CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971 '
№ 6
УДК 533.0.118
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАССЕЯНИЯ АТОМОВ ОТ ПОВЕРХНОСТИ
Р. Г. Баранцев
Рассмотрен вопрос о систематизации моделирования функции рассеяния V атомов газа от поверхности тела. Предлагается алгоритм последовательного построения моделей путем простейшего представления V через расширяемую совокупность макропараметров, характеризующий рассеяние. Даны конкретные модели зависимости V от скорости отражения и угла падения. Сделаны качественные выводы о характере зависимости коэффициентов обмена импульсом и энергией от параметров взаимодействия.
Функция V рассеяния атомов, соударяющихся с поверхностью,
зависит от скорости вылета и, скорости падения их и параметров взаимодействия. Использование моделей V в динамике разреженных газов аналогично использованию моделей потенциалов взаимодействия в молекулярной физике. В статье ставится вопрос об упорядочении, систематизации моделирования путем выделения различных уровней описания и ступеней сложности моделей. При
аппроксимации зависимости V от ив качестве основных характеристик рассеяния рассматриваются средние и дисперсионные характеристики V в сферической системе координат. Получены простые выражения коэффициентов обмена импульсом и энергией через эти параметры в предположении малости дисперсий. Оказывается, что разброс по величине скорости влияет на обмен энергией, а разброс по азимутальному углу — только на обмен касательным импульсом.
Далее исследуется зависимость V от их. На основе качественных результатов физического и численного эксперимента предлагаются аппроксимации по углу падения Точность и область применения полученных моделей функции рассеяния и коэффициентов обмена могут быть установлены путем регрессионного анализа количественных экспериментальных данных.
1. Постановка вопроса. Взаимодействие простого разреженного газа с поверхностью при отсутствии адсорбции, распыления
и эмиссии описывается функцией рассеяния V(ии и), которая показывает плотность распределения потока отраженных атомов по
скоростям и после падения со скоростью их. При этом локальные потоки импульса и энергии в тело через поверхность записываются в следующем безразмерном виде:
/7(И,) = С08 0!
—— I V (и,, и) — с1и
и„>°
и
(1.1)
? («!) сов в, [1— | I/(«„
Ь а„>0 1 •
(1.2)
Здесь 6, — угол между внешней нормалью п и направлением навстречу падающему атому. На изотропной поверхности
(1.3)
где орт касательной I расположен в плоскости (п, и,) так, что
<(*, —и1)=~2 ,
Коэффициенты обмена т, р, <7 связаны с традиционными коэффициентами аккомодации о, о', а простыми соотношениями
X = ОвШ 008 0!,
/7 = (2 — о^сов*©! + -1- -^-совО,,
2
д = а сое 0! 1
А.
(1.4)
где Л, 1/2 — отнесенная к их наивероятнейшая скорость частиц, вылетающих в состоянии равновесия с поверхностью.
Функция рассеяния V получается в результате решения задачи о столкновении газовой частицы с атомной решеткой твердого тела. Эта задача содержит очень большое число параметров и оказывается весьма сложной [1]. С точки зрения аэродинамики, даже при успешном ее решении подобие по всем этим микропараметрам практически вряд ли осуществимо. Поэтому имеет смысл искать постановки и решения задач о взаимодействии газа с поверхностью на промежуточных уровнях описания между молекулярным и аэродинамическим [2].
Можно выделить три таких уровня: больцмановский, момент-ный и локальный газодинамический. На первый выходят, моделируя каким-либо образом зависимость функции рассеяния от
скорости вылета и. На втором оказываются, аппроксимируя зависимость моментов функции рассеяния, в частности р и ц, от скорости падения их. На третьем уровне аппроксимируется зависимость локальных газодинамических величин от координат. Каж-
дый такой шаг сокращает число аргументов и тем самым упрощает постановку задачи, разумеется, за счет ее огрубления.
Действия такого рода могут казаться слишком произвольными. Чтобы оценить по достоинству их методологическую роль, полезно сопоставить, скажем, больцмановский уровень с молекулярным, где физика накопила достаточно весомый опыт. Задачи молекулярной физики также можно было бы решать, начиная с ядерно-электронного уровня, однако обычно используются модели потенциалов взаимодействия. Набор стандартных моделей с небольшим числом параметров оказывается достаточным. На больцмановском уровне аналогичную роль обещают сыграть модели функции рассеяния. Такая ситуация возможна и на других уровнях описания.
