Порядок длины функций алгебры логики в классе псевдополиномиальных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

С. Н. Селезнева1

ПОРЯДОК ДЛИНЫ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В КЛАССЕ ПСЕВДОПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФОРМ*

Псевдополиномиальная форма (ПСПФ) — это сумма по модулю два произведений аффинных (линейных) функций алгебры логики. Длиной ПСПФ называется число ее слагаемых; длиной функции алгебры логики в классе ПСПФ — наименьшая длина среди всех ПСПФ, представляющих эту функцию. В работе рассматривается функция Шеннона Ьпспф(п) длины функций алгебры логики в классе ПСПФ как наибольшая длина в классе ПСПФ среди всех функций алгебры логики, зависящих от п переменных. Доказано, что ЬпСпф(п) = © (2™/п2). Величина ЬпСпф(п) также равна такому наименьшему числу I, что каждую функцию алгебры логики, зависящую от п переменных, можно представить как сумму по модулю два не более I мультиаффинных функций.

Ключевые слова: функция алгебры логики, полиномиальная форма, полином Жегал-кина, псевдополиномиальная форма, длина, верхняя оценка, мультиаффинная функция.

1. Введение. Полиномиальные представления функций алгебры логики находят применение при логическом синтезе интегральных схем, программируемых логических матриц (ПЛМ) [1]. Поэтому в ряде работ исследуется длина функций алгебры логики в различных классах полиномиальных форм [2-5, 6, глава III]. В [7] рассматриваются псевдополиномиальные формы (ПСПФ). Псевдополиномиальная форма — это сумма по модулю два произведений аффинных (линейных) функций алгебры логики. Длиной ПСПФ называется число ее попарно различных слагаемых; длиной функции алгебры логики / в классе ПСПФ — наименьшее число слагаемых среди всех ПСПФ, представляющих функцию /. Длиной Ьпспф(п) функций алгебры логики в классе ПСПФ называется наибольшая длина в классе ПСПФ среди всех функций алгебры логики, зависящих от п переменных. В [8] найдены нижняя и верхняя оценки величины Ьпспф(п). В настоящей работе получен порядок длины

Функция алгебры логики называется мультиаффинной, если ее можно представить как произведение каких-то аффинных функций. Отметим, что величина

Ьпспф(п) также равна такому

наименьшему числу I, что каждую функцию алгебры логики, зависящую от п переменных, можно представить как сумму по модулю два не более I мультиаффинных функций.

2. Основные определения. Пусть /•,'•_. = {0,1}. Если а = (ai,..., ап) G Е% и /3 = (bi,..., Ьп) G G Е~2 , то а ^ /3 при ai ^ bi,..., ап ^ Ьп. Множество /•-'.'/ с этим частичным порядком ^ называется единичным n-мерным кубом. Весом |а| набора a G /•-'." назовем число единиц в этом наборе. Слоем к куба /•-'.'/ называется множество всех его наборов веса к. Тенью "вниз" S(a) и тенью "вверх" S(a) набора а G называются множества

§(а) = {/3 G Щ | Щ = Н - 1, /3 < a}, S(a) = {/3 G Е% \ |/3| = |а| + 1, а < /3}. Если а = (ai,..., ап) G и /3 = (bi,..., Ьп) G , то обозначим набор (ai Ф

о i,..., ап у? оп ) е El1

как а Ф /3. Если а = (ai,...,ar) G /•-'.', и :i (bi,..., bn-r) G /•-'.',' r, то обозначим набор (ai,..., ar, b\,..., bn-r) G /•-'." как a □ /3.

Моном (монотонную элементарную конъюнкцию) ац назовем соответствующим набору

a¿ = 1

а = (ai,...,an) G /•-'." и обозначим его как Ка. По определению полагаем, что константа 1 соответствует набору из всех нулей. Отображение : Е% ^ Е2 называется функцией алгебры логики, зависящей от п переменных, п = 0,1, 2,... .

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: seleznQcs.msu.su

* Работа поддержана РФФИ, грант 16-01-00593-а.

