ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИК РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССАХ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5

61

Краткие сообщения

УДК 517.928.1

ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИК РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

В КЛАССАХ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Н. Ф. Валеев1, Э. А. Назирова2, Я. Т. Султанаев3

Статья посвящена развитию метода, позволяющего строить асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с осциллирующими коэффициентами на полуоси. Идея метода излагается на примере исследования асимптотик уравнения Штурма-Лиувилля.

Ключевые слова: асимптотические методы, уравнение Штурма-Лиувилля, осциллирующие коэффициенты.

The article is focused on the development of a method allowing one to construct asymptotics for solutions to ODEs of arbitrary order with oscillating coefficients on the semiaxis. The idea of the method is presented on the example of studying the asymptotics of the Sturm-Liouville equation.

Key words: asymptotic methods, Sturm-Liouville equation, oscillating coefficients.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-9

1. Введение. Изучению асимптотических свойств решений сингулярных уравнений Штурма-Лиувилля и дифференциальных уравнений произвольного порядка посвящено значительное число работ (см.[1-3] и библиографию к ним). Однако в этих работах, по существу, использовалось то обстоятельство, что коэффициенты уравнения имеют правильный рост на бесконечности.

В работах [4-11] асимптотические свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений исследовались для уравнений с коэффициентами из более широких классов, в частности не удовлетворяющих условиям Титчмарша-Левитана.

В работе [11] предложен метод исследования асимптотического поведения решений уравнения Штурма-Лиувилля

у" + (1 + q(x))y = 0, x0 < x < то,

в случае, когда q(x) — быстро осциллирующая функция из класса а (см. [11]), обладающая свойством q(x)dx < то. Этот метод дает возможность строить асимптотические формулы для решений как в случае, когда q(x) влияет на главный член асимптотики, так и в противном случае. Отметим, что вышупомянутый метод не позволяет исследовать случай, когда q(x) осциллирует, но не попадает в класс, описанный в [11]. Примером такой функции служит функция вида sin x/xa, а > 0. Целью настоящей работы является развитие данного подхода для построения асимптотик с возмущениями вида p(x)/xa, а > 0, где p(x) — почти периодическая функция.

2. Построение асимптотических формул. Рассмотрим уравнение

у" + ([I2 + — ] у = о, Хо < х < то, ¡л € С, (1)

\ xa )

1 Валеев Нурмухамет Фуатович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ИМВЦ УФИЦ РАН, e-mail: valeevnf@yandex.ru.

Valeev Nurmukhamet Fuatovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Institute of Mathematics with Computing Centre - Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences.

2Нази/рова Эльвира Айратовна — канд. физ.-мат. наук, доцент Уфим. ун-та науки и технологий, e-mail: ellkid@gmail.com.

Nazirova Elvira Airatovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Ufa University of Science and Technology.

3 Султанаев Яудат Талгатович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; Центр прикл. и фунд. матем. МГУ, e-mail: sultanaevyt@gmail.com.

Sultanaev Yaudat Talgatovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis; Center for Applied and Fundamental Mathematics of Lomonosov Moscow State University.

62

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5

здесь 0 < а, р(х) — почти периодическая функция вида

т

Р(х) _ £ 8к егрк х, в к е £,рк е М.

(2)

к=1

Основным результатом статьи является следующая Теорема. Пусть функция р(х) имеет вид (2) и

1) для любого набора чисел {с1,..., ст}, где с, е {0} и М, выполнено условие

СкРк _ 0;

к=1

2) для любого р^, к = 1,т, верно

2^ _ ±Рк-

(3)

(4)

Тогда для фундаментальной системы решений решений уравнения (1) при х — +то справедливы асимптотические соотношения:

fyl(x) У2(х)\ _ (ге-*^ —ге^Л /1 + о(1) о(1) (х) у2 (х)) V е-^х е*^ ) \ 0(1) 1 + о(1)

(5)

Доказательство. Схема доказательства теоремы следующая. Сведем уравнение (1) к эквивалентной системе уравнений. Введем вектор-функцию z(x, Л) _ (г1,г2) : z1 _ у, г2 _ у'. Тогда уравнение (1) запишется в виде

0

1

— р(х)/ха 0

Замена

переводит (6) в систему

где

Сделаем еще одну замену:

г —г 11

и

(6)

(7)

и' = гцЬои -\--И(х)и,

г /'"1(Л п^ гр(х) 11

и = В(х)лг, В(х) = В0(х) + (ж) + ... + Вк(х)-^,

(8)

где параметр к такой, что а ■ (к + 1) > 1. Далее мы покажем, что в силу условий теоремы матрицы В* ограничены при х — то. Замена (8) приводит к системе

В'{х)лг + В{х)лг' = + —0{х)В{х)лг.

