CC BY
43
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
12 3
Есаков В.А. , Дудко В.Г. , Шлопак А.А. Email: Esakov 17120@scientifictext. ru
1Есаков Виталий Анатольевич - академик Российской академии космонавтики, кандидат технических наук, профессор;
2Дудко Владимир Григорьевич - кандидат технических наук, доцент;
3Шлопак Александр Анфирович - кандидат технических наук, доцент, секция кафедры систем автоматического управления (ИУ-1МФ), Мытищинский филиал Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Национальный исследовательский университет, г. Мытищи
Аннотация: в статье рассматривается построение асимптотического оптимального наблюдателя с использованием методов классического вариационного исчисления с использованием системы уравнений Эйлера и необходимых условий оптимальности в форме усиленных условий Лежандра. Рассмотрены вопросы рационального распределения полюсов проектирования замкнутых динамических систем. Получена система алгебраических уравнений для определения элементов матрицы коэффициентов усиления наблюдателя. Приведена структурная схема динамического объекта и наблюдателя его вектора состояния. Ключевые слова: наблюдатель, оптимальный, асимптотический, Эйлер.
CREATION OF THE ASYMPTOTIC OPTIMUM OBSERVER OF DYNAMIC SYSTEM Esakov V.A.1, Dudko V.G.2, Shlopak A.A.3
1Esakov Vitaly Anatolyevich - Academician of the Russian academy of astronautics, PhD in Engineering Sciences, Professor;
2Dudko Vladimir Grigoryevich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor;
3Shlopak Alexander Anfirovich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor,
SECTION OF THE DEPARTMENT AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS (IU-1 MF),
MYTISHCHI BRANCH BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MYTISHCHI
Abstract: in the article the creation of the asymptotic optimum observer with use of methods of a classical calculus of variations using the system of Euler equations and necessary optimality conditions in the form of enhanced Legendre conditions is considered. The problems of rational distribution of the poles of the design of closed dynamical systems are considered. The system of the algebraic equations for definition of elements of a matrix of intensification coefficients of the observer is received. The structural scheme of the dynamic object and the observer of its state vector is given. Keywords: observer, optimal, method, asymptotic, Euler.
УДК 681.51
Современные системы автоматического управления сложными техническими объектами, технологическими и другими процессами представляют собой многомерные динамические системы, обладающие высоким качеством работы. Создание таких крупномасштабных, высокоэффективных систем основывается на
новых современных направлениях развития науки об управлении: теории сложных систем и теории адаптивных и оптимальных процессов. На этой основе удается получить высококачественные алгоритмы управления, реализация которых требует измерения всех переменных состояний объекта управления. Однако, обычно доступны непосредственным измерениям не все компоненты вектора состояния системы [2]-[4]. В статье [1] рассматривается динамическая система, в которой непосредственным измерениям доступна лишь часть вектора состояния и строится динамический идентификатор состояния объекта. Уравнение динамики такого наблюдателя представляется в виде:
Х = ЛХ + ДУ-СХ) + Яи (1)
(2)
где Ь - матрица коэффициентов усиления наблюдателя. или
Х = ЛХ + 1У + М1, (3)
А = А - ЬС. (4) Динамические свойства такого наблюдателя существенно зависят от выбора матрицы его коэффициентов усиления (2); за счет выбора этой матрицы стремятся обеспечить желаемый характер и скорость стремления ошибки к нулю. В данной работе рассматривается построение асимптотического наблюдателя (идентификатора) состояния вида (1) , (3) с произвольным желаемым набором собственных чисел матрицы (4), расположенных в левой комплексной полуплоскости. При этом сама линейная стационарная система
Х = ^Х + 5и, (5) где X = (х,Xх„}Т - вектор состояния объекта; и = (и , и2,..., ит } - вектор управления объекта; А = (ау}пп,В = {Ъу}пт - заданные постоянные матрицы объекта.
У = СХ, (6)
где У = (у,у2,■■■,уг}Т - вектор выходных измеряемых переменных объекта; С = (сы }гп - заданная постоянная матрица, Г < П.
является полностью наблюдаемой.