Каждая функция алгебры логики f(x\,... ,хп) может быть задана формулой вида

/(ж 1, . . . , Хп) = СЕ) Ка,

aEE?:cf(a) = l

где с/(а) = ф f(ß) G Е2 — коэффициенты, а G Е^, и ф обозначает сложение по модулю 2

ßg^a

(считаем, что сумма по пустому множеству индексов является пустым полиномом, обозначающим константу 0). Это представление функций алгебры логики называется полиномом Жегалкина. Каждая функция алгебры логики задается этим полиномом однозначно [9]. Полином Жегалкина функции алгебры логики / будем обозначать как P(f). Будем говорить, что моном Ка входит в полином P(f) (или является слагаемым этого полинома), если Cf(a) = 1.

Функция / называется аффинной, если в ее полиноме Жегалкина P(f) не встречаются произведения переменных. Функция / называется мультиаффинной, если ее можно представить как

I г3

произведение каких-то аффинных функций. Выражение вида ф g:ji, где g:jl,..., g:jr. — неко-

j=n=i J

торые аффинные функции, rj ^ 1, j = 1назовем псевдополиномиальной формой (ПСПФ). Несложно заметить, что каждая функция алгебры логики задается какой-то ПСПФ, например, своим полиномом Жегалкина. Длиной 1(Р) ПСПФ Р назовем число различных ее слагаемых. Длиной 1ПСПФ(/) функции алгебры логики / в классе ПСПФ назовем наименьшую длину среди всех ПСПФ, представляющих эту функцию. Для произвольной функции алгебры логики, зависящей от п переменных, верно 1ПСПФ(/) ^ 2". Введем длину (функцию Шеннона длины) ЬПСПФ(п) функций алгебры логики в классе ПСПФ как наибольшую длину в классе ПСПФ среди всех функций, зависящих от п переменных.

3. Верхняя оценка функции Шеннона. Для доказательства верхней оценки функции Шеннона будем строить ПСПФ для произвольной функции алгебры логики на основе покрытия куба /•.'.'/ равномерными сферами. Отметим, что мы развиваем и усложняем подход из [5], где полиномиальная нормальная форма для произвольной функции алгебры логики строилась по затеняющему множеству куба /•,'.".

Сначала мы рассмотрим специальное покрытие слоя к куба /•,'.". Пусть 1 ^ г ^ п — некоторый параметр. Для а = (а\,... ,а,„) G /•-'." положим to(a) = (а\,... ,ar) G Е2, t\(a) = (ar+i,... ,an) G G /•.'.',' '. Если n G /•,'.". го множество

S2(a,r) = {ß G /•-'.'/ | t0(ß) G S(tQ(a)), h(ß) G S(ii(a))}

назовем равномерной r-сферой (радиуса 2) с центром в точке а. Отметим, что если а G Ё2,к, то S2(a,r)CEn2'k.

Лемма 1. Если Цг^пмТС Е2,к, 0 ^ к ^ п, то каждую функцию алгебры логики

h(x 1,...,жп), такую, что h(xi,...,xn) = ф CßKß, где Cß G Е2, можно представить в виде

ßeE™'k

h(xi,... ,х„) = Q Ф Р, где Q — некоторая ПСПФ с длиной, превосходящей 2|Т|, а Р — такой полином Жегалкина, что если К7 — слагаемое в нем, то \ j\ ^ к и j ^ |J S2(a, г).

а£Т

Доказательство. Пусть Т = {«i,..., а|т|} Я: Е2'к, причем |io(«j)| ^ |io(a.j)| при всех i < j, где i, j = 1,... ,\Т\. Пусть задана функция алгебры логики h(x i,..., хп) = ф CßKß, где Cß G Е2.

ße Е™'к

Выполним последовательно шаги 1, 2,..., |Т|. После шага j мы будем получать такие ПСПФ Qj и полином Жегалкина Pj,

Pj = с7К7,

з-1

U S2(ai,r) i=1

где с7 G Е2, что h(xi,... ,хп) = Qj ф Pj. Положим Qq = 0 и PQ = P(f).

Шаг j. Пусть j = 1, 2,..., |Т|, h{x\,..., хп) = Qj-i®Pj-i, где Qj-i — ПСПФ, а Pj-i — полином

з-1

Жегалкина, для каждого слагаемого К7 которого верно, что |7| ^ к, и 7 ^ |J S2(a,i,r). Выделим

г= 1

в Pj-i группу слагаемых вида Kß, где ß G S2(a,j,r). Будем считать, что каждое из этих слагаемых встречается в Pj-i с коэффициентом Cß G Е2. Пусть Pj(ocj) — полином Жегалкина ф CßKß.

