Сложность систем функций над конечным полем в классе поляризованных полиномиальных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

С. Н. Селезнева, М. М. Гордеев2,

СЛОЖНОСТЬ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ В КЛАССЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФОРМ*

В работе получено точное значение функции Шеннона сложности систем, содержащих т функций над конечным полем из q элементов, зависящих от п переменных, в классе поляризованных полиномиальных форм: ¿р®* (п,т) = дп при всех п ^ 1, т ^ 2 и при всех возможных нечетных д. Ранее было известно, что ¿Р^® (п, т) = 2™ и (п,т) = 3™ при всех п ^ 1, т ^ 2.

Ключевые слова: функция над конечным полем, система функций, полиномиальная форма, поляризованная полиномиальная форма (ППФ), сложность, нижняя оценка.

1. Введение. Сложность функций над полем из двух элементов в классе поляризованных полиномиальных форм получена в [1-3]. В [4] поляризованные полиномиальные формы впервые рассмотрены для функций над полями с большим числом элементов. Поляризованной полиномиальной формой (ППФ) над конечным полем называется сумма произведений переменных, поляризованных смещением на определенную величину. Это смещение каждой переменной ж*, 1 ^ г ^ п, определяется вектором поляризации и неизменно в пределах каждой формы. Длиной ППФ называется число ее различных слагаемых с ненулевыми коэффициентами; длиной функции над конечным полем в классе ППФ — наименьшая длина среди всех ППФ, представляющих эту функцию. В [3] найдено точное значение наибольшей длины функций над полем из двух элементов в классе ППФ. Нахождению наибольшей длины функций над полем из д, д ^ 3, элементов в классе ППФ посвящены работы [4-10]. В них получены верхняя и нижняя оценки этой величины, однако ее асимптотика пока не найдена. В [7] рассмотрена задача о нахождении наибольшей сложности систем функций в классе ППФ. Сложностью системы ППФ с одним и тем же вектором поляризации называется число различных слагаемых с ненулевыми коэффициентами во всех ППФ этой системы; сложностью системы функций над конечным полем в классе ППФ — наименьшая сложность среди всех систем ППФ, представляющих все функции этой системы. В [7] получены точные значения наибольшей сложности систем из т функций, зависящих от п переменных, над полями из двух и трех элементов, п ^ 1, т ^ 2. В настоящей работе мы обобщаем эти результаты на случай произвольного конечного поля с нечетным числом элементов.

2. Основные определения. Пусть /•.',, = {0,..., д— 1}, (/•.',,; +, •) — поле с нулем 0 и единицей 1,

Рд = {/^ : Е™ ^ Ед}, п = 0,1,..., Рд = и Рд — множество всех функций над этим полем,

п^О

а = («1,..., ап). Каждая функция из € Р(1 представима однозначной полиномиальной формой

где Ка = П — моном, соответствующий набору а = (ai,...,an) € /•-',". К^о,...,о) = 1,

с/(а) € Ед — соответствующий коэффициент [11, 12].

Определим поляризованные полиномиальные формы (ППФ). Произвольный набор 8 € Е^ назовем вектором поляризации. Каждая функция из € Рч представима однозначной полиномиальной формой (ППФ) Рй(/), поляризованной по вектору 6 = ((¿1,..., йп) € /•-'¡'■ вида

(ПФ) P(f) вида

aG-EJ

спф 0

авЕ™

1 Факультет ВМК МГУ, доц., д.ф.-м.н., e-mail: seleznQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: gormishaQgmail.com

* Работа частично поддержана РФФИ, грант 17-01-00782-а.

где Кьа = П (жг + — поляризованный по вектору 5 моном, соответствующий набо-

(чф О

ру а = {а\,... ,ап) € /•-',". ^ = 1, Cf(a)s € Ед — соответствующий коэффициент [4]. Отме-

тим, что ПФ Р{$) является ППФ, поляризованной по нулевому вектору поляризации. Длиной 1{Р) ППФ Р назовем число ее слагаемых с ненулевыми коэффициентами.