Если из уравнения объекта (5) вычесть уравнение наблюдателя (1), то получим векторно-матричное дифференциальное уравнение, описывающее динамику изменения во времени ошибки восстановления (оценки) вектора состояния в
следующем виде:
Х = АХ илиХ = (А-£С)Х , Х(0) = Х0. (7) где Х(0 = Х(0-Х(Г)
Отсюда видно, что асимптотическое условие стремления к нулю ошибки восстановле6ния будет выполняться, если выбором матрицы (2) удалось обеспечить расположение собственных чисел матрицы (4) в левой комплексной полуплоскости, что всегда можно сделать при выполнении условия полной наблюдаемости объекта (5), (6). При таком расположении собственных чисел матрицы (4) процессы, протекающие в наблюдателе (1) и описываемые уравнением ошибок (7), будут
асимптотически устойчивыми. Таким образом, если собственные числа наблюдателя (1) выбраны так, что все их действительные числа отрицательны, то не имеет значения, какое начальное состояние (7) имеет наблюдатель, поскольку его вектор состояния будет стремиться к фактическому вектору состояния объекта асимптотически. Причем, чем больше модули отрицательных вещественных частей собственных чисел матрицы (4) идентификатора, тем быстрее оценка приближается к действительному состоянию. Но чем быстрее стремление оценки к вектору состояния, тем чувствительнее наблюдатель к шумам, действующим в канале измерения состояния системы. Поэтому вопрос о том, какие собственные числа наблюдателя необходимо выбрать, чтобы он выполнял свою задачу наилучшим образом, требует рассмотрения конкретных условий работы системы и требований предъявляемых к ней. Все эти обстоятельства могут быть учтены с помощью функционал вида
при надлежащем выборе его параметров. Обычно считают, что матрицы квадратичной формы подынтегрального выражения этого функционала должны быть симметричными и определенно положительными.
В работе рассмотрены три типа рационального распределения полюсов проектируемых замкнутых динамических систем. Одно из предложений заключается в обеспечении одинаковости всех корней характеристического уравнения, причем этот многократный корень должен быть действительным отрицательным, со значением модуля, определяемым требованием к быстродействию наблюдателя. Чем больше этот модуль, тем меньше время регулирования. При использовании этого типа размещения корней, характеристический полином обращается в бином Ньютона, разворачивая который получают желаемые коэффициенты характеристического уравнения создаваемого наблюдателя. Этот тип размещения корней дает относительно медленное протекание переходного процесса и не может считаться оптимальным.
Другой тип рекомендуемого расположения корней, предложенный Баттервортом, состоит в том, что корни должны лежать на окружности в левой комплексной полуплоскости на одинаковом угловом расстоянии друг от друга. Причем угловое расстояние крайних (ближайших к мнимой оси) корней должно равняться половине углового расстояния между корнями. По этим корням рассчитывают желаемые коэффициенты характеристического уравнения синтезируемого наблюдателя, пользуясь известной теоремой Виета. Системы Баттерворта имеют более колебательный характер переходного процесса по сравнению со случаем биномиальных систем. Радиус указанной окружности, содержащей корни, выбирают из условий требуемого быстродействия наблюдателя; чем больше этот радиус, тем меньше время переходного процесса.
Третий тип предлагаемого распределения определяется в результате минимизации с помощью вариационного исчисления определенного функционала, имеющего вид интегральной квадратичной ошибки. При оптимальном выборе матрицы (2) характеристический полином проектируемого наблюдателя, который совпадает с характеристическим полиномом дифференциального уравнения (7), должен равняться характеристическому полиному дифференциального уравнения устойчивых оптимальных безусловных экстремалей минимизируемого квадратичного функционала (8). Этот последний полином будем называть оптимальным. Для синтеза такого полинома будем пользоваться методами классического вариационного исчисления, применение которых в данном случае возможно благодаря неограниченности, непрерывности и достаточной гладкости подынтегральной функции функционала и его аргументов.
$ = е={ч,х„ > 0, яг = я={г,х„ > 0, (9)
/о=-Хг0Х + -ХгДХ, (10)
Этот функционал имеет подынтегральную функцию в виде определенно положительной квадратичной формы.
\ ~т ~ 1 -хгох+-2 2
Необходимые условия безусловного экстремума функционала выражаются системой уравнений Эйлера:
-^г---^ = 0 (11)
дХ Л дх
Подставляя функцию (10) в (11), получим
дх-кх = о. (12)
Так как матрицы этого уравнения в силу условий (9) невырождены, то его можно представить в следующем виде:
Х — Я^ОХ = 0. (13)
Поскольку интересует именно минимум функционала, то воспользуемся дополнительно необходимыми условиями его минимума в форме условий Лежандра. Эти условия требуют, чтобы матрица Гессе подынтегральной функции (10) относительно его аргументов была неотрицательно определенной матрицей
(14)
ах2
Из этого неравенства находим
= к>о.
