CC BY
6- если Хa Xaß при каждом фиксированном a и
lim xa — x ,
a , то существует конфинальное под-
ßa^ß lim Xaß — x
направление a такое, что aßa .
x
Последовательность a элементов абелевой группы X с выделенным классом сходимости ^ назо-
.. „ lim [xß- xa) — 0
вем фундаментальной, если v ß a .
Абелева группа X с выделенным классом сходимости ü называется полной, если для любой последова-
x„ е X
x„
, то существует единственное с точностью до изометрии пополнение группы.
Метризующей структурой назовём упорядоченную
абелеву группу Е с выделенным классом сходимости Н
Пусть М -- некоторое непустое множество, Е --
метризующая структура, Р'М ХМ ^ Е -- функция, обладающая свойствами:
Ра,Ь)> 0 ппа пга,Ь е¥.
^ у ' для всех ' :
1а, а
тельности а а тогда и только тогда, когда
является фундаментальной.
Теорема 1. В абелевой группе с классом сходимо-
н ха еН
сти н всякая последовательность а является фундаментальной.
Пополнением абелевой группы х с выделенным классом сходимости Н называется абелева группа У с выделенным классом сходимости ^ такая, что диаграмма
X ^ У
I I
х ^ коммутативна при любой полной абелевой
группе х' с выделенным классом сходимости Н'. Здесь стрелки означают мономорфизмы абелевых групп, сохраняющие сходимость.
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 выполнен
р(а,а) = 0 для любого а еМ.
р(а,ь) = р(ь,а) для всех а,Ь еМ;
р(а, ь)<р(а, с)®р(с,ь) для всех а, Ь, с еМ .
Класс сходимости Н порождает класс метрической
н а е н
сходимости во множестве М по правилу: а Р
тогда и только тогда, когда для некоторого а е М
Ра,аа) еН а
а' . Элемент " назовём метрическим преде-
а„
лом последовательности a — plim aa
в обозначениях
принцип диагонали для каждой последовательности
x
Естественным образом определяется понятие метрической фундаментальности и метрической полноты, а также метрического пополнения.
Теорема 3. Для существования метрического пополнения необходимо и достаточно, чтобы сходимость в метризующей структуре удовлетворяла принципу диагонали.
aß
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОДПОРОГОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УЛЬТРАТОНКИХ
ТРАНЗИСТОРНЫХ НАНОСТРУКТУР
Масальский Николай Валерьевич
кандидат физ.-мат. Наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Научно-исследовательский институт системных исследований
SIMULATION OF SUBTHRESHOLD CHARACTERISTICS OF ULTRATHIN TRANSISTOR NANOSTRUCTURES Masalsky Nikolay Valeryevich, Ph.D, Scientific Research Institute for System Analysis
АННОТАЦИЯ
Обсуждается 2D математическая модель распределения подпорогового тока для ультратонких нанотран-зисторов со структурой «кремний на изоляторе» и «германий на изоляторе». Модель получена непосредственно из решения уравнений Пуассона и Шредингера. Из результатов моделирования следует, что уменьшение толщины структуры приводит к резкому ограничению подпорогового тока. При этом структуры «германий на изоляторе» характеризуются существенно более высоким уровнем подпорогового тока по сравнению с кремниевыми структурами.
ABSTRACT
The 2D mathematical model of distribution of subthreshold current for ultrathin nanotransistors with structure "silicon on insulator" and "germanium on insulator" is discussed. The model is received directly from the solution of Poisson and Schrödinger equations. Follows from results of simulation that reduction of thickness of structure leads to sharp restriction of subthreshold current. Thus structures "germanium on insulator" are characterized by significantly higher level of subthreshold current in comparison with silicon structures.
