CC BY
47
УДК 621.923
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
В.Ф. Молчанов, доцент, Днепродзержинский государственный технический университет
Аннотация. Исследованы закономерности процесса фильтрации технологических жидкостей через пористые материалы. При фильтрации жидкости с твердыми частицами пористая среда фильтрующей перегородки деформируется с изменением ее пористости. Проведенные исследования позволили выявить и изучить закономерности процесса фильтрации и установить закон изменения пористости пористой среды. На основании установленного закона выведено дифференциальное уравнение, которое позволяет при заданных начальных и граничных условиях решить задачу фильтрации жидкости через слой твердых частиц деформируемой пористой среды фильтрующей перегородки.
Ключевые слова: шлифование, шероховатость, микропрофиль, твердые частицы, фильтрация, пористость, дискретное множество,
Введение
Исследованию механизма образования шероховатости поверхностей при окончательной обработке шлифованием посвящено значительное количество работ. Однако механизм образования микропрофиля поверхности с учетом влияния твердых частиц, содержащихся в смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ), исследован недостаточно.
Анализ публикаций
Известно, что металлические частицы шлама, попавшие вместе с жидкостью в зону контакта абразивных зерен круга с поверхностью заготовки, деформируются сами и оказывают определенное влияние на деформацию материала обрабатываемой поверхности, что приводит к образованию прижогов. Абразивные частицы шлама практически не деформируются, а, вступая в силовой контакт при шлифовании, как бы «удлиняя» абразивные зерна на поверхности круга и участвуя в единичных актах резания, внедряются в обрабатываемую поверхность, оставляя следы воздействия на поверхностном слое детали, которые приводят к росту шероховатости. Для исключения прижого-образования при шлифовании и уменьшения шероховатости поверхности, загрязненные жидкости необходимо очищать от твердых частиц металлообработки [1, 2, 3].
Использование фильтрации для очистки и осветления технологических жидкостей наиболее эффективно, так как при фильтрации через слой по-
ристых материалов можно достигнуть полного извлечения твердых частиц из жидкостей [4]. Однако особенности строения порового пространства обуславливают ряд специфических явлений, возникающих при движении жидкостей в каналах пористой среды.
Цель и постановка задачи
Целью исследования является изучение и установление закономерности процесса фильтрации технологических жидкостей через пористые материалы. При фильтрации технологических жидкостей через слой пористых материалов пористая среда фильтрующей перегородки деформируется с изменением ее пористости. Изменение пористости происходит за счет уменьшения объема пор поро-вого пространства, так как твердые частицы вместе с жидкостью проникают в поры каналов поро-вого пространства и зависают в них.
Решение нестационарной задачи
В рассматриваемой модели, процесс фильтрации шламовой суспензии протекает с постоянным закупориванием пор фильтрующей перегородки. При фильтрации с постепенным закупориванием пор на фильтрующую перегородку объемом , м3, в которой содержится слой сыпучего пористого материала пористостью П, непрерывно посту-
пает технологическая жидкость со скоростью
м3 в минуту, в которой содержатся твердые частицы массой кз, кг. Поступающие с жидкостью в
поры каналов фильтрующей перегородки твердые частицы зависают и задерживаются в ней, а отфильтрованная жидкость продолжает двигаться с той же скоростью. Твердые частицы, зависшие в порах каналов фильтрующей перегородки, изменяют ее пористость и оказывают влияние на длительность процесса фильтрации [5].
Предполагая, что изменение пористости пропорционально приросту массы твердых частиц в пористом слое фильтрующей перегородки объемом Wф, м3, получим
_ dmТ ёП _ Т
(1)
Р Т
где Р Т - плотность твердых частиц, кг/м3.
