Построение асимптотики решений нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения четвертого порядка с двумя бифуркационными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 1. С. 2-12

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.940

1 Г __ о о о

Построение асимптотики решении нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения четвертого порядка с двумя бифуркационными параметрами *

Т. Е. Бадокина

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева Б. В. Логинов

Ульяновский государственный технический университет Ю. Б. Русак

Австралийский национальный университет, г. Канберра, Австралия

Аннотация. Методы многопараметрической теории бифуркаций иллюстрируются на примере нелинейной граничной задачи аэроупругости. Изгибные формы удлиненной пластины на упругом основании обтекаемой сверхзвуковым потоком газа и подверженной малой нормальной нагрузке, в безразмерных переменных описывается обыкновенным интегро-дифференциальным уравнением 4-го порядка с двумя бифуркационными (спектральными) параметрами: число Маха М и малая нормальная нагрузка е0д. Методами теории бифуркаций и теории катастроф выполнен расчет изгибных форм для граничных условий В (левый край свободен, правый

— жестко закреплен). Технические трудности, возникшие при исследовании линеаризованной задачи на собственные значения преодолеваются с помощью представления бифуркационных кривых через корни соответствующего характеристического уравнения. Фредгольмовость линеаризованной задачи доказывается постронием соответствуещих функций Грина.

Ключевые слова: краевые задачи обыкновенных дифференциальных уравнений высоких порядков; многопараметрическая бифуркация; пластина в сверхзвуковом потоке газа; прогиб пластины; дискриминантная кривая; уравнение разветвления.

* Полученные результаты поддержаны ФПЦ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» ГК П1122 и АВЦП «Развитие научного потенциала ВШ Минобразования РФ» N0. 2.1.1/11180

1. Постановка задачи

При применении методов теорий ветвления и бифуркаций [2, 8] к нелинейным граничным задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) высоких порядков возникают технические трудности, связанные с исследованием спектра прямой и сопряженной задач. Для их преодоления в работе рекомендуется использовать методы отделения корней характеристических уравнений [4qqqq] с последующим представлением бифуркационных многообразий через корни этих уравнений. Этот прием позволяет исследовать многопараметрические бифуркационные краевые задачи для ОДУ высоких порядков в точной постановке, а также строить методами [7qqqq] соответствующие функции Грина, доказывая тем самым фредгольмо-вость соответствующих линеаризованных операторов. Ниже он иллюстрируется на примере конкретной граничной задачи аэроупругости — дивергентной потери устойчивости удлиненной пластины на упругом основании в сверхзвуковом потоке газа, описываемой нелинейной граничной задачей для интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка. Исследована задача о прогибах тонкой гибкой удлиненной пластины ширины й на упругом основании в сверхзвуковом потоке газа (дивергенции пластины) при граничных условиях видов:

(В) : левый край свободен, правый жестко закреплен

<2(0) = ^(О) = О, ш(1) = <(1) = 0 (Х1)

(В/) : левый край жестко закреплен, правый - свободен

цо) = <(0) = 0 <2 (1) = ^а) = 0

Однако в виду ограниченности объема статьи результаты приведены только для условий (В). В безразмерных переменных задача описывается уравнением [3qqqq]

Х2( —т" з 1 +в0ш = кК(ш'х, М, к)+вш// /01[(1 + ш/2) 1 — 1]йх+е0д(х)

\(1+Ю/2) 2 /

(1.2)

где ш = w(x) — прогиб пластины, 0 < х1 < й, —ж < у1 < ж,х = Х1, 0 < х < 1 — прямоугольные координаты. х2 = ,Т = ЕЕк

и к = ЕОк, где й — ширина пластины, Н — её толщина, Е — модуль Юнга, ц — коэффициент Пуассона, М = - число Маха (и — скорость

потока газа, со, ро — скорость и давление в невозмущенном газе), к — показатель политропы, во — коэффициент жесткости основания, еод(х)

2к к — 1

— малая нормальная нагрузка. Здесь К(ш'х, М, к) = 1— [1+^тт Мш'х]

Г 1 1 2^ у

— при одностороннем обтекании , К(ш'х, М, к) = [1 — 5—1 Мш'х\ К-1 — [1 +

1 1 2к

Мшх\ К-1 — при двустороннем обтекании.

