Оценка влияния электрогидродинамического воздействия на устойчивость пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

_____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 1984

М 5

УДК 532.526 : 538.4

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПОГРАНИЧНОГО слоя

А. П. Курячий

Рассчитаны параметры ионной струи, распространяющейся вблизи плоской диэлектрической пластины в несжимаемом газе, а также возмущения газодинамического течения, индуцированные струей. На основе приближенной формулы Линя оцениваются значения критического числа Рейнольдса потери устойчивости пограничного слоя. Показано, что в результате электрогидродинамического воздействия критическое число Рейнольдса может быть повышено на несколько десятков процентов.

1. Интерес к исследованию ЭГД метода управления пограничным слоем обусловлен следующими соображениями. В пограничном слое скорость течения у поверхности невелика, поэтому даже небольшое увеличение скорости в этой области может существенно повлиять на характер течения пограничного слоя. При использовании в качестве источника ионов коронного разряда можно также надеяться на то, что энергетические затраты в данном методе УПС будут невелики, так как хотя напряжения коронного разряда весьма велики, ток в нем мал. Представляется привлекательной и простота в создании ЭГД течения на основе использования коронного разряда.

Теоретическое исследование электрогидродинамических течений вблизи диэлектрической поверхности проводилось в работах [1—4] при различных существенных улрощениях, в результате чего рассматривавшиеся модели недостаточно точно отражали реальные свойства таких ЭГД течений. В данной работе рассматривается модель пристенной ионной ЭГД струи, образующейся за источником униполярного заряда, учитывающая характерные особенности ЭГД течений вблизи диэлектрика. Рассчитаны возмущения газодинамических параметров, обусловленные ЭГД воздействием, и оценено влияние этого воздействия на устойчивость пограничного слоя к малым возмущениям.

2. Постановка задачи. Стационарное течение несжимаемого вязкого газа, содержащего униполярный объемный заряд, описывается следующей системой уравнений в безразмерной форме:

<Цу И = 0, С/ч)?=—чр + Яе-1ьУ+-МдЁ,

(1>

Е =— уср, с!1у Е — ц, сНу/*=0, Х=д (V + Е) — Ре-1 V Я- (2)' Безразмерные величины введены по формулам х°=1х,

у0 = 1у, р° = р и]р, <р° = ^ <р, Ё° = 2, д° = ^ ц,

= Ре =

Ы V £> р Ь2

где верхний индекс «О» относится к размерным величинам, и* и / — характерные скорость и размер, р°, р, е°, V — давление, плотность, абсолютная диэлектрическая проницаемость и кинематическая вязкость газа, Ъ и I) — коэффициенты подвижности и диффузии ионов, — плотность объемного заряда, <р — электрический потенциал, V, Е, / — векторы скорости, напряженности электрического поля и плотности тока. Здесь р, Ь, £>, V, е°=сопз1.

Рассмотрим обтекание плоской диэлектрической пластины с относительной проницаемостью гт потоком несжимаемого вязкого газа со скоростью на бесконечности и*. Предположим, что на расстояниях хА и Хв от передней кромки пластины перпендикулярно к ее поверхности расположены бесконечные электроды-сетки Га и Гв, которые не возмущают течение газа. Расстояние между ними I. Внутри пластины на расстоянии ус от ее поверхности расположен электрод Гс (рис. 1).

Рис. 1

На электродах Гв и Гс задается потенциал <р = 0, а на Гд задаются распределения потенциала и плотности объемного заряда. На пластине для гидродинамических величин имеем условия непротекания и прилипания, а для электрических параметров должны выполняться условия

(!),-•*(£),|3>

,4>

Условие (4) означает равенство нулю тока, текущего на пластину. Индексы 1 и 2 относятся соответственно к области течения и к области между электродами Гд, Гв, Гс и поверхностью пластины, о — плотность поверхностного заряда, определяемая ниже.

Система уравнений (1) — (2) с условиями «сшивания» (3) — (4) и сформулированными выше граничными условиями позволяет рассчитать рассматриваемое ЭГД течение.

Отметим, что в случае использования коронного заряда носителями заряда являются ионы воздуха, для которых г~Д откуда и Ре~Ие. Кроме этого, при характерных значениях <7°=10~4 К/м3, Е° = = 10е В/м и при и*— 100 м/с, / — 0,1 м, р~1 кг/м3 имеем ^~1, Е~ 1, Ф~1,А^~10-3.

