Понятие связи в аналитической механике Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 4. С. 853-860. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

КОММЕНТАРИИ. ДИСКУССИЯ. КРИТИКА Понятие связи в аналитической механике

В. Ф. Журавлёв

Приводится критический обзор таких понятий, как голономная и неголономная связь, неудерживающие и бинарные связи. Рассмотрен вопрос о корректности этих моделей.

1. Голономные связи

/ (Ь,д) = 0, д = (д!,...,дп). (1.1)

Понятие идеальной связи является основным в аналитической механике. Реакции таких связей могут быть исключены при составлении уравнений движения.

Чаще всего определение связи делается для системы N материальных точек г 1,..., гN, положение которых задается с помощью декартовых координат: г = (хг, уг, хг), г = 1,...^. Тогда, например, голономной, или конечной связью называется такая дополнительная механическая система, которая ограничивает положение введенных точек, понуждая их координаты подчиняться уравнениям связей.

С чисто методической точки зрения необязательно начинать с системы N материальных точек для построения понятия голономной связи. Простейшим объектом в механике наряду с материальной точкой является и абсолютно твердое тело. Его положение в пространстве определяется тремя декартовыми координатами какой-либо его точки и тремя углами конечного вращения вокруг этой точки. Совокупность этих переменных представляет собой набор независимых обобщенных координат д = (д1,...,д6). Наиболее распространенным объектом интереса в технике является система некоторого числа связанных друг с другом тел, что чаще всего и приводит к уравнениям связей в виде (1.1). При этом функция / может быть векторной: / = (/1,..., /к). Если к < п, то уравнения (1.1) заведомо разрешимы относительно некоторого числа координат дг. Оставшиеся координаты будут независимыми обобщенными координатами рассматриваемой системы с наложенными связями [1].

Получено 7 февраля 2012 года

Журавлёв Виктор Филиппович zhurav@ipmnet.ru

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН 119526, Россия, г. Москва, пр. Вернадского, 101, корп. 1

2. Неудерживающие голономные связи

/(ь,д) ^ 0 (2.1)

В монографии [2] показано, как с помощью негладких преобразований координат д можно исключить такие связи и движение системы задать регулярными (без особенностей типа 5 — функций) дифференциальными уравнениями. При этом показано, что подобное возможно только в записи исходной системы с помощью функции Рауса при специальном подборе лагранжевых и гамильтоновых переменных в этой функции.

3. Кинематические связи

Чаще всего используется следующее определение. Кинематической связью называется такая дополнительная механическая система, взаимодействие которой с исходной системой выражается уравнениями связей вида:

а(Ь,д)д + Ь(Ь,д) = 0 (3.1)

Здесь д и Ь векторы размерности к, а функция а(Ь, д) есть матрица размерности п х к. Если

не существует такой дифференцируемой функции /(£,<?), что ~|/(^, О) = а{^1 <?)<? + <?),

то связь (3.1) называется неинтегрируемой, или неголономной. Условия интегрируемости

уравнения связи (3.1) даются теоремой Фробениуса [3].

Существуют и другие определения неголономной связи. Так в [4] дано следующее определение: связь, не выражаемая уравнением (1.1), называется неголономной. Такое определение представляется менее удобным, поскольку неголономными приходится считать неудерживающие связи (2.1), сервосвязи и пр. Оно становится более удобным при анализе аксиоматических проблем механики, лучше согласуясь с исчислением предикатов.

Заметим, что уравнение (3.1) является линейным по скоростям. Корректных примеров нелинейных идеальных кинематических связей не известно.

4. Неудерживающая кинематическая связь

Напрашивается по аналогии с (2.1) определение ограничения, накладываемого на систему такой связью в виде следующего неравенства [5, 6]:

/(ь,д,д) > о, (4.1)

Такое определение является формально допустимым, однако, на самом деле оно неудачно. Примеров таких связей нет ни в технике, ни в научной литературе. Между тем реальные неудерживающие кинематические связи очень распространены. В [2] такие связи определяются следующим образом. Кинематическая связь/(Ь, д, д) = 0 называется неудерживающей, или односторонней, если она имеет место только при дополнительном условии, накладываемом помимо фазовых переменных еще и на ускорения: Е(Ь,д,д,д) ^ 0. Связь снимается, если это условие не выполнено.

