Понятие клеточного подфунктора ковариантного функтора в категории Comp Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 8, 2001

УДК 515.12

ПОНЯТИЕ КЛЕТОЧНОГО ПОДФУНКТОРА КОВАРИАНТНОГО ФУНКТОРА В КАТЕГОРИИ СОМР

в категории Сотр.

В статье рассматриваются ковариантные функторы, действующие в категории Сотр. Напомним некоторые основные определения (см., например, [5]).

Функтор ^ сохраняет точку, если он переводит одноточечное пространство в одноточечное.

Функтор ^ называется непрерывным в смысле Щепина, если

для всякого спектра *5.

Пусть і а : А —у X — тождественное вложение замкнутого подпространства. Через Рх{А) обозначается образ отображения Функтор і*1 сохраняет пересечения, если для любого бикомпакта X и любого семейства {Аа} замкнутых подмножеств X имеет место

Н. Ю. Светова

В статье вводится понятие клеточного подфунктора. Получены примеры клеточных подфункторов. Доказано, что пространство замкнутых подмножеств клеточно вложимо в Х(Х и {р}). На основе полученных результатов установлено равенство с(Р(Х)) = с(Хш) для ковариантных функторов АГк, А и (7

F(limS) =lim F(S)

© Н. Ю. Светова, 2001

Для непрерывного функтора Р для сохранения пересечения достаточно выполнение равенства

Рх (Аг П А2) = {Рх(А1)} П {РХ(А2)}.

Функтор Р называется мономорфным, если для любого взаимно однозначного отображения / отображение ^(/) также взаимно однозначно.

Непрерывный, мономорфный функтор, сохраняющий точку, пустое множество и пересечения, называется полунормалъным.

Функтор Г сохраняет прообразы, если для любого отображения / : X —У У и любого А С У

т)г1рУ(А) = рх(г1А).

Функтор Р называется эпиморфным, если он сохраняет эпиморфизмы.

Функтор Р сохраняет вес, если для любого бесконечного X 1п(Х) = ы(Р(Х)).

Полунормальный функтор называется почти нормальным, если он сохраняет прообразы и вес бесконечных бикомпактов. Почти нормальный эпиморфный функтор называется нормальным.

Если Р — мономорфный функтор, то для любой точки £ Е Р(Х) определен носитель зирр(^) следующим образом:

виРР(0 — Г\{А С X : А замкнутой!; Е Рх(А)}.

Приведем определение и свойства функтора Мк (к > 2). Пусть дан бикомпакт X. Система £ замкнутых подмножеств пространства X называется к-сцепленной, если любые к элементов из £ пересекаются. к-сцепленную систему при к = 2 будем называть сцепленной системой. Система £ называется полной, если для каждого замкнутого множества ^ С X условие:

“любая окрестность ОР содержит множество Ф Е влечет Р Е £.

На множестве J\fk(X) всех полных к-сцепленных систем (П&СС) определяется топология, открытую базу которой образуют множества вида

0(Uu...,Un)(Vi,...,Vm) = {ÇeATkX: Vi = l,...,n 3Ft £ Ç :

FiCUi Ф П У,0 Vj = 1,..., то},

где C/i,..., Un, Vi,..., Ут — непустые открытые подмножества X. В случае к = 2 пространство Af2(X) будем называть пространством полных сцепленных систем (ПСС) и использовать обозначение J\f{X). В [2] показано, что пространства Мк{Х) являются бикомпактами.

Пусть £ — к-сцепленная система, — пополнение £, которое опре-

деляется следующим образом:

^ = £ и {F : MOF ЗФ G £ : Ф С OF}.

Известно, что пополнение всякой к-сцепленной системы £ является ПкСС (см. [2]).