Сложностью Ь(П) системы П ППФ с одним и тем же вектором поляризации называется число различных слагаемых с ненулевыми коэффициентами, встречающихся во всех ППФ этой системы. Сложностью (Р) системы функций над полем из д элементов

Р = {/1(2-1, ... , Хп), • • • , /г« (ж 1, • • • , Жп)}

в классе ППФ называется наименьшая сложность среди всех таких систем ППФ {рх, ... ,рт}, что все ППФ р\, - ■ ■ ,рт поляризованы по одному и тому же вектору поляризации и ППФ р^ представляет функцию 3 = I,... ,т. Понятно, что для произвольной системы

Р = {/1(^1, ... , Хп), • • • , /то (ж 1, ■ ■ ■ , Жп)}

функций над полем из д элементов верно ^ дп.

Введем функцию Шеннона т) сложности систем, содержащих т функций над полем

из д элементов, в классе ППФ:

¿¡Рф(п,т)= тах

1 РСР",|Р|=т 1

В [7] доказано, что т) 2" и т) = Зп при всех п ^ 1, т ^ 2. В этой работе

получено аналогичное точное значение для произвольного возможного нечетного д.

3. Нижняя оценка. Пусть к\{х\), 1\{х\) € Рд — некоторые функции. Мы определим их позднее. Введем функции кп{х\,..., х„), 1п{х\,..., х„) € Рд при каждом п ^ 2:

¡1п+г = х^К + (жп+1 + 1)9~11п, 1п+1 = ах^^п + (жп+1 + 1)9_1/гп, а € Ед. (1)

Лемма 1. Если р — простое число, к ^ 1, — целое число, то для биномиального коэффициента Сг[)к_1, 0 ^ г ^ р*5 — 1, справедливо соотношение Сг[)к_1 = (^1)г(тос1 р)

0к — "\шии р) при I, — ±,... ,рк

деле, Сгк = -''' ^- . Пусть ] = рк' • г,-, где (р, г А = 1, т.е. числа р и г7- взаимно

р г(г — 1) ... 1

просты, ] = 1,..., г. При этом kj < к для всех ] = 1,..., г. Тогда верны равенства

Доказательство. Сначала покажем, что Сгк = 0(тос1 р) при i = 1,...,рк — 1. В самом

рк(рк - 1)... (рк - <1 + 1) урк — ^ ^ - . ; — у - - / 3, 1-М^ — >-• V ™ • 3

р _^ р _р з « у • р _ У' р р р

ТТ. ч 3 ... . Т.

О"'? < Т • /р . 1} /п/V

2 • Г2 Г^ г Р^г • Гг

г — 1 / г

_ к к-1

' рк

Поэтому С\, = pk~ki • Л (рк~кз ^ г-¡) / \\ г-¡. В полученном выражении числитель делится на р

3 = 1 / ¿=1

(так как к^ < к), а знаменатель — взаимно прост с р. Кроме того, это выражение равно целому числу. Отсюда Сгк = 0(тос1 р) при i = 1,... ,рк — 1.

Теперь докажем индукцией по г, I = 0,1,... ,рк — 1, что Сгр к_1 = (^1)г(то(1 р). Базис индукции:

Срк_! = 1(то<1 р) верен. Индуктивный переход. Если = (^1)г_1(то(1 р), 1 ^ I ^ рк — 1, то

Срк-! = Срк - С1рк\ = 0 - = (—1)®(то<1 р). Лемма доказана.