Примером системы с такой связью является качение весомого шара по горизонтальной плоскости с сухим трением (рис. 1). Проскальзывание в точке контакта будет отсутствовать, если горизонтальная реакция не превосходит силы трения трогания: Уо = 0 при условии

/К — \т\ ^ 0, где Уо — скорость находящейся в контакте с плоскостью точки шара, f — коэффициент сухого трения, N — нормальная составляющая реакции в точке контакта, т — горизонтальная составляющая реакции (т. е. вектор реакции лежит внутри конуса трения). Сама реакция зависит не только от времени, координат и скоростей, но также и от ускорений.

Сформулированное определение неудерживающей кинематической связи нуждается в уточнении. В приведенном выше примере с шаром условие отсутствия проскальзывания в точке контакта с плоскостью обеспечивается силами сухого трения. То есть предполагается, что закон сухого трения Кулона может быть применен для точечного контакта и при возможном наличии верчения вокруг нормали в точке контакта, т. е. для условий далеко выходящих за пределы тех условий, в которых закон Кулона был установлен.

Между тем в [7] в результате более точного анализа, с отказом от точечного контакта и заменой его круговым, с последующим применением закона Кулона в дифференциальной форме и интегрированием элемента силы сухого трения, было показано, что при наличии сколь угодно малого верчения обеспечить отсутствие проскальзывания силами сухого трения невозможно. Более того, задача о качении тяжелого шара по горизонтальной плоскости с сухим трением оказалась некорректной в смысле Адамара. Например, при сколь угодно малой площадке контакта, радиус которой е = 0, время проскальзывания Т\£=о ~ 32тиоК2/15п^ое2 отличается сколь угодно сильно от времени проскальзывания в случае точечного контакта Т|£=о = 2ш^о/7^о, (рис. 2). В этих выражениях т — масса шара, К — его радиус, По,Уо — начальная угловая скорость верчения и начальная скорость проскальзывания в точке контакта, — сила трения трогания в законе Кулона.

В [7] задача о качении шара рассматривалась качественно. Было использовано упрощающее предположение о равномерном распределении нормальных напряжений в пятне контакта.

В [8-10] вопрос о том, в какой форме следует использовать закон сухого трения при контакте движущихся относительно друг друга упругих тел, рассмотрен более детально.

В [8] используя теорию контактных напряжений Герца и закон сухого трения Кулона в дифференциальной форме, получено выражение для главного вектора касательных сил в области контакта в виде двукратного интеграла. Правда, этот интеграл был неосторожно объявлен неберущимся в элементарных функциях. Такое же утверждение можно увидеть

В [9] кроме главного вектора вычислен также и главный момент. При этом в отличие от [8] оба двукратных интеграла найдены в элементарных функциях.

В [9] интегральные выражения для силы трения и момента трения были представлены равномерно сходящимися во всей области изменения переменных и и V (модули угловой скорости верчения и линейной скорости скольжения) разложениями Паде. В частности, для силы сухого трения было получено выражение

переходящее в обычный закон Кулона при и = 0. Переменные и и V имеют одинаковую размерность поскольку и = еП, где через е обозначен радиус пятна контакта, а П — «физическая» угловая скорость верчения. На это выражение можно смотреть, как на обобщение одномерного закона на двумерный случай, вытекающее из эксперимента, в котором кроме традиционного прямолинейного скольжения имеется и верчение. Недавно такие эксперименты были выполнены в МФТИ [12]. Графический вид зависимости силы трения от скорости скольжения, совпадающий во всех трех случаях: в точном интегральном представлении, в первом приближении разложений Паде (4.2) и в эксперименте представлен на рис. 3.