Подходящие модели вырабатываются на основе данных физического и численного эксперимента. Существует уже довольно значительное количество моделей функции рассеяния: зеркальнодиффузная, Шамберга, Ночиллы, Эпштейна, лучевая и т. д. [1].
В последнее время для построения моделей V{uu и) привлекается также соотношение взаимности [3, 4], которое выводится из временной обратимости уравнений движения аналогично известному принципу детального баланса в задаче о столкновении двух газовых частиц между собой. В равновесных условиях это соотношение выглядит достаточно очевидным:
V(ult и) | «j „ | exp (- hs и?) =V{-u, - и,) | ип | exp (— hs и2). (1.5)
Примечательно, что до тех пор пока функция рассеяния определяется независимо от распределения /(mj) падающих частиц, соотношение (1.5) должно выполняться и в неравновесном газе. Однако при таком распространении этого соотношения на неравновесные условия подразумевается неизменность поверхности, с которой сталкивается частица газа. В действительности же состояние поверхности зависит от окружающего газа и во многом именно этим объясняется существенная зависимость вида V от и1. Соотношение (1.5) справедливо в интервале скоростей, в котором состояние поверхности не отличается от равновесного. При допущении зависимости V от f обратимость по времени проявится более сложным образом.
Накопление множества разрозненных моделей подводит к вопросу об упорядочении, систематизации моделирования. Прежде всего, нужно выбрать наиболее удобную последовательность рассмотрения независимых переменных в многомерном пространстве
аргументов и, их и микропараметров взаимодействия. Затем следует выделить те типичные качественные свойства, которые должны содержаться в моделях. Далее, нужно извлечь из экспериментальных данных понятия, складывающиеся независимо от формы моделей, с тем чтобы на их основе ввести универсальные макропараметры.
Цель настоящей статьи — изложить объединяющую точку зрения на моделирование характеристик взаимодействия газа с поверхностью и предложить возможный вариант частичной реализации этой программы.
2. Аппроксимация зависимости от скорости вылета. Моделирование взаимодействия на больцмановском уровне описания состоит в представлении функции рассеяния в форме
Метод представлений допускает различные подходы. Например,
сначала можно подбирать вид зависимости 1/мод от и, а затем интересоваться параметрами; или же сначала определить параметры
a;(«i), а затем искать форму представления. С точки зрения универсализации, второй путь сейчас предпочтительней. Действительно, опыт физического и численного эксперимента пока не дал
нам общего рецепта для конструирования зависимости V от и, но уже дал универсальный набор параметров, в терминах которых характеризуются функции рассеяния независимо от их вида. На чистых поверхностях при энергиях падения 10~2— 101 эв функция
V(и), рассматриваемая в сферических переменных и, 6, Ф, имеет, как правило, один отчетливый максимум по каждому из аргументов и качественно характеризуется его положением и шириной. Эти средние (ит, дт, Фт) и дисперсионные (ра, о9, оф) величины становятся общепринятыми характеристиками рассеяния. Параметры ит, аа рассматриваются либо при фиксированных направлениях, либо осредненными по направлениям; параметры 0т, а0, аф обычно осреднены по величине скорости.
При качественном описании одновершинных распределений различать средние и наиболее вероятные значения не обязательно. Для количественной определенности положим
Располагая модели в определенной последовательности от простых к сложным, будем постепенно расширять круг параметров аДИ]), выбирая на каждой ступени простейший вид Умол [2]. На первой ступени ограничимся заданием средней скорости отражения ит, на второй добавим оа, а0, аф, затем — корреляционные параметры, далее — старшие моменты. Общего критерия максимальной простоты для выбора мы пока не формулируем.
На первой ступени аппроксимации простейшей кажется лучевая модель функции рассеяния:
В случае изотропной поверхности вектор ит имеет две ненулевые компоненты в плоскости падения, однозначно связанные с ит и 6т. Среднее значение азимутального угла Фт = Зтс/2 при отражении вперед или Фт=-те/2 при отражении назад. Функция (2.3) годится для приближенного описания остро направленного рассеяния или средних характеристик взаимодействия в условиях,
когда достаточно подобия по параметру ит.