ßes2(aj,r)

Для каждого ßo G S(to(otj)) введем линейную функцию

9ß0(xr+i, • • • ,%п) = ф cßoBßlKßimi(aj).

ßieS^ia,))

Тогда

Рз(аз) = ф KßoBtl(aj)gß0 = Ktl(aj) ф Kßodßo-ß0es(t0(aj)) ß0es(t0(aj))

Положим

Sj = А',,, Ф Ktl{aj) Д (Kt0(aj)®ß0 Ф //.«,)• Qj = Qj-i Ф % Pj = Pj-i Ф P(S:j).

ß0eS(to(aj))

Заметим, что моном /\',1; не входит в полином Жегалкина P(Sj), а каждый из мономов Kß, ß G S2(aij,r), входит в P(Sj) с коэффициентом Cß. Поэтому в полиноме Жегалкина Pj эти слагаемые сокращаются. Для всех других слагаемых Ку, 7 ^ {ay} U S2(aj, г), полинома P(Sj) верно ITia, |io(7)l < \to(aj)\-2.

Напомним, что для каждого слагаемого К7 полинома Жегалкина Pj-i было верно, что (7! ^ к, з-1

7 4- U Si(oLi, г). Поэтому для каждого слагаемого К7 полинома Жегалкина Pj будет верно, что г= 1

з

I7I ^ к и 7 ^ (J S2(a,i,r). Отметим, что h(xi,...,xn) = Qj-i Ф Pj-i, поэтому по построению

г= 1

h(x 1,..., хп) = Qj Ф Pj. Теперь если j < |Т|, то перейдем к шагу (j + 1). Если j = |Т|, то алгоритм завершает свою работу.

После шага |Т| мы получим, что для каждого слагаемого К7 полинома Жегалкина Р\т\ верно,

\т\

что |7| < к и 7 ^ (J S2(ai,r). i= 1

На каждом шаге j в ПСПФ Qj добавлялись два слагаемых, Qq = 0. Поэтому /(q|t|) ^ 2|Т|. Положим Q = Q\t\i Р = Р\т\- Лемма 1 доказана.

Пусть Tn(k,r) = {ß G | |io03)| = г или \h(ß)\ = 0}. Отметим, что если ß G Тп(к,г), то набор ß не может принадлежать никакой равномерной r-сфере (радиуса 2). В самом деле, если ß G Тп(к,г), то либо |io(/3)| = г, а значит, ß S(a) ни для какого набора a G /•-'.','; либо \ti(ß)\ = 0, а значит, ß S(a) ни для какого набора a G /•-'.','. Множество Т, Т С 'к, называется г-покрытием равномерными сферами (радиуса 2) слоя Е'^, если |J S2(a, г) = h'.'l'1' \Tn(k,r).

а£Т

п

Положим Tn(r) = IJ Тп(к,г). Множество Г. Г С /•,'.'/. называется r-покрытием равномерными к=о

сферами (радиуса 2) куба Е2 , если |J S2(a,r) = /•,'." \Tn(r).

ает

Теорема 1. Пусть Цг^пнТ, ТС Е2, — г-покрытие равномерными сферами

куба /•,'.". Тогда каждую функцию алгебры логики f(x 1,... ,хп) можно представить в виде ПСПФ с длиной, не превосходящей 2\Т\ + 2Г + 2п~г.

Доказательство. Пусть Т = {«i,..., а|т|} — r-покрытие куба /•,'." равномерными сферами. Положим Tfc = {a G Т | |а| = к = 0,1,... , п. Тогда Т& С /•,'."— r-покрытие равномерными сферами слоя /•.'.".

Пусть задана функция алгебры логики f(x 1,..., жп). Выполним последовательно шаги с убывающими номерами n, п — 1,..., 1, 0. После шага к мы будем получать такие ПСПФ Q^ и полином Жегалкина Р^ = ф с7К7, с7 G £2, что /(жi,... ,хп) = Qk®Pk- При этом длина ПСПФ не бу-

I7I <fc п

дет превосходить ^ (2|Tj| + С® + C^Zrr), где С% — биномиальный коэффициент, причем считаем, г=к

что С% = 0, если р > q или р < 0. Положим Qn+i = 0 и Рп+\ = P(f).