Пусть отображение / : X —> Y непрерывно. Отображение Nf : J\fX —у J\ÎY определяется следующим образом: любой ПСС £ G J\TX поставим в соответствие пополнение сцепленной системы /(£) = {f F : F G (если / является отображением “на”, то сцепленная система /(£) будет полной, но в общем случае необходимо взять пополнение). Для любого непрерывного / : X —у Y отображение

ЛГк/ : ЯкХ J\fkY

определяется в [2] как

j\fkf = М f\^fkX.

Функтор Мк является ковариантным в категории Сотр. В случае, когда к = 2, пространство ИкСС совпадает с ПСС. Так как существует вложение г : J\fk —У N, то J\fk является подфунктором функтора М. В дальнейшем будем рассматривать функтор J\ik, где к > 2. Очевидно, что Мк сохраняет точку и пустое множество.

Легко показать, что функтор Мк является полу нормальным, эпи-морфным функтором в категории Сотр, который сохраняет вес и не сохраняет прообразы.

Пусть X, Y — бикомпакты и Y С X.

Семейство u = {Ua,a G А} называется клеточным семейством в X, если каждое Ua является непустым открытым подмножеством X и Ua П U¡з = 0 для различных a и /3.

Если для клеточного семейства и = {Ua, a Е А} в Y найдется клеточное семейство и — {Ua,a Е А} в X такое, что Ua П Y = Ua для каждого a Е А, то в этом случае назовем семейство й клеточным продолжением семейства и в X. Если для любого клеточного семейства в Y существует клеточное продолжение в X, то пространство Y клеточно вложено в X.

Поскольку клеточность пространства не монотонна по замкнутым подмножествам (см. [6]), то существуют примеры бикомпактов Y С X, где Y не клеточно вложено в X.

Назовем подфунктор F функтора G клеточным, если для любого X пространство F(X) клеточно вложено в G(X).

Лемма 1. Пусть семейство a — {Ua,a Е А} — база пространства F(X) и для каждого Ua определено открытое продолжение Ua в G(X). Если из условия: любые два множества из и не пересекаются — следует, что продолжения этих множеств тоже не пересекаются, то пространство F(X) клеточно вложено в G(X).

Доказательство. Пусть {W7 : 7 Е Г} — произвольное клеточное семейство множеств в F(X). Множество W1 для любого 7 Е Г представимо в виде W7 = UU2, где U2 Е ст. Для каждого W1 определим открытое продолжение W1 = UU2- Легко видеть, что семейство {Wj : 7 G Г} клеточное и, по определению, F(X) клеточно вложено в G(X). □

ТЕОРЕМА 1. Функтор ехр является клеточным подфунктором функтора Mk.

Доказательство. Для всякого бикомпакта X определено вложение fx : ехр(Х) —у J\ik{X) по формуле fx(F) = {F}f. Если задано непрерывное отображение g : X —у У, то /у о exp(g) = J\fk(g) о fx и ехр — подфунктор функтора J\ik.

Открытую базу в ехр(Х) образуют множества

п

0(VVn) = {F G exp(X) : F с jj Ц uF П Ц ф 0 Vi = 1,... ,n}.

Пусть u = {Ua,a E A} — базисное семейство в пространстве ехр(Х), для каждого a Е А

Ua = 0(V1,...,К).

Рассмотрим семейство открытых множеств и — {иа,а Е А}, где IIа возьмем из базы пространства Мк(Х)\

иа = о(^(VI, Уп).

Покажем, что для каждого а Е А множество IIа является продолжением 11а в Мк{Х)\

Uanexр(Х) = {£ е NkX : 3F £ £ : F С (J Vu \/Ф £ £ ФП^ ф

i= 1

п

V* = 1,..., п } П {{-F}/ : F G ехр(Х)} = {F £ ехр(Х) : F С (J Ц,

i— 1

Здесь пространство ехр(Х) отождествляем с его образом в Л1к(Х) при отображении $х-

Пусть 11\ = 0(уи ... Ута), и2 = 0(УГ1, ... ад и ^ ГШ2 = 0.

