Постановка задачи теплопроводности при СВЧ нагреве зерна для обеззараживания Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 620:631.365.22

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ СВЧ НАГРЕВЕ ЗЕРНА ДЛЯ ОБЕЗЗАРАЖИВАНИЯ

Д.А. Будников, А.Н. Васильев, А.А. Васильев

Статья посвящена распределению тепла в зерновке при его нагреве в микроволновом поле и последующем охлаждении, а также постановке задачи расчета распределения тепла в зерне при микроволновом нагреве. Ключевые слова: обеззараживание зерна, электротехнологии, микотоксины, микроволны.

Система дифференциальных уравнений тепла и влагообмена при СВЧ-воздействии имеет вид [1]:

'д9 _ д26 £ ди Qv

дт а дК2 + сг' дт + ср0' (1)

ди д2и д2в ди

дт ^д^ + атЬ20^2 + "Тт' (2)

дР _ дР2 £ ди

м = ар~дР2 + ' (3)

где а - коэффициент температуропроводности, м/с; е - коэффициент фазового превращения жидкость-пар; с - удельная теплоемкость зерна, кДж/кг°С; г' - удельная теплота парообразования, кДж/кг; - удельная мощность, рассеиваемая в диэлектрике при воздействии СВЧ-поля, Вт/м ; р0 - плотность су-

3 2

хого вещества зерна, кг/м ; ат2 - коэффициент диффузии жидкости, м /с; 52 -относительный коэффициент термодиффузии; Р - избыточное давление в образце, Па; су - емкость тела по отношению к влажному воздуху, с = , —;

' Рн Па

РН - давление пара материала при данном влагосодержании, Па; 0 - температура зерновки, °С; ар - коэффициент конвективной диффузии пара, м /с.

При СВЧ-обработке зерна с целью его обеззараживания основной задачей является температурное воздействие на зерно. В процессе обработки не ставится задача снижения влажности зерна, поэтому не предусматривается продувание зернового слоя воздухом. Поскольку обработку зерна проводят в плотном слое, то можно считать, что влага, выделяется в межзерновое пространство при СВЧ-воздействии там и остается, а затем зерном и поглощается. Поскольку влажность всех зерновок одинакова, то между ними влагообмена не происхо-

дит. Поэтому примем допущение, что в процессе СВЧ-обработки влагообмена зерновки с окружающей средой не происходит. Следовательно, в уравнениях (1), (2), (3) можно принять скорость изменения влажности равной нулю

ди

Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом. дв д2в Qv

К = "дР + — ' (4)

д2и д2в

= ¿2^ , (5)

д Я2 2дЯ2' дР дР2

^ = аР дН^ ■ (6)

Уравнение (4) показывает, что скорость изменения температуры зерновки зависит от скорости изменения градиента температуры в зерновке и от удельной мощности, выделяемой в зерновке, которая в свою очередь зависит от диэлектрической проницаемости зерновки. Поскольку влажность зерновки по объему распределена неравномерно, то и скорость нагрева различных участков зерновки будет неодинакова.

Уравнение (5) показывает, что скорость изменения градиента температуры пропорциональна скорости изменения градиента влагосодержания. Уравнение (6) показывает, что скорость изменения давления паров влаги в зерновке пропорциональна скорости изменения градиента давления. В наших расчетах это уравнение не понадобится.

Если в уравнении (4) слагаемое (дл2 в)/(дкл2) заменить его значением из уравнения (5), то получим следующую систему уравнений: дв д2в Qv

^ = а!р2 + (4) дв а д2и Оу

— =---+ — (7)

дт 52дЯ2 ср0' ()

Данная система уравнений описывает зависимость скорости изменения температуры зерновки от скоростей изменения градиентов температуры и влажности. Уравнение (4) представляет собой уравнение теплопроводности, описывающее изменение температуры в каждой точке объекта при подведении энергии извне [2,3,4].

Уравнение теплопроводности в задачах математической физики относится к задачам параболического типа [5,6]. Чтобы с помощью уравнения теплопроводности описать динамику температурного поля в теле, необходимо знать распределение температуры в начальный момент времени, т.е. задать начальные условия. Кроме того, требуется знать тепловой режим на поверхности тела, т.е. задать граничные условия во всех точках поверхности тела в любой момент времени.

Чтобы задать начальные и граничные условия, более подробно рассмотрим свойства зерновки, поступающей под действие поля СВЧ.

Процессы нагрева зерна и перемещения влаги в нем существенно зависят от влажности различных слоев зерна. Ранее было показано, что при созревании зерна распределение влаги в нем зависит от сроков уборки и неравномерно по объему зерна. Будем считать, что семена имеют круглую форму, тогда распределение влаги в них после уборки условно можно представить в виде рисунка 1.

При воздействии полем СВЧ-нагревание частей объема зерновки будет происходить в соответствии с распределением влажности в ней. Следовательно, в меньшей степени будут нагреваться наружные слои зерновки, а в большей -внутренние.