Уравнение (1.2) с граничными условиями (В) или (В/) является бифуркационной задачей с двумя бифуркационными параметрами (число Маха М = Мо + е и малая нормальная нагрузка во). Поэтому для вычисления изгибных форм в окрестностях критических значений М0 числа Маха, изменяющегося в зависимости от коэффициента жесткости основания во, применяются методы теории бифуркаций [4] в принятой там терминологии и обозначениях. Фредгольмовость соответствующих линеаризованных операторов доказана построением соответствующих функций Грина. Полученные результаты согласуются с численными расчетами, приведенными в монографии В. В. Болотина [1].

2. Исследование линеаризованной задачи

Линеаризованная задача (1.2) имеет вид

Х2шх4) + аш'х + (Зош = 0 с условиями (В) или (В/) а = 1(2)ккМ (2.1)

и характеристическим уравнением Л4+а\+Ъ = 0 , где а = ,ъ = Х., множитель 1(2)ккМ соответствует одностороннему(двустороннему) обтеканию, отделение корней которого выполнено по методу Штурма [5]. При исследовании двухточечной граничной задачи (1.2) возникают следующие возможности.

1°.Б = 256Ъ3 — 27а4 > 0, когда характеристическое уравнение имеет две пары комплексно-сопряженных корней —^ ± §1^ и 7 ± §2г, ^ > 0, 82 > §1 > 0.

2°. Б = 256Ъ3 — 27а4 < 0 — два отрицательных корня —а1 , —а2 и пара комплексно-сопряженных 7 ± 5г.

Случай 1°. Теорема Виета дает соотношения между корнями и коэффициентами характеристического уравнения

—272 + §2 + 5| = 0 27(§2 — 5|) = —а

74 + 72(§ 2 + §2)+ § 2§2 = Ъ

из которых следует §2 = 72(1 — и), §2 = 72(1 + и), где 0 < и =

^4 — Ь < 1, З74 + §2 §2 = Ъ, §2 + §2 = 272. Случай и = 0 (отсутствие

сверхзвукового обтекания) и и = 1 (кратный отрицательный корень) рассмотрены в расширенной версии работы. При этом Б(и = 0) > 0, Б(и = 1) = 0, &и(и е (0; 1)) < 0 ^ Б > 0 при и € (0; 1).

Условие и < 1 и определение параметра и = ^4 — ^4 согласуются с неравенством Б > 0. В переменных 7 и и

а = 4и73 Ъ = 74(4 — и2)

Б = 256712 (64 — 48и2 — 15и4 — и6)

Рис. 1. Рельеф определителя Дв при D > О

Для функции прогиба

w(x) = e-Yx(c1 cos x + c2 sin 5\x) + eYX(c3 cos S2x + c4 sin 62x)

граничные условия (B), записанные в виде системы соответственно их порядку приводят к системе уравнений :

( y2 — 62 -2j61 y 2 — ^2 2^Ь2 \

(—Y2 + 3£2)y 3y2^1 — £3 Y3 — 3y^2 3y2^2 — ^3

cos 51 sin 51 e?Y cos 52 e?Y sin 52

—Y cos 51— —y sin 51+ e?Y (y cos 62— e?Y (y sin 52+

У —51 sin 51 +^1 cos 51 —62 sin 52) +52 cos 52) у

Вычислен определитель граничных условий

А = Ав = A(y, u) = ^1^2(3y2 — ^2)2e-27 + ^1^2(y2 + £2)2 e2Y+

+4y^2(3y4 — 4y2£2 + 5]1) sin 51 cos 52+

+2£1£2(13y4 — 2y 2^2 + S4) cos 51 cos 52+

+2y2(3y4 + 2y2^2 — £4) sin^1 sin S2 + 4y^1 (y4 — ^4) cos 51 sin S2 =

>,e) o„ Л 72u„,2

c1 О

c2 О

c3 О

c4 О

Y^2^1 — u2[(u2 + 4) ch 2y — 2ush2Y] +

+2\/l — u2 (u2 + l2)cos yV l — u cos yV l + u+ +u(2 — u)\/l — u cos yV l — u sin yV l + u+ +4u(u + 2) y/T+v, sin yV l — u cos yV l + u+

(2.2)

+2(4 — u2) sin yV1 — u sin yV1 + u|

Лемма 1. При D > 07 0 < u < 1 дивергенция отсутствует.