Малое значение параметра электрогазодинамического взаимодействия N позволяет воспользоваться при решении задачи методом возмущений. Гидродинамические величины, разлагаемые в ряд по малому Ы, в нулевом приближении определяются из системы уравнений (1) без электрических членов. На известном гидродинамическом «фоне» из системы уравнений (2) рассчитываются электрические параметры течения, которые используются затем для определения возмущений гидродинамических величин, обусловленных ЭГД воздействием.

3. Расчет электрических параметров. В масштабе лг— 1, у~ 1 пренебрегаем эффектами вязкости и диффузии, тогда решением уравнений

(1) в нулевом приближении является невозмущенное однородное течение. Электрические параметры описываются системой уравнений

Л + = 0 (5)

дх3 ду2 \ дх) дх ду ду

в области течения и уравнением

£$ + *3! = о (6)

дх* ' ду* к '

внутри пластины с граничными условиями

? (хА, У) = ?о (У). <Р (хв, У) = 0, <р (х, —у с) = 0, |

<Р (х, + оо) = % (хв — х), ^ (хА, У) = ?0 ( у). 1

Область течения между электродами Га и Гв моделирует внешнюю зону коронного разряда. Сами же коронирующие электроды расположены левее Га, поэтому распределения потенциала и объемного заряда на электроде-эмиттере Га должны определяться, вообще говоря, из решения задачи о коронном источнике. В данной постановке эти распределения моделируют источники заряда, находящиеся вне рассматриваемой области. На всем электроде Га задается постоянное значение фо>0, а на его участке от у=0 до некоторого уд — постоянное значение плотности объемного заряда <7О>0.

Для того чтобы решения уравнений (5) — (6) удовлетворяли условиям «сшивания» (3) — (4), необходимо учитывать диффузию заряда и рассмотреть область течения вблизи пластины с характерными размерами х~1, у~Не~,/2. Решением уравнений (1) в нулевом приближе-

нии является пограничный слой Блазиуса, а электрические параметры описываются системой уравнений электрогидродинамического пограничного слоя [1]:

с граничными условиями

ЬЕ°уд°— £ —= 0, е° Е° — е£ = а» при у° = 0, I

4 * -г ’ (Ю)

дЕ°1ду0 -> ^/в° при _у°->оо.|

Здесь индексы л: и у относятся к компонентам напряженности' электрического ПОЛЯ ВДОЛЬ пластины и перпендикулярно К ней, <7°^ — значение плотности заряда на пластине, получаемое из решения систе-хмы уравнений (5).

Из первого уравнения (8) следует, что изменением составляющей Ех поперек слоя можно пренебречь с точностью Ке_1/2, и эта величина должна быть задана из решения внешней задачи (3.1) — (3.3).

Вводя безразмерные величины х — тг) = у0 {иф1у№, Ех — ЬЕ° ЫеР

= —— , Е-ц —------1__и /—функцию тока Блазиуса, на основании

и* (и^х°)ш

(8) —(10) получим

л е; + ^ (/+ ч Ех) Е\ = х [(/' + Ех)д1± + Еч Е\ 4- (я;)2] , (11)

2 дх

хЕ^Е\ = \Е"^, Е^^^е/хуРХёпЕгу + а.Е^), ?] = 0; (12)

А Яеху Ч -*°° ■

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по переменной т], X = — ; а — безразмерный параметр, определяемый соотношени-

ем о0 = <х1д^', Яш — значение объемного заряда на поверхности. Такая связь между поверхностным и объемным зарядами имеет место в установившемся режиме, когда суммарный электрический ток на стенку равен нулю [5]. Коэффициент а должен определяться на основе теории адсорбции.

Начальные условия для уравнения (11) принимаются следующими:

Е-ч {хА, т)) = 0, £■’ (хА, т)) = д0, Е"ч (ха, у1) = 0. (13)

Величины Ех, дех, Е2 у, входящие в (11)—(12), определяются из решения внешней задачи (5)—(7), которое, в свою очередь, зависит от решения задачи (11)—(13). В масштабе х—1, у—1 диффузионный слой эквивалентен наличию на поверхности пластины дополнитель-

со

ного поверхностного заряда а, = | (д° — д°ех) йу°, где д° — решение

о

(8) —(10). Поэтому граничное условие при у = 0, которое необходимо использовать для решения системы уравнений (5) в области /, должно иметь вид