ха

(9)

Считая х а малым параметром при х — то, будем искать матрицы В*(х) из следующей системы матричных уравнений:

/

В0 _ г^Ь0В0, В' _ г^Ь0В1 + БВ0,

В'к _ г^ЬоВк + БВк-1.

z

z

z

Из первого уравнения системы (10) имеем

в0 = е^ = е0и)

Приведем формулы для решений следующих уравнений:

Ч = Во - Во ■ Бь Д = Бо = В-1БВо, В2 = Во - Во ■ Д + Во ■ Б2, Д2 = БоБ1,

Вк = Во - Во ■ Д + Во ■ Д - ... + (-1)кВо ■ Бк, Д = Б^Дь-ь откуда окончательно получаем для В(х) представление

1 п ,1 п , , (-1)

к

В(х)=В0- + + +

\ «л/ Л/ Л/

из которого в том числе следует невырожденность матрицы В(х).

При интегрировании системы (9) нам необходимо совершать операции умножения матриц и нахождения первообразной. Легко проверить, что в силу условий (3), (4) среднее значение любого произведения И ■ Bj, ] = 0,к, равно нулю, откуда следует ограниченность Обозначим

К{х) = -В\х) + В'0(х) + ±В'1(х) + ... + В'к(х)-± + -^В{х)Вк{х),

в силу неравенства а ■ (к + 1) > 1 матрица К(х) суммируема на (хо, то). Учитывая (10), мы можем записать систему (9) в виде

V' = В-1(х)К (х) V.

Переходя здесь к эквивалентной системе интегральных уравнений и применяя метод последовательных приближений, получим выражения для главного члена асимптотики фундаментальной системы решений последней системы:

VI(х) и2(х)\_/1 + о(1) о(1)

4(х) ь2(х)) V 0(1) 1 + о(1)) ,х

Проводя обратные замены (7) и (8), окончательно получаем требуемые асимптотические формулы (5) для фундаментальной системы решений уравнения (1). Теорема доказана.

Отметим, что условие (3) теоремы может оказаться избыточным. В связи с этим приведем более точную формулировку условий, обеспечивающих ограниченность матриц В^ (х).

Введем в рассмотрение матричный столбец В = (Во, В1,... Вк)т и матрицу А = ®Ьо + J где I — тождественная матрица порядка к + 1, J — нижнесдвиговая матрица порядка к + 1. Тогда система (10) эквивалентна системе

В' = АВ. (11)

Заметим, что к системе (11) применима теория Флоке. Пусть р./, ] = 0, к, — мультипликаторы системы (11). Очевидно, что условие

| ¿ = 0Л (12)

обеспечивает существование ограниченного решения системы (11), а следовательно, и эквивалентной ей системы (10). Важно отметить, что р^ могут быть вычислены для любого у € С, значит, условие (12) является проверяемым.

Замечание 1. Из доказанной теоремы следует, что возмущение р(х)/ха при выполнении условий (3),(4) не влияет на главную часть асимптотики решений уравнения (1).

Замечание 2. Формулы (8) позволяют уточнить асимптотические формулы до порядка 1/хка включительно.

Замечание 3. Из доказательства теоремы следует, что в случае периодической функции p(x), несмотря на то что условие (3) теоремы не выполнено, приведенный алгоритм построения асимптотики фундаментальной системы решений для исходного уравнения может быть осуществлен при условии а > 1/2. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.

3. Пример. Рассмотрим уравнение

( sin x \

у" + /Л2 Н--)у = О, х0 < X < то, 1/2 < a, 2¡i ф ±1.

V xa /

В данном случае р{х) = егх — е гх), р\ = 1, р2 = — 1 и для, например, с\ = с2 = 1 имеем

2г

cipi + c2p2 = 0, т.е. условие (3) теоремы не выполнено. Положим в (8) k = 1, тогда матрица B(x) имеет вид

В(х) = В0(х) + (ж), Вх = В0 - B0Db

где

Di (x) = Do(x) = B-i(x)D(x)Bo(x). Вычислим для данного примера матрицы Do и Di. Имеем

^ . . i sin x ( —1 e2%^x Do(x) =

2ц \-е~2^х 1

Для вычисления матрицы Б1 требуется интегрировать элементы матрицы Бо. Условие 2ц _ ±1 обеспечивает ненулевую мнимую часть для всех элементов матрицы ^о, т.е. отсутствие резонанса. Имеем

/ 2 ГОЧ Г __)_р-1х(1-2ц)__]_ргх(1+2ц)\

~ ^ \шце~гх{1+2^ + "2с°8Ж ) '

Отметим, что для того чтобы матрица В(х) содержала три и более слагаемых, нам необходимо вычислять элементы матрицы ^о-^1, а затем интегрировать это произведение. В силу невыполнения условия (3) теоремы для данного примера некоторые элементы матрицы ^о ■ содержат нулевую мнимую часть, что влечет неограниченность матриц В к, к > 1.