Доказательство. Действительно, часть D1 определителя A(y, u) , не содержащая sin yV 1 + u и cos yV1 + u, имеет вид:

D1 = (u2 + 4) ch2Y — 2u sh2Y = 2 ((u2+4)(e2Y+e-2Y) — 2u(e2Y — -2y )) =

= 1 (u2 — 2u + 4)e2Y + (u2 + 2u + 4)e-2Y > 0

Часть D2 определителя A(y, u), содержащая cos Y\/1 + u представляется в виде ряда

D2 = 2(u2 + 12) cos yV1 — u + 4u(u + 2)\/l + u sin yV1 — u =

= 2Vl + u£n=o(—l)™ cos yVl + u(2^2+П1), [u2(2n + l + 2y)+

m , X 2n+1

+4yu + 12(2п + l)](l — u) 2 , а часть D3, имеющая множителем sin yVl + u, - в виде

D3 = 4u(2 — u)Vl — ucos yVl — u + +2(4 — u2) sin^Vl — u =

2™

-—- Y2™ 2n+1

£—l)“ (2,Y+ l)!(u(4u + 2 + Y) + 2y )(l — u)~t-

™=o

Разложив теперь в ряды sin Y\/1 + u и cos yVl + u , имеем:

D2 cos yVl + u + D3 sin yVl + u =

= £fc"=o 2(-™++"+!(11+П+)!|) К(4nk + 2k + 4kY + 2n + 1 — 4nY — Y2) + +u(8Yk + 4y + 8y, + 4y) + I2(2k + l)(2n + l) + 4y 2}

Так как каждый член ряда положителен, то сумма ряда также будет положительной при 0 < u < l. Лемма доказана. □

Случай 2°, два отрицательных корня —а.1 , —а2 и пара комплексно-сопряженных y ± Si (S,y > 0). Из теоремы Виета следует

—2y + а1 + а2 = 0 2Ya1a2 — (а + «2)(y2 + S2) = — р

аа — 2Y(a1 + а2) + Y2 + S2 = 0 a^Y + S2) = X0,

откуда находим

аіа2 = 2^ ± ^ а2 = Y ^4^—Ь -

Введение переменной и = ^4 — Ь, 1 < и < 2 дает соотношения

аі = Y (1 + V и — 1) а = 4Y 3и а2 = Y(1 — Vи — 1) Ь = Y4(4 — и2)

а также Y2 + £2 = 72(2 + и),аіа2 = 3Y2 — 52^2 — ^2 = —Y2u,52 = Y2(1+u). Используя ограничение 1 < и < 2, найдем область допустимых значений для параметра Y'■

а1 + a2 = 2y ч al = y + V ^/4y4 — b — y2

Y 2

l < ^ 4 — Yl < 2 l < 4 — Yl < 4

О < Yl < 3 о <b< 3y 4 ^ Y> \[3

Рис. 2. а)рельеф Ав при D<0, Ь)график 7 = y(и) при D < 0 (Ав = 0)

Приведем ограничения на коэффициенты характеристического уравнения: a = 4uy3 > 4и(3)4 > 4(|)3,b < = 3 3/Vf,b < 3(f)4/3.

Неравенство b < З74 обеспечивает условие D < 0. Дискриминант D принимает вид D = 256y12(64 — 48u2 — 15u4 — u6). Интересно отметить справедливость следующих соотношений D(u = 1) = 0, D(u = 2) < 0, D'u(u E (1; 2)) < 0 т.е. D < 0 и D-убывает при и E (1, 2).

Для граничных условий (В) функция прогиба имеет вид

w(x) = c1e-aix + c2e-a2X + eYX(c3 cos Sx + c4 sin Sx) =

= C1e-Y(1+/U-1)x + C2e-Y(1—/u=T)x + eYX[c3 cos Y/l+U + c4 sin 7/1+u]

(2.3)

с определителем граничных условий

72 — S2 27S

7 (y2 — 3S2) S(2y2 — S2)

eY cos S eY sin S

= SaTa2(a1 — a2)e2j + S(a1 — a2)(Y2 + S2)2 e-2j—

—Sa2 cos Se-ai+1 [(y2 + S2)(2y + a2) + a1(372 — S2 + 2Ya2)] +

a2 sin e-ai+1 [(72 + S2)(3y 2 — S2 + a1a2) — 2S2a1 (a2 + 27)]+ (2.4)

+Sa2 cos Se-a2+1 [(y2 + S2)(2y + a1) + a2(372 — S2 + 27a1)] —

—a2 sin e-a2+1 [(y2 + S2)(3y2 — S2 + a1a2) — 2S2a2(a1 + 27)]

