Научная статья на тему 'Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики'

Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
83
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ / ЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА / СТОХАСТИЧЕСКОЕ РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Зотеев В. Е.

Рассматривается метод параметрической идентификации линейной динамической системы, в основе которого лежит стохастическое разностное уравнение, описывающее последовательность результатов измерений мгновенных значений импульсной характеристики системы. Алгоритм метода включает итерационную процедуру, позволяющую практически устранить смещение оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения, и тем самым существенно повысить точность вычислений параметров системы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Зотеев В. Е.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики»

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2007. № 1(14)

Математическое моделирование

УДК 519.246 В. Е. Зотеев

ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассматривается метод параметрической идентификации линейной динамической системы, в основе которого лежит стохастическое разностное уравнение, описывающее последовательность результатов измерений мгновенных значений импульсной характеристики системы. Алгоритм метода включает итерационную процедуру, позволяющую практически устранить смещение оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения, и тем самым существенно повысить точность вычислений параметров системы.

Проблема параметрической идентификации линейной динамической системы является одной из важнейших в математическом моделировании. При описании линейного динамического объекта в задачах управления, оптимизации или прогнозирования обычно используется его передаточная функция W (p), которая, по сути, представляет собой изображение импульсной переходной (весовой) функции — реакции системы на импульсное (ударное) воздействие [1, 2]. Динамические характеристики линейной системы, непосредственно связанные с коэффициентами соответствующего однородного дифференциального уравнения, вполне могут быть описаны через параметры импульсной переходной функции (импульсной характеристики системы). Поэтому среди известных методов параметрической идентификации особое место занимают относительно простые, но, в то же время, эффективные методы, в основе которых лежит измерение мгновенных значений импульсной характеристики системы. В частности, при определении динамических характеристик колебательных систем широко применяется метод затухающих колебаний, который заключается в записи виброграмм свободных колебаний диссипа-тивной системы и определении по ним логарифмического декремента колебаний [3]. Однако часто алгоритмы, используемые при определении параметров линейной динамической системы по мгновенным значениям импульсной или переходной характеристики, не ориентированы на применение статистических методов обработки результатов эксперимента. Вследствие этого из-за случайной помехи в результатах наблюдений эти методы обладают низкой помехозащищенностью [4]. Решить проблему качественного изменения способов определения параметров линейной системы по результатам измерения мгновенных значений ее импульсной характеристики можно на основе линейно параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений [5].

Пусть динамический процесс ~ (t) в линейной системе при входном воздействии x(t) описывается дифференциальным уравнением с действительными коэффициентами вида ^ dj у (t) djx(t) ^

у cj-— = у bj-—. При импульсном воздействии на систему, которое описывается

j=o dt j=o dt

8 -функцией Дирака, реакция системы — весовая функция (импульсная характеристика) — при отсутствии кратных корней соответствующего характеристического уравнения может быть

р

представлена в виде у(() = у a¡ exp(a¡t), где в общем случае a¡ = Rea,. + i Im a¡ и

i=1

a¡ = Re a¡ + i Im a¡ — комплексные числа. Так как коэффициенты дифференциального уравнения действительные числа, то для каждого комплексного корня характеристического уравнения ai найдется сопряженный ему корень a¡, причем соответствующие им коэффициенты a¡ и a¡ также являются комплексно-сопряженными числами. В таких случаях сумма a¡ exp (a¡t)+ a¡ exp (a¡t) описывает затухающие колебания и может быть представлена в виде

Д. exp (Re att) cos (im att ), где начальные амплитуда At = 2^/Re2 at + Im2 at и фаза Im a..

