ПОНЯТИЕ ПОПОЛНЕНИЯ В АБСТРАКТНЫХ КЛАССАХ СХОДИМОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

extractor // Proceedings of the Intern. Conf. on Multimedia, 2010. ACM.

7. Boersma P. Praat, a system for doing phonetics by computer. Glot international, 5(9/10), 2002.

8. Fareed Akthar, Caroline Hahne. Rapid Miner 5: Operator reference// Dortmund, 2012.

9. Hall M. [et al.]. The WEKA Data Mining Software: An Update, SIGKDD Explorations. 2009. Vol. 11, iss. 1.

10. Daridi F., Kharma N., Salik, J. Parameterless genetic algorithms: review and innovation // IEEE Canadian Review. 2004, (47).

ПОНЯТИЕ ПОПОЛНЕНИЯ В АБСТРАКТНЫХ КЛАССАХ СХОДИМОСТИ

Ловягин Юрий Никитич

доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики Санкт-Петербургского

Государственного университета, г. Санкт-Петербург.

CONCEPT REPLENISHMENT IN ABSTRACT CONVERGENCE CLASS

Lovyagin Yuri Nikitich, docent, candidat of mathematik, assistant professor, Saint Petersburg State University, Saint Petersburg.

АННОТАЦИЯ

Исследуется вопрос о необходимых и достаточных свойствах сходимости для существования пополнения. ABSTRACT

The question of the necessary and sufficient for the existence of convergence properties of replenishment. Ключевые слова: сходимость, полнота, пополнение. Keywords: convergence, completeness.

Все рассматриваемые в заметке понятия являются общепринятыми или обобщениями общепринятых.

Напомним, что направлением называется частично

упорядоченное множество А, в котором любые два элемента имеют общего последователя:

Ух е А У у е А Зz е Ах < z & у < z

Декартово произведение А хв двух направлений А и в считаем упорядоченным покоординатно:

Ц,А) <Ц, А)

а1<а1& А <А

тогда и только тогда, когда

чение в

менте

а

п х„ а е A

Если имеется две последовательности а и

yßße В

, то считаем, что обе они заданы на направлении

A х В

так, что

X

aß

= Х a' yaß = yß (ае A' ße В)

х„ а е A

если а последовательности класса

A^ A -- конфинальное поднаправление, то последовательность Уа Х(а, где i: A^ A -- каноническое вло-

77 lim у. = lim x„

жение, принадлежит классу s, при этом 7а а;

- если ® -- коммутативная ассоциативная обратимая бинарная операция на множестве X,

Ха УР eS

Zaß = Ха® УР

Ха.х еX,аеА,

Обобщенной последовательностью а( а ),

в дальнейшем просто последовательностью, называется функция, заданная на направлении и принимающая зна-

х, при этом Ха есть значение функции на эле-

Пусть X -- некоторое множество, S -- класс последовательностей в X. Пусть, далее, определена функция lim , заданная на S и принимающая значение в X. Функцию lim будем называть функцией сходимости, а её

lim xa xa

значение а - пределом последовательности а.

Класс S будем называть классом сходимости, если выполнены условия:

а х = x x es limx = x если для каждого a , то a и a ;

то

принадлежит классу lim Zaß = lim Ха Фlim У

последовательность при этом

Ф

vß.

если ^ -- коммутативная ассоциативная обратимая бинарная операция на множестве х, Ха е ^,

-- операция обратная к Ф и

Ф „ yaß= Х

= X ^ х

ß

то

aß и *aß , где ® -- нейтральный

yaße^ „ lim yaß = ®

элемент операции Ф .

если Р -- бинарное отношение на X, Ха ' ya е ^

„ Ха Р у а

рого

lim xaß = х если aß , то

а r у а при всех а e ^ таких, что для некото-

а0 e A а0 Р а, то lim xа Р Уа ;

lim (lim = x

ß , точнее, пусть

уß limXaß при фиксированном ß, тогда lim у ß = x

Принципом диагонали назовём следующее свой-

x„

ство последовательности

aß.