Если ит не зависит от в1 или влияние вт не существенно (при
малых ит), естественно взять 6т = 0, т. е. ит = итп. При этом на
V(Ui, и) ^мод [^1 (^l)> ^2 (^l)i • • • > aN (ttl)> (2-1)
(2.2)
V{ux, u) = b(u — um(al)).
(2.3)
5—Ученые записки № 6
65
функцию (2.3) можно смотреть как на осредненный вариант диффузной функции рассеяния, а параметр ит/иг связывать с температурным фактором.
Согласно выражениям (1.1) —(1.3) в случае (2.3) при Фт = Зтс/2 имеем
X = СОЭ ( вШ 0!
«я
и.
р = СОв 0! ( сов 0!
сое 0
^ = сое 04 (1 — и2т1и\).
(2.4)
Параметры ит, Ьт можно выразить через потоки касательного и нормального импульса в виде
соэО,
[(х — э!п 0, сое 01)2 -\-(р — СОЭ2 01)2]1/2,
вт 0, СОЭ 04 — X р — СОЭ2 0,
(2.5)
Подставив это значение ит в выражение (2.4) для д, получим уравнение связи между коэффициентами обмена
(х — ею 0, соэ 0О2 + (р — соэ2 0О2 = соэ 0! (соэ 0! — д),
(2.6)
которое может служить критерием допустимости лучевой схемы на моментном уровне описания.
На второй ступени аппроксимации допускаем разброс около средних значений ит, Ьт, Фт. Для этого, отталкиваясь от функции (2.3), каждую из 8-функций от скалярного аргумента в выражении
5>-“~>= Ча/т) >(,а|п,,~> »(ф-ф.)
(27)
заменим некоторой пикообразной функцией Д с соответствующей дисперсией. Нормальное распределение имеет достаточно простую форму и дает максимальную информацию при фиксированных нулевом, первом и втором моментах. Для л: € (—оо, + оо)
Ь(х — хт)
1
У2к<
■ ехр
(х — хт)2
2а2
(2.8)
В случае конечного промежутка 0а иначе определяются параметры и нормировка. Однако, считая дисперсию малой, можно пользоваться выражением (2.8) асимптотически, если лт€(0, а). Т огда
А (к — ит) Д (0 — 0т) д (2.9)
V-
и
б1п 0
Подставляя выражение (2.9) в (1.1), (1.2) и оценивая интегралы по формуле
и
I
получаем
X = COS 0J |sin 0t —
и
и
m
sin0m l-y(=e + 4)
(2.11)
p = COS 0X COS 0J + ~m- COS 0m ( 1 —
«1 I 2
o;
(2.12)
(2.13)
Отсюда с очевидностью вытекают некоторые важные следствия
о характере влияния дисперсий на коэффициенты обмена. Так, х возрастает с увеличением + р убывает с увеличением о^, </ убывает с увеличением а£; разброс по величине скорости влияет только на обмен энергией, а разброс по азимутальному углу — только на обмен касательным импульсом.
Если включить небольшую долю а диффузного рассеяния, 1/ = а1/й + (1—а) 1/Д, то при /г^>1 к выражениям (2.11)—(2.13) добавляются соответственно
3. Аппроксимация зависимости от скорости падения. В локальной системе координат, связанной с плоскостью падения,
их = {0, — sin 01} — и, cos 0j}. Рассмотрим сначала зависимость от угла падения 0,.
Прежде всего, можно воспользоваться данными для коэффициентов обмена, полученными на моментном уровне исследования. Они показывают, что с увеличением % от 0 до 90° величины р и q монотонно убывают до нуля, а х изменяется от нуля до нуля через максимум. Такую зависимость удобно аппроксимировать тригонометрическими функциями. В статье [5] используются формулы
Для некоторых простейших моделей отражения, например, зеркально-диффузной, они оказываются точными. В статье [6] были предложены аппроксимационные формулы, получающиеся из формул (3.1) при х1 = <7 = 0, <?2 = 3,6 [а (1 4- р.)-2, где [л — отношение масс атомов газа и поверхности. Они хорошо аппроксимируют результаты численных расчетов отражения от решетки твердых сфер при
jj.^0,5. В статье [7] принимается 0 = 0!, <7~ — — 6jj cos ©!-
Более общий подход состоит в разложении х, р, q в тригонометрические ряды. Выгодно брать минимальные системы функций. В интервале [0, те/2] полны и минимальны системы:
(2.14)
-С = sin 02 (Xj COS 0J -f- x2 COS p —px COS0, -f Pi £OS^ 0],
q = cos 0x + q2 cos2 0t.