Предложение 1. Если О(Уь ... ,К)ПО(^1, ... Т^т) = 0, тогда либо

найдется индекс го, для которого выполнено

^оП^О^=0, (1)

либо найдется индекс такой, что

(О^)П^о=0- (2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим обратное. Допустим, что для каждого г

((Ь)

и для каждого ^

Построим множество ^ следующим образом: для любого г = 1, ..., п найдется точка

Легко видеть, что F является замкнутым непустым множеством; причем F С UVi и Vz = 1, ..., п F П Vi ф 0, в то же время F С UWj и Vj = 1, ..., m F П Wj / 0. Тогда F одновременно находится и в Ua и в С//з, что исходя из клеточности семейства и в ехр(Х) недопустимо. Тем самым мы доказали предположение о существовании индекса ¿о или индекса jo с условиями (1) и (2) соответственно. □

Продолжим доказательство теоремы.

Проверим, будут ли дискретными продолжения множеств Ui И С/2. Допустим, что C/ijH С/2 /J5, т. е. найдется такая ПкСС £сь которая одновременно из C/l и из С/2.

В предложении 1 было показано, что обязательно найдется, по крайней мере, одно множество Т^0, удовлетворяющее (1), или множество Wj0, удовлетворяющее (2). По определению системы £о существует замкнутое множество F' G £о:

и для любого j = 1, ..., ш найдется точка

Положим

F — {з?1, . . . , жп, 2/1, . . . , Ут\•

п

и существует замкнутое множество F" G £о:

т

и v* = 1

i=i

Тогда

или

0= (^(jV^nWj0DF'nWj0^4).

Получили противоречие. Следовательно, такой UkCC £о не существует и Ui П U2 — 0- Из леммы вытекает, что ехр(Х) клеточно вложено в Мк(Х). Поскольку последнее утверждение справедливо для любого бикомпакта X, то ехр — клеточный подфунктор функтора J\ík. □

Следствие 1. c(Áík(X)) = с(Хш).

Доказательство. Поскольку J\Tk полунормальный эпиморфный функтор, сохраняющий вес, то из [6] вытекает

с{Мк{Х)) < с(Г). (3)

Из теоремы 1 следует клеточная вложимость пространства ехр(Х) в Aík(X), поэтому

с{Мк{Х)) > с(ехр(Х)) = с(Хш). (4)

Учитывая (3) и (4), получим

c(Afk(X)) = с(Хш). □

При к = 2 из следствия 1 непосредственно вытекает

Следствие 2. с(ЛГ(Х)) = с(Хш).

Рассмотрим пространство замкнутых гиперпространств включения [3]. Напомним, что семейство замкнутых множеств £ называется гиперпространством включения, если условие F D М G £ влечет F G £. На множестве G(X) замкнутых в ехр(Х) гиперпространств включения определяется топология, порожденная базой, состоящей из множеств вида

0(U! ,...,£/n)(Vi,...,ym) = {£G G(X) : Vi = 1,..., п IFieÇ'.FiCUi и Vj = 1,..., m, УФ G £ Ф П У,- / 0},

где С/1,..., Е/n, Vi,..., Vm — непустые открытые подмножества бикомпакта X.

Пусть теперь / : X —У Y — непрерывное отображение. Для всякого гиперпространства включения £ G G(X) ставится в соответствие

пополнение системы /(£) = f{F : ^ Е £), которое, очевидно, является гиперпространством включения в О (У). Возникает отображение С/ : С(Х) —У О (У), которое непрерывно, так как

Таким образом, строится ковариантный функтор G в категории Сотр. Не представляет труда показать, что G — полу нормальный, эпи-морфный функтор, сохраняющий вес.