У =

arctg

Re a

Re a . > 0,

Im a

p + arctg-Re at < 0

Re a

— действительные числа. По найденным оценкам динамических

характеристик а1 коэффициенты дифференциального уравнения с., . = 0,1,..., р -1, с = 1,

могут быть определены по формулам: ер-1 = -Z

c=(-1)p-1 Zaa• a<Pi' co =(-1))П a •

a i' cp-2 = Za

i, j=1

aj . CP-3 = -Z i, j,k

i<j<k

a.a a k

>1. '2.' >p-1 I1<I,<- <iP_

Рассмотрим задачу оценки параметров а, и а, (,' = 1,2,..., р ) функции ~(() = Хя, ехр(а/)

/=1

по результатам измерений ук = ~(хк) + ек ее мгновенных значений, где % - период дискретизации; ек — случайная помеха в результатах наблюдений; к = 0,1,2,* , N — 1; N — объем выборки результатов измерений.

Задача решается на основе линейно параметрической дискретной модели, связывающей р +1 последовательное значение дискретной функции

у

ук=Х я ехр(а%к К

/=1

р

которую можно представить в виде ук = X а/' , где //., = ехр (а,%).

(1)

Применяя к дискретной функции (1) г -преобразование, имеем 2{ук }=Х а1-—. От-

,=1 1 — /,г

сюда после простых алгебраических преобразований можно получить

Лр(х-1)2{ук } = Вр—, (2)

k p -p-1

где Лр(г 1 )=П( — /¡г 1 )= 1 — X и Вр—1 ( 1 )=ХЬ,г ' — многочлены степени р и р — 1 от-

,=1 '=1 '=0

носительно переменной г -1 . Очевидно, что коэффициенты многочлена Лр (г-1 ) описываются

формулами

У У

1 =Z m>. 1 = -Z mm j.

i=1 i,j

i< j

p

яр-1 =(- 1)P Z m, mh • mip-1.

У

1 = Z mm j mk. •

i, j ,k i< j<k

1P = (-1))+1 П m. •

(з)

>l h" ■ ip-1

£< i, <• < ip -

Из (2) с помощью обратного г - преобразования можно получить

~к — КУы—1 — ^к—2 — * — Яр~к—р = К8к + ЬА—1 + Мк—2 + * + Ьр—18к—(р—1) ,

1, при к = 0,

(4)

где 8к = < — символ Кронекера, к = 0,1,..., N — 1.

[0, при к Ф 0

С учетом (1) введем обозначения

р р р

яр+1 = й =X а, яР+2 = й = X ат<, 1р+3 = й = X ат,2

яр+j = ~j-1 =Z a mi-1>

1 p = ~p-1 = Z am"-1.

(5)

i=1

¡=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

Используя (4) и (5), коэффициенты многочлена Bp-1 (z 1) можно представить в виде

Ь0 = Яр+1 , Ь1 = Яр+2 - АЯр+1 , Ь2 = Яр+3 - Я1Яр+2 - Я2Яр+1 , ' ,

1

Ъ1 = Яр+1+1 - ЛЯр+1 - Я2Яр+1-1 — - ЯА+1 = Яр+1+1 ЯА+1+1-1, * , (6)

1=1

Р-1

Ьр-1 = Я2р - Я1Я2р-1 - Я2Я2р-2 - * - Яр-1Яр+1 = Я2р - X Я1Я2р-1 •

1=1

При этом линейно параметрическая дискретная модель, связывающая в виде рекуррентной формулы р +1 мгновенное значение дискретной функции (1), принимает вид

к = 0,1,..., р -1,

1 У к-1 + 12 У к-2 + * + 1 рУк - р , к = Р, р +1,•••, N -1,

(7)

где коэффициенты 1 ^ (] = 1, 2,2р), определяются соотношениями (3) и (5).

При экспериментальной обработке импульсной характеристики формируется выборка результатов измерений ук = ~к + ек, которые содержат случайную помеху ек, к = 0,1,..., N -1, N — объем выборки. В этом случае линейно параметрическая дискретная модель (7) принимает вид стохастического разностного уравнения

\+1+к +ек, к = 0,1,...> р -1 р 1 (8)

X }^Ук -1- X1 е к -1+ек, к=p, р+и.,N -1 1=1 1=р

Ук =

или в форме обобщенной регрессионной модели:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Гй = F1 + h,

р (9)

