной аналитической зависимости выполнялся путем подбора статистической функции пс в зависимости от двух аргументов — пс = /(е, V) . Рассматривались тяжелые бетоны классов от В15 до В100 (по классификации норм РФ). Для каждого класса бетона принималось от 22 до 30 уровней деформаций е : для бетона класса В15 значения аргумента е варьировали в диапазоне от 0 до 2,2, а для бетона класса В100 — от 0 до 1,2. Относительная деформация при осевом сжатии в вершине диаграммы деформирования и начальный (секущий) модуль упругости бетона, ГПа, определялись по формулам, предложенным в [17, 18]:
ес1 =(1,2 + 0,1б4Ё )1000; (10)
122
Ест = 55,25 - , (11)
в которых В — значение класса бетона по прочности на осевое сжатие, МПа.
При этом эталонными условно считались результаты, полученные с использованием формулы (1).
В результате такого решения были получены формулы (12)—(14). Наиболее точная формула (коэффициент корреляции равен 0,9998) записывается в виде
v = 0,9 - 9,2ncu + 6,25vI - 0,6 k + 0,04^ + 3^vш (12)
C 1 -9,72vcu + 6,9vi -4,27e -0,13i2 + 8,2^ ' На первый взгляд формула (12) выглядит несколько громоздкой. Однако очевидно, что расчет с ее использованием проще, по сравнению с предложенной методикой [12]. При этом точность расчета практически одинакова. Лишь один недостаток можно отметить в этой формуле — сложность ее интегрирования. Однако при расчетах конструкций численными методами данный недостаток никак не проявляется.
С некоторой потерей точности (максимальное различие в отдельных коэффициентах упругости до 4 %) в расчетах можно использовать более простые зависимости:
для бетонов класса В15—В60
vc =0,29 + 0,93vcu + 0,16e - 0,22e0,5 + е-; (13)
для бетонов класса B70—B100
vc =0,43 + 0,93vcu -0,44е + 0,12е- (14)
Очевидно, что формулы (13) и (14) легко интегрируются относительно деформации ec и их удобно применять в практических расчетах.
Для описания диаграммы деформирования для длительного нагружения рассмотрим пример практического использования зависимости (4) совместно с формулой (12). Для упрощения задачи возьмем частный квазилинейный случай метода изохрон, который используется для определения деформации так называемой простой ползучести при эталонном режиме нагружения, характерном для неизменного во времени напряжения (cc = const; docjdt = 0). Многие строительные конструкции работают в условиях мгновенного (в статическом смысле) загружения образца сжатием с поддержанием в дальнейшем напряжений на уровне, близком к постоянному при небольших колебаниях температуры и влажности окружающей среды. Для таких условий неравновесные процессы силового деформирования бетона могут быть описаны с помощью меры простой ползучести, которая является эмпирически подобранной функцией лишь двух аргументов: времени момента загружения и времени момента наблюдения.
Графическая связь сис ((, t0 )-sc (t, t0) для диаграммы-изохроны представляет собой кривую деформирования, все точки которой получены за одинаковый промежуток времени натекания деформаций от момента нагружения t до рассматриваемого момента времени t. Последовательно изменяя время t, можно получить веер кривых изохрон. Аналитическая запись диа-грамм-изохрон для любого времени t и однородного напряженного состояния подобна аналогичной записи диаграмм кратковременного деформирования бетона
S (t, t0 ) = vc (t, t0)Em (t)ec (t, t0), (15)
где vc (t, t0) — коэффициент упругости бетона в рассматриваемый момент времени.
Определив согласно требованиям норм коэффициент линейной ползучести бетона 9(t, t0) и функцию нелинейности f учитываемую при напряжениях sc > 0,45fm, при известном коэффициенте упругости vc можно воспользоваться простой зависимостью [19]
V с ( to Н-7^7" • (16)
1 + Vсф (t, to )f
Вывод. Предложенная методика построения диаграмм деформирования од-ноосно сжатого бетона отличается простотой и удобством в практическом применении. Описание зависимости между напряжениями и деформациями через коэффициент упругости бетона отвечает физическому смыслу закона деформирования. Соответствующим подбором уравнений для коэффициента упругости можно с единых позиций описывать процессы деформирования для различных режимов нагружения конструкций. Формулы для вычисления коэффициентов упругости, относительной деформация при осевом сжатии в вершине диаграммы деформирования и начального модуля упругости бетона имеют достаточную точность и могут рекомендоваться для практики проектирования.