Из этого графика и из формулы (4.2) видно, что характерный для одномерного сухого трения порог, определяемый величиной силы трения трогания, в общем случае отсутствует. Какой бы малой ни была угловая скорость верчения и, график начинается в нуле, так что силами сухого трения обеспечить отсутствие проскальзывания (неголономное условие) можно только при дополнительном ограничении П = 0 (и = 0).

Таким образом, в приведенном выше примере с шаром, иллюстрирующим понятие неудерживающей неголономной связи, условие принадлежности реакции связи конусу трения необходимо сопроводить еще одним условием: П = 0. Полное определение неудерживающей неголономной связи должно быть таким: неголономная связь /(Ь, д,д) = 0 называ-

и в [6].

V + (87г/3)и

(4.2)

V + (8/37г)м

V

Рис. 3.

ется неудерживающей, если она сохраняется при условии Е(Ь,д,д,д) ^ 0 на многообразии С(Ь,д,д) = 0.

Как уже отмечалось выше, пример неудерживающей неголономной связи в виде катящегося по горизонтальной плоскости шара, является некорректным. Для анализа решений некорректных задач можно применять метода Тихонова.

Так и сделано в [11], где было предположено, что круговое пятно контакта, имеет малый радиус е. Было показано, что при стремлении е ^ 0 ряд характеристик движения стремится к таким же для точечного контакта. К выполненному в этой работе анализу уместно сделать следующее замечание. Как показывает график на рис. 3, закон сухого трения при е ^ 0 стремится к одномерному закону Кулона, поскольку и и = еП ^ 0. Однако, необходимо иметь ввиду, что подобный предел не является равномерным по отношению к угловой скорости верчения П. Так что, каким бы малым ни взять е всегда найдется такое П, что отличие закона сухого трения от закона Кулона будет конечным. Поскольку это так, то и нет нужды ассоциировать приближение, доставляемое неголономным подходом с малостью площадки контакта. Тем более, что предел е ^ 0 [13] означает, что рассматривается не конкретная задача, а семейство задач (е — параметр семейства). Гораздо удобнее предел и ^ 0 связывать с условием П ^ 0. Такое оправдание неголономной постановки задачи вполне уместно, например, в задачах о мобильных роботах [14].

5. Бинарные связи

Некорретными в смысле Адамара могут быть и попытки реализации голономных связей (1.1). На рис. 4 изображен пример реализации движения материальной точки по плоской кривой. Шарик может двигаться по гладкой направляющей, осуществляющей заданную голономную связь. Если устремить к нулю размеры шарика, при сохранении его массы, размеры зазора между шариком и направляющей, а также и величину коэффициента сухого трения, то в пределе следует ожидать реализацию идеальной голономной связи вида (1.1), наложенной на материальную точку в плоскости. В технике подобные связи встречаются в разнообразных механизмах, в которых подвижные элементы движутся по направляющим.

При изучении статики и динамики таких систем могут возникнуть трудности, отмеченные в [15] (пример на стр. 57). Математически эти трудности связаны с тем, что указанный выше предельный переход по совокупности трех отмеченных параметров не существует. Физически это сводится к эффекту «заклинивания».

Динамика таких систем не может рассматриваться в предельном случае, поскольку соответствующего предела нет. Изучение же динамики в малой окрестности предельного случая и приводит к представлению о бинарных связях. Бинарные связи это две односторонние голономные связи, зависящие от малого параметра А, превращающиеся в един-

ственную связь, если А = О:

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие некорректности по Адамару бинарных связей и правила по которым следует работать с подобными объектами.

Пример. На рис. 5 изображен упругий невесомый стержень, нагруженный на правом конце грузом и вставленный с зазором А без трения левым концом в горизонтальную щель. У системы одна степень свободы, ее положение определяется координатой х.

Пусть А = 0. Требуется узнать, будет ли находится стержень с грузом в равновесии.