Так как при фильтрации шламовых суспензий через слой твердых частиц шлама пористая среда непрерывно деформируется, то уравнение неразрывности принимает вид
д(ри) + д(ру) + д(рм>) + П др + дП = 0 д x д у д z д t д t
. (2)
Подставляя в уравнение неразрывности значения
д р = д Р д t = ёР д t
3 П _ ёП Ч 3 тТ д р = д Р
3г ётТ 3 г
получаем
д( ри) + д( ру) + д( рм>) + Пёр_ др + рШ_ д х д у д z ёР д t ётТ
Реальная жидкость слабо сжимаема, поэтому с достаточной степенью точности можно записать
Р-Р 0 _ ^ (Р - Ро)
Из уравнения неразрывности выводим уравнение движения жидкости в деформируемой среде
32Р 32Р 32РП Рц чкз чWж Че Ч 3 х2 + 3у2 + 3 z2 " ka 3 г + k чр Т чГф '
(4)
Так как при фильтрации суспензии через слой твердых частиц движение протекает в одном направлении, то уравнение (4) принимает вид
32Р _ ц чкз чWж Че'И
3 z2 ~ ka 3 г k чр Т чWф
(5)
Это уравнение позволяет при заданных начальных и граничных условиях получить решение задачи фильтрации жидкости через слой твердых частиц деформируемой пористой среды фильтрующей перегородки. На основании закона изменения пористости фильтрующей перегородки выведено дифференциальное уравнение движения жидкости в деформируемой пористой среде с начальными и граничными условиями в области значений 0 < г < Т,
0 < z < и
32Р _ П13Р т чкз чWж Че 3z2 ~ ка 3г + к чр Т ЧWi
(6)
ф
(3)
Р (г, 0) = Р1; Р (0, г) = Рй Р (и, г) = Р2. (7)
На поверхности фильтрующей перегородки распределение давления задается как функция координат и времени Р(2, г).
Распределение давления на поверхности фильтру-тющей перегородки в начальный момент времени фильтрации при г =0 , Р^, 0)= Р1 .
Так как давление на поверхности фильтрующей перегородки во время фильтрации поддерживают постоянным, то
при z=0, Р(0,г)= Р1
при z=L, Р(и,г)=Р2.
где а - модуль упругости жидкости, кг/м2.
Определяя по приведенным выше формулам значения величин
^ _ w чк че- Wж г . _ . ± _ 1
3г чкз че ; ётТ р т чWф ; ёР а
уравнение неразрывности для деформируемой пористой среды окончательно принимает следующий вид:
3(ри) + 3(ру) + д(р^П+ _Р_рKзWже _ 0 3х 3у 32 а 3г рТWф
В итоге приходим к постановке нестационарной граничной задачи фильтрации шламовых жидкостей в деформируемой пористой среде. Решение нестационарной задачи (6) с начальными и граничными условиями (7) осуществим с помощью метода конечных разностей. Сущность метода состоит в том, что решением задачи является искомый набор чисел в соответствующих точках некоторого множества. В качестве дискретного множества точек Dh используем совокупность точек пересечения прямых линий 2 =т■ к, г _ пЧг, при т = 0, ±1, ±2, ..; и и=0,1,2,..[Т/г], где к>0, т>0 - некоторые числа.
ж
Т
0 г=*?/? *
Дискретное множество точек Dh
Примем, что шаг т связан с шагом к зависимостью т=гк2, где г=со^^ так что сетка Dк зависит только от параметра к. Искомой сеточной функцией является таблица [Р] к={Р (тк, пт)} значений решения Р (^ t) уравнения (6) в точках сетки Dк.
Неявная разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение (6), имеет вид
рп+ 1 _ рп 7И Рп+ 1 _ 9 Рп+ 1 X Рп+ 1 т Гт а _ [| т+1 т Г г т- 1
х п Чт
а Че ^*
П Чр т ЧWФ ;
Рт=Р1; Pn0=P1; рп = Р2. (9)
Для того чтобы вычислить значение Рт , при т = 0,1,2, ... Ь, зная значения Pnm , при т = 0,1,2 , ... Ь, надо решить задачу
рг k ча ч р;; 1 - 2р;+1 + рг1
х п чт
р; , а чknжчW че
Wж *
X П чр т чWф '
Рп+1 = Р . Рп+1= Р ГП =г 1' Г1 =г 2-
(10)
(11)
Эта задача после умножения обеих частей разностного уравнения на множитель « - х » примет вид
а; Ч^т-1 + Ь; ЧУ; + С; Ч¥у+1 = д;, (12) при т = 1, 2, 3,... Ь - 1,
V0 = а0; гь =Р п, (13)
ТЛ г»п+1 k ча , л ча где V = р ат =-г, Ьт = - 2-г - 1
где ут г; ' т п чт т п чт ,
k ча Ип а чknжчW че" ^Ч С = _го = - Рп - X_0ж_
т п чт ' т п чр Т чwф '
а0 = Р, Р 0 = Р2.