Следствие. Если — поле, где ц = рк, р — простое число, к ^ 1 — целое число, то

9-1

(ж + у)«"1 =2(-1)<®9"1"У-

i=Q

п

В самом деле, в любом коммутативном кольце верно равенство (ж + у)п = '*^Сгпхп~гуг, где

г=0

(. 'I = 0,1,..., п, — биномиальные коэффициенты [13, с. 60]. Поле (Ед; +, •) является полем харак-

теристики р, поэтому биномиальные коэффициенты приводятся по модулю р. Отсюда по лемме 1 получаем следствие.

Лемма 2. Пусть д ^ 2 — целое число, (Ея;+,-) — поле, функции Ь,п,1п € Рд, п ^ 2, определены в (1). Если 8 = (8', —й) £ Е™+1 — вектор поляризации, 8' € /.',". й € Ея, и 0° = 1, то

9-1

РЙ(К+1) = £ [cj^'W + (х - dy

i=0

Ps(tn+1) = £ [с^РЙ (К) + ClfPs (tn)_ (х - d)\

i=0

где

Chf = (-1)<d9"1_< G ctf = (^Yid + 1)q~1~i e

Cl;di = (-!)<(<* + l)9"1"' G Eq, Clf = {-lYad,*-1-* G Яв.

Доказательство. Рассмотрим ППФ Pa(/in+i) и Pa(in+i), где 5 = (5', -d) G G /•.',".

d €. Eg. С учетом следствия получим:

9-1

= pi'i^J^i-ir^n+i-drd9"

7 — 1—i

¿=0 9-1

- dy(d + if-1-'

i=0

q-1

з-1-г Ы'

= E^1)' (d9"1"'^'^«) + (d+iy-'-'pt'itn)) (x - dy; i=0

Ps(tn+i) = a((xn+1^d) + dy-1Ps'(tn) + ((xn+1^d) + d+iy-1Ps'(hn) =

9-1

j—1—г

г=0 9-1

q—l—i

i=0

L

j^i-1)4 ((d+ 1)9_1_<Рг'(М + adq~1~iPs'(tn)J (x - dy.

i=0

Лемма доказана. Положим

SZ = {hn,tnJZ\c€Eq\{0}}CP?

9 '

где ■ ■ ■, хп) = ¡1п{х,1,... ,х„) + с1п{х 1,...,хп), п ^ 2. Напомним, что а € Ея называется

квадратичным невычетом в поле (Ея; +, •), если уравнение х2 = а не имеет решений в этом поле. В любом конечном поле с д ^ 3 элементами при нечетных д найдется хотя бы один квадратичный невычет [13].

Лемма 3. Пусть д ^ 3 — нечетное число, (Ея; +, •) — поле, а — его квадратичный невычет. Если /п+1 С 8 = (8', —d) С Е'д+1 — вектор поляризации, 8' € /.',". d С Ея, и

9-1

Рй(/п+1) = £ РЙ'(К) + С^{Р"'{Ьп)] {х - д)*,

г=0

гс>е Сн\ , С(\ € Ед — коэффициенты, то для каждого г, 0 ^ г ^ д — 1, оба коэффициента Сн\ и С(( не могут одновременно обратиться в ноль.

Доказательство. Если d = 0 или d = — 1, то утверждение верно по лемме 2. Пусть

f d

теперь d ф 0, d ф —1. Если /п+1 = hn+i, то по лемме 2 верно CJh\ ф 0. Если /п+1 = tn+i, то

по лемме 2 верно C(f ф 0. Если /п+1 = то проведем доказательство от противного. Пусть

для некоторого d G Eq \ {0,^1} и некоторого i, 0 ^ i ^ g — 1, справедливо C['d = C(f = 0. Следовательно, по лемме 2 выполняются равенства

dQ-i-i = + 1)9-1-г? + 1)в-1-< = ^cadq~1~i,

откуда dq~l~% = c2adq~l~%. Но dq~l~% ф 0. Значит, (1 /с)2 = а, что противоречит тому, что а — квадратичный невычет. Лемма доказана.