- если Хa Xaß при каждом фиксированном a и

lim xa — x ,

a , то существует конфинальное под-

ßa^ß lim Xaß — x

направление a такое, что aßa .

x

Последовательность a элементов абелевой группы X с выделенным классом сходимости ^ назо-

.. „ lim [xß- xa) — 0

вем фундаментальной, если v ß a .

Абелева группа X с выделенным классом сходимости ü называется полной, если для любой последова-

x„ е X

x„

, то существует единственное с точностью до изометрии пополнение группы.

Метризующей структурой назовём упорядоченную

абелеву группу Е с выделенным классом сходимости Н

Пусть М -- некоторое непустое множество, Е --

метризующая структура, Р'М ХМ ^ Е -- функция, обладающая свойствами:

Ра,Ь)> 0 ппа пга,Ь е¥.

^ у ' для всех ' :

1а, а

тельности а а тогда и только тогда, когда

является фундаментальной.

Теорема 1. В абелевой группе с классом сходимо-

н ха еН

сти н всякая последовательность а является фундаментальной.

Пополнением абелевой группы х с выделенным классом сходимости Н называется абелева группа У с выделенным классом сходимости ^ такая, что диаграмма

X ^ У

I I

х ^ коммутативна при любой полной абелевой

группе х' с выделенным классом сходимости Н'. Здесь стрелки означают мономорфизмы абелевых групп, сохраняющие сходимость.

Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 выполнен

р(а,а) = 0 для любого а еМ.

р(а,ь) = р(ь,а) для всех а,Ь еМ;

р(а, ь)<р(а, с)®р(с,ь) для всех а, Ь, с еМ .

Класс сходимости Н порождает класс метрической

н а е н

сходимости во множестве М по правилу: а Р

тогда и только тогда, когда для некоторого а е М

Ра,аа) еН а

а' . Элемент " назовём метрическим преде-

а„

лом последовательности a — plim aa

в обозначениях

принцип диагонали для каждой последовательности

x

Естественным образом определяется понятие метрической фундаментальности и метрической полноты, а также метрического пополнения.

Теорема 3. Для существования метрического пополнения необходимо и достаточно, чтобы сходимость в метризующей структуре удовлетворяла принципу диагонали.

aß

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОДПОРОГОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УЛЬТРАТОНКИХ

ТРАНЗИСТОРНЫХ НАНОСТРУКТУР

Масальский Николай Валерьевич

кандидат физ.-мат. Наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Научно-исследовательский институт системных исследований

SIMULATION OF SUBTHRESHOLD CHARACTERISTICS OF ULTRATHIN TRANSISTOR NANOSTRUCTURES Masalsky Nikolay Valeryevich, Ph.D, Scientific Research Institute for System Analysis

АННОТАЦИЯ

Обсуждается 2D математическая модель распределения подпорогового тока для ультратонких нанотран-зисторов со структурой «кремний на изоляторе» и «германий на изоляторе». Модель получена непосредственно из решения уравнений Пуассона и Шредингера. Из результатов моделирования следует, что уменьшение толщины структуры приводит к резкому ограничению подпорогового тока. При этом структуры «германий на изоляторе» характеризуются существенно более высоким уровнем подпорогового тока по сравнению с кремниевыми структурами.

ABSTRACT

The 2D mathematical model of distribution of subthreshold current for ultrathin nanotransistors with structure "silicon on insulator" and "germanium on insulator" is discussed. The model is received directly from the solution of Poisson and Schrödinger equations. Follows from results of simulation that reduction of thickness of structure leads to sharp restriction of subthreshold current. Thus structures "germanium on insulator" are characterized by significantly higher level of subthreshold current in comparison with silicon structures.

Ключевые слова: двухзатворный нанотранзистор; аналитическая модель; подпорогоый ток; кремний на изоляторе; германий на изоляторе

Keywords: double gate nanotransistor; analytical model; subthreshold current; silicon on isolator; germanium on an insulator