CC BY
70
Математическое моделирование
УДК 519.246
В. Е. Зотеев, А. С. Овсиенко
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РИКАТТИ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматривается построение стохастических разностных уравнений, связывающих результаты наблюдений мгновенных значений динамических процессов, описываемых специальным уравнением Рикатти. На основе разностных уравнений предлагается эффективный метод параметрической идентификации систем, описываемых специальным уравнением Рикатти.
Уравнение Риккати
у' (Ь) = р (Ь) у2 (Ь) + 9 (Ь) у (Ь) + г (Ь),
где р (Ь), 9 (Ь), г (Ь) —непрерывные в некотором интервале изменения Ь функции, широко используется в различных приложениях, например, при анализе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка
и'' + р (Ь) и' + 9 (Ь) и = 0,
играя заметную роль в квантовой механике в связи с исследованием уравнения Шредингера [1]. Специальное уравнение Рикатти имеет вид
у' + ау2 = ЬЬп,
где а, Ь и п — постоянные величины. Применение стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений мгновенных значений его решения, позволит обеспечить высокую точность оценивания параметров этого уравнения.
Рассмотрим решение специального уравнения Риккати для частного случая при п = 0:
у' + ау2 = Ь. (1)
В зависимости от знаков коэффициентов а и Ь это уравнение может иметь различные решения. Пусть аЬ > 0, то есть коэффициенты а и Ь одного знака. Тогда не трудно убедиться, что решение уравнения (1) имеет вид
[Ь 1+ С£~ ^81§п (а) л/аЬ
У т = \1 - ----------------—,
V а 1 _ се-2г^щп(а^аЬ
где с — произвольная постоянная. Обозначая ао = ^\ и а = 2sign (а) л/аЬ, имеем
, . 1 + се а . .
у® = а°1_се-^ • (2)
При различных знаках коэффициентов уравнения (1), т. е., когда аЬ < 0, можно показать, что решение специального уравнения Риккати имеет вид
у(Ь) = ао tg (иЬ + ^о), (3)
где ао = ^ ио = sign (6) \/—аЬ, а <ро — произвольная постоянная.
Рассмотрим построение линейно параметрической дискретной модели процесса, описываемого специальным уравнением Риккати (1), в форме разностного уравнения, рекуррентно связывающего последовательные отсчёты функции (2). Полагая в выражении (2) Ь = тк, где т — период равномерной дискретизации функции у (Ь), получаем дискретную функцию у^ = у (тк) вида
1 + се атк 1 — се-
Ук = а 0 л-А:е{0}им. (4)
Полагая к = к — 1, из выражения (4) можно получить
(1 — се—атк еат) у к— 1 = ао (1 + се—аткеат) .
Отсюда имеем
—атк У к— 1 (к)
еат (ао + у*;—1)'
Подставляя этот результат в (4), после простых алгебраических преобразований получаем рекуррентную формулу
1 — еат а0 (еат — 1)
Ук — Ук-1 = ---77—,--—гУк-1Ук Н --------
а0 (1 + еат) 1 + еат
или разностное уравнение вида
у* — у*—1 = Л^*— 1у* + Л2, к € N. (5)
Коэффициенты в разностном уравнении (5) описываются следующими формулами:
_ 1 - еат _ а0 (еат - 1)
1 “ а0 (1 + еат) ’ 2 _ 1 + еат ' ^
Очевидно, что при а > 0 и Ь > 0 имеем а > 0, еат > 1 и, следовательно, Л1 < 0 и Л2 > 0. В противном случае, когда а < 0 и Ь < 0, имеем Л1 > 0 и Л2 < 0.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициенты дифференциального уравнения (1) имеют различные знаки (т. е. аЬ < 0). Аналогично, полагая в выражении (3) Ь = тк, получаем дискретную функцию
у* = ао tg(uтk + ^о), к € {0} и N (7)
описывающую последовательность мгновенных значений у* решения (3) специального уравнения Риккати при различных знаках его коэффициентов. Тогда, полагая в (7) к = к — 1, из формулы
/ \ tg(uтk + ^>о) — tg ит
Ук-1 = ао tg (штк - шт + о) = а0-
1 + tg (итк + ^о) tg ит выражаем
, , , . л у*—1 + ао tg ит
tg (штк + ^о) =------;---т-----•
ао — у*—1 tg ит
Подставляя это выражение в (7), получаем
у*—1 + ао tg ит
У к = «0-------------•
а0 -ук-^дшт
Отсюда после простых преобразований получаем рекуррентную формулу разностного уравнения
у* — у*—1 = Л^у*— 1 + Л2, (8)
в которой коэффициенты описываются выражениями
tg ит .
Х\ =------------------------------, \2 = ао^шт. (9)
ао
Очевидно, что вне зависимости от знаков коэффициентов специального уравнения Риккати (1)
линейно параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений (5) и (8) имеют один
и тот же вид. Однако коэффициенты разностных уравнений (5) и (8) выражаются через параметры уравнения (1) по-разному.
При обработке экспериментальных данных формируется выборка результатов наблюдений у* (к = 0, 1, 2,..., N — 1, где N — объём выборки). Результаты наблюдений у* содержат аддитивную
случайную помеху Єд: уд = уд + Єд, где уд — точные значения дискретной функции. С учётом случайной помехи в результатах наблюдений линейно параметрическую дискретную модель можно представить в форме стохастических разностных уравнений
Уо
— Аз + Є0)
yk - yfc-1 — Aiyfcyfc-i + А2 + nk,
nk
— — (1 + Aiyk) £fc-i + (1 - Aiyfc_i) + Ai£fc£fc_i,
где A3 = y/о, k = 1, 2, ...,N — 1. Пренебрегая в выражении для nk слагаемыми второго порядка малости относительно , получаем систему
Уо
— A3 + Є0)
yfc - yfc_i — Aiyfcyfc_i + A2 + nk,
(10)
nk
— - (1 + Aiyk) £k_i + (1 — Aiyk_i) ^k•
Линейно параметрическая дискретная модель в форме стохастических разностных уравнений (10) в матричной форме имеет вид
Ь = ^А + п,
П = Рл,у£,
(11)
где А = (Аі, А2, Аэ)Т —вектор неизвестных коэффициентов линейно параметрической дискретной модели; є = (єо, Єі, • • •, Єм-і) — вектор случайной помехи в результатах наблюдения; п = (по, Пі, • • •: Пм-і)Т —вектор эквивалентного возмущения в стохастическом разностном уравнении; Ь = (уо, уі-уо, У2 — уі, • • •, ум-і — ум-2)Т — N-мерный вектор правой части; ^ — матрица регрессоров размера Nх3, имеющая вид
0 0 1
уоуі 1 0
уіу2 1 0
F —
yw_2yw_i 1
0
Матрица Рл,у размера Nх№ в стохастическом разностном уравнении эквивалентного возмущения п имеет вид
\v
1
- (1 + Aiyi) 0 0
0
0
1 — Aiyo - (1 + Aiy2) 0
0
0
0
1 - Aiyi
— (1 + Aiy3) 1 - Aiy2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- (1 + AiyN_i) 1 - Aiyw_2
Построенная линейно параметрическая дискретная модель в форме обобщённой регрессионной модели (11) может быть эффективно использована в задаче параметрической идентификации решений специального уравнения Риккати (1). В основе помехоустойчивого метода определения параметров процессов, описываемых функциями (4) или (7), лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов А^ стохастического разностного уравнения [2]. В соответствии с алгоритмом этой процедуры минимизируется функционал:
kll2 —
PA_> - PA_iFA
mm •
Для этого формируется последовательность приближенных решений
Л« — (fTП_(1_цf)_i fT07(;_и6, і є N
0
2
где — (PÂ(i-1), yPi.-i),r 1’À<0) — (FFTb’ сходящаяся к решению Л матричного урав-
нения
FT (Pa,yPjy)_1 F Л — FT (PÄ,yPATy)- b,
на котором указанный функционал достигает своего минимума. По найденным оценкам Л^- (^ = 1, 2, 3) параметры функции (2) вычисляются по формулам
„ / —Â2 „ 1 . (\ \, 1 + V—Л1Л2 „ Хз — âo
а0 = \ ——, а = -sign Л2 m-===, с = --,
V Л 1 т 1 — V —Л1Л2 Лэ + âo
а параметры функции (3) — по формулам
-sign (аЛ arctg J ЛіЛ2, фо = arctg
т V / v л0
Оценки коэффициентов специального уравнения Риккати (1) могут быть вычислены по формулам а = тщ и Ъ = для случая одинаковых знаков этих коэффициентов или по формулам а = —
и Ь = ЛЛо в случае различных знаков.
Очевидно, что на этапе вычисления коэффициентов стохастического разностного уравнения можно идентифицировать тип решения специального уравнения Рикатти. При Л1Л2 < 0 коэффициенты дифференциального уравнения (1) имеют одинаковые знаки, причём при Л1 > 0 коэффициенты имеют знаки а< 0 и Ь< 0, а при Л1 < 0 — а> 0 и Ь> 0. При Л1Л2 > 0, наоборот, коэффициенты уравнения (1) имеют противоположные знаки, а решение специального уравнения Рикатти описывается функцией (3).
Таким образом, построена линейно параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастического разностного уравнения результаты наблюдений мгновенных значений решений специального уравнения Риккати. Установленные соотношения между параметрами решения дифференциального уравнения и коэффициентами стохастического разностного уравнения позволяют свести задачу параметрической идентификации систем, описываемых специальным уравнением Рик-кати, к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов линейно параметрической модели, что обеспечивает высокую точность идентификации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения [Текст] / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. — М.: Наука, 1998. — 332 с.
2. Зотеев, В. Е. Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики [Текст] / В. Е. Зотеев // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007.— № 1 (14).—С. 138-142. — ISSN 1991-8615.
Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 3.11.2007
V.E. Zoteev, A.S. Ovsienko
PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF THE SPECIAL EQUATION RICATTI ON THE BASIS OF STOCHASTIC DIFFERENCE EQUATIONS
Construction stochastic difference equations connecting results of supervision of instant values of dynamic processes described by special equation Ricatti, is considered. On the basis difference equations the effective method of parametrical identification of the systems described by special equation Ricatti is offered.
Samara State Technical University, Russia Received 3.11.2007