Положим S11 = {hi,ti,fi | с€Ед\ {0}} С Ргде <ц G Eq,

hi{xi) = aix\~l + {xi + 1)9_1, ti{xi) = xf-1 + oi(®i + l)9-1, fi(xi) = h(x i) + cii(®i).

Лемма 4. Если q ^ 4 — целое число, (Eq;+,-) — поле, a\ £ Eq\ {0,1,-1}, то для каждой системы F = {fi,gi}, где fi,gi G Sf1, в которой fi и gi — различны, справедливо равенство L(F) = q.

Доказательство. Пусть S = (—d) G Eq, где d G Eq, — вектор поляризации, и

q—1 q—1

P4.fl) = E °i'd(x - pä(9i) = E ct% - d)\

i=о ¿=o

где C('d, Cf'd G Eq — коэффициенты. Покажем, что при каждом векторе поляризации 6 для каждого %, % == 0,1,... ,k 1, хотя бы один из коэффициентов C/'d, Cf'd не равен нулю.

1. Сначала рассмотрим случай F = {hi,ti}. Пусть

q—1 q—1

Ps(hx) = Е ci'd(x - dYi pä(h) = E cfd(x -i=о ¿=o

где Ci'd, С*4 G Eq — коэффициенты. Тогда

Ch,d = [0ld9-l-t + (d + 1)9-1-*]; ct,d = c,i_i ^q-l-i + ^ + jje-l-t] .

Если d = 0 или d = — 1, то для каждого i, 0 ^ % ^ g — 1, верны неравенства СгЛ'° ф 0, С*'0 ф 0. Если d £ Eq \ {0, — 1}, то предположим, что для некоторого г, 0 ^ г ^ g — 1, выполняется равенство ch,d = ct,d = 0 Тогда верн0 соотношение ¿ч-i-i _ 02de-i-» = 0. Но d«"1"* ф 0, значит (ai)2 = 1, что противоречит тому, что а,\ G Eq \ {0,1, —1}.

2. Пусть теперь j\ = /f, gi G {/ibii}. Тогда С(4 = СгМ + сС*4. Если Cf'd = 0, то С(4 ф 0 (см. п. 1).

3. Наконец, пусть /i = /f1, = /f2, где а ф с2. Тогда

s-if,d _ s-ih,d , s-4,d ri<3,d _ s-<h,d , s-it,d

' •— ' •~~r ' • j , ' •— ' •~~r ''-j' •

Если С*4 ф 0, то C('d ф Cf'd. Если С¡'d = 0, то С(4 ф 0, так как верно соотношение Сф 0 (см. п. 1). Лемма доказана.

Положим Tf1 = {hi,ti, fi\c€.Eq\ {0}} С Ргде oi G Eq,

hi(xi) = aiicf"1 + (®i + l)9-1, ti(xi) = oi(®i + l)9"1 + (®i + 1 + l)9-1,

fi(xi) = hi(xi) + cti(xi).

Напомним, что образующий элемент е G Eq мультипликативной группы (Eq \ {0}; •) называется примитивным элементом поля (Eq; +, •) [13, с. 69].

Лемма 5. Если q ^ 3 — нечетное число, (Eq;+,-) — поле, е — его примитивный элемент, то для каждой системы F = {fi,gi}, где fi,gi G Tfe, в которой fi и gi — различны, справедливо равенство L(F) = q.

Доказательство. Пусть 6 = {—й) € Ед, где й € Ед, — вектор поляризации, и

ч~1 ч~1

р\к) = -^ = -^

¿=0 г=0

где С(4, С?4 £ Ед — коэффициенты. Покажем, что при каждом векторе поляризации 6 для каждого г, 0 ^ г ^ А; — 1, хотя бы один из коэффициентов С(4, С®4 не равен нулю.