Ключевые слова: двухзатворный нанотранзистор; аналитическая модель; подпорогоый ток; кремний на изоляторе; германий на изоляторе
Keywords: double gate nanotransistor; analytical model; subthreshold current; silicon on isolator; germanium on an insulator
Введение
Перспективные сценарии масштабирования полупроводниковых устройств, устанавливаемые International Technology Roadmap for Semiconductors (ITRS) [1], выдвигают на передний план исследований мультизатворные «кремний на изоляторе») транзисторные архитектуры со структурой «кремний на изоляторе», которые должны заменить классические объемные кремниевые КМОП транзисторы при переходе к будущим ультра малым топологическим нормам [1]. Такие архитектуры характеризуются возможностью использовать более толстый подзатвор-ный диэлектрик, превосходными коротко-канальными характеристиками, улучшением мобильности в нелегированной тонкой рабочей области и устранением случайных эффектов легирующей примеси в канале из-за высоколегированных областей стока и истока [2]. При этом задача точного моделирования характеристик ультра тонких транзисторов у границы области масштабирования усложняется в разы по сравнению с моделированием транзисторных структур даже с 65 нм топологическими нормами [3]. Точное моделирование исследуемого типа транзисторов требует самосогласованного решения уравнений Пуассона и Шредингера на основе, например, формализма неравновесных функций Грина, учитывающие в полной мере квантовые эффекты [4]. Но с точки зрения проектирования наноразмерных КМОП схем использование данного метода - это недопустимая роскошь и с точки зрения сложности и с точки зрения вычислительной стоимости [4]. Следовательно, необходим поиск новых методов и технологий для того, чтобы преодолевать эти ограничения.
Одной из ключевых характеристик двух затворных ультратонких КМОП транзисторов со структурой КНИ («кремний на изоляторе») является подпороговый ток [1]. Физика рассматриваемых устройств с параметрами близкими к границе области масштабирования отличается от классических КМОП транзисторов. Два основных механизма, которые определяют уровень подпорогового тока - это коротко-канальные эффекты (ККЭ) и эффекты размерного квантования (ЭРК). Для того, чтобы надлежащим
образом учесть как классические, так и квантовые эффекты необходимо самосогласованное решение уравнений Пуассона и Шредингера. В данной работе рассматривается новый подход 2D моделирования подпорогового тока двух затворных КНИ КМОП нанотранзисторов, основанный на аналитическом самосогласованном решении уравнений Пуассона и Шредингера. Кроме того, анализируемый класс транзисторов представляет новые вызовы аналитическому схемотехническому моделированию, связанному с баллистическим транспортом носителей [2, 5, 6].
1. Аналитическая модель
Обобщенная 2D аналитическая модель подпорогового тока для полностью обедненных двух затворных ультра тонких КНИ КМОП нанотранзисторов совмещает решение 2D уравнение Пуассона дополненное решением ^ уравнения Шредингера. Она учитывает как ККЭ так и ЭРК. Итоговое выражение для подпорогового тока транзистора в режиме слабой инверсии может быть записано
так:
- qUds
I
jukT(1 - e kT )
sub l
J
0
dy
s
J nc (x, y)dx
-ts /2
M-,
(1)
где q - заряд электрона, " - подвижность носителей, Lg -t.
длина затвора,
толщина рабочей области транзистора, Т - температура, к - константа Больцмана, и 1 -напряжение сток-исток, функция пс(х, у) в интеграле представляет распределение эффективной концентрации носителей по всему объему рабочей области: ду( х. у)
пс (х. у) = п?м (х)е 2кт
Распределение потенциала в рабочей области транзистора подчиняется выражению:
V( X У) = (
(ubl+12A,)(e ' -1)-Uds
-e ' +-
(ubl +12A,)(e ' -1)-Ud
■e' -12Af)
e l - e '
с
e ' - e '
f „2
(1 + -■-) + x^-[-Uf + UfB]н fx
l2 Es f 2
(2)
l = t„
C
(1 + 2 ) C'
Cf Cf 2(1 + + ) CC
C
N Cf (1 + -b-)(Uf - UFb ) + Cb (Ub - Kb ) Af = ^ - 2-C '
E
где 1 * ¡> - характеристическая длина, диэлектрическая рабочей области, NA - концентрация ле-
KC + 2Cs) гирования рабочей области,
C
C.