Функтор ехр является подфунктором функтора гиперпространств включения G в силу существования естественного преобразования Ф = {fx : ехр(Х) —у G(X)}, где для любого бикомпакта X отображение fx является вложением и определяется следующим образом: каждому замкнутому F из X ставится в соответствие гиперпространство включения

Доказательство того, что ехр есть клеточный подфунктор функтора G, почти дословно повторяет доказательство теоремы 1, только вместо открытого продолжения базисного семейства и — {Ua,a Е А} из пространства замкнутых множеств ехр(Х) следует положить семейство й, образованное открытыми множествами:

взятыми из базы пространства С(Х).

Как следствие доказанного утверждения получим равенство

Суперрасширением пространства X называется множество А(Х) максимальных сцепленных систем (МСС) замкнутых подмножеств пространства X с топологией, открытую базу которой образуют множества вида:

Операция А является ковариантным функтором в категории Сотр (см. [5]). Функтор максимальных сцепленных систем А является клеточным подфунктором ЛЛ Действительно, А(Х) вложимо в М(Х)

G~10(U1,...,Un)(V1,...,Vm) =

0(f-'UuГ1ип){Г1У1,..., r'Vm).

£р = {Фе ехр(Х) : F С Ф}.

c(G(X)) = с(Хш).

0(Ui, ■ ..,[/■„) = {£ G А(Х) : V* = 1,..., n 3Fi £ £ : Ft С Щ).

для каждого бикомпакта X. Если в качестве канонического продолжения клеточного семейства и = {11а,а Е А} из А(Х), где 11а = О (VI, ... Уп), взять семейство и — {11а,а Е А}, состоящее из множеств иа = 0(^1, ... УП)(Х), выбранных из базы пространстваМ(Х), то нетрудно показать, что и есть клеточное открытое продолжение и.

Рассмотрим теперь пространство X и {р}, где {р} 0 X. Определим отображение i : ехр(Х) —у А(Х и {р}) так: каждому замкнутому множеству Г С X поставим в соответствие пополнение системы

^ = {{р,г}:геГ}.

Предложение 2. Система (£р)/ является МСС.

Доказательство. Очевидно, система (£р)^ — сцепленная. Покажем максимальность сцепленной системы. Пусть дано замкнутое множество ]У из X и {р} и выполнено условие: множество 1'V пересекается с каждым множеством из (£р)^- Проверим, что Е (£р)^- Поскольку 1У пересекается с каждым множеством из пополнения то оно пересекается и с каждым множеством из самой системы Тогда возможны два случая:

1) р Е \¥ и существует точка Е \¥ П ^ / 0. Таким образом, {р, г0} С IV, но {р, г0} С Следовательно, ]¥ Е (£р)/5

2) р 0 1/Г, тогда для каждого г ^ Г точка 2; Е \У. Значит, ^ С \¥ и получаем, что Е (£р)/- В силу предложения 4.8 из [5] система (Ы/ — МСС. □

Предложение 3. Отображение г является вложением.

Доказательство. Достаточно доказать непрерывность и взаимную однозначность отображения %.

Непрерывность. Пусть ... ,УП — открытые множества в X и {р} и 0(\1,..., Уп) — открытое базисное множество в А(Х и {р}), и пусть р Е VI,..., Ук, р 0 14+1,..., К- Положим С/ = 14+1 П ... П Уп, в случае к — п положим \] — X. Введем обозначение У/ = П II. Прообраз

Г^ОКь ..., уп) = Г1 ({(&■), е Х(Х и {р}) : V* = 1

ЗФ< €(&■),: ФгСУь ^ С X}) = е ехр(Х) : У* = 1,...,Л

является открытым базисным множеством в ехр(Х).

Взаимная однозначность. Пусть Г\,Г2 Е ехр(Х) и г(^) = г(^). По определению отображения г: = (€F1)f, *(^2) = (£р2)/- Если

2(^1) = ¿(^2), то = £р2. А это возможно лишь в случае, когда = ^2- О

Теорема 2. Пространство ехр(Х) клеточно вложено в Х(Х и {р}).