1. Сначала рассмотрим случай Р = {/11,^1}. Пусть

ч~1 ч~1

Р\НХ) = ^ Сг14{х - й)\ РЙ(Ь) = Е с1'*(х ~ <г)<>

г=0 г=0

где С^4, С*4 € Ед — коэффициенты. Тогда

С™ = Сд_1(—ей9~1~1 + (ё + I)«"1"*), С*4 = С^^-еСй + I)«-1"' + (й + г)«"1"4),

сумма 1 + 1 равна 2 в поле (Ея; +, •). Если й = 0 или = — 1, то для каждого г, 0 ^ г ^ д — 1, верны неравенства СгЛ'° ф 0 или С*'0 ф 0. Если € Ед \ {0, —1}, то предположим, что С= С*4 = О для некоторого г, О^г^д — 1. Тогда верны равенства

^е^"1"* + {й + I)«"1"* = 0, —е{й + I)«"1"* + {й + 2)«"1"* = О,

из которых следует, что е = (1 + 1/й)'1~1~г = [1 + 1/(й+ 1)]9_1~\ Поэтому, число (д — 1 — г) взаимно просто с числом (д — 1). Следовательно, функция ж9_1_г определяет взаимно однозначное отображение в поле (Рв;+,-) [13, с. 441]. Приходим к равенству 1/й = 1/{й+ 1), чего не может быть.

2. Пусть теперь /1 = Я, дг е {/ц,^}. Тогда С(4 = С1-4 + сС\4. Если С"4 = 0, то С(4 ф О (см. п. 1).

3. Наконец, пусть /1 = Ц1, д1 = Ц2, где а ф с2. Тогда

' ■! - ' ■! Т ''I ' ■! , ' ■! - ' ■! Т ■!

Ь (I f (I (1(1 Ь (I f (I

Если С\' ф 0, то С/' ф С"' . Если С\' =0, то С/' ф 0, поскольку в п. 1 доказано, что верно

Н (1

соотношение

ф" ф 0. Лемма доказана. Лемма 6. Если д ^ 3 — нечетное число, (Рв;+,-) — поле, е — его примитивный элемент, а — его квадратичный невычет, а,\ € Ея\ {0,1, — 1}, то при каждом п ^ 1 для каждой системы Е = {/п,5п}, /ъ <71 € ^Г1 {при этом д ф 3 ) или /1,51 € /п,дп € при п ^ 2, в которой функции /п и дп — различны, справедливо равенство Р(Р) = дп.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по п. Базис индукции п = 1 обеспечивает лемма 4 или лемма 5. Обоснуем индуктивный переход. Пусть 6 = (6', —й) € Ед +1 — вектор поляризации, где 5' € Ед, й € Ед, и

д—1 д—1

Рй(/п+1) = 2 РЙ'(//)(Ж - ¿Г, Рй(5„+1) = Е РЙ'(^)(Ж -

i=Q i=Q

где € Р™ — некоторые функции. По лемме 4 при каждом г, 0 ^ г ^ д — 1, функции ff и д^

не равны нулю. Предположим, что для некоторого г, 0 ^ г ^ д — 1, и для некоторого Ь € Ед \ {0} выполняется равенство // = Ь • д^. Рассмотрим функцию = /п+1 — Ь • дп+\-

1. Если Р = {Ь,п+1,1п+1}, то =

2. Если /п+1 = € {К+1,1п+1}, то

/п+1 = (1 - ЩК+1 + 1 или = кп+1 + (с - Ь)г„+1.

Это означает, что с точностью до ненулевого множителя функция совпадает с 1п+\ при Ь = 1

с/(с—Ь) (с—Ь)

и с при Ь ф 1 в первом случае или с при Ь = с и с /„+1 при Ь ф с во втором случае.

3. Наконец, если /1 = Д01, д1 = Ц2, где а ф с2, то

/п+1 = К+1 + С1*п+1 - Ь{1ъп+1 + с21п+1) = (1 - Ь)1ъп+1 + (с! - Ьс2уп+1.