Осуществив переход к переменным и и 7, имеем

A(7,u) = 4y6| /u2 — l[(4 + U2)ch27 — 4u sh2Y] +

+{(4—u2) sh^Vu—1+2u(2—u)\/u—l ch yVu — l] sin 7Vи + l+

+{2u(2+u) sh y/u — 1 + (12+u2)/u — l chY/u—1]/1+ucos7/1+u|

(2.5)

Поскольку A(l, 2) > 0, а A(2, |) < 0 , то существуют значения 7 и S, такие что А = 0. Равенство А = 0 позволяет найти бифуркационные кривые, как многообразие собственных значений линеаризованной задачи (1.2) с граничными условиями (В)(см. рис.2).

al a22

A = —al —a23

Є - e e-a2

—a1e аі —a2e-

Y

Y

3. Подпространство нулей прямой и сопряженной задач

В случае D < 0 собственные функции, отвечающие собственным значениям определяемым равенством A(y, и) = 0 находятся при учете граничных условий (В) для функции прогиба (2.3), что приводит к системе алгебраических уравнений для определения постоянных ck:

c1a2 + c2a2 + c3(y2 — S2) = — 2ySc4 —c1a3 — c2a3 + c37 (y2 — 3S2) = — S(3y2 — S2)c4 c1e-ai + c2e-a2 + c3eY cos S = —eY sin Sc4 или в переменных 7 и и:

c1 (l + у/ и — l)2 + c2(l — л/и — l)2 — c3U = —2 \/ I + Uc4

c1(l + у/и — l)3 + c2(l — у/ и — l)3 — c3(2 + 3u) = —(2 — u)\/1 + uc4

c1e-l(2+'/1+u') + c2e-l(2-v 1+u) + c3 cos y/1 + и = — sin 7/1 + uc4

Определитель полученной системы имеет вид:

и + 2y/U—l и — 2ypU—\ —и

Ao = (3u — 2) + (u + 2)/u — l (3u — 2) — (u + 2)/u — l 2 + 3u

e-7(2+\/U-T) e-^2-^-1 cos y/1 + и

= —2 ((2 — u)2/u — l cosy/1 + и + 6u2e-21 sh y/u — l+

+(u2 + 8u + 4)/u — le-2Y ch y/u — l)

По Крамеру

c1 = j[—{6u2 — (и2 + 8u + 4)y/U—l sin 7Vl + и + (8л/и2 — l+

+(u2 — 8u + 4)/l + и cos y/1 + и + /1 + и (и + 2)2e-7(2-A/ u-1)}] c2 = j [(8 л/и2 — l — (4 — 8u + и2) \/l + и) cos^Vl + и+

+(6u2 + (и2 + 8u + 4) /и — l) sin y/1 + и — /1 + и (и + 2)2e-7(2+'/ u-1)] c3 = j [2(u2 — 8u + 4)/1 + ue-2j sh y/u — l—

— 16л/u2 — l e-27 ch y /и — l + 2/u — 1(u — 2)2 sin 7/1 + и]

Подпространство нулей прямой задачи в точках бифуркации, определяемых равенством A(y, u) = 0, одномерно с базисным элементом

<^(x) = c1e-7(1W u-1)x + c2e-7(Wu-1)x + (c3 cos 7/1 + ux+

+ c4 sin7y/1 + ux)e7x|c4=1 =

= -^[2/T+U(u + 2)2e-Y(2+x) sh7/и — l(l — x) +

Ao

+ 12u2 sin ^л/1 + ue-Yx sh ^л^и — lx+

+ 2(u2 + 8u + 4)y/U—Te-Yx sin ^л/1 + и ch Yy/и — lx+

+ 16д/и2 — l cos 7л/1 + ue-Yx ch 7л/и — lx—

— 2(u2 — 8u + 4)л/1 + ue-Yx cos 7л/ттиsh y\/u — lx+

+ 2yJи — 1(2 — u)2 sin yVTTu(l — и) —

— 16л/ u2 — l e-2Y+Yx ch y/u — l cosy/l + ux+

+ 2(u2 — 8u + 4)/l + ue-2Y+Yx sh7/и — lcosy/l + ux—

— l2u2e-(2-x)Y sh 7/и — l sin 7/1 + ux—

— 2(u2 + 8u + 4)/u — le-(2-x)l ch 7/и — l sin y/1 + ux] (3.1)

Присоединенные элементы отсутствуют если Ао = 0 в точках соответствующих собственным значениям A(y, и) = 0. Имеются основания считать, что они отсутствуют.