Библиографический список
1. Kaklauskas G., Ghaboussi J. Stress strain relations for cracked tensile concrete from RC beam tests // ASCE Journal of Structural Engineering. January 2001. Vol. 127. No. 1. Pp. 64—73.
2. Raue E. Non-linear analysis of composite cross-sections by non-linear optimization // Modern Building Materials, Structuras and Techniques. Abstracts of 9th Int. Conf. held in Vilnius on May 16—18, 2007. Vilnius : Technika, 2007. P. 434.
3. Smith G., Young L. Ultimate Theory in Flexure by Exponential Function // Journal ACI. 1955. Vol. 52. No. 11. Pp. 349—359.
4. Liebenderg A.C. Stress-Strain Function for Concrete Subjected to Short-Term Loading // Mag. of Concrete Research. 1962. Vol. 14. No. 41. Pp. 85—90.
5. Saennz L.P. Discussion of Equation to the Stress-Strain Curvier of Concrete By P. Desai and S. Krishnan // ACI Journal Proc. 1964. Vol. 61. No. 9. Pp. 1229—1235.
6. Sinha B., Cerstle K., Tulin L. Stress-Strain Relations for Concrete under Cyclic Loading // Journal ACI. 1964. Vol. 61. No. 2. Pp. 195—211.
7. Shah S., Winter G. Inelastic Behavior and Fracture of Concrete // Journal ACI. 1968. Vol. 20. Pp. 5—28.
8. Бачинский В.Я., Бамбура А.Н., Ватагин С.С. Связь между напряжениями и деформациями бетона при кратковременном неоднородном сжатии // Бетон и железобетон. 1984. № 10. С. 18—19.
9. Балан Т.А. Модель деформирования бетона при кратковременном многоосном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 4. С. 32—36.
10. Байков В.Н., Додонов М.И., Расторгуев Б.С., Фролов А.К., Мухамедиев Т.А., Кунижев В.Х. Общий случай расчета прочности элементов по нормальным сечениям // Бетон и железобетон. 1987. № 5. С. 16—18.
11. Кроль И.С. Эмпирическое представление диаграмм сжатия бетона (обзор литературных источников) // Исследование в области механики измерений. М. : BHHHOTPH, 1971. Вып. 8 (38). С. 306—326.
12. Zidonis I. A simple-to-integrate formula of stress as a function of strain in concrete and its description procedure // Mechanica. 2007. No. 4 (66). Pp. 23—30.
13. Zidonis I. Strength calculation method for cross-section of reinforced concrete flex-ural member using curvilinear concrete stress diagram of EN-2 // 11th International conference on Modern Building Materials, Structures and Techniques. MBMST 2013. Procedia Engineering. 2013. Vol. 57. Pp. 1309—1318.
14. Мурашкин Г.В., Мордовский С.С. Применение диаграмм деформирования для расчета несущей способности внецентренно сжатых железобетонных элементов // Жилищное строительство. 2013. № 3. С. 38—40.
15. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М. : Стройиздат, 1996. 416 с.
16. Карпенко Н.И., Карпенко С.Н., Петров А.Н., Палювина С.Н. Модель деформирования железобетона в приращениях и расчет балок-стенок и изгибаемых плит с трещинами. Петрозаводск : Изд-во ПетрГУ 2013. 156 с.
17. Кришан А.Л., Астафьева М.А., Наркевич М.Ю., Римшин В.И. Определение деформационных характеристик бетона // Естественные и технические науки. 2014. № 9—10 (77). С. 367—369.
18. Кришан А.Л., Астафьева М.А., Римшин В.И. Предельные относительные деформации центрально-сжатых железобетонных элементов // Естественные и технические науки. 2014. № 9—10 (77). С. 370—372.
19. Кришан А.Л., Заикин А.И., Мельничук А.С. Расчет прочности трубобетонных колонн // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 1. С. 20—25.
Поступила в редакцию в мае 2015 г.