Шаг к. Пусть к = п,п - 1,..., 1, /(жь ...,хп) = Як+\ Ф Рк+ъ где (¿к+1 — ПСПФ, а Рк+1 — полином Жегалкина, для каждого слагаемого К7 которого |7| ^ к. Выделим в полиноме Жегал-кина Рк+1 группу слагаемых вида Кр, где /3 € 'л. Пусть каждое из этих слагаемых встречается в полиноме Жегалкина Рк+1 с коэффициентом ср € Е2. Рассмотрим функцию алгебры логики к)с(х1,... ,хп) = ф срКр. Применим к функции кк лемму 1 с г-покрытием Тк равномерными

сферами слоя Е2'к. Получим, что кк(х\,..., хп) = Я'к Ф Рк, где — ПСПФ с длиной, не превосходящей 2\Тк\, а Рк — полином Жегалкина, для каждого слагаемого которого К7 верно, что |7| ^ к, и 7 ^ У Б2(а, г). Пусть моном Кр, ¡3 € Тп(к,г), встречается в полиноме Жегалкина Рк

аетк

с коэффициентом ср € Е2. Положим

Як = Як+1ФЯ'кФ 0 срКр, Рк = Рк+0 срКр.

ретп(к,г) ретп(к,г)

Тогда

(п \ п

{т\ + с1 + с*-_гг)) + 2\тк\ + с* + скп-_; = + + сгп~_гг).

г=к+1 ' г=к

Для каждого слагаемого К7 полинома Жегалкина Рк верно |7| < к. Кроме того, по построению /(ж1,... ,х„) = (¿к Ф Рк- Выполнив все шаги, получим, что /(х\,... ,х„) = (¿а фРа, причем Р0 = О, и

п

1Ш < Е(21Т^1 + °г + °п-г) < 21Т1 + 2Г + 2П"Г-

i=Q

Поэтому (¡} = (¡}о — искомая ПСПФ функции /(х1,..., хп). Теорема 1 доказана.

Множество 7". Г С /•,'.'/. называется затеняющим "вниз" множеством куба Е2, если У §(а) =

а£Т

= Е2 \(1,..., 1), где (1,..., 1) € Е2 — наибольший набор куба /•.'.'/. Множество Т, Т С Е2 , называется затеняющим "вверх" множеством куба Е2, если У Б (а) = Е2 \ (0,..., 0), где (0,..., 0) € Е2 —

ает

наименьший набор куба /•,'.'/. Множество Т, Т С /•,'.", называется покрытием полушарами ("вниз") куба Е%, если Т и и 8(а) = Е%.

ает

Лемма 2. Если существует покрытие полушарами куба /•.'.'/ мощности т, то существуют затеняющее "вниз" множество мощности 2т и затеняющее "вверх" множество мощности 2т.

Доказательство. Для того чтобы по покрытию полушарами Т куба /•.'.'/ построить затеняющее "вниз" множество, достаточно к этому покрытию Т добавить не более т наборов, затеняющих все наборы из множества Т. По затеняющему "вниз" множеству Т куба /•,'." затеняющее "вверх" множество строится одновременным отрицанием всех координат во всех наборах множества Т. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Для каждого натурального я ) 1 и каждого натурального 1 ^ г ^ п существует г-покрытие Т, Т С Е2, равномерными сферами куба /•.'.'/ мощности, не превосходящей

с^2п/(г(п — г))^, где с > 0 — некоторое действительное число, не зависящее от п.

Доказательство. В [10] доказано, что существует покрытие полушарами куба /•.'.', мощности, не превосходящей с\(2г¡г), где с\ > 0 — некоторое действительное число, не зависящее от числа г. По лемме 2 найдется затеняющее "вниз" множество куба /•,'." мощности, не превосходящей 2с\(2г¡г). Пусть Т0, Т0 С Е2 — такое затеняющее "вниз" множество куба /•.'.', мощности, не превосходящей 2с\(2г¡г), и Т\, Т\ С /•,'." ' — соответствующее затеняющее "вверх" множество куба /•,'." ' мощности, не превосходящей 2с\{2п~г¡(п — г)).