Как было отмечено ранее, в процессе созревания зерна меняется форма связи влаги в зерновке, что может приводить к изменению диэлектрической проницаемости воды в различных частях объема зерновки. Поэтому различие в нагреве частей зерновки будет зависеть от степени созревания семян. Очень сложно получить объективную информацию о диэлектрических свойствах воды в различных частях зерновки, поэтому примем третье допущение, что они постоянны в каждой из зон единичного зерна, в которых считаем влажность постоянной.

С учетом изложенного схему нагрева зерновки под действием СВЧ-поля можно представить следующим образом. Поскольку влажность слоев зерновки уменьшается от центра к поверхности, то и максимальная температура будет в центре зерновки. По мере удаления от центра температура будет уменьшаться. Перемещение влаги в зерновке при СВЧ-нагреве происходит за счет действия возникшего градиента температур 01 > 02 > 03 > 04 > 05 > 06 > 07 , градиента давлений Р1 > Р2 > Р3 > Р4 > Р5 > Р6 > Р7 , где 01_ 07 - температура, в зонах зерновки возникшая под действием поля СВЧ.

Перемещение пара из центра зерновки по капиллярам приводит к более быстрому нагреву остальных частей зерна, которые имеют меньшую диэлектрическую проницаемость. Если время воздействия поля СВЧ будет достаточным, то температуры центра и поверхности зерна должны выровняться. В этом

Рис. 1. Условная схема распределения влажности

в зерновке после уборки:

1-7 - условные зоны зерна с одинаковой

влажностью. Зоне с большим номером

соответствует большая влажность:

W7>W6>W5>W4>Wз>W2>Wl.

случае необходимо учитывать, что температура нагрева зерновки, особенно ее центра, может превысить безопасное значение. Поэтому необходимо контролировать температуру нагрева зерновки и ограничивать время воздействия поля СВЧ. В результате может оказаться, что температура в зерновке не выровняется по всему объему. Поскольку при дезинфекции зерна нас интересует температура слоев, расположенных ближе к поверхности, то возможно, что потребуется повторять воздействие СВЧ-полем несколько раз, чтобы обеспечить требуемую величину температуры и экспозиции в поверхностных слоях зерновки.

Для выполнения расчета нагрева зерновки при воздействии поля СВЧ необходимо задать начальные и граничные условия, которые зависят от того, какую структуру имеет зерновка. Чтобы математическая модель адекватно отражала процессы, происходящие в зерновке, необходимо учесть и описать все основные взаимодействия. Представляется, что нет необходимости делить зерновку на семь зон влажности, как это представлено на рис. 2.1. Учитывая малые размеры зерновки для математической модели, будет достаточно описания процесса нагрева зерновки в трех зонах: центральной, средней и внешней. Тогда для упрощения задачи примем, что зерновка имеет форму шара и разделена на три зоны, влажность в которых распределена равномерно (рис. 2).

Граничные условия в задачах теплопроводности могут быть заданы различными способами [7,8,9].

Граничные условия первого рода, когда в каждой точке поверхности тела задают температуру.

Граничные условия второго рода, когда на поверхности тела задают тепловой поток.

Граничные условия третьего рода, когда описывают тепловой режим на поверхности тела, соответствующий конвективному теплообмену по закону Ньютона с окружающей внешней средой.

Граничные условия четвертого рода, когда при описании температурных полей в многослойных телах и оболочках на поверхности контакта двух тел используют граничные условия сопряжения. Для идеального теплового контакта эти условия означают равенство температур и тепловых потоков на контактной поверхности.

Рис. 2. Условное представление зерновки и разделение ее на три зоны по влажности

Из приведенного ранее описания граничных условий для зерновки следует, что в постановке задачи теплообмена используются несколько способов граничных условий. Так, для круга, внутреннего кольца и внутренней поверхности внешнего кольца используют граничные условия четвертого рода. Поэтому

в2 — f(r) + в3 — f(r)

0 гр 1.1 — 0гр1.2

Аналогично

0

— 0г

02 — f(r) + в3— f(r)

гр2.1 К1гр2.2 2

Для внешнего кольца, у которого осуществляется конвективный теплообмен с внешней средой, используются граничные условия третьего ряда.

Ранее было принято допущение, что в каждой из трех зон зерновка имеет одинаковые теплотехнические свойства в пределах зоны. Следовательно, если из зерновки, вдоль ее центральной оси выделить круглый цилиндр (рис. 3), то изменение температуры в участках данного стержня будут аналогичны изменениям температуры в любой точке колец.

Рис. 3. «Извлеченный» из зерновки вдоль центральной оси цилиндр

С учетом данной симметрии задача теплопроводности для зерновки может быть сведена к решению задачи теплопроводности для стержня.

Поскольку температура вокруг стержня всегда будет равна температуре внутри стержня, теплообмена с боковой поверхности стержня осуществляться не будет. Следовательно, задача аналогична задаче для стержня с изолированной поверхностью. Запишем краевую задачу с начальными и граничными условиями.

Для СВЧ-нагрева.