Решение. Воспользуемся двумя подходами. Первый подход условно назовем «Ньютон». В этом подходе исходим из уравнений равновесия. Поскольку сил трения в заделке нет, то горизонтальная компонента реакции связи равна нулю: Rx = 0, а результирующая вертикальная компонента уравновешивается весом P = mg. Стержень с грузом находится в безразличном положении равновесия: x = const.

Второй подход условно назовем «Лагранж». Вычислим потенциальную энергию системы, состоящую из энергии упругого деформирования стержня П1 = (mg)2x3/6EJ и из потенциальной энергии груза в поле сил тяжести: П2 = -(mg)2x3/3EJ. Полное выражение для потенциальной энергии системы получается таким П = П1 +П2 = —(mg)2x3/6EJ, где E — модуль Юнга, а J — момент инерции поперечного сечения стержня. Эта функция является строго монотонно убывающей функцией переменной x, стержень не может находиться в равновесии, на него со стороны заделки действует в положительном направлении выталкивающая сила Rx = —dn/dx = (mgx)2/2EJ. Противоречие.

Чтобы разобраться в противоречии рассмотрим в первом подходе («Ньютон») допредельную ситуацию, когда А = 0 (рис. 6). Реакция связи в угловой точке перпендикулярна поверхности стержня (трения нет), поэтому она содержит горизонтальную составляющую Rx(А). Устремляя А ^ 0, находим: lim Rx(А) = (mgx)2/2EJ, что в точности совпадает

с результатом, полученным во втором подходе («Лагранж»).

Рассмотрена задача статики для стержня с грузом. Точно такие же выводы получаются и при динамическом рассмотрении, когда, например, стержень с распределенной массой совершает изгибные колебания. Колеблющийся стержень будет выдавливаться из щели

тд

Рис. 5.

A^O

(д Ф 0)

с нулевым зазором под действием силы «волнового давления». Вычисление этой силы будет правильным только после перехода к пределу А ^ 0 в силовом подходе, или, исходя

из принципа Гамильтона.

Вопрос о существовании «волнового давления» был в истории предметом дискуссии.

В ней участвовали Максвелл, Релей, Бриллюэн, Зоммерфельд и др.

Список литературы

[1] Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматлит, 1961. 824с.

[2] Журавлёв В.Ф., Фуфаев Н.А. Механика систем с односторонними связями. М.: Наука, 1993. 240 с.

[3] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

[4] Голдстейт Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. 416 с.

[5] Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300с.

[6] Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 335 с.

[7] Фуфаев Н.А. Об идеализации поверхности соприкосновения в виде точечного контакта в задачах качения // ПММ, 1966, т. 30, №1, с. 67-72.

[8] Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии: Сб. научн. ст. / Г. Циглер (ред.). М.: Мир, 1967. С. 60-77.

[9] Журавлёв В. Ф. Момент трения вращающейся цапфы при движении по подвижному основанию // Вопросы оборонной техники, Сер. 9, 1969, вып. 2.

[10] Журавлёв В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ, 1998, т. 62,

№5, с. 762-767.

[11] Иванов А. П. Сравнение моделей трения в динамике шара на плоскости // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №4, с. 907-912.

[12] Киреенков А. А., Семендяев С. В., Филатов В. В. Экспериментальное исследование связанных моделей трения скольжения и верчения // МТТ, 2010, №6, с. 192-202.

[13] Козлов В. В. Замечание о сухом трении и неголономных связях // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 903-906.

[14] Белотелов И.Н., Мартыненко Ю.Г. Управление пространственным движением перевернутого маятника, установленного на колесной паре // МТТ, 2006, №6, с. 10-28.

[15] Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316с.

Notion of constraint in analytical mechanics

Viktor F. Zhuravlev

A.Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

pr. Vernadskogo 101, block 1, Moscow, 119526, Russia

zhurav@ipmnet.ru

A critical review of such notions as holonomic and non-holonomic, unilateral and binary constraints is given. The correctness of these models is considered.

Received February 7, 2012

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 4, pp. 853-860 (Russian)