(3.1)
{cos(2£ — 1) 0j}, (cos 2 (k — 1)0!}, {sin (2k— 1) 0j}, {sin 2A02} (k= 1, 2,...).
67
Наиболее эффективны разложения по функциям, удовлетворяющим условиям согласования на концах. Так как т (0)—х (тс/2)=0> р(0)ф0, р(тс/2) = 0, q (0) ф: 0, q{%¡2) = 0, то целесообразно для р и q взять первую систему, а для х—четвертую, которая после выделения sin 6г также превращается в первую, т. е.
-с = sin £ хА eos (2k — 1) I
*=i
/» = 2/>*с°8(2Л —í)0 „
k=i
q='£áqkc os {2k — 1)0!.
Л-1
(3.2)
Коэффициенты хА, /7Й, qk и верхние пределы сумм должны быть определены экспериментально.
Если число параметров в модели функции рассеяния не больше трех, их, вообще говоря, можно выразить через коэффициенты обмена и уточнять аппроксимации т, р, q, пользуясь данными для V. Например, при лучевом отражении параметры ит, 6т выражаются через х, р по формулам (2.5). В работе [2] сделана попытка подобрать на основании формул (3.1) такие аппроксимации х и р, которые правильно описывают поведение ит{Ьх) и (®г)- Рассмотрены два двухпараметрических варианта: х2 = 0, р2 = х2 и х2 = 0, рг= 1.
При более подробном моделировании V, когда число параметров больше трех, сведения о коэффициентах обмена недоста-
* —>
точны для аппроксимации зависимости V от ах. Аппроксимировать нужно непосредственно параметры ит, ©от, си, яд, аф, ... .
Экспериментальные и численные результаты работы [1] обнаруживают следующие общие закономерности поведения средних и дисперсионных характеристик отражения при изменении угла падения. С увеличением 0! от 0 до 90° параметры оц, ое, зф уменьшаются практически до нуля, ит увеличивается до величины порядка их, Ьт увеличивается, находясь вблизи 0^ Выбирая простейшие функции, описывающие такое поведение, положим
= °в0 сов2 01, О0 = О0ОСО52 91, (3.3)
= Ит о + («1 — ит0)5>п2©Г, (3.4)
0т = 61+ ^(61)> (3.5)
Вид зависимости ^(©^ сейчас установить трудно. Считая т)(0)= = т) (я/2) = 0, предложим пока два варианта:
7) = т)0 з1п2 01( (3.6)
•^1 = По З1п 4 0!, (3.7)
В первом варианте г\ знакопостоянна, во втором ц меняет знак при
©1 = 45°. Величина т|0 может быть как положительной, так и отри-
цательной.
При наличии диффузной компоненты естественно положить
3 = б0 СОБ2 ©!• (3.8)
Подставив выражения (3.3) — (3.6) и (3.8) в (2.11) —(2.13), полу-
чим
р = сое2 0111 +
<7 = соэ 6, |1
1
.«14 М1 ) .
2" (®в о + а1 о)со§2 61 — °о соэ3 01
^- + ^1 - -^^т20! (1-2
1 + 2тг]оСО8201-
(3.9)
: ТГ]0 з1п2 ©! -
(3.10)
и,
т О
К<
И,
в1п2 01
1 — а0 сов2 0[
и О
соэ2 0,[ .
(3.11)
Зависимость от их изучена в меньшей мере. Существуют аппрок-симационные формулы для коэффициента аккомодации энергии а [8, 9]. Известно, что при увеличении энергии падения Ех в интервале 10~2 — 10-1 эв степени диффузности и дисперсии, вообще говоря, убывают, а 0т и ит возрастают. Дальнейшее увеличение Ех приводит к изменению ряда закономерностей. Этот переход от •одного, теплового, к другому, структурному, режиму рассеяния был обнаружен автором работы [10], подтвержден в статье [11] и наблюдался авторами статей [12] и [13]. Согласно численным результатам [10] тенденции в зависимости 0т и ае от Ех при переходе ко второму режиму меняются на противоположные, а закономерности энергообмена сохраняются; для неона структурное рассеяние наступает при Ех ^0,2 эв, для аргона при Ех^\,7 эв. По экспериментальным данным [13], в области перехода разность у\ — Ьт— 0! становится положительной, достигает максимума при некотором Е\ и затем убывает к нулю. Величина Е\ зависит от 01 таким образом, что произведение ^соэ©! почти постоянно. Значение этого параметра для аргона на серебре равно 0,2 эв. Функция из убы-
вающей становится возрастающей. Такое же превращение происходит с ит(0). Характер зависимости 0т, 09, ит от 0! сохраняется.