Об авторах: Римшин Владимир Иванович — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН, профессор кафедры жилищно-коммунального комплекса, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 971-19-00, kafedraGKK@mgsu.ru;
Кришан Анатолий Леонидович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой проектирования зданий и строительных конструкций, Магнитогорский государственный технический университет им. В.Г. Носова (ФГБОУ ВПО «МГТУ»), 455000, Челябинская обл., г. Магнитогорск, пр-т Ленина, д. 38, kris_al@mail.ru;
Мухаметзянов Альберт Ильдарович — студент кафедры проектирования зданий и строительных конструкций, Магнитогорский государственный технический университет им. В.Г. Носова (ФГБОУ ВПО «МГТУ»), 455000, Челябинская обл., г. Магнитогорск, пр-т Ленина, д. 38, innocent77@yandex.ru.
Для цитирования: Римшин В.И., Кришан А.Л., Мухаметзянов А.И. Построение диаграммы деформирования одноосно сжатого бетона // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 23—31.
V.I. Rimshin, A.L. Krishan, A.I. Mukhametzyanov
CONSTRUCTING A DEFORMATION DIAGRAM OF UNIAXIALLY COMPRESSED CONCRETE
At the present time the nonlinear deformation model based on deformation diagrams of the materials is believed to be the most promising for estimation of stress-strain
state of reinforced concrete elements at different stages of their compression: before crack formation, in the process of crack formation, at the stage of cracked element operation, at destruction stage. Reliability of estimates depends largely on accuracy of analytical description of curvilinear diagram of concrete deformation. On the other hand we should remember that the calculated construction may be subject to different loading modes: short-term, long-term or competitive. In this regard the universal character is required from the used deformability diagrams. They should be easily transformed for calculation with different modes.
The authors suggest methods of constructing such a deformation diagram using elasticity coefficient. Using the corresponding elasticity coefficients in calculations it is possible to account for different loading modes of structures (for example long-term loading). Such an analytical representation of concrete deformation diagram is more generalpurpose as compared to dependence on European standards.
Key words: reinforced concrete elements, deformation diagrams, elasticity coefficient, loading duration.
References
1. Kaklauskas G., Ghaboussi J. Stress Strain Relations for Cracked Tensile Concrete from RC Beam Tests. ASCE Journal of Structural Engineering. January 2001, vol. 127, no. 1, pp. 64—73. DOI: http://dx.doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(2001)127:1(64).
2. Raue E. Non-linear Analysis of Composite Cross-Sections by Non-Linear Optimization. Modern Building Materials, Structures and Techniques. Abstracts of 9th Int. Conf. held in Vilnius on May 16—18, 2007. Vilnius, Technika, 2007, p. 434.
3. Smith G., Young L. Ultimate Theory in Flexure by Exponential Function. Journal ACI. 1955, vol. 52, no. 11, pp. 349—359. DOI: http://dx.doi.org/10.14359/11605.
4. Liebenderg A.C. Stress-Strain Function for Concrete Subjected to Short-Term Loading. Mag. of Concrete Research. 1962, vol. 14, no. 41, pp. 85—90. DOI: http://dx.doi.org/10.1680/ macr. 1962.14.41.85.
5. Saennz L.P. Discussion of Equation to the Stress-Strain Curvier of Concrete By P. Desai and S. Krishnan. ACI Journal Proc. 1964, vol. 61, no. 9, pp. 1229—1235.
6. Sinha B., Cerstle K., Tulin L. Stress-Strain Relations for Concrete under Cyclic Loading. Journal ACI. 1964, vol. 61, no. 2, pp. 195—211. DOI: http://dx.doi.org/10.14359/7775.
7. Shah S., Winter G. Inelastic Behavior and Fracture of Concrete. Journal ACI. 1968, vol. 20, pp. 5—28.
8. Bachinskiy V.Ya., Bambura A.N., Vatagin S.S. Svyaz' mezhdu napryazheniyami i defor-matsiyami betona pri kratkovremennom neodnorodnom szhatii [Connection between Stresses and Deformations of Concrete at Short-Term Non-uniform Compression]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 1984, no. 10, pp. 18—19. (In Russian)
9. Balan T.A. Model' deformirovaniya betona pri kratkovremennom mnogoosnom nagruzhe-nii [Concrete Deformation Model at Short-Term Multiaxial Loading]. Stroitel'naya mekhanika i ra-schet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1986, no. 4, pp. 32—36. (In Russian)
10. Baykov V.N., Dodonov M.I., Rastorguev B.S., Frolov A.K., Mukhamediev T.A., Ku-nizhev V.Kh. Obshchiy sluchay rascheta prochnosti elementov po normal'nym secheniyam [Common Case of Strength Calculation of Elements Across Normal Sections]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 1987, no. 5, pp. 16—18. (In Russian)
11. Krol' I.S. Empiricheskoe predstavlenie diagramm szhatiya betona (obzor literaturnykh istochnikov) [Empiric Presentation of Concrete Compression Diagrams]. Issledovanie v oblasti mekhaniki izmereniy [Investigation in the Field of Measurement Mechanics]. Moscow, VNIIFTRI Publ., 1971, no. 8 (38), pp. 306—326. (In Russian)
12. Zidonis I. A Simple-To-Integrate Formula of Stress as a Function of Strain in Concrete and Its Description Procedure. Mechanica. 2007, no. 4 (66), pp. 23—30.