Сопряженная к (1.2) задача строится методами [7] %2w(4) — aw1 + /30w = 0 с граничными условиями (В*) w"(0) = 0,%2w(3) — aw(0) = 0,w(l) = 0,w'(l) = 0. Характеристическое уравнение имеет вид х2А4 — аА + во = 0. Отделение его корней выполнено методом Штурма [5].

При D = 256b3 — 27а4 > 0 характеристическое уравнение имеет две пары комплексно-сопряженных корней —7 ± S1 i и 7 ± S2I (7, S1, S2 > 0) и согласно Лемме 1 дивергенция отсутствует.

Тем же методом устанавливается, что при D < 0 оно имеет два положительных и пару комплексно-сопряженных корней a1, a2 и —7±Si (a1, a2, 7,S > 0)). Собственные значения прямой и сопряженной задач совпадают и определяются тем же равенством A(y, и) = 0. Соответственно собственное подпространство одномерно с базисным элементом

•0(x) = (2 — u)2/1 + ueY(x+1) sh 7/и — l(x — l) —

— sin YyJl + ueY(x-1) [2u2 sh Yyju — lx + (u2 + 4) Vи — l ch yVu — lx] +

+л/1 + и cos yVl + ueY(x-1) [8Vи — l ch 7л/и — lx+

+(u2 + 4) sh Yyju — lx] — 8л/u2 — le-Y(x-1) cos 7 л/1 + ux ch y^Ju — l—

—(u2 + 4)^1 + ue-Y(x-1) cos YyJl + ux sh y^Ju — l+

+(u2 + 4)vU — l e-Y(x-1) sin 7Vl + ux ch y^Ju — l+ +2u2e-Y(x-1) sin 7\/1 + ux sh 7л/и — l+

+(u + 2)2/u — le-Y(x+1) sin y/1 + и(x — l)

Присоединенные элементы отсутствуют, если

(3.2)

А0 = 7 5eY

2(u2 + 4) Vи — l ch ^u — l + 4u2 sh 7^/u — l+

+2(u + 2)2л/и — le 27 cos 7л/1 + и

= 0

в собственных значениях, соответствующих A(y, u) = 0.

4. Вычисление асимптотики разветвляющихся решений в случае одно- и двустороннего обтекания

Приведем далее кратко исследование соответствующего уравнения разветвления (УР) при отсутствии малой нормальной нагрузки. При одностороннем обтекании пластины УР имеет вид Ьц£е+Ь2о£2+■ •• = 0, где

Ьц = &к(1(2)) / ^'фйх,Ь2о = — ^к(к + мо ( ^2гФ&х Уо 4 Уд

а при двустороннем обтекании : Ь3о£3 + Ь11£е + ... =0, где

Ьзо = — мо ^о1 <£3фйх + х2 /о1 ф( 3 +

+З^"'з3 + ^"3)йх + 2 /о1 ^ ^^х

Соответственно асимпотика разветвляющихся решений определяется формулами: 'ш(х) = — ^е^(х) + о(|е|) — для одностороннего обтекания и 'ш(х) = ±у^30^^(х) + 0(|е|) — при двустороннем, где згдие = «гдпЬцЬзо определятся неотрицательностью выражения под корнем. Значения коэффициентов УР здесь не выписывается в силу их громоздкости.

Так как вторым бифуркационным параметром является ео, в общем случае ненулевой нормальной нагрузки (е = 0) подпространства нулей прямой и сопряженной задач прежние (3.4) и (3.5).

Методом Ляпунова - Шмидта [2] стоится уравнение разветвления:

Ь(£,ео,е) = Ь3оо£ 3 + Ь1о1£е + Ьо1оео + ••• = 0

Его исследование показывает, что в окрестности точек бифуркации происходит катастрофа типа складки. Оно выполнено в [2] §35 для другой задачи. Асимптотика разветвляющихся решений вычисляется также в полном соответствии с [2].

Составляя результант главной части УР и её производной по £, получаем приближенную кривую разветвления:

4Ь1о1е3 + 27ь21оь3оое2 = 0 (4.1)

Так как коэффициенты Ью1, Ьою, Ь3оо положительны, то полукуби-ческая парабола (4.1) касается оси абсцисс е и лежит по левую сторону от оси е0. Слева от кривой разветвления УР имеет три вещественных малых решения £о(е,ео),£±(е,ео), два из которых (£±) совпадают на этой кривой, а справа - одно £о(е, ео).