Следовательно, с точностью до ненулевого множителя функция совпадает с f^i °^ при b = 1,

с hn+i при Ъ ф с\ — Ьс2 = 0 и с при Ь ф 1, ci - bc2 ф 0.

Во всех случаях получаем, что функция с точностью до ненулевого множителя совпадает с некоторой функцией из множества Кроме того, по предположению у функции при не-

которой поляризации коэффициент при слагаемом {хп+\ + й1)г равен 0, что противоречит лемме 4. Значит, при каждом d, € Eq для каждого г, 0 ^ г ^ g — 1, множество Fj = {ff,gf} с точностью до ненулевых множителей содержит две различные функции из SI1 или из при п = 1 или из при n ^ 2. По предположению индукции L(Fj) = qn, откуда следует равенство L(F) = qn+l. Лемма доказана.

Теорема. Если q ^ 3 — нечетное число, (Eq;+,-) — поле, то при каждом п ^ 1, т ^ 2

справедливо равенство т) = qn.

Доказательство. Верхняя оценка следует из того, что найдется всего qn различных поляризованных мономов от п переменных. Докажем нижнюю оценку. Если т = 2, то воспользуемся леммой 4, леммой 5 или леммой 6. Если m ^ 3, то расширим системы из этих лемм, добавив в них необходимое количество произвольных функций. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sasao Т., Besslieh P. On the complexity of mod-2 sum PLA's // IEEE Trans, on Comput. 1990. 39. N 2. P. 262-266.

2. Супрун В. П. Сложность булевых функций в классе канонических поляризованных полиномов // Дискретная математика. 1993. 5. № 2. С. 111-115.

3. Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полиномиальных поляризованных форм // Алгебра и логика. 1995. 34. № 3. С. 323-326.

4. Селезнева С. Н. О сложности представления функций многозначных логик поляризованными полиномами // Дискретная математика. 2002. 14. № 2. С. 48-53. (Selezneva S.N. On the complexity of the representation of functions of many-valued logics by polarized polynomials // Discrete Mathematics and Applications. 2004. 12. N 3. P. 229-234.)

5. Селезнева С. H. О сложности поляризованных полиномов функций многозначных логик, зависящих от одной переменной // Дискретная математика. 2004. 16. № 2. С. 117-121. (Selezneva S.N. On the complexity of polarised polynomials of multi-valued logic functions in one variable // Discrete Mathematics and Applications. 2004. 14. N 3. P. 263-266.)

6. Маркелов H. К. Нижняя оценка сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2012. № 3. С. 40-45. (Markelov N. К. A lower estimate of the complexity of three-valued logic functions in the class of polarized polynomials // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2012. 36. N 3. P. 150-154.)

7. Селезнева С. H. Сложность систем функций алгебры логики и систем функций трехзначной логики в классах поляризованных полиномиальных форм // Дискретная математика. 2015. 27. № 1. С. 111122. (Selezneva S.N. Complexity of systems of functions of Boolean algebra and systems of functions of three-valued logic in classes of polarized polynomial forms // Discrete Mathematics and Applications. 2016. 26. N 2. P. 115-124.)

8. Балюк А. С., Янушковский Г.В. Верхние оценки сложности функций над конечными полями в классах кронекеровых форм // Известия Иркутского гос. ун-та. Серия: Математика. 2015. № 14. С. 3-17.

9. Балюк А. С., Зинченко А. С. Нижняя оценка сложности функций над конечным полем порядка 4 в классе поляризованных полиномов // Известия Иркутского гос. ун-та. Серия: Математика. 2016. № 16. С. 19-29.

10. Балюк А. С., Зинченко А. С. Нижняя оценка сложности пятизначных функций в классе поляризованных полиномов // Дискретная математика. 2016. 28. № 4. С. 29-37.

11. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Набебин А. А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: Изд-во МЭИ, 1997.

12. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

13. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988.

Поступила в редакцию 03.05.17