13. Zidonis I. Strength Calculation Method for Cross-Section of Reinforced Concrete Flex-ural Member Using Curvilinear Concrete Stress Diagram of EN-2. 11th International Conference on Modern Building Materials, Structures and Techniques. MBMST 2013. Procedia Engineering. 2013, vol. 57, pp. 1309—1318. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.proeng.2013.04.165.
14. Murashkin G.V., Mordovskiy S.S. Primenenie diagramm deformirovaniya dlya rascheta nesushchey sposobnosti vnetsentrenno szhatykh zhelezobetonnykh elementov [Using Deformation Diagrams for Bearing Capacity Calculation of Off-Center Compressed Reinforced Concrete Elements]. Zhilishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2013, no. 3, pp. 38—40. (In Russian)
15. Karpenko N.I. Obshchie modelimekhanikizhelezobetona [General Models of Reinforced Concrete Mechanics] Moscow, Stroyizdat Publ., 1996, 416 p. (In Russian)
16. Karpenko N.I., Karpenko S.N., Petrov A.N., Palyuvina S.N. Model'deformirovaniya zhelezobetona v prirashcheniyakh i raschet balok-stenok i izgibaemykh plit s treshchinami [Reinforced Concrete Deformation Model in Incrementations and Calculations of Deep Beams and Bendable Plates with Cracks]. Petrozavodsk, PetrGU Publ., 2013, 156 p. (In Russian)
17. Krishan A.L., Astaf'eva M.A., Narkevich M.Yu., Rimshin V.I. Opredelenie deformatsi-onnykh kharakteristik betona [Defining Deformation Properties of Concrete]. Estestvennye i tekhnicheskie nauki [Natural and Engineering Sciences]. 2014, no. 9—10 (77), pp. 367—369. (In Russian)
18. Krishan A.L., Astaf'eva M.A., Rimshin V.I. Predel'nye otnositel'nye deformatsii tsentral'no szhatykh zhelezobetonnykh elementov [Ultimate Relative Strains of Axially Loaded Reinforced Concrete Elements]. Estestvennye i tekhnicheskie nauki [Natural and Engineering Sciences]. 2014, no. 9—10 (77), pp. 370—372. (In Russian)
19. Krishan A.L., Zaikin A.I., Mel'nichuk A.S. Raschet prochnosti trubobetonnykh kolonn [Strength Calculation of Tube Confined Concrete Columns]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Construction Mechanics of Engineering Structures and Constructions]. 2010, no. 1, pp. 20—25. (In Russian)
About the authors: Rimshin Vladimir Ivanovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, corresponding member of Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, Department of Housing and Utility Complex, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 971-19-00; kafedraGKK@mgsu.ru;
Krishan Anatoliy Leonidovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, chair, Department of postgraduate student, Department of Building and Engineering Structures Design, Nosov Magnitogorsk State Technical University (MGTU), 38 Prospekt Lenina, Magnitogorsk, Chelyabinsk Region, 455000, Russian Federation; kris_al@mail.ru;
Mukhametzyanov Al'bert Il'darovich — student, Department of Building and Engineering Structures Design, Nosov Magnitogorsk State Technical University (MGTU), 38 Prospekt Lenina, Magnitogorsk, Chelyabinsk Region, 455000, Russian Federation; inno-cent77@yandex.ru.
For citation: Rimshin V.I., Krishan A.L., Mukhametzyanov A.I. Postroenie diagrammy deformirovaniya odnoosno szhatogo betona [Constructing a Deformation Diagram of Uniaxi-ally Compressed Concrete]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 23—31. (In Russian)