В [2] УР с помощью замены переменных

п __ т 1/3 т —1/3 I/3 г _ т ет- 1/3(Т е ) —2/3

п = Ьо1оЬ3оо ео , Ш = ЬЮ1еЬ3оо (Ьо1оео)

преобразуется к уравнению с одним параметром

1 + шп + П3 — 0

для которого точка ш = —3 ■ 2-2/3, п = 2-1/3 является точкой ветвления, т.е. уравнение кривой разветвления может быть записано в виде ш — —3 ■ 2-2/3. В [2] построена следующая асимптотика решений £(е, ео) УР, а тем самым и решений исходной задачи: и> — £(е, ео)ф, где

£о(е ео) — (4Ьо1оЬ-о1оео)1/3______________________

£±(^ ^ — 3Ьо1оЬзсюео 2-1/3 + \!3 ■ 2-2/3 + Ь1о1е(Ьо1оео)-2/3Ьзо1о/3

-2/3 3 2/3 1/3 1

в окрестности кривой разветвления, т.е. при ее о — Ьо1оЬ3ооЬ1о1;

£± — 2-1/3(Ьо1оЬ-о1оео)1/3 = З^^Ь-^—Ью^У^вгдиео, £о = —2£± на кривой разветвления (два решения совпадают);

£о,+(є,єо) ^ +Ь3010(-Ьюіє)1/2відиєо

(4.2)

£- (е,ео) —-ЬоюЬ^е со при больших отрицательных значениях ее- 2/3;

£о(е,ео) — -Ьо1оЬ-о11е-1 ео

при больших положительных.

Полученная картина поведения решений е± для ео > 0 задачи (1.2) совпадает с картиной, описанной в [6] для другой задачи. Критическое значение числа Маха (точка бифуркации) уменьшается по сравнению со случаем ео = 0:

мкр — м* — 3 ■ 2 / е2 Ьо/оЬ3ооЬзо1 (4.3)

Формула (4.3) и вид функций £± согласуется с графиками £(е, ео), при-

веденными в [1] для конкретных значений ео.

Список литературы

1. Болотин В. В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости / В. В. Болотин.

- М. : ГИФМЛ, 1961. - 339 с.

2. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969. - 524 с.

3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. - М. : Наука, 1967. - 984 с.

4. Иохвидов И. С. Ганкелевы и тёплицевы матрицы и формы / И. С. Иохвидов. -М. : Наука, 1974. - 263 с.

5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. - М. : Наука, 1965. - 431 с.

6. Логинов Б. В. Задача о дивергенции крыла как пример теории ветвления решений нелинейных уравнений с двумя малыми параметрами / Б. В. Логинов // ДУ и их приложения : сб. науч. тр. - Ташкент, 1979. — С. 109-113.

7. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. -М. : Наука, 1969. - 528 с.

8. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1980.

- 496 с.

T. E. Badokina, B. V. Loginov, Yu. B. Rusak Construction of the asymptotics of solutions of nonlinear boundary value problems for fourth order differential equation with two bifurcation parameters

Abstract. Methods of many-parameter bifurcation theory are illustrated by the example of nonlinear boundary value problem of aeroelasticity. Bending forms of a thin elongated plate subjected to small normal load on elastic foundation and flowing around by supersonic flow of a gas in dimensionless variables are described by ODE of 4-th order with two bifurcational (spectral) parameters: Mach number M and small normal load e0q. By bifurcation and catastrophe theory methods the bending forms computations are fulfilled for the boundary conditions B (the left edge is free, the right one is rigidly fixed). Technical difficulties arising at the investigation of the linearized eigenvalue problem are overcome with the aid of the bifurcation curves representation through the roots of the relevant characteristic equation. Fredholm property of the linearized problem is proved with the aid of relevant Green function construction.

Keywords: boundary value problem of ordinary differential equations of higher order; multi-parameter bifurcation; plate in supersonic gas flow; plate deflection, discriminant curve; branching equation

Бадокина Татьяна Евгеньевна, аспирант, кафедра прикладной математики, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева, 430016, Саранск, ул. Ботевградская, 81, 26 тел.: (8342)24-81-05 (badokina@gmail.com)

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра высшей математики, Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, главный учебный корпус, а. Г605. тел.: (8422) 77-81-17 (bvllbv@yandex.ru)

Русак Юрий Борисович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Автралийского национального университета, г. Канберра, Австралия (irousak@gmail.com)

Tatyana Badokina, Mordovian State University, Phone: (8342)24-81-05 (badokina@gmail.com)

Boris Loginov, professor, Ulyanovsk State Technical University, Phone: (8422) 77-81-17 (bvllbv@yandex.ru)

Yuri Rousak (irousak@gmail.com)