Постановка задачи об устойчивости электрогидродинамического пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XV 19 8 4

№ 1

УДК 532.526:538.4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Выведены уравнения, описывающие возмущения параметров в электрогидродинамическом пограничном слое в униполярно заряженном несжимаемом газе в линейной постановке. Показано, что вопрос об устойчивости электрогидродинамического пограничного слоя в главном приближении должен решаться в рамках анализа задачи на собственные значения для гидродинамических возмущений без учета влияния электрических параметров.

Электрогидродинамические течения несжимаемого вязкого газа описываются следующей системой уравнений [1]:

Здесь V, Е, J — векторы гидродинамической скорости, напряженности элект-. рического поля и плотности электрического тока соответственно, q — плотность объемного заряда, Ь и D — подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда, р, (х и е0 — плотность, вязкость, и абсолютная диэлектрическая проницаемость газа, р — давление, t — время. Предполагается, что <?>0, а р, е0. Ь, D = const.

Рассмотрим двумерное движение газа в декартовой прямоугольной системе координат х, у, причем ось х направим по касательной к поверхности обтекаемого тела. Предполагаем, что на основное стационарное и ламинарное течение, параметры которого обозначим большими буквами, наложены малые нестационарные возмущения, обозначаемые малыми буквами: U + u, V+v, Р + р, Е + е, Q + д, где и, и к V, v — соответственно касательные и вертикальные компоненты скорости.

Для возмущений на основе (1)—(3) получим следующую систему уравнений в линейной постановке:

А. /7. Курячий

vy=0, р— + р(Уу) V =— р + [*д V+ q Е,

(1)

\ХЕ = О, \Е = я!г о,

17 + vy = 0, j = q(V+bE)-Dvq ot

(2)

(3)

dx dy

(4)

ду

У'ду ' е0

дх2 ду2,

Здесь V = iJ.jp, (Ехо, Буо) и (.Е*. Еу) — соответственно компоненты напряженности внешнего электрического поля, которое является лапласовским, и поля, создаваемого объемным зарядом.

Обозначим через ит характерную скорость основного течения, Е0 — характерное значение Ех0. Пусть I—характерный размер основного течения вдоль тела, 8 — толщина гидродинамического пограничного слоя, б; — толщина ионной струи, X — характерная длина изменения возмущений вдоль оси х. Предпола-

гается, что число Ие = —достаточно велико, Ех0^>Ех, 8///С1, Х//<1 и 5/5*<0(1).

Из уравнения неразрывности тока д/х1дх + д;у1ду = 0 с учетом того, что ]’х ~ (£/+ ЬЕхо) (3, 1у~ЬЕу(}, имеем Еу ~ Е^ 8^//. Для характерных значений Е0 = 106 в/м, иж = 100 м/с, в том случае, когда носителями заряда являются ионы воздуха, т. е. Ь ~ 2-10-4 м2/В>с, получим, что ЬЕ^и^— 1. Из второго уравнения (2) для плотности заряда имеем оценку <3 ~ им ьй1Ы.

Перейдем к безразмерным переменным, относя время / к Х/^, координаты. х, у — к X и 8 соответственно, С/ и и —к 17^, V—и^ЪЦ, V — к У^Б/Х, Ем и ех — к иж1Ь, Еу — к и^Ь^Ы, ву — к и^Х/ЬЪ, ф и д — к е0и^Ы. Заметим, что

£0 ^0 ео ^оо — — — —

дО/дх = - —---------^5— , откуда дСЦдх ~ X//; аналогично дП1дх ~ X//.

Таким образом, с точностью порядка шах (X//, 5//, Щ1) на основании (4)—(8) для безразмерных величин, обозначенных чертой сверху, имеем

ди дю

дх ду

ди — ди — д(/ др

—- + и-т=- + V —+ —Чг

—— + и + V —=- + —— дt дх ду дх

д! дх ^ а2 ду

дд

дех деу

ду дх

- — д д

+ (У + £«) г

дх

(9)

где введено обозначение а —Ь/Х.