Коэффициенты а; , Ь; , С; удовлетворяют
условиям ат >0, Ст >0, \Ь;\ > ат + Ст +8 , где (8 >0). Поэтому задача имеет единственное решение.
Для решения разностной граничной задачи запишем уравнение У0 = а0 системы (12) в виде
V = му2 чУ + Ку2
где М у2 = 0,Ку2 = V
Из уравнения а 1' Vn + Ьl'V 1+ С 1*^2 = 0 1 , отвечающего в системе (12) номеру т=1 , исключим
У У0=М, ,-У,+ К,
0 с помощью равенства
0 ^ и 1 1/
(8) V
/2 /2 . Результат запишем в разрешенном относительно
0 виде
v = м3/ чу2 + к
2 ^3/ 22
М ~ С1 К а1ча 0- 01 где Мз2 = У Кз2 = - Ь1 . Описанный процесс исключения продолжаем для значений т = 2, 3, 4,....
Коэффициенты, получаемые в процессе исключения соотношений
¥т = М;+ ^ ^1 + К;+ ^
вычисляются по рекуррентным формулам
Чт ~ атКт- 1/
М;+ 1/ = - С;
; К
2 Ьт + атМт- Ь; + а;М;-
Последнее из получаемых таким образом соотношений имеет вид
V,1 = МЬ- 1/ V + КЬ- V
2
Так как значение V! = Р 0, то можно вычислить
к
к
V,-1 = МЬ- у ЧР 0 + КЬ- /2
После этого ^- 2 - ML- у2 ^-1 + KL- 32, и так далее, пока не будет определено V1 .
Полученное решение позволяет при заданных начальных и граничных условиях определить гидродинамические параметры фильтрации жидкости через слой частиц деформируемой пористой среды фильтрующей перегородки.
Выводы
Проведенные исследования позволили выявить и изучить закономерности процесса фильтрации технологических жидкостей через пористые материалы.
Выявленные закономерности позволили установить закон изменения пористости фильтрующей перегородки.
На основании закона изменения пористости выведено дифференциальное уравнение движения, которое позволяет при заданных начальных и граничных условиях решить нестационарную задачу фильтрации жидкостей через деформируемый слой пористой среды фильтрующей перегородки.
Литература
1. Худобин Л.В., Гульнов Е.П. Влияние загрязнения СОЖ отходами шлифования на прижо-
гообразование // Вестник машиностроения. -1978. - №1. - С.67-68.
2. Степанов М.С., Шумакова Н.С. Влияние меха-
нических примесей, содержащихся в СОЖ, на структуру и микротвердость поверхностного слоя шлифованных деталей // Сма-зочно-охлаждающие технологические средства в процессе абразивной обработки. -Ульяновск, 1988. - С.78-84.
3. Полянсков Ю.В., Карев Е.А. и др. К методике
исследования эффективной очистки СОЖ от механических примесей при абразивной обработке // Труды института. Ульяновский политехнический институт. - Куйбышев. -1976. - Вып.1. - С.46-54.
4. Молчанов В.Ф. Постановка нестационарной
граничной задачи фильтрации жидкостей в деформируемой пористой среде // Матерiали четверто! Всеукра!нсько! науково! конференцп «Математичш проблеми техшчно! мехашки». - Дншропетровськ, 2004. - С.88.
5. Молчанов В.Ф. Исследование фильтрации жид-
костей через пористые материалы // Матерiали третьо! Всеукрашсько! науково! конференцп «Математичш проблеми техшчно! мехашки». - Дншродзержинськ, 2003. - С.71-72.
Рецензент: С.С. Дьяченко, профессор, д.т.н., ХНАДУ. Статья поступила в редакцию 18 июля 2006 г.