Таким образом, для данного примера удается найти и явно вычислить ограниченные матрицы Во(х), В1(х) и получить два первых члена асимптотики фундаментальной системы решений уравнения (1) при х — то:

(у1{х)у2{х)\ (г-г\(я I я (Л(1 + о{ 1) о(1)

Исследования Э.А. Назировой и Я. Т. Султанаева поддержаны грантом РНФ № 23-21-00225.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zettl A. Sturm-Liouville Theory // Math. Surv. and Mon. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2005. Vol. 121.

2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

3. Султанаев Я.Т. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений в вырожденном случае // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1988. 13. 36-55.

4. Everitt W.N., Marcus L. Boundary value problem and symplectic algebra for ordinary differential and quazi-differential operators // Math. Surv. and Mon. Amer. Math. Soc. 1999. 60. 1-60.

5. Мирзоев К.А., Конечная Н.Н., Шкаликов А.А. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами // Матем. заметки. 2019. 120, № 2. 240-251.

6. Konechnaya N.N., Mirzoev K.A., Sultanaev Ya.T. On the asymptotics of solutions of some classes of linear differential equations // Azerbaijan J. Math. 2020. 10, N 1. 162-171.

7. Нестеров П.Н. Построение асимптотики решений одномерного уравнения Шрёдингера с быстро осциллирующим потенциалом // Матем. заметки. 2006. 80, № 2. 240-250.

8. Валеев Н.Ф., Султанаев Я.Т. Об индексах дефекта оператора Штурма-Лиувилля с быстро осциллирующим возмущением // Докл. РАН. 2000. 374, № 6. 732-734.

9. Валеев Н.Ф., Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. О новом подходе к изучению асимптотического поведения решений сингулярных дифференциальных уравнений // Уфим. матем. журн. 2015. 7, № 3. 9-15.

10. Валеев Н.Ф., Мякинова О.В, Султанаев Я. Т. Об асимптотике решений сингулярного дифференциального уравнения п-го порядка с нерегулярными коэффициентами // Матем. заметки. 2018. 104, № 4. 626-631.

11. Валеева Л.Н., Назирова Э.А., Султанаев Я. Т. Об одном методе исследования асимптотики решений дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля с быстро осциллирующими коэффициентами // Матем. заметки. 2022. 112, № 6. 935-940.

Поступила в редакцию 12.03.2023

УДК 531.396

ПРЕДЕЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ДОСТИЖИМОСТИ

ЛИНЕЙНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Д. И. Бугров1

Рассмотрена задача нахождения периодических траекторий, лежащих на границе предельной области достижимости линейной стационарной системы третьего порядка с одним управляющим воздействием, ограниченным по абсолютной величине. Предполагается, что характеристическое уравнение однородной системы имеет один отрицательный вещественный корень и два комплексно-сопряженных, вещественные части всех трех корней совпадают. Полученные результаты позволяют построить границу предельной области достижимости (для бесконечно большого времени управления) в виде аналитических выражений от параметров системы.

Ключевые слова: предельная область достижимости, линейная стационарная колебательная система, скалярное управление.

The problem under consideration is to find periodic trajectories lying on the boundary of the limit region of reachability of a linear time-invariant third order system with one controlling action bounded in absolute value. It is assumed that the characteristic equation of a homogeneous system has one negative real root and two complex conjugates roots, the real parts of all three roots are the same. The results obtained make it possible to construct the boundary of the limit reachability region (for an infinitely long control time) in the form of analytical expressions on the system parameters.

Key words: limiting reachable region, linear time-invariant oscillatory system, scalar control.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-10

Введение. Известно большое число работ, в которых изучаются области достижимости, их свойства, способы аппроксимации границ этих областей и методы численного построения [1-5]. Этот интерес обусловлен тем, что построение множества достижимости динамической системы позволяет оценить возможность перевода системы в заранее заданное состояние, учесть влияние действующих на систему возмущений, решать задачи гарантированного оценивания и теории дифференциальных игр.

Задача о построении области достижимости линейной стационарной системы третьего порядка с одним управляющим (возмущающим) воздействием, ограниченным по абсолютной величине, рассматривалась в [6]. Предполагалось, что характеристическое уравнение однородной системы имеет один отрицательный вещественный корень и два комплексно-сопряженных. Система полагалась вполне управляемой, записанной в безразмерном времени в жордановых координатах:

x 1 = Axi + b1u(t),

x2 = ex2 - x3 + b2u(t), (1)

x з = x2 + ex3 + Ьз u(t),

1 Бугров Дмитрий Игоревич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.bugrov@mech.math.msu.su.

Bugrov Dmitriy Igorevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.