Научная статья на тему 'Численное решение нестационарной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов'

Численное решение нестационарной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
113
21
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
МОДЕЛЬ / ФИЛЬТРАЦИЯ / ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД / РАЗНОСТНАЯ СХЕМА / МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ / МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК / MODEL / ALTERATION / HEAT CONDUCTION / PHASE TRANSFER / DIFFERENCE SCHEMES / METHOD OF FICTITIOUS AREAS / ITERATIVE METHOD OF MINIMAL NONVISCOUS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Васильева Мария Васильевна, Павлова Наталья Васильевна

Предлагается вычислительный алгоритм, пригодный для численной реализации нестационарной математической модели процесса искусственного замораживания фильтрующих грунтов. При численном решении данной задачи использован метод фиктивных областей с последующим применением однородных разностных схем сквозного счета. Полученные нелинейные системы разностных уравнений реализованы с помощью двухслойного итерационного метода минимальных невязок, подходящего для решения задачи с несамосопряженным сеточным оператором. Численные расчеты представлены в виде графиков распределения температуры и давления вокруг стенки замораживающей колонки.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Васильева Мария Васильевна, Павлова Наталья Васильевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Numerical solution of non-stationary problem of artificial freezing of filtering grounds

The computing algorithm for a numerical realization of non-stationary mathematical model of process of artificial freezing of filtering grounds is offered. The method of fictitious areas with the subsequent application of the homogeneous difference scheme of the through account is used at the numerical solution of the given problem. The received nonlinear systems of the difference equations are realized with the help of twolayer iterative method of minimal nonviscous, suitable to the decision of a problem with non-conjugate operator. A numerical results are reduced in graphs of temperature and pressure around of a freezing column.

Текст научной работы на тему «Численное решение нестационарной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов»

УДК 519.63:517.958

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ИСКУССТВЕННОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ ФИЛЬТРУЮЩИХ ГРУНТОВ

М. В, Васильева, Н, В, Павлова

1. Введение

Искусственное замораживание грунтов является универсальным специальным способом при сооружении подземных выработок в водо-насыщенных грунтах. Способ искусственного замораживания грунтов применяется во многих областях строительства: шахтном, промышленном, при разработке полезных ископаемых, коммунальном, гидротехническом, при сооружении метрополитенов и других подземных тоннелей, конструкций. Наиболее приемлемым является способ, заключающийся в создании противофильтрационной завесы из ледопород-ного тела, получаемого в результате замораживания стенки выработки. Для этой цели в северных регионах в зимнее время могут быть использованы низкие температуры атмосферного воздуха, а для интенсификации процесса обычно применяют специальные жидкостные охлаждающие устройства. В настоящее время такие процессы моделируются на основе различных моделей тепломассопереноса в фильтрующих грунтах. Разработанные математические модели некоторых процессов искусственного замораживания фильтрующих грунтов и их решения рассмотрены в работах [1-3] и др.

2. Постановка задачи Рассмотрим процесс искусственного замораживания глубоко залегающих пористых сред (горных пород), насыщенных фильтруюгци-

© 2010 Васильева М. В., Павлова Н. В.

миея подземными водами, с помощью бесконечно длинного кругового цилиндра радиуса Я, на стенке которого поддерживается температура Тс, которая значительно ниже температуры замерзания пластовой воды Т*. Считаем, что температура горных пород в достаточном удалении от замораживающей колонки равна Т > Т*. Допустим также, что течение насыщающей горные породы пластовой воды в начальное время плоско-параллельное и имеет на бесконечности заданную скорость и, перпендикулярную оси рассматриваемого цилиндра. Пренебрегая геотермическим градиентом и влиянием температуры дневной поверхности, будем рассматривать двумерную математическую модель изучаемого процесса в декартовой системе координат.

В силу сделанных выше предположений вокруг замораживающей колонки образуется ледопородное тело. В мерзлой зоне распределение температуры подчиняется нестационарному уравнению теплопроводности

где — область мерзлого грунта (рис. 1). Г0 — стенка замораживающей колонки. — поверхность раздела талого и мерзлого грунтов.

Коэффициент Ах уравнения У Л (1) вычисляется по правилу сме-

со следующими граничными условиями:

Т(х,у,г)=Тс, (х,у) €Г0

(2)

Т(х,у,1) = Т*, (х,у) еГх

(3)

си

Рис. 1. Схема расчетной области.

где индекс в соответствует скелету, индекс г — льду, а т — пористости грунта.