Положим Т = {«о И «1 | «о € Т0, «1 € Т\}. Покажем, что Г. Г С /•,'.". является г-покрытием равномерными сферами куба /•,'.". В самом деле, рассмотрим произвольный набор ¡3 € Е2 \ Тп(г). Тогда ¿о(/3) ф (1,...,1), поэтому найдется такой набор «о € Т0, что ¿о(/3) € <5(ао). Соответственно, 11{(3) ф (0, ...,0), поэтому найдется такой набор «1 € Т\, что 11{(3) € §(а 1). Отсюда /3 € в2(ао □ а,1,г). Значит, Т — г-покрытие равномерными сферами куба /•.'.". Осталось заметить, что |Т| ^ Ас\(2п/(г(п — г))). Лемма 3 доказана.

Теорема 2. Справедливо неравенство Ьпспф(п) ^ С(2п/п2), где С > 0 — некоторое действительное число, не зависящее от п.

Доказательство. По теореме 1 для произвольной функции алгебры логики f(x\,... ,хп) можно построить такую ПСПФ Q, представляющую функцию /, что l(Q) ^ 2|Т| + 2r + 2П_Г, где Т, Г С /•,'.'/. — г-покрытие равномерными сферами куба /•.'.'/. По лемме 3 найдется такое г-покрытие Т, Т С Е~2, равномерными сферами куба Е^-, что |Т| ^ с(2п/(г(п — г))), где с > 0 — некоторое действительное число, не зависящее от п.

Положим г = [п/2\. Тогда п/2 — 1 ^ г ^ п/2, п/2 ^.п — г ^ п/2 + 1. Получаем

l(Q) < 2|Т| + 2r + 2n_r ^ 8с(2п/(п2 - 2п)) + 32"/2 < С(2п/п2),

где С > 0 — некоторое действительное число, не зависящее от п. Теорема 2 доказана. Следствие 1. Справедлива оценка Ьпспф(п) = ©(2п/п2). Действительно, верхняя оценка получена в теореме 2, а нижняя — в [8].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Угрюмов Е. П. Цифровая схемотехника. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

2. Sasao Т., Besslieh P. On the complexity of mod-2 sum PLA's // IEEE Trans, on Comput. 1990. 39. N 2. P. 262-266.

3. Супрун В. П. Сложность булевых функций в классе канонических поляризованных полиномов // Дискретная математика. 1993. 5. № 2. С. 111-115.

4. Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полиномиальных поляризованных форм // Алгебра и логика. 1995. 34. № 3. С. 323-326.

5. Кириченко К. Д. Верхняя оценка сложности полиномиальных нормальных форм булевых функций // Дискретная математика. 2005. 17. № 3. С. 80-88.

6. Избранные вопросы теории булевых функций / Под ред. С.Ф. Винокурова и Н. А. Перязева. М.: Физ-матлит, 2001.

7. Ishikawa R., Hirayama Т., Koda G., Shimizu К. New three-level Boolean expression based on EXOR gates // IEICE Trans. Inf. & Syst. 2004. E87-D. N 5. P. 1214-1222.

8. Селезнева С. H. О длине булевых функций в классе полиномиальных форм с аффинными множителями в слагаемых // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2014. № 2. С. 34-38. (Selezneva S.N. On the length of Boolean functions in the class of exclusive-OR sums of pseudopro-ducts // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2014. 38. N 2. P. 64-68.)

9. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

10. Cooper J.N., Ellis R.B., Kahng А.В. Asymmetric binary covering codes // J. Combinatorial Theory. Series A. 2002. 100. N 2. P. 232-249.

Поступила в редакцию 02.11.15

ASYMPTOTIC ORDER ON THE LENGTH OF LOGIC FUNCTIONS IN THE CLASS OF EXCLUSIVE-OR SUMS OF PSEUDOPRODUCTS

Selezneva S. N.

An exclusive-OR sum of pseudoproduets (an ESPP) is a sum modulo 2 of terms which are products of affine (linear) logic functions. The length of an ESPP is the number of its terms; the length of a logic function in the class of ESPPs is the smallest length among all ESPPs, representing this function. In the paper, it is considered the Shannon function LESPP(n) on the length of logic functions in the class of ESPPs, this function is the largest length in the class of ESPPs among all logic functions, depending on n variables. It is proved that LESPP(n) = 6 (2™/n2). The value LESPP(n) is also equal to the smallest number I such that each n-argument logic function can be represented as a sum modulo 2 no more than I multi-affine functions.

Keywords: logic function (Boolean function), polynomial form, Zhegalkin polynomial, exclusive-OR sum of pseudoproduets (ESPP), length, upper bound, multi-affine function.