«=_£,„ (*)-«,,(*), (14)

где <з„ — —— , а Е„ш — истинное значение у — составляющей напря-

ги*

женности поля на поверхности пластины в области 1, определяемое

из решения задачи (И) —(13). В переменных пограничного слоя граничное условие (14) имеет вид

^1^2) =_ (*/Не)1/21 Еп (X, 0) + Т [Е'п (*, ч) - дех (х)} ^ } . (15)

Метод решения сформулированной выше задачи об определении параметров ионной струи состоял в следующем. При заданном распределении Егу на поверхности пластины решается уравнение (6) с граничными условиями (7). Методом последовательных приближений решается задача в области 1. При этом в нулевом приближении вместо (15) берется дф!/ру = —гузЕгу и из (5), (7) определяются дех, Ех, которые используются при решении задачи о диффузионном слое

(11)—’(13). По формуле (15) находится следующее приближение граничного условия для решения задачи (5), (7). Процесс приближений продолжается до тех пор, пока значения ц в узлах расчетной сетки, полученные в двух последовательных приближениях, не будут совпадать с заданной точностью. Затем проверяется выполнение первого условия (3), и если оно не выполняется, задается новое распределение Егу. При этом последующие значения этой функции в узлах границы у = 0 определяются методом секущих.

На основе описанного алгоритма были проведены расчеты при следующих значениях безразмерных параметров задачи: ус = 1, уд = 0,05, е№ = 3, А=1, а = 0, Ие=105, <7о=1, Фо=1, *а = 0,5. Эти расчеты показали, что вблизи поверхности диэлектрической пластины образуется тонкий, ТОЛЩИНОЙ Г]~0,1, диффузионный слой, в котором плотность объемного

заряда возрастает на 2—3 порядка. Этот эффект обусловлен наличием достаточно сильного «прижимающего» поля Еу, создаваемого электродом Г с, в результате чего для удовлетворения условия .непротекания тока через поверхность должны возникать большие градиенты заряда. Примеры профилей заряда в различных сечениях х приведены на рис. 2.

4. Расчет возмущений, обусловленных ЭГД воздействием. Разлагая гидродинамические величины в ряд по малому Ы, для возмущений в невязкой области на основании (1), получим следующую систему уравнений:

О,В

Рис. 2

откуда

дх- ду2 дх ду

д21> д (дЕу) д (цЕх)

Граничные условия для уравнения (16)

V (х, 0) = г> (--оо, у) — V (+со, у) — V (х, +оо) = 0. (17)

Нас интересует прежде всего результат ЭГД воздействия на течение в пограничном слое, для расчета которого необходимо знать распределения

др дv % дь

ззг = ?£* + 57 > и~=—X, йх пРиу==0> (18>

Рассмотрим теперь течение в пограничном слое. Вводя безраз-

мерные Переменные формулами Х*=Х°/1, 7) = у0 (иф х0)1/2, /(х, Т]) =

=-------Г75, где ^ — функция тока, для функции / получим урав-

(и*у*о)1М

нение

1 / д/' д/ дР\

Г + -т/Г = ^{/' ’ <19>

где штрих означает дифференцирование по т), Р—статическое давление.

Разлагая /(х, ч) = /0 (ч) + ЛТД (х, т|) + . • ■ , Р= 1 + + . . . ,

для функции /0 из (16) получим уравнение Блазиуса с соответствующими граничными условиями, а для /, — уравнение

/Г + у (/о/ + /о /о = х(яд£-/°£- ЯЕХ + £-) (20)

с граничными условиями

71 = 0 :/,=/( = 0; т] оо : /[-* иж (21)

Начальные условия для решения задачи (20) — (21) определяются из решения обыкновенного дифференциального уравнения, получаемого из (20) — (21) при х = 0.

Входящие в (20) — (21) распределения и определяются формулами (18) на основе решения задачи (16)—(17).

На рис. 3 представлены рассчитанные по (16) — (17) распределения величин /" и по поверхности пластины, где /=/о+А^/1. Видно, что в результате электрогидродинамического воздействия трение на

поверхности возрастает незначительно, а кривизна профиля скорости, от которой существенным образом зависят характеристики устойчивости, увеличивается от 0 для профиля Блазиуса до величины порядка единицы. Максимальная индуцированная ЭГД воздействием скорость в пограничном слое во всем межэлектродном промежутке не превышала 4%, т. е. при и* = 100 м/с индуцированная скорость 4 м/с, что меньше достигнутого в эксперименте [1] значения 6 м/с.