сти,
Jf
(3)
емкость рабочей обла-
- емкость фронтального затвора, b - емкость
обратного затвора,
t
f
толщина подзатворного диэлектрика фронтального затвора, tb - толщина подзатворного
L
L
g
g
У
У
L
L
L
L
g
g
g
g
2
и
E
S
и,
напряжение на
диэлектрика обратного затвора, фронтальном затворе, иь- напряжение на обратном за-
и
творе,
еь,
напряжение плоских зон фронтальном за-
иы
творе, ы - встроенная разность потенциалов.
^ распределение эффективной концентрации носителей с учетом зонной структуры [7]:
кТ ,2 «Г (х) = е 2кткТ £ gm*e кт (х) т -
(4)
I |2 2
(х) - -
'г
81П(
х + )
(5)
где Eg - ширина запрещенной зоны, h - постоянная
Е„ =
-2 А2
8т 2' 2
,ам
(х),
ременных. Концентрация носителей 1 ' вычислена исходя из плотности состояний и вероятности размещения на основе ^ решения волнового уравнения. Волновая функция Ф(х) и энергия собственных значений Eij получены из решения уравнения Шредингера, в предположении, что носители ограничены в бесконечной потенциальной яме ширины [7].
Подвижность носителей в КНИ нанотранзисторах является функцией электрического поля в его рабочей области. При этом считают независимое факторизованное разделение поля вдоль оси у и вдоль оси x на продольную и
и = и(Е )и(Е ) поперечную компоненты [8]. у , где
и(Е ), и(Е )
х у - зависимости подвижности как функ-
ции напряженности поперечного и продольного полей соответственно. Следует отметить, что учет распределения поля в модели подвижности основан на экспериментальных данных и является эмпирическим. Тогда выражение
и( Ех) =
и
1 I
ох
и(Е )
для г 4 х/ имеет вид ох , где цо
значение подвижности в области малых полей, ЭЕ - коэффициент деградации подвижности, выбираемый из усло-
вий эксперимента. Выражение для
и( Еу)
Ц(Еу) =
и(Ех )Ес _ 2^и(Ех )Ь
Ес + Еу 2уш,1 + ц( Ех )и
<8
,где
Е = ^
Цх - напряженность критического поля, убэ! - дрейфовая скорость насыщения. Анализ данного выражения показывает, что подвижность носителей ограничена величиной иЦЕх) при нулевом смещении транзистора. Для случая больших продольных полей подвижность нано-
Планка, т* - эффективная масса, Ец - "'"1 ^ - энергия собственных значений (здесь, индекс i представляет долину (продольный или поперечный), и j - индекс поддиапазона).
2D потенциал х'у) в рабочей области получен из решения уравнения Пуассона методом разделения пе-
транзистора стремится к величине и< , то есть не зависит от поперечного поля.
2. Результаты моделирования
Результаты моделирования, выполненные по представленной выше модели, помогают проанализировать тенденции изменения подпоргового тока (или тока утечки) при масштабировании топологических параметров в соответствии с ITSR2014 [1] и использовании различных материалов рабочей области. На рис. 1 и 2 показаны обобщенные характеристики прототипа с длиной канала = 15 нм, толщиной подзатворного диэлектрика tf = 0.7 нм и пониженном напряжении питания Udd для транзисторных структур КНИ и «германий на изоляторе», соответственно.
Следует отметить, что прямая зависимость подпо-рогового тока от смещения на контактах или от топологических параметров имеет в общем случае не монотонный характер. Вклад диффузных и туннельных токов существенно может меняться в рамках одного образца. Что в свою очередь отражается на таком ключевом параметре как пороговое напряжение. Поэтому мы представляем результаты, где такие корректировки учтены, при этом, исключая из анализа ряд других механизмов утечки, например, туннельный ток затвора.