Поскольку стержень симметричен относительно начала координат, то выполним расчет только относительно правой части. Формулировка краевой задачи для первого участка стержня будет следующей. Получить уравнение изменения температуры в стержне длиной Я\ с теплоизолированной боковой поверхностью и левым конусом (х=0), если начальная температура стержня равна 0о. Внутри стержня имеется равномерно распределенный источник энергии Qv\. На правом краю стержня температура изменяется по закону

_ вг (Т) + в2(г) игр1 = 9

Краевая задача для первого участка стержня будет иметь следующий вид.

(дв1 2 д2в1

1 2 1 ■ 0 < х < Я1,

= а2

+

д т ~1 д х2 р1с1 в 1 (х, 0) = в о,

_ в 1(т) + в2(т) _

01(к 1,т) =-2-= ® тр1 (т),

д о1, \

№ —- (0,т) = 0,

ох

0 < т < 0 < х < Я1,

0 < т <

(8)

где я 1 - коэффициент температуропроводности центральной части (шара/

2 3

зерновки м /с), - плотность участка зерновки, кг/м ; С1 - удельная теплоемкость участка зерновки, кДж/кг.к; - удельная мощность выделяемая в участке зерновки при действии СВЧ-поля, Вт/м ; 5 - поперечное сечение стержня, м2; q - тепловой поток.

Для второго участка стержня краевая задача будет иметь следующий вид:

дв2

= а-2

д2в2 , (¿у2

+

Я 1 < х < Я2, 0 < т < +от,

(9)

дт "2 дх2 р2с2'

в 2(х,0) = в о, Я1 < х < Я 2,

в 2 (я 1,т) = (Т), 0 2 (Л 2,т) = 0гр2 00, 0<Т<+™

Для третьего участка зерновки, с учетом того, что с правого конца происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона, краевая задача будет иметь следующий вид.

3

д в з д2вз (¿к

= %

+

Я2 < х < Я3, 0 < т <

(10)

0 < т <

Зт "3 3 х2 р3с3

в з (х, 0) = 0 о, Л 2 <*< й з,

вз(Я2,т) = вгр2 (т), 03 (Лз,т) = -Тмз (т)],

где И = £/л, X - коэффициент теплообмена между поверхностью стержня и окружающей средой, температура которой равна Тмз (т); X - коэффициент внутренней теплопроводности участка зерновки, Вт/мск.; Тмз (т) - температура межзернового пространства.

Без воздействия СВЧ-поля

После прекращения действия поля СВЧ части зерновки начнут остывать.

Краевые задачи для каждой части будут иметь следующий вид.

Для первого участка.

(дв1 2 д2в1

121 0 < х < Я1

= а?

дт дх2 , в 1(х,0) = в 1К,

д ^ . Л

Я^—- (0,т) = 0,

ох

0 < < 1,

(11)

в 1( Я 1,т) = 6>гр1 (т)

Для второго участка. ' дв2 _ 2д2в2 ■ = а2~дх2Т,R1 < х < R2 (12)

ß2(x, 0) = в2К, 62(R2, т) = вТр2 (т), 0 < Т <

Для третьего участка. (дв3 2 д2в3

~д7 = °2~дх3, R 2 < х < ^ 0 < т <

* 63 (х, 0) = взк Ü2 < х < Яз, (13)

^3(R2, т) = eTV2(Т), вз(Яз, т) = -к[вз(R3, т) - ТМ3(т)],0 < т <

где в1к , в2к,в3к, - температура первого, второго и третьего участков зерновки, соответственно, после прекращения действия СВЧ поля.

При дальнейшем циклическом продолжении процесса нагрев-охлаждение конечные температуры этапа «нагрев» или «охлаждение» необходимо принимать в качестве начальных условий для следующего этапа. Таким образом, чтобы получить закономерности изменения температуры зерновки в циклическом процессе нагрев-охлаждение, необходимо решить шесть краевых задач (8)-(13).

Литература:

1. Лыков А.В. Теория сушки. М.: Энергия, 1968. 472 с.

2. Эккерт Э.Р. Теория тепло- и массообмена. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961. 680 с.

3. Кутателадзе С.С. Справочник по теплопередаче. М.-Л., 1958. 414 с.

4. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 416 с.

5. Араманович И.Г. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.

6. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

7. Самарский А.А, Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М., 2003. 784 с.

8. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 367 с.

9. ШармаД.Н. Уравнения в частных производных для инженеров. М., 2002. 320 с.

Будников Дмитрий Александрович, кандидат технических наук, научный сотрудник

Васильев Алексей Николаевич, доктор технических наук, профессор, заместитель директора

Васильев Алексей Алексеевич, инженер, зав. сектором ТиПО научных исследований

ГНУ ВИЭСХ Россельхозакадемии

Тел. +7(499)1710659

E-mail: vasilev-viesh@inbox.ru

The article is dedicated to the distribution of heat in the caryopsis under heating in a microwave field and subsequent cooling as well as the formulation of the problem of calculating distribution of heat in the grain during microwave heating. Keywords: disinfection of grain, electrotechnology, mycotoxins, microwaves.