Доказательство. Пусть дано базисное семейство и = {иа : а е А} в ехр(Х), где иа = О(VI, ..., Уп) для любого а из А.

Определим и — {иа,а Е А} — семейство открытых множеств в А(1 и {р}): в качестве С/а возьмем множества

п

иа = 0(и Ц, V1 и {р},..., уп и Ы)

г=1

из базы А(Хи{р}), VI, ..., Уп открыты в X и определены выше. Легко видеть, что 11 а является открытым продолжением иа для любого а Е А.

Пусть два множества из и не пересекаются: С/1 = О(VI, ... Уп), С/2 = 0(\У\, ... Шгп) и С/1 П С/2 = 0. Докажем, что не пересекаются продолжения С/1 и С/2. Допустим обратное. Тогда найдется МСС £сь для которой выполнены условия £о Е С/1 и £о Е С/2. В этом случае

п

е & : ^ С и V; и V* = 1,... ,п 3# е £0 : Я с V; и Ы

г=1

И

га

3^"е£0: ^"С иИ>Ч? = 1,...,тЗФ,е£о: Ф,-С и {р}.

3 =1

Из предложения 1 следует, что если существует го:

ЧТО противоречит сцепленности системы £о- Аналогично получим противоречие и в случае, когда существует индекс ^‘о:

([>) =0-Следовательно, такой МСС £о не существует и С/1 и С/2 = 0. Из леммы вытекает, что пространство ехр(Х) клеточно вложено в А(Хи{р}). □

Теорема 3. Для функтора А имеет место равенство

с(А(Х)) = с(Х"). (5)

Доказательство. Так как функтор А является полу нормальным, эпиморфным, сохраняющим вес функтором [5], то в силу теоремы 5.4 [6] и теоремы 2 получим

с(Х") = с(ехр(Х)) < с(А(Х и {р})) < с((Х и {р})").

Из предложения 2.15 [6] следует

с((Х и {р})") < эирс((Х и {р})").

Оценим 8ирс((Х и {р})п) для любого конечного числа п. Поскольку пространство (X и {р})п является прямой суммой пространств, гомеоморфных пространствам Хп, Хп_1,..., {р}, то

с((Х и {р}Г) = 8ир(с(Х"), с{Хп-% ..., с({р})) = с(Хп)1.

Таким образом, для каждого конечного п получили

с((Хи {р})") = с(Х").

Тогда

с(Хш) < с((Х и {р})") < 8пр(с(Х и {р})п) = ырс(Хп) = с(Хш). Следовательно,

с((Хи{р}П=с(Х").

1 См. предл. 2.3 [6]

Очевидно, что А(Х) С А(Х U {р}) и поскольку А(Х) клеточно вложено в А(Х U {р}), то

с(А(1)) = с(А(1иМ))=с(Г). □

В [6] равенство (5) доказано как отдельная теорема. У нас это — следствие теоремы 5.4 [6] для нормальных функторов и клеточного вложения пространства ехр(Х) в А(Х U {р}).

Resume

It has introduced the concept of cellular subfunctor in the category COMP of all compact spaces and their mappings. We has proved that the space of all nonempty closed subsets of X is cellular embed to the A(X U {p}). One of the general results proved in this article is the equality c(F(X)) = с(Хш) for covariant functors A/*fc, А и G.

Библиографический список

[1] Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

[2] Иванов А. В. О пространстве полных сцепленных систем // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27. № 6. С. 95-110.

[3] Моисеев Е. В. Суперрасширения нормальных пространств// Вестник МГУ. Сер.1. Математика, Механика. 1990. № 2. С. 80-82.

[4] Талаат М. О кардинальных инвариантах пространств сцепленных систем //Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, Механика. 1995. № 4. С. 14-19.

[5] Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.

[6] Fedorchuk V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors // Topology and its applications. 76 (1997). P. 125-150.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33