ах2
Следовательно, здесь выполняются так называемые усиленные условия минимума Лежандра.
Для решения системы уравнений Эйлера (13), которые являются линейными однородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, составим характеристическое уравнение
ёе1(£>2 - Г10 = 0, (15)
где Еп - единичная матрица п -го порядка.
После раскрытия в соотношении (15) определителя получим алгебраическое уравнение степени 2п, причем это уравнение будет содержать только четные степени неизвестного р■ Поэтому каждому корню этого уравнения (15) будет соответствовать другой корень, который отличается только знаком. Следовательно, корни характеристического уравнения располагаются симметрично на комплексной плоскости корней не только относительно вещественной оси, но и относительно начала координат. Половина корней уравнения (15) располагается в левой полуплоскости, а другая половина располагается зеркально относительно мнимой оси в правой полуплоскости. Для определенности будем считать, что первые п корней имеют отрицательные вещественные части, а последующие п корней - положительные:
Яе р < 0,г = 1, п; (16)
Яе р > 0, г = п +1, 2п. (17)
Корни (16) дают семейство устойчивых экстремалей функционала (8), а корни (17) - семейство неустойчивых экстремалей создаваемого динамического наблюдателя
состояния объекта управления. Поэтому искомыми оптимальными корнями характеристического уравнения проектируемого наблюдателя являются корни (17).
Этим корням соответствует следующий оптимальный характеристический полином наблюдателя:
п п-\
((р) = п (р - р )= Рп+Ту>р' , (18) 1=1 1=0
коэффициенты которого выражаются через корни (16) известными формулами Виета:
V = (-\)пр1р2...рп;
У\ = (-1ТХ(РхР2...Рп-1 + Р\. ..Рп-2Рп + Р2Р3 -Рп ); ................................................................................................................................(19)
Уп-2 = Р\Р2 + Р\Рз + ... + Рп-\Рп ; V-\ =-( Р\ + Р2 + ... + Рп ).
Синтезируемый наблюдатель для оптимальности должен иметь коэффициенты характеристического полинома, совпадающие с оптимальными коэффициентами Виета (19). Это можно обеспечить надлежащим выбором матрицы коэффициентов усиления (2).
Характеристический полином синтезируемого наблюдателя и дифференциального уравнения (7) ошибки восстановления вектора состояния можно записать в следующем виде:
(р, Ь) = det{Enp - (А - ЬС)}. (20)
Раскрывая в выражении (20) определитель, получим
п-\
(р(р, Ь) = рп Р1. (21)
о
Этот полином (21) наблюдателя для оптимальности должен равняться найденному ранее оптимальному полиному (18). Два полинома равны друг другу тогда и только тогда, когда их одноименные коэффициенты равняются друг другу. Исходя из этого, получаем следующую систему алгебраических уравнений для определения элементов матрицы (2).
а1 (Ь) = V ,г = 0, п-\. (22)
Если динамический объект (5), (6), для которого синтезируется наблюдатель, имеет один скалярный выход (6), то полученная по условиям оптимальности система алгебраических уравнений(22) будет иметь число скалярных уравнений, совпадающее с числом неизвестных. Если же выходной вектор имеет размерность больше единицы, то число скалярных уравнений в системе (22) будет меньше числа неизвестных элементов матрицы (2). Появившаяся здесь свобода в выборе матрицы коэффициентов усиления наблюдателя может быть использована для удовлетворения дополнительным требованиям, предъявляемым к создаваемым наблюдателям. Вычислив путем решения системы уравнений (22) матрицу (2) и подставив ее в уравнение (1), получим структуру синтезируемого оптимального объекта. Структурная схема динамического объекта I и наблюдателя его вектора состояния II выглядит следующим образом (Рис. 1):
Рис. 1. Структурная схема Список литературы /References
1. Есаков В.А., Дудко В.Г., Шлопак А.А. «Об одном методе решения задач синтеза оптимальных наблюдателей полного порядка в пространстве состояний». Научно-методический журнал «Проблемы современной науки и образования», 2017. № 35 (117). С. 10-16.
2. Карабутов Н.Н. Адаптивная идентификация систем: Информационный синтез. М.: КомКнига, 2006. 384 с.
3. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 т.т. / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. М.: МГТУ, 2004.
4. Мирошник И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.А. Фрадков. СПб.: Наука, 2000. 549 с.