Германий - материал с узкой запрещенной зоной, поэтому транзисторы на его основе имеют чрезвычайно большой ток утечки выше, чем 0.1 мкА/мкм в отличии от кремневых структур (рис. 1). Однако, если технология позволяет снизить толщину рабочей области меньше 4 нм, возможно ограничить ^иЬ ниже 0.1мкА/мкм. Масштабирование параметра 8 улучшает производительность устройства, подавляя ККЭ и уменьшая вклад туннельных токов утечки. Как следует из результатов моделирования, уровень 1БиЬ в структурах на германии может быть снижен
до 1000 раз при масштабировании до 3 нм (рис. 2), из-за увеличенной запрещенной зоны квантованием поддиапазонов [9]. Так при масштабировании , ток насыщения увеличивается в 2.5 раза, но одновременно электроны становятся более тяжелыми, что может привести к потере преимущества по сравнению с кремнием.
имеет вид
и
2
Рис. 1. Зависимость ^иЬ: левый - от толщины tS при Udd=0.5 В, правый - от Udd при
Рис. 2. Зависимость ^иЬ: левый - от Udd при tS=5 нм, правый - от толщины tS при Udd=0.5 В
Масштабирование Udd приводит к положительным результатам для обоих исследуемых материалов т.к. оно существенно снижает вклад туннельных токов в утечку (рис. 1 и рис. 2) посредством уменьшения максимального электрического поля в рабочей области, что также уменьшает энергию переключения. Это приведет к тому, что структуры на германии при напряжении питания Udd=0.5 В будут обеспечивать более высокий ток Ion, чем кремниевые при Udd=0.7 В. Следовательно, транзистор на германии будет использовать в идеальном случае только
, мкА/мкм
1
10 -
lir-
io-
чуть больше половины активной энергии, расходуемой транзистором на Si. Однако, возможные большие пороговые напряжения для некоторых структур на германии [10] препятствуют тому, чтобы Udd масштабировался ниже 0.4 В где они начинают управлять меньшими токами, чем в кремнии.
На рис. 3 иллюстрирует изменение подпорогового тока при масштабировании длины затвора КНИ транзисторных структур.
4J L ММ
Vk
И
12 13 14 15 16 L„ нм
Рис. 3. Зависимость Isub(Lg) для разных ts при tf = 1 нм, Udd =0.8 В, где 1- ts =5 нм, 2- ts =4 нм, 3- ts =3 нм
Теоретически масштабирование параметра Lg улучшает быстродействие электронных устройств. Однако, результаты моделирования предупреждают о негативных последствиях, связанных с резким возрастанием подпорогового тока. Ситуация на границе области масштабирования для КНИ при = 11 нм соответствует случаю структур германий на изоляторе, где ограничить данный ток можно только для ниже 4 нм. И если для кремния хорошо исследованы изменения зонной структуры, то зонные структуры ультра коротких транзисторов германий на изоляторе, в частности, отклонение ее от параболического профиля [10], требуют более детального изучения, с использованием атомистического моделирования.
Заключение
В работе представлена 2Э математическая модель распределения подпогогового тока для ультратонких двух затворных КМОП транзисторов со структурой «кремний на изоляторе» и «германий на изоляторе». Модель получена непосредственно из решения уравнений Пуассона и Шредингера и объединяет коротко-канальные и квантовые эффекты, квазибаллистический транспорт носителей и зонную структуру материала рабочей области транзистора. Результаты моделирования выбранной транзисторной архитектуры с различными материалами рабочей области (кремний и германий) предсказывают, что масштабирование по толщине рабочей области приводит к резкому (на несколько порядков) ограничению подпо-рогового тока. Структуры на германии характеризуется существенно более высоким уровнем подпорогового тока по сравнению с кремниевыми структурами. Масштабирование по длине затвора приводит к резкому возрастанию уровня подпорогового тока, что ограничивает масштабируемость транзисторных структур. На границе области масштабирования толщина рабочей области не может превышать 4 нм.