5. Оценка устойчивости ЭГД пограничного слоя. В работе [6] показано, что в задаче об устойчивости электрогидродинамического пограничного слоя уравнения для гидродинамических возмущений отделяются и решаются независимо от уравнений, описывающих возмущения электрических параметров. Это означает, что исследование устойчивости таких ЭГД течений можно проводить в рамках уравнения Орра— Зоммерфельда, а ЭГД воздействие оказывает влияние на устойчивость пограничного слоя только в результате изменения профиля скорости основного течения.

Для приближенной оценки критических значений числа Рейнольдса потери устойчивости ламинарного пограничного слоя воспользуемся известной формулой Линя [7], согласно которой минимальное критическое число Рейнольдса, построенное по толщине вытеснения, определяется равенством

Re. = 25(22)

где fw = f" (х, 0), б* — безразмерная толщина вытеснения пограничного слоя, а с находится из уравнения

0,58 -f " fw с fclf'c3 = 0, (23)

где индекс «с» относится к значениям соответствующих функций в критическом слое "Пс В котором /' (х, Г]с)'=с.

Оправданием применимости формул (22) — (23) к исследованию устойчивости ЭГД пограничного слоя может служить то, что, как указывалось выше, обусловленное ЭГД воздействием изменение профиля скорости было все же незначительным.

Отметим, что местное число Rea, вычисляемое в каждом сечении х и сравниваемое с Re*, определяется соотношением

Res= —■ =1* Rei/2, Re, = ;t-Re. (24)

При вычислении критического числа Рейнольдса по формулам {22)—(23) для течения Блазиуса, которое реализуется на участке от передней кромки пластины до электрода Га, было получено значение

495 по сравнению с точным 520. Это различие объясняется приближен-

ностью формулы (22) и погрешностью квадратичной аппроксимации профиля скорости между расчетными узлами при решении уравнения (23). В соответствии с указанным значением Re* местное число Рейнольдса Res в случае течения Блазиуса было бы достигнуто при Re* = 0,8-105. При наличии электрогидродинамического воздействия критическое значение Re8, равное примерно 556, достигается при Rex = 1,05-105, что отражает рис. 4, где изображены зависимости Re* и Re6 от Rex. Зависимость Re6 (Re*) как при наличии ЭГД воздействия, так и без него с точностью графического изображения одна и та же.

Очевидно, эффективность ЭГД воздействия должна возрастать при увеличении ф0 и <7о, а также при уменьшении расстояния хА■ На-

пример, при Ха = 0,2 и неизменных остальных параметрах задачи критическое значение 1^5= 583 достигается уже в сечении Неж= 1,15 • 105. Таким образом, при рассматриваемых наборах безразмерных параметров задачи достигается повышение критического числа Рейнольдса потери устойчивости Иеж на 30—40% .

В заключение оценим энергетические затраты в рассматриваемом методе ламинаризации пограничного слоя. Мощность, затрачиваемая в разряде на единицу длины по размаху, оценивается 0 е0/“3 2

выражением = ср0/°~---------------— То^оУа, откуда при 1 м, н*~102 м/с,

Ь1

у9~0,1 м имеем \У—102 Вт/м.

ЛИТЕРАТУРА

1. Касьянов В. А. Исследование электрогидродинамических течений с приложением к задачам управления пограничным слоем и преобразования энергии. — Дисс. докт. техн. наук, Киев, 1970.

2. У ш а к о в В. В. Распространение ионной струи вдоль диэлектрической поверхности при #э>1. — В кн.: Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики, Киев, 1970, вып. 6.

3. У ш а к о в В. В. Электрогазодинамические струи и системы управления электростатическим зарядом летательных аппаратов. — Дисс. докт. техн. наук, Киев, 1978.

4. Курячий А. П. Электрогазодинамический пограничный слой на диэлектрической пластине.—Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 3.

5. У ш а к о в В. В. О кинетике накопления поверхностного заряда и граничных условиях в электрогидродинамике. — В кн.: Некоторые вопросы аэродинамики и электрогидродинамики, Киев, 1968, вып. 3.

6. К у р я ч и й А. П. Постановка задачи об устойчивости электрогид-родинамического пограничного слоя. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. XV, № 1.

7. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. —

М.: Изд. иностр. лит., 1958.

Рукопись поступила 4/11 1983 г.