Сравнение экспериментальных результатов с численными, проведенное в статьях [12] — [14] на структурном режиме рассеяния, следует признать обнадеживающим. Таким образом, указанные качественные закономерности могут быть положены в основу моделирования зависимости от их. Однако для надежного выбора универсальных параметров требуются дальнейшие исследования.
Предложенные выше аппроксимационные формулы должны быть подвергнуты регрессионному анализу [15, 16] на основе количественных данных физического и численного эксперимента для определения численных значений параметров, а также точности и области применимости моделей. Начинать следует с простейших вариантов, так как включение сразу большого числа параметров чревато потерей устойчивости. Намеченный путь поможет выявить те макроскопические параметры подобия, в которых так нуждается аэродинамика сильно разреженных газов [2].
1. Баранцев Р. Г., Ерофеев А. И., Нагорных Ю. Д., Пярнпуу А. А., Стриженов Д. С. Взаимодействие разреженных газов с твердыми поверхностями. Труды 3-й Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. Новосибирск, 1971.
2. В а г а п t s е v R. Q. Modelling of gas-surface interaction and the problem of highly rarefied gas flow past bodies. Rarefied Gas Dynamics, Proc. 7th Intern. Symp., Acad Press, N. Y.— L., 1971.
3. Cercignani C., LamplsM. Kinetic models for gas-surface interactions. Transport Theory and Stat. Phys., 1971.
4. Wenaas E. P. Equilibrium cosine law and scattering symmetry at the gas-surface interface. J. Chem. Phys., vol. 54, No 1, 1971.
5. Баранцев P. Г. Аэродинамика невыпуклых тел в установившемся свободномолекулярном потоке. В сб. .Аэродинамика разреженных газов“, IV, ЛГУ, 1969.
6. Goodman F. О. Three-dimensional hard spheres theory of scattering of gas atoms from a solid surface. Surface Science, vol. 7, No 3,1967.
7. Hurl but F. C., Sherman F. S. Application of the Nocilla wall reflection model to free-molecule kinetic theory. Phys. Fluids, vol. 11, No 3, 1968.
8. Goodman F. O., Wachman H. Y. Formula for thermal accomodation coefficients. J. Chem. Phys., vol. 46, No 6, 1967.
9. E p s t e i n M. A model of the wall boundary condition in kinetic theory. A1AA J., vol. 5, No 10, 1967.
10. Oman R. A. The effect of interaction energy in numerical experiments on gas-surface scattering. Rarefied Gas Dynamics, Proc. 6th Intern. Symp., Acad. Press. N. Y.— L., 1969.
11. Lorenz en J., Raff L.M. Theoretical investigations of gas-solid Interaction phenomena. IV. Spatial and velocity distributions. J. Chem. Phys., vol. 52, No 12, 1970.
12. R о m п e у M. J., Anderson J. B. Scattering of 0,05—5 ev argon from (111) plane of silver. J. Chem. Phys., 51, No 6, 1969.
13. Miller D. R., Subbarao R. B. Scattering of 0,06—2,5 ev neon and argon atoms from a silver (111) crystal. J. Chem. Phys., vol. 52, No 1, 1970.
14. С ali a V. S., Oman R. A. Scattering cross-section measurements for epithermal Ar on Ag (111) surfaces. J. Chem. Phys., vol. 52, No 12, 1970.
15. Marshall T. Jr. Modified maxwellian models for surface reemission in free-molecule flow. Rarefied Gas Dynamics, Proc. 6th Intern. Symp., Acad. Press. N. Y. — L., 1969.
16. Мирошин P. H. Линейный регрессионный анализ экспериментов в разреженном газе. В сб. „Аэродинамика разреженных газов“, V, ЛГУ, 1970.
Рукопись поступила 23\III 1971