Литература
1. International Technology Roadmap for Semicon-ductors2014 - Режим доступа: http://public.itrs.net
2. Chau R. Advanced depleted-substrate transistors: single-gate, double-gate and tri-gate // Intl. Conf. on Solid State Devices and Materials, Nagoya, Japan. -
2002. - P. 68-69
3. 3.Hisamotol D. FinFET - a self-aligned double-gate MOSFET scalable to 20nm // IEEE Trans. Electron Devices.-2000.-12(47). - P. 2320-2325
4. Ren Z., Venugopal R., Goasguen S. NanoMOS 2.5: a MOSFETs // IEEE Trans Electron Devices.-2003.- № 6(50). - P. 1914-1920
5. Aniket A., Breed D., Kenneth P., Roenker G. Comparison of the scaling characteristics of nanoscale SOI N-channel multiple-gate MOSFETs // Analog Integr Circ. Sig. Process.-2008.- № 1(56). - P. 135-141
6. Масальский Н. В. Оптимизация параметров двух затворных суб- 20 нм КНИ КМОП транзисторов с архитектурой «без перекрытия» // Микроэлектроника.-2012.- № 1(41). - С. 57-64
7. Trivedi V. P., Fossum J. G. Quantum-mechanicaleffects on the threshold voltage of undoped double-gate MOSFETs // IEEE Electron Device Lett.- 2005.- № 8(26).- P. 579-582
8. Esseni D., Mastrapasqua M., Celler G K., Fiegna C., Selmi L., Sangiorgi E. An experimental study of mobility enhancement in ultrathin SOI transistors operated in double-gate mode // IEEE Trans. Electron Devices.-
2003. - № 3(50). - P. 802-810
9. Munteanu D., Autran J. L., Loussier X. Quantum short channel compact modeling of drain current in doublegate MOSFET // Solid-State Electron.-2006. - № 3(50). - P. 680-688
10. Масальский Н.В. Моделирование распределения потенциала в рабочей области полевого транзистора со структурой «германий на изоляторе»: Аналитическая модель и ее приложения // Программные продукты и системы. - 2014. -№ 4. -C. 17-24
ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДОВЫХ СТРУКТУР
Никольский Георгий Юрьевич
Инженер ЦНИИ РТК, г. Санкт-Петербург
THE ENEGY IN THE CHARGE STRUCTURES Nikolskiy Georgiy, Engineer CSIIRTC, Sanct-Peterburg АННОТАЦИЯ
К раскрытию тайн темной и светлой материи - энергии приводит новая интерпретация реакции образования электрон-позитронной пары. Динамическая структура из трех зарядов «скрепляет» электрон. Нейтринные диполи «просветляют» энергию эфира. Постоянная тонкой структуры связывает энергетические потенциалы нейтрино, электрона, протона.
Ключевые слова: заряды; нейтрино; структура; электрон. ABSTRACT
Disclosure of the mysteries of dark and bright matter - energy leads to a new interpretation of the reactions of formation of electron-positron pairs. The dynamic structure of the three charges "binds" electron. Neutrino dipoles illuminate the energy of ether. The fine-structure constant relates the energy potentials neutrino, electron, proton. Keywords: charges; electron; neutrino; structure.
1. Неизвестное нейтрино и все остальное.
Ключевая роль нейтрино в целом ряде взаимодействий элементарных частиц и, в частности, генерации солнечный энергии, привлекают к этим процессам постоян-
ный интерес физиков. Еще в 30-е годы прошлого века выяснилось, в реакциях распада радиоактивных изотопов, кто-то неизвестный уносит с собой не малую часть энергии. Этот неизвестный получил со временем красивое ита-