Здесь 1 = (11,12, * , 12 )т — вектор неизвестных коэффициентов линейно параметрической дискретной модели; е = (е0,е1,...,еN-1)T — N-мерный вектор случайной помехи в результатах наблюдений; " = (Пр"П^—,)Т — N -мерный вектор эквивалентного случайного возмущения в стохастическом разностном уравнении; Ь = (у0, у1,..., УN-1)T — N -мерный вектор правой части; F = [/1 • /2 •. • /' • / •. • /2 ] — матрица регрессоров размера N х 2р , столбцы которой описываются формулами: / = (°Д» ,0, Уp-l, Ур, УN-2)T, ./2 = (0А* ,0, Уp-2, УР-х' , УN-з)T, * ,

/ = (0,0,- ,0, У0, У1,* , УN - p-l)т, /р+1 = (1,0,- ,0)\ /р+2 = (0,1,- ,0)\ • , /2 р = (0,0,- ,1,0,- ,0)\

Матрица Р размера N х N в стохастическом разностном уравнении эквивалентного возмущения — нижняя треугольная. Первые р строк матрицы: р1 =(1,0,0,* ,0),

р2 =(0,1,0,* ,0), * , рр =(0,0,* ,1,0,- ,0) — описываются формулой р9 =Ц, 1 '

1 = 1,2,..., р,, 1 = 1,2,..., N. Остальные строки матрицы Р имеют вид:

Р,

= (-1p,-lp-1,-lp-2,' , "11,1,0,. ,0) , Pp+2 =(0,-1p, -1p-„-lp-2,' ,-12,-11,1,0,« ,0),

p+1 \ p> p-1> p-2> > 2> j'-'/? rp+2 Y"'? /up' /up-1> p-2 >

pw =(0,. ,0,-1p,-lp-1,-1p-2,. ,-12,-1i,1).

В предположении, что случайные возмущения eк имеют нулевое математическое ожидание, одинаковые дисперсии и не коррелированны между собой, помехоустойчивое определение параметров импульсной характеристики ai и ai сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов 1 линейно параметрической дискретной модели (8).

При среднеквадратичном оценивании коэффициентов 1j могут быть использованы различные схемы вычислений. Наиболее простым является алгоритм, в основе которого лежит 140

I |2 N ||2

минимизация функционала h = b - Fk\\ ^ min. МНК-оценки коэффициентов стохастического разностного уравнения в этом случае вычисляются по формуле

X =(FTF)-1 FTb. (10)

Однако такой подход мало эффективен из-за большого смещения оценок, обусловленного корреляцией между элементами hk эквивалентного случайного возмущения. Другой, более эффективный и помехозащищенный, метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения основан на минимизации функционала ||e|2 =|\y-|2 ^min. Главной особенностью такого подхода является применение итерационной процедуры уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов Xj. Это позволяет практически устранить

смещение в оценках и, тем самым, добиться высокой точности вычисления параметров исследуемой функции [5].

Рассмотрим алгоритм итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Из формулы (9) получаем P-lb = P— Fl + e . Элементы p- обрат-

1, j= , 0, j * i.

ной матрицы РЛ1 зависят от коэффициентов % и описываются формулами p- =

при i = 1,2,..., p , j = 1,2,..., N и p- =

p

1+E Wk, j, j=и

k=1 p

E ^p-k,j, j *i

k=1

при i = p +1, p + 2,..., N,

j = 1, 2,..., N.

В основе итерационной процедуры лежит минимизация функционала ||e||2 » ¡Р.-) - Px-k1)Fl|| ^ min , где P-' - обратная матрица, при вычислении элементов которой используются оценки Xj) коэффициентов разностного уравнения, найденные на k -ой итерации. Очевидно, что данный функционал представляет собой квадратичную форму относительно искомых коэффициентов Xj. Следовательно, он достигает своего неотрицательного минимума. При этом нетрудно показать, что минимум данного функционала достигается в точке

€(k+1)=(FT Q^F)-1 FTQ^k) b, (11)

где Q,4=( P-1)1 (P-1).

Итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения состоит в следующем. На первом шаге по формуле (10) находится начальное приближение €(0) = (FT F)"' FTb . Затем, полагая в формуле (11) k = 0 и %к' = Х0, вычисляется следующее приближение €(1)=(FтQ^ F) FтQ^ b. Оно вновь подставляется в правую часть

формулы (11) и находится новое приближение Х2" и т.д. Процесс уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения продолжается до тех пор,

пока выполняется условие ||Xk+1) - Xk0,01||Xk. Результаты численно-аналитических исследований показали хорошую сходимость итерационной процедуры (не более десяти итераций). Найденные среднеквадратические оценки Xj коэффициентов линейно параметрической

дискретной модели (8) лежат в основе вычисления помехозащищенных оценок параметров импульсной характеристики ai и ai, i = 1, 2,..., p .

Для этого сначала находятся корни im, i = 1, 2,..., p , алгебраического уравнения

mp + f1mp-1 + f2mp-2 + • +fp-1m+fp = 0. (12)

Затем по формулам d€ = t l\nвычисляются оценки параметров ai (i = 1, 2,..., p ). На заключительном этапе по найденным и im посредством решения системы линейных алгебраиче-

141

ских уравнении

к + к + • +а ь = 4+1, 1+2,

М +¡12&2 +• + ! РкР =

¡2а1 +¡22 а + +¡4 = = 4+3,

¡Р-1 к + ¡р -1а +• + ¡р- = р

вычисляются оценки коэффициентов а1 (1 = 1, 2,..., р ) в функции (1).

При комплексно-сопряженных корнях алгебраического уравнения (12) ¡¡к = Яе ¡¡к +' 1т ¡¡к и ¡к+1 = ¡к = Яе ¡¡к -11т ¡¡к и соответствующих им комплексно-сопряженных коэффициентах ак = Яе к +11т к и к+1 = к = Яе к -11т к, наИденных из системы уравнении (13), пара слагаемых к ехр((кк/) + к+1 ехр (акк+1/) в математической модели импульсной характеристики р

) = ^ к ехр (кк1), описывающая затухающие колебания, может быть представлена в виде

А ехр (Яе (кк/) 008 (1т скк/+укк),

(14)

где Яе&к = ' х Яе2 ¡1к + 1т2 ¡1к и = 1т(£к =

arotg

р + arotg

1т тк Яе тк' 1т тк

Яе тк

Яе тк > о,

Яе т к < о

arotg

— оценки показателя

затухания и частоты колебаний, Д = 2д/Яе2 к + 1т2

р + arotg

1т к

Як"'

1т ак

Яе ак

Яе к > о, , Яе а < 0

оценки начальной амплитуды и фазы колебаний.

Таким образом, в работе получены следующие результаты.

Во-первых, разработан эффективный численный метод параметрической идентификации линейной динамической системы на основе результатов измерения мгновенных значений ее импульсной характеристики.

Во-вторых, предложенная итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели в форме стохастического разностного уравнения позволяет практически устранить смещение в оценках и тем самым существенно повысить точность определения параметров исследуемой системы.

В-третьих, полученные при математическом описании импульсной характеристики линейно параметрическая дискретная модель в форме стохастического разностного уравнения и формулы, связывающие коэффициенты этого уравнения с параметрами импульсной характеристики, обобщают разностное уравнение, описывающее свободные колебания диссипативной системы с линейно вязким трением [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

и

1. Эйкхофф П., Ванечек А., Савараги Е. и др. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. 400 с.

2. Штейнберг Ш. Е. Идентификация в системах управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. 80 с.

3. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. Киев: Наук. думка, 1971. 376 с.

4. Мелентьев В. С. Методы и средства измерения параметров электрических цепей на постоянном токе. Самара: СамГТУ, 2004. 120 с.

5. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ. - мат. науки, 2006. Вып. 42. С. 162-168.

6. Семёнычев В. К., Зотеев В. Е. Определение параметров затухающих колебаний на основе разностных схем // Проблемы прочности, 1988. № 12. С. 101-105.

Поступила 15.07.2006.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.