Отметим, что эффекты диффузии заряженных частиц необходимо учитывать в тонких слоях резкого изменения плотности заряда, имеющих толщину Ь0 ~ НУ Ре, где Ре=ит1Ю — электрическое число Пекле. В частности, учет диффузии необходим вблизи обтекаемой диэлектрической поверхности для удовлетворения условию равенства нулю тока, текущего к поверхности. Если заряженными частицами являются ионы воздуха, то при частоте столкновений ионов того же порядка, что и для нейтральных молекул, величина м/О будет константой порядка единицы [21. Следовательно, толщина диффузионного слоя будет порядка толщины вязкого пограничного слоя. Поэтому, как показано в [3], при а<0(1) правыми частями (9) можно пренебречь в основной области течения, а учет вязкости и диффузии производить в тонких слоях Ду<0(1). Кроме ТОГО, С относительной погрешностью, не превышающей (а Ие)—!, а2Ду2 можно отбросить члены аъдъа1дх1 и а?д2и]дх2 в правых частях второго и шестого уравнений и правую часть третьего уравнения системы (9) [3].

Вводя в рассмотрение фазовую скорость возмущения с, потенциал <р возмущенного электрического поля по формулам ех = —<Э<р/дх, еу = — д<р/ду, и обозначая Ь=х—^, УР=^Т1 — с, е = (аИе)-1, и = 4'(у)еге, V — \У (у)т (у) е‘\ р —

= 1И(у)е1^, <р = Л(у)е^, q=f(y)ei^, на основании (9) получим (опуская черту над безразмерными величинами)

\Г2т' + Я= —гЧ(№т(10) + = 0, (11)

/г" — а2 /г = 0, (12)

£>

+ Ехь)/-\-(а?'№1=---------<*2 е/", (13)

где штрихом обозначено дифференцирование по у. Из полученной системы видно, что уравнения для возмущений электрических параметров (12), (13) отделились от уравнений для гидродинамических возмущений (10), (11).

Краевые условия для возмущений гидродинамических параметров имеют

вид

т, + 0 при у -*■ со; т = т' = 0 при у = 0. (14)

Для возмущений потенциала и заряда имеем

А, /-* 0 при у -> со. (15)

При у = 0 условие неразрывности тангенциальной составляющей напряженности электрического поля дает Л = 0. Следовательно, на основании (12) Л(у)=0. Линеаризация условия отсутствия тока к диэлектрической стенке дает Ьеу <3 +

+ ЬЕуд = Вдд1ду или -^1 — ™ 8 /(0) — /' (0) = 0. Так как 8//~ м/С/^ 8, то А =

= Ие — —-— —, следовательно, для функции /(у) имеем

/ £> £> 8

^(0)-/'(0)=0 при 8г/5 = 0(1); |

/(0) = 0 при 5,/8 > О (1). |

Уравнения (10), (11) с краевыми условиями (14) представляют собой задачу на собственные значения. При известных функциях Ц7 (у), Ех 0 (у), г (у), решая краевую задачу (13), (15), (16), можно найти возмущение объемного заряда, однако в этом нет необходимости. Заметим только, что при построении внешнего разложения /(у; е) = /0 (у) + (у) + ... в главном приближении получим

функцию /0(у) = 1\Ръ()'ЦУ7 + Ех0), которая в силу (14) удовлетворяет обоим

краевым условиям (15), (16). Следовательно, „пограничный слой“ в задаче (13). (15), (16) возникает лишь в следующих приближениях.

Таким образом, при исследовании устойчивости электрогидродинамического пограничного слоя необходимо решать ту же задачу на собственные значения (10), (11), (14), которая имеет место для обычного пограничного слоя. Электро-гидродинамическое воздействие на устойчивость проявляется только через изменение профиля скорости основного стационарного течения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гогосов В. В., Полянский В. А. Электрогидродинамика: задачи и приложения, основные уравнения, разрывные решения. — В кн.: Механика жидкости и газа (Итоги науки и техники). М., ВИНИТИ, 1976, т. 10.

2. Ватажин А. Б. Сглаживание разрывов электрического заряда в электрогидродинамике в результате диффузионных процессов. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 1.

3. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.

Рукопись поступила 20/ VII 1982