В талой зоне требуется определить как распределение температуры, так и распределение давления, задающее поле скоростей. Вследствие движения поровой влаги распространение тепла в этой зоне описывается нестационарным уравнением конвективной теплопроводности

с —- — (х—\ + — (х—\+с * (+ (5)

дЬ дх у " дх ) ду у " ду ) г" ¡л у дх дх ду ду ) ' (х,у) е О2, г > 0,

где П2 — область талого грунта. Здесь предполагается, что движение поровой влаги подчиняется закону Дарси, к — проницаемость горных пород, ^ — коэффициент динамической вязкости воды, Срш — объемная теплоемкость воды, Лш — коэффициент теплопроводности воды, а коэффициент Л2 кондуктивной теплопроводности в талой зоне также удовлетворяет правилу смеси

Л2 = (1 — ш)Л8 + шЛш. (6)

Подлежит определению то решение уравнения (5), которое удовлетворяет граничному условию (3) и

Т(х,у,*)=Т0, (х,у) еГ2,г>0. (7)

р2 — внешняя граница области П2.

Для определения положения поверхности, разделяющей талую и мерзлую зоны, воспользуемся уравнением, выражающим баланс энергии:

дТ 1

дп

= —шЬргУп, (х,у) € Г 1. (8)

Здесь Ь — скрытая теплота фазового превращения поровой влаги в лед5 р1 — плотность ль да, аУп — скорость движения границы фазового перехода по нормали.

Теперь для определения распределения пластового давления фильтрующей воды из уравнения неразрывности и закона Дарси имеем

уравнение фильтрации упругой жидкости в деформируемой пористой среде

^ Ы дх (/л дх) ^ ду (/л ду) ' ^ ' ^ ^ 2' > ' ^ ^

где в — коэффициент совместной упругоемкости воды и пористой среды [4].

На границах выполняются следующие граничные условия:

--Iе = о, (ю)

Мду

хе [о,у, у = о,/2, ¿>о, (11)

М ду

= ж = 0'/ь уе[0,у, ¿>о. (12)

Соотношения (1)—(12) при известном распределении давления р(х, у, ;), (ж, у) € О2 однозначно определяют температурное поле и положение поверхности раздела талой и мерзлой зон.

Начальное приближение распределения давления в пласте задаем из решения задачи об обтекании кругового цилиндра плоскопараллельным потоком, перпендикулярным к оси цилиндра [5]:

к ( Д2 \ Р(х,у,0)=р0 + и-у[1 + -г-—5- , (ж,у)е О, (13)

М у ж + У /

Где р0 — давление в центре замораживающей колонки.

Чтобы сделать возможным применение разностных схем сквозного счета, объединим с помощью методики А. А. Самарского и Б. Д. Мо-исеенко [6] температурные задачи. В этом случае вместо (1), (5) и условия Стефана на неизвестной подвижной границе (10) получим одно уравнение:

Ср— - — {л—) + — (х—

дЬ дх у дх) ду у ду + + („)б„, (>0. ,14,

Здесь

Л

{Л:: Т^Т:: т—т.,.{

1, Т > Т., О, Т < Т.,

Ср = Ср + т

Ьры + СрыТ* 1--

Рш

¿(Т — Т.

Ср

Срь Т > Т., Ср2, Т < Т.,

, Т. — < Т < Т. ,

Ъгр — т ) = ) Д1+Д2:

I О, (Т < Т. — Д1)и (Т>Т. + Д2).

Поскольку коэффициенты при конвективных слагаемых уравнения (14) зависят от производных функции давления по пространствен-ху

евую задачу (7), (14) с краевой задачей (9)—(13), определенной в области со сложной геометрией.

Используя метод фиктивных областей [7], для функции р(х,у,г) ставим краевую задачу

~др = д_ (~ <9р\ + д_ (~ др

дг дх у дх / ду у ду

(х,у) е о2, г > о,

(15)

с граничными условиями др

-к-^- = и, х = о,/ь у е [о,/2], г > о, = о, ж е [о, гх], у = о,/2,

(16)

Здесь

в =

1/е, Т < Т.

е, (х,у) еП\П2,

(17)

е

3. Разностная задача

В области

Л = {х|х = (ж1, х), 0 ^ ха ^ 1а, а = 1, 2}

введем равномерную сетку ^ с шагами Н\ и Л-2 по пространственным

хх

По времени вводим квазиравномерную сетку

^Т = {¿П = ¿п-1 + Тп, гг = 1,2,...; ¿0 = 0},

Г 1,1 • Тп-1 , Т„_1 < Т*,

Тп = 1

[ т* в противном случае.

Используя безусловно устойчивую чисто неявную дискретизацию, запишем конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности (14) в операторном виде с аппроксимацией конвективных слагаемых односторонними разностными отношениями «против потока»:

Ау = /, г е 57т, (18)

здесь

А=Л + С, (19)

где

= = - J, а = 1,2,

а=1

т т

к л

Vy = —Cpw— } {'П(Рха)РхаУха + (1 - 'П(Рха))РхаУха) ■ ^ а=1

Начальное условие имеет вид

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у(х1,х2,0) = Т0, x£ZJh. (20)

Начально-краевую задачу для давления (15)—(17) аппроксимируем на той же пространственно-временной сетке:

Лр = f, (21)

здесь

ЛР = — (кр8„), а = 1, 2,

(22)

(23)

Переход с (п — 1)-го на п-й временной слой осуществляется в следующем порядке: сначала решается дискретный аналог краевой задачи для распределения давления (21)-(23), а затем дискретный аналог краевой задачи для распределения температуры (18)-(20) с помощью двухслойного неявного метода минимальных невязок [8], который применим для уравнений с несамосопряженной матрицей, полученной вследствие конвективного члена. Для внешних итераций используется метод простых итераций по нелинейности.

4. Результаты численных расчетов

Построенный вычислительный алгоритм реализован в виде комплекса прикладных программ. Расчеты проводились при следующих числовых значениях входных параметров задачи:

Л2 = 1, 77 Вт/(м -К); Л1 = 1, 55 Вт/(м - К); т = 0, 2; Ср! = 2,43 - 10® Дж/(м3- К); Ср2 = 1,94 - 10® Дж/(м3- К);

Ср- = 4,2 - 10е Дж/(м3-К); Ь = 3,34 - 10б Дж/кг; р = 920кг/м3;

Т. — Т

к/р = 1,7 - 1 О-0 м2/(Па - с); в = О-0/Па;

р0 = 10® Па; е = 10"25; к = 100 м; /2 = 50 м; Я = 3 м;

П = 201; п2 = 101; т0 = 1000 с т. = 86400 с.

В рассматриваемой задаче представляет интерес динамика границы фазового перехода во время замораживания при различных начальных данных температуры и скорости фильтрационного потока.

На рис. 2-7 представлены распределения температуры или давления в момент времени I = 200 суток.

Так, на рис. 2, 3 представлены графики распределения температуры при заданной температуре на стенке замораживающей колонки

*

Рис. 3. Распределение температуры при скорости ^ = 0,3 м/сут.

Тс = 243 К при скоростях набегающего фильтрующегося потока на левой границе, принимающего значения 0.1 и 0.3 м/сутки. соответственно. Результаты счета показывают, что фильтрующаяся жидкость за ледопородным телом сносит температуру тем дальше, чем больше ее

Рис. 4. Распределение давления при скорости V = 0,1 м/сут.

Рис. 5. Распределение температуры при скорости V = 0,1 м/сут.

70 -60 -50 -40 -

10 Г

о _I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

О 25 50 75 100

х

Рис. 6. Распределение температуры при скорости V = 0,2 м/сут.

60 -50 -40 -

10 -

I —\—!—:—|—1—|—&—!—I—!—1—|—|—I—|—:—|—|—.—

% 25 50 75 100

х

Рис. 7. Распределение температуры при скорости V = 0,4 м/сут.

скорость. На рис. 4 приведено распределение давления при скорости

0.1.м/сутки. Из рисунка видно, что при встрече с препятствием и за препятствием в виде ледопородного тела скорость потока выходит на нуль (движение фильтрующейся жидкости останавливается).

Представленные изотермы значений температуры на рис. 5-7 показывают, что при увеличении скорости фильтрационного потока распределение температуры вокруг замораживающей колонки имеет большее отклонение в сторону направления скорости течения насыщающей горные породы пластовой воды.

Численные расчеты показали, что и внутренние и внешние итерации сходятся очень быстро. С ростом температуры ледопородное тело принимает продолговатую форму.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бондарев Э. А., Васильев В. И. Искусственное замораживание фильтрующих грунтов // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1987. С. 38-47.

2. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1996.

3. Сапунов Н. Е. Исследование процесса промерзания полусферической подземной ледопородной емкости, размещенной в фильтрующем пласте // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1980. С. 228-235.

4. Щелкачев В. Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. М.: Госто-птехиздат, 1948.

5. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978.

6. Самарский А. А., Моисеенко В. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965. Т. 5. С. 816-827.

7. Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.

8. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

г. Якутск